基本波动方程的求解方法

关于弦振动的求解方法

李航

一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程

达朗贝尔方程解无界的定解问题

?+-+-++=at

x at x d a

at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为

???

???

?=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,002

2222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a

1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 `

???

???

?=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022

222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：

(I) ???????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022

222x t u x u t x x u a t u t x φ?

(II) ???

????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022

222t x t u u t x t x f x u a t u

其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：

?+-+-++=at

x at

x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。

对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题

???

???

?=??=>??=??==　

， ),(|,0|22

222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t

d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 (

1、分离变量法

齐次条件的分离变量法

（1） （2） （3）

设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得：

)

()

()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><

22

222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φ?

上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有：

0)()(''=+x X x X λ （4） 0)()(2'=+t T a t T λ （5）

(

所齐次边界条件可得：

0)()(,0)0('=+=l hX l X X （6）

从而特征值问题:

???=+==+0

)()(,0)0(0

)()('

l hX l X X x X x X λ 对λ的取值分三种情况0>λ，,0=λ0<λ进行讨论。

这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。 非齐次条件分离变量法

分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。

分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如：

???

??

?

?====+=)()0,()()0,()

(),(),(),0(),(212x x u x x u t g t l u t g t u t x f u a u t xx tt φ? 设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足：

*

)(),0(11t g t W =，)(),(21t g t l W =

即可。

小结：分离变量法的解题步骤 a ， 令)()(),(t T x X t x U += b ， 将试探解带入泛定方程。 c ， 将等式两边同时乘以

xx

u a 2

1

，进行分离变量，获得两个常微分方程。

d ， 由边界条件，将）（x X 方程解出需要讨论本征值λ（0>λ，

,0=λ0<λ）三种情况，获得本正值和本征函数。

e ， 写出)t (T 解的形式后与）（x X 一起构成),(t x U 通解形式。

f ， 由初始条件确定待定系数。

三、无界、有界，齐次、非齐次的通解方法 傅里叶级数解法 。

?????

????====><

222

x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φ?

设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造）（）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则：

）

（）（）

（）（，5t sin t

t -x t

t -t )t x ( ωμμνA

V =

=

所以对),(t x W 有：??????

???====><<+??=??==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 01022

2

222

x u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φ?ωω 令

）（）（9t kx sin

t ),(0

k k

∑∞

==π

T t x W

（9）式带回到（6）式）（）（9t kx sin

t ),(0k 1k ∑∞

==π

T t x W

解出：

1

n 2t

hsin 2-t 1

k +=ω）

（T 整理出),(t x W 与),(t x V 构成),(t x U 的解，再带回到（3）是求出待定系数。 小结：一般傅里叶级数的求解步骤

1、 令∑∞

==

k k

k

)x (t ),(X

T t x U ）（，其中展开基)x (k X 为对应齐次函数本征函

数（由边界条件决定）

2、 将∑∞

==

k k

k

)x (t ),(X

T t x U ）（带入泛定方程后，将），（t x f 也按)x (k X 展为

傅里叶级数，比较等式两边，获得）（t k

T 的常微分方程。

3、 将∑∞

==

k k

k

)x (t ),(X

T t x U ）（带入初始条件，得到关于）（t k

T 方程的定解条

件。

4、 解关于）（t k

T 的常微分方程。

5、 将）（t k

T 解的通解形式带回到∑∞

==

k k

k

)x (t ),(X

T t x U ）（中即可。（此时即

为方程的解）

波动方程的求解(补充)20110517

波动方程的求解方法 《高电压技术》第七章补充内容 20110517 一．求解算例：（暂态算例，与作业P93页7-3类似） 如图1所示，直流电源在t=0时刻合闸于无损单导线，已知电源电压E=1V,电源内阻为0，无损单导线单位长度的电感为L0、单位长度的对地电容为C0,线路长度为1m,且末端开路。（注：设线路末端为x=0的起始点，x正方向从线路末端指向电源端） 图1 直流电源合闸于有限长线路 1）写出无损单导线的时域波动方程。 2）写出无损单导线的频域波动方程。 3）根据频域方程和边界条件求线路上任意一点的电压的频域表达式。

二、求解过程 1.均匀传输线的波动方程： 00 00 u i ir L x t i u ug C x t ???-=+????????-=+???? 2.忽略损耗，上式的解耦形式为： 2200 222 2 00 22u u L C x t i i L C x t ??? =???????? =???? 3.应用拉普拉斯变换到频域得： 2 2 2 22 2 d u u d d i i d x x γγ = =， γ，p 为拉普拉斯算子 4.写出电压方程和电流方程的通解形式： u(x)=Aexp(-x)+Bexp(x) γγ A B i(x)= exp(-x)+ exp(x) z z γγ- 其中z 为线路波阻抗，且

5.代入边界条件 电源端:x=1,u=1/p; 线路末端：x=0,i=0,求出A 和B ，得到： 1cosh x u(x)=p cosh γγ ?

三、作业（稳态算例，选作,参见§11-1空载长线电容效应P297-298） 如图2所示，已知无损空载长线长为L ，末端开路，该线单位长度的电感为L 0、单位长度的对地电容为C 0, 电源电压为E ，且X L =0，求U X 的关于E 频域表达式。 图2 空载电路的沿线电压分布曲线 1() cos cos x U E U x L αα? ? ? = （P298页式11-1-8） 提示：1.应用正弦稳态变换，即p =j ω变换到频域求解。 2.应用欧拉公式有： cos sin cos sin j L j L e L j L e L j L αααααα-=+=- 即cos sin ch L L sh L j L γγ=α=α 这里有0000 j j ;j j Z L Y C γωωω= ==α == 2

基本波动方程的求解方法

关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ? 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题：

(I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><

c 解线性方程组的几种方法

//解线性方程组 #include #include #include //----------------------------------------------全局变量定义区 const int Number=15; //方程最大个数 double a[Number][Number],b[Number],copy_a[Number][Number],copy_b[Number]; //系数行列式 int A_y[Number]; //a[][]中随着横坐标增加列坐标的排列顺序,如a[0][0],a[1][2],a[2][1]...则A_y[]={0,2,1...}; int lenth,copy_lenth; //方程的个数 double a_sum; //计算行列式的值 char * x; //未知量a,b,c的载体 //----------------------------------------------函数声明区 void input(); //输入方程组 void print_menu(); //打印主菜单 int choose (); //输入选择 void cramer(); //Cramer算法解方程组 void gauss_row(); //Gauss列主元解方程组 void guass_all(); //Gauss全主元解方程组 void Doolittle(); //用Doolittle算法解方程组 int Doolittle_check(double a[][Number],double b[Number]); //判断是否行列式>0,若是,调整为顺序主子式全>0 void xiaoqu_u_l(); //将行列式Doolittle分解 void calculate_u_l(); //计算Doolittle结果 double & calculate_A(int n,int m); //计算行列式 double quanpailie_A(); //根据列坐标的排列计算的值,如A_y[]={0,2,1},得sum=a[0][ A_y[0] ] * a[1][ A_y[1] ] * a[2][ A_y[2] ]=a[0][0]*a[1][2]*a[2][1]; void exchange(int m,int i); //交换A_y[m],A_y[i] void exchange_lie(int j); //交换a[][j]和b[]; void exchange_hang(int m,int n); //分别交换a[][]和b[]中的m和n 两行 void gauss_row_xiaoqu(); //Gauss列主元消去法 void gauss_all_xiaoqu(); //Gauss全主元消去法 void gauss_calculate(); //根据Gauss消去法结果计算未知量的值 void exchange_a_lie(int m,int n); //交换a[][]中的m和n列 void exchange_x(int m,int n); //交换x[]中的x[m]和x[n] void recovery(); //恢复数据 //主函数 void main() { int flag=1;

2021年常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算 欧阳光明（2021.03.07） 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数Calculation of Basic solution Matrix of Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics,Chaohu CollegeAnhui,Chaohu) Abstract:Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the

基本波动方程的求解方法

基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间 ],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。 2、一维非齐次波动方程的柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ?

(II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0 ),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： 上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。令此常数为λ-，则有： ?????????====><

Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)

Matlab线性方程组求解 1. Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); %计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);

end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 2. 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0; %选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n

第七章 一维波动方程的解题方法及习题答案

第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r r && 连续体力学222 2() (,)(,)0(()0; v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ ?????-?=??????? ?? +??=????-?+??=+=????? r r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜 流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r 已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ?? -?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程： 22 .2u i u Vu t m ?=-?+?h h 2. 分类

总结求线性方程组的方法

总结求线性方程组的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

华北水利水电大学 总结求线性方程组的方法 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2014年12月31日

摘要：线性方程组的求解是当代代数学中的一个重要组成部分。它广泛应用在数学以及其他领域。它与矩阵、线性变换、行列式、向量组的线性相关性，二次型，这些型之间有着相当密切的联系。线性方程组是线性代数中一个相当基础的内容必须要学会以及熟悉内容。本文章主要说明和讨论线性方程组的基本结构，然后应用克拉莫法则，高斯消元法来来求解。 关键词：线性方程组、高斯消元法、克拉莫法则； Summary for the method of liner equations Abstract: Solution of the system of linear equations is an important component part of algebra. It is widely used in mathematics and other areas. It and determinant, matrix, linear transformation, linear correlation vector group, quadratic form, has the close relation. System of linear equations is a very basic content in linear algebra must grasp and familiar with the content. This article mainly explain and discuss the basic structure of system of linear equations, then apply law of kramer, gauss elimination method to solve.

第一章-第四讲-n元线性方程组求解

第四讲 n 元线性方程组求解 上一讲我们介绍了当n 元一次线性方程组的系数矩阵A 可逆时，可求出方程组解1X A b -=， 实际上这也是方程组的唯一解。如果方程组系数矩阵A 不可逆或A 不是方阵时，该如何来讨论方程组的解？这一讲将通过矩阵的初等变换来研究n 元一次线性方程组（齐次、非齐次）在什么条件下有解、如何求解以及各种解的表达形式等. n 元一次线性方程组是指形如 ???????=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 ... ...（4.1） 令 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ???L L L L L L L ，12n x x X x ?? ? ?= ? ???M ，12m b b b b ?? ? ?= ? ??? M 则方程组的矩阵方程形式AX b =.其中：A 称为方程组（4.1）的系数矩阵，°()A A b =称为方程组（4.1）的增广矩阵。 当b O ≠时，称（4.1）式为一元线性非齐次线性方程组; 当b O =时，称 (4.2 ) 式为一元线性齐次线性方程组，其矩阵形式AX O =. 111122121122221122000 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=?? ??+++=?L L L L L L L L L L L L L L L ... ...(4.2) 显然X O =是（4.2）式的当然解。所以说，齐次线性方程组的解只有两种情况：唯一解(零解)和无穷多解(非零解)。 把非齐次线性方程组（4.1）式的每个方程右边的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。（即：（4.2）是（4.1）的导出组） 在第二讲的例2.12中，非齐次方程组的解是通过对方程组的增广矩阵实施初等行变换得到的. 那么，这种求解方法是不是对任意的线性方程组都适用？答案是肯定的。下面我们就给出理论证明. 定理4.1 若将非齐次线性方程组AX b =的增广矩阵°()A A b =用初等行变换化为

线性方程组的解法

线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =

一维波动方程的有限差分法

学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解 开课实验室数统学院 学院数统年级2013 专业班信计02班 学生姓名______________ 学号 开课时间2015 至2016 学年第 2 学期

数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日

1、三层显格式建立 由于题中h 0.1, 0.1h，x 0,1 ,t 0,2，取N 10, M 200，故令网比r 0.1，h X j j h, j 0,1,2,L 10，t k k ,k O,1L ,200 ,在内网个点处，利用二阶中心差商得到如下格式: k 1 k U J 2U J 2- k 1 U j k k U j 1 2U j h2 k U j 1 o h2 略去误差项得到: k 1 U j 其中j 1,2丄9,k 对于初始条件 2 k r U J1 1,2,L ,199，局部截断误差为 U x,0 sin U J k U j k r U j 2 o k 1 U J h2。 (3) 对于初始条件-u x,0 t x，建立差分格式为： sin x j sin Jh , J 利用中心差商，建立差分格式为: 0,1,2,L 10 (4) 对于边界条件将差分格式延拓使综上（3 ）、 （4 ）、 k 1 u j 其中r山o.1 1 U J 2 1 U j 0,即U1二U j1, J 0,1,2,L 10 (5) 0,t 0,2 ，建立差分格式为： U N 0,k 0,1,L ,200 k 0为内点，代入（3）得到的式子再与（5）联立消去 1 1 2 0 ’ 2 0 1 5 r U, 1 1 r U, r J 2 J J 2 （7 ）得到三层显格式如下： U 0,t U 1,t k U0 (6 ) 、 2 k r U j 1 2 1 r2k 2 k U J r U J 1 k 1? U j , J U j （6） 1后整理得到: U j 1 (7) （局部截断误差为 1,2,L 9,k 1,2,L ,199 h2) 1 U j U J sin 1 2 0 2r U J 1 k U o X j k U N sin 2 0 r U j 0,k 0,1,2,L 10 Jh ,J 1 2r2u01, J 1,2,L 9 0,1L ,200 (8) 四?实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab

Maab求解线性方程组非线性方程组

M a a b求解线性方程组非 线性方程组 The latest revision on November 22, 2020

求解线性方程组solve，linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B)diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式diff(F); %matlab区分大小写pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件： function y=fun(x) y=[x(1)*sin(x(1))*cos(x(2)), ... x(2) - *cos(x(1))+*sin(x(2))]; >>clear;x0=[,];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))注：...为续行符m文件必须以function 为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。 Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B 的解。对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A 的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：m＝n 恰定方程，求解精确解；m>n 超定方程，寻求最小二乘解；m

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法

调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b

基本波动方程的求解方法

关于弦振动得求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界得定解问题 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξ?φ?)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程得定解问题中，通常就是先求方程得通解，然后利用定解条件确定通解所含得任意常数，从而得到定解问题得解。考虑无界得定解问题一般方程为 ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φ? 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 得值由初始条件在区间],[at x at x +-内得值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 得依赖区域，在t x -平面上，它可瞧作就是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为得两条直线在x 轴上截得得区间。 2、一维非齐次波动方程得柯西问题 达朗贝尔方程解非齐次定解问题 ???????=??=>+∞<<∞-+??=??==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φ?

令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ??? ????=??=>+∞<<∞-??=??== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φ? (II) ??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)得解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要得定理。 定理（齐次化原理）设),,(τωt x 就是柯西问题 ??? ????=??=>??=??== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 得解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω就是问题(II)得解。 二、有界得弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件得分离变量法 （1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得： ) ()()()('''t aT t T x X x X = ?????????====><

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4

（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解

基本波动方程的求解方法

精心整理 关于弦振动的求解方法 李航 一、无界弦振动 1、一维齐次波动方程 达朗贝尔方程解无界的定解问题 t x u ,([x -a 1 ±2令(u (I)(II)??? ????=??=>+∞<<∞-+??=??== ，　0|,0|0,),(00222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x U ξξ???)(21)]()([21),(。 对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题 的解)0(≥τ，则?=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。 二、有界的弦振动方程 1、分离变量法 齐次条件的分离变量法 λ-，则有：)(''+x X )('+a t T 0)0(=X 对λ用叠加原理。类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。 非齐次条件分离变量法 分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。 ?????????==??=|),0(0222u t u t u t

分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。如： 设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足： 即可。a ， b ， c ， d ， e ， f ， 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造） （）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则： 所以对),(t x W 有：?????????====><<+??=??==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102 22222Λ ΛΛx u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φ?ωω 令）（）（9t kx sin t ),(0k k Λ∑∞==πT t x W

求解线性方程组

《线性方程组求解》实验报告 实验名称：线性方程组求解成绩：___________ 专业班级：数学与应用数学1202班姓名：张晓彤学号：2012254010227 实验日期： 2014年11月21日 实验报告日期： 2014年11月21日 一、实验目的 （1）掌握四种求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解法以及Cholesky 分解法. （2）掌握求解线性方程组过程中的基本理论思想. （3）能够熟练使用matla软件对线性方程组进行不同方式的求解. （4）能够区分四种求解方法的不同，以及每种方法的特点和优劣. 二、实验内容 2 .1（验证性实验）验证求解线性方程组的直接左除法、LU分解法、QR分解 法以及Cholesky分解法.给出相关例题进行验证.

例三：用QR 分解法求解线性方程组1231231 234543727105x x x x x x x x x -+=??-+=??++=?，要求写出分解出的 矩阵L 和U. 例四：用Cholesky 分解法求解线性方程组Ax b =，给出A 和b 分别为： 211121113A ?? ?=- ? ?-??，634b ?? ?= ? ??? 2.2借用实例来区分四种方法的不同 三、实验环境 该实验应用matlab2014来进行实验的验证和设计. 四、实验步骤和结果

b=[8;6;5;1]; [L,U]=lu(A) x=U\(L\b) 得到方程组的解为： L = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0400 1.0000 0 0.5000 1.0000 0 0 0.2000 0.9600 -0.7742 1.0000 U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 2.5000 5.0000 -1.5000 0 0 6.2000 2.2400 0 0 0 4.9742 x =

线性方程组的解法及其应用

线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105

摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。

Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.