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数学高考经典例题

数学高考经典例题
数学高考经典例题

(1)区域已知钝角三角形ABC的最长边为2,其余两边长为a,b,则集合P={(x,y)|x=a,y=b}表示的平面图形的面积是?

(2三角带换

(3)正弦定理运用。

三角形最大角比最小角大90度,三边等差,求各边比值

(4)向量??心的判断

在三角形ABC内存在一点P,使|向量PA|^2+|向量PB|^2+|向量PC|^2最小,则点P是三角形ABC的()心。

(5)

(6)向量

(7)垂心的判断

O为三角形ABC所在平面一点,且/OA/~2+/BC/~2=/OB/~2+/CA/~2=/OC/~2+/AB/~2.试证:AB垂直于OC.

(8)向量共线的一巧解

(9)一三角形形状判断。与均值结合,巧妙的思路。/

在三角形ABC中,已知2√3absinC=a2+b2+c2,试判断三角形的形状

(10)诱导公式解决一正方形内求角,

已知正方形ABCD的边长为1,P,Q分别是AB,AD上的点,求当三角形APQ的周长为2时,角PCQ的大小??怎样做呢???,

我想的有点不一样。

(11)向量坐标范围

(12)一个看似向量的圆的问题。

(13)求角平分线上的向量

14、三角函数知值求值。

cosA*sinB = 1/2 , 求sinA * cosB 的范围。。。

15、外心求参数。

16、换元求最值

若0

17、08重庆文科12题:三角求值域

函数f(x

≤x≤2π)的值域是

(A)[-11

,

44

] (B)[-

11

,

33

]

(C)[-11

,

22

] (D)[-

22

,

33

]

18,知角与对边,求边长最大值

19、构造距离的“线性规划”最大值。

P(x,y)满足|x-1|+|y-a|=1,O为坐标原点,若|向量PO|的最大值的取值范围为[(17^1/2)/2,17^(1/2)],则实数a的取值范围是:(

(20)余弦定理解三角形中的角

(2c-b)tanB=btanA,求角A

(21)

(22)一个外心有关的.

已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,且∠A=A°,若向量AB乘cosB/sinC+向量AC乘

cosC/sinB=2m乘向量AO则m=

(23) 一个点在三角形内部求系数和最值问题。

已知点G是ΔABC的重心,点P是ΔGBC内一点,若向量AP等于λ倍向量AB加μ倍AC,则λ+μ的取值范围(求详解)

(1)叠加法

(2)利用倒序相加思想求和

(4)等差数列的证明;

已知数列an的前n项和为Sn若a1=2,nan+1(角标)=Sn+n(n+1)证明an为等差数列(6)数列公共项(用到二项式展开)

{an}是由数列3的n次方和数列4n+3的公共项构成求an

(7)数列周期性,二项式定理,整除性

(8)等差数列充要条件

已知bn=(1*a1+2*a2+..........+n*an)/(1+2+.......+n),求证,数列{bn}等差的充要条件是数列{an}

等差.

(9)数列最值

a n=9n(n+1)/10n(n∈N*),

(10)数列{bn}满足b1=1,b (n+1)= bn^2+bn,记cn=1/(1+bn ),Sk 为数列{cn}的前k 项

和,Tk 为数列{cn}的前k 项积求证T1/(S1+T1)+T2/(S2+ T2)+T3/(S3+T3)+.。。。+Tn/(Sn+Tn )小于7/10.

(11

(13)有点怪的数列单调性证明,用到函数0点存在定理。

(1)反证法

另外,这题也可以利用M 》|f (1)|,M 》|f (-1)|,M 》|f (0)| (2)322

413

b a b a b -=-<+<3已知a ,b是不等正,且a ,求 类似的一题:

a+b+c=1,2

2

2

3,a b c a b c ++=>>,求证2132

b c -

<+<

(3)不等式恒成立

(4)构造一次函数证明不等式

(5)对数和二次结合的超越不等式恒成立(图像)

(7)0,a b c a b c ++=>>的放缩

(8)用倒和函数单调性求最值(含参)

已知f(x)=a/(1-x)+1/x 的定义域为[0.5 , 0.75],0

实数a,b,c 满足0

(12)三角带换求最值:反带换

(14)二次函数单调性比较大小

脱掉导数的外衣这题的本质是二次函数,

也就是说2

()(1)0g x x b x c =+-+=的两根是12211,1,x x x x x t ->>且 比较2

t bt c ++与1x 的大小。 (15)导数解决超越不等式恒成立 请教大家一个问题

f(x)=x^2+2x+alnx

x>=1时,不等式f(2x-1)>=2f(t)-3恒成立 问a 的取值范围

(16)解含参不等式

(17)不

等式有解求参数范围

已知二次函数f (x) = 2 x 的平方—( a —2)x —2 a 的平方 — a,,若在区间[0, 1]内至少存在一个实数b, 使 f ( b ) > 0, 则实数 a 的取值范围是___________ 此题也可以考虑反面。

(18)均值不等式的使用最容易犯的错误, 举个例子。02x <≤,求21

x x

+

的最小值。

(18)不等式恒成立、能成立对比题目

(19)待定系数法用均值不等式

(20)导数证明数列不等式

已知数列{an}满足Sn=n/2*an(n∈N*),Sn是{an}的前n项的和,a2=1

证明:3/2≤(1+1/2an+1)的an+1次方<2 (中间n+1为下标)

(21)换元法求解指数与二次函数复合的最值

求函数 y=a^(2x)+2a^x-1 (a为非1的正数),在区间 [-1,1] 内函数的最大值为14,求a 值。

(22)利用函数单调性比大小。

(23)均值不等式

正实数x1,x2及函数f(x)满足:4x=[1+ f(x)] /[1- f(x)],且f(x1)+f(x2)=1 ,则f(x1+x2)的最小值为()

(24)转换主元思想,求最值。

(25)均值不等式求最值。有难度。

正实数x1,x2及函数f(x)满足:4x =[1+ f(x)] /[1- f(x)],且f(x1)+f(x2)=1 ,则f(x1+x2)的最小值为( )

(26)主元变换求参数范围

(26)图象法求二次不等式知解求参数问题

(29)构造函数用导数证明数列不等式:

01().1

n n a a a n ->->-2a

已知且不为,求证:a

(30)一类典型的构造等比数列放缩证明不等式 已知数列{an}满足12+12n n n a a a +=

+,15

3

a =,设bn=1/(an-1), (1)证明:数列{bn+1/2}为等比数列,并求其通项公式.(已解决)

(2)证明:a1+a2+a3+ +an

(31)数形结合解决 绝对值不等式难题:

(32)一类常见的待定系数求二次函数范围

f(x)=ax^2+bx+c 若│f(1)│≤1,│f(-1)│≤1,│f(0)│≤1求证:对-1≤x≤1,有│f(x)│≤5/4

(33)数学归纳法证明数列不等式

(34)对数不等式在定义域上恒成立

若函数 ,且y >4对定义域内的x 恒成立,则a 的取值范围是

________________。

(35)均值不等式求最值,需要配系数。

(36)设f(x)=ksinx+1(k 为正实数) ,判断是否存在最小正数a ,使不等式x

a >f (x )在(0,+无穷)上恒成立,请证明你的结论。 这个解法在高考题中也出现过多次了) (

(37)已知动点P(x ,y)满足|x-1|+|y-a|=1,O 为坐标原点,若|向量PO|的最大值的取值

范围为[(17^1/2)/2,17^(1/2)],则实数a 的取值范围是:

(38)

(39)导数解决不等式恒成立。

已知函数f(x)=x 2-alnx 的图象与的图象与直线x=1于点A 、B ,且曲线y=f (x )在点A 处的切线与曲线y=g(x)在B 点处的切线平行。(1)求函数f(x)、g(x)的表达式;(2)设函数h(x)=f(x)-g(x), 求函数h(x)的最小值;(3)若不等式f(x)>=mg(x),在x ∈(0,4)上恒成立,求实数m 的取值范围

(40)二项式定理以及裂项证明数列不等式 a n =(3n )/(3n +2)

求证:Sn=a 1+...+a n >n 2/(n+1)

(41)三个变量的不等式恒成立求参数范围.

kabc/(a +b +c)≤(a +b)^2+(a+b+4c)^2对于任意正数a,b,c 都成立,求k 的取值范围.

(42)06江西压轴题的加强证法:

(43)先猜出最小值,再用切线法证明。

2x y +=,求22x y x y +的最小值.

(49) 知解集求参数范围:

不等式|x+b|(2x+1)≤0的解集为{x|x≤-1/2},则b 的取值范围

(50)二次不等式恰4整数解求参数范围

ax^2-2x+1>0有四个整数解,求实数a 的取值范围

(51)先猜出取等条件去配凑的均值不等式.

含有函数记号“

()f x ”有关问题解法

例1:已知 (

)211x

f x x =++,求()f x . 例2:已知

3311

()f x x x x +=+,求()f x

例3. 已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

例4.已知

y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

例5.一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1

()1

g x x =

-, 求()f x ,()g x . 例6:设

()f x 的定义域为自然数集,且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求

()f x

例7 已知

()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立,且(0)0f ≠,求证

()f x 为偶函数。

例8:奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减,求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取

值范围。

例9:如果()f x =2ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大

例1、已知函数f (x )对任意实数x ,y ,均有f (x +y )=f (x )+f (y ),且当x >0时,f (x )>0,

f (-1)=-2,求f (x )在区间[-2,1]上的值域。

例2、已知函数f (x )对任意

,满足条件f (x )+f (y )=2 + f (x +y ),且当x >0时,f

(x )>2,f (3)=5,求不等式的解。

例3、设函数f (x )的定义域是(-∞,+∞),满足条件:存在,使得

对任何x 和y ,

成立。求:

(1)f (0); (2)对任意值x ,判断f (x )值的正负。

例4、是否存在函数f (x ),使下列三个条件:①f (x )>0,x ∈N ;②

;③f (2)=4。同时成立?若存在,求出f (x )的解析式,如

不存在,说明理由。

例5、设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足,求:

(1)f(1);

(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围。

例6、设函数y=f(x)的反函数是y=g(x)。如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·g (b)是否正确,试说明理由。

例7、己知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:

①当是定义域中的数时,有;

②f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);

③当0<x<2a时,f(x)<0。

试问:(1)f(x)的奇偶性如何?说明理由。

(2)在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由。

例8、已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)·f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当时,。

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;

(3)若,求a的取值范围。

例1. 已知函数的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。

二、求值问题例3. 已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件:①;②

,求f(3),f(9)的值。

三、值域问题

例4. 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,总成立,且存在,

使得,求函数的值域。

四、解析式问题

例5. 设对满足的所有实数x,函数满足,求f(x)的解析式。

五、单调性问题

例6. 设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有

,求证:在R上为增函数。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数对任意不等于零的实数都有

,试判断函数f(x)的奇偶性。

七、对称性问题

例8. 已知函数满足,求的值。

八、网络综合问题

例9. 定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n,总有,且当x>0时,0

(1)判断f(x)的单调性; (2)设

,若

,试确定a 的取值范围。

数列易错题分析

例题选讲

1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题:

例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ,求通项公式a n :(1)S n =5n 2+3n ;(2)S n =n

3-2;

【正解】(1)a n =10n -2; (2) 11 (1)

23 (2)n

n n a n -=?=??≥?

2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件: 例2、求和:(a -1)+(a 2-2)+(a 3-3)+…+(a n -n ) . 【正解】S =(a +(a 2+a 3+…+a n ) -(1+2+3+…+n )

当a =1时,S =

2

2

n n -;当1a ≠时,S =(1)(1)

12

n a a n n a -+--

3、 忽视公比的符号 例3、已知一个等比数列

{}n a 前四项之积为

1

16

,求这个等比数列的公比.

2

610,3q q q -+=∴=

±21015q q q ++=--变式、等比数列}{n a 中,若93-=a ,17-=a ,则5a 的值

(A )是3或-3 (B ) 是3 (C ) 是-3 (D )不存在C 4、缺乏整体求解的意识

例6、一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,求7a 18

例7 (1)设等比数列

{}n a 的全n 项和为n S .若96

32S S S =+,求数列的公比q .

.2

4

3

-

=q 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第(21)题,不少考生的解法同错误解法,根据评分标准而痛

失2分。

例题7 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .

(Ⅰ)若S m ,S m +2,S m +1成等差数列,证明a m ,a m +2,a m +1成等差数列;

(Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题,判断它的真伪,并给出证明. 例题8 已知数列{a n }满足a 1=1,a 2=-13,62212-=+-++n a a a n n n

(Ⅰ)设}{,1n n n n

b a a b 求数列-=+的通项公式; (Ⅱ)求n 为何值时,n a 最小(不需要求n

a 的最小值)

872--=n n b n

当n=8或n=9时

例题9 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称,且f '(1)=0. (Ⅰ)求函数f (x )的表达式;(Ⅱ)设数列{a n }满足条件:a 1∈(1,2),a n +1=f (a n )求证:(a 1- a 2)·(a 3-1)+(a 2- a 3)·(a 4-1)+…+(a n - a n+1)·(a n +2-1)<1

f (x )= x 3-3x 2+3x . b n =1

31

-n b ,

中的应用

一、巧设公差(比)求解方程(组) 例1. 解方程:

例2. 解方程组:

二、巧用等差(比)知识解(证)不等式 例3. (第19届莫斯科奥林匹克数学竞赛题)设

,且,求证:

例4. (第25届IMO )设x ,y ,z 为非负实数,且

,求证:

三、巧用等差(比)数列知识求最值 例5. 已知

,求使

成立的z 的最大、小值。

四、巧用等差(比)数列知识解有关应用问题 例6. 从n 个数

中拿走若干个数,然后将剩下的数任意分成两个部分,

证明:这两部分之和不可能相等。

例7. 桌面上有个杯子,杯子口全部向上,按如下规则对杯子进行操作:第一次任意翻动其中1个杯子,第2次任意翻动其中2个杯子,……,第n 次任意翻动其中的n (n <p )个杯子,每次操作都是把杯口的方向由原来的向上(或向下)改为向下(或向上),求证:翻动100次以后杯口向下的杯子必有偶数个。

症状一 基本问题耗时太多

【表现】对一些有特殊结构的等差(等比)数列基本题,做不对或能做对但耗时太多。如:在等差数列

{}

n a

中,若4

612a a +=,n S 是数列{}n a 前n 项的和,则9S 等于( )A.48B.54C.60D.66参考答案:B

【症结】 这类题目往往要求灵活运用等差(等比)数列的性质求解。 【突破之道】 熟记有关规律:若

{}n a 是等差数列,,,,m n p q N +∈,且m n p q +=+,则有

m n p q

a a a a +=+,特别地,

21(21)n n

S n a -=-

()

n N +∈;又若

{}n a 是等比数列,

,,,m n p q

N +

∈,且m n p q +=+,则有m n p q a a a a ?=?。

例1 已知两个等差数列

{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且7453n n

A

n B n +=

+,则使得

n

n

a b 为整

数的正整数n 的个数是( ) A.2B.3C.4D.5

【解析】 灵活应用等差数列的性质解题,由

745

3

n n A n B n +=+得

21217(21)45

(21)3

n n A n B n ---+=-+而

21(21)n n A n a -=-,21(21)n n B n b -=-,代入上式化简得

127()1

n n a n N b n +=+∈+,易验证当1,2,3,5,11n =时,

n

n

a b 取整数,所以选D 。

症状二 迁移运用能力不强

【表现】 对教材中的内容形式稍加变化的试题不知如何做。如:在数列{}n a 中112,n n a a a cn +==+(c

是常数,1,2,3

n =),且123,,a a a 成公比不为1的等比数列,(1)求c 的值,(2)求

{}n a 的通项n a .

参考答案:(1)c =2 (2)22n

a n n =-+

【症结】 对教材中讨论过的一些基本方法(如叠加法、叠乘法、逆向相加法、错位相减法)等未能实现灵活的迁移、运用。 例2 已知数列{}n a 满足13a =,1(2)n n a a n n --=≥,试求数列的{}n a 的通项n a .

【解析】 由题意有1

3a =,212a a -=,323a a -=,,1(2)n

n a a n n --=≥

把上面n 个式子用叠加法相加得(2)(1)

32

n n n a +-=+

症状三 递推关系题入手难 【表现】对形如“已知1a ,且1n

n a pa q -=+,求通项?n a =”的数列问题不知该如何求解

【症结】 对高考试题中的一些典型数列问题(如差等比数列)缺乏系统的求解方法

【突破之道】 差等比数列是高考数列问题的典型。一阶差等比数列问题解题的关键是找到一个适当常数c ,

{}n a c -为等比数列,如何找到常数c 呢?若常数{}n a 满足1a a =,1n n a pa q +=+,其中,,a p q 为

常数,且

0,1p ≠(因为0,1p =的情形很简单,可直接求通项,此处从略)

。存在常数c ,使{}n a c -为等比数列,其中的参数c 由特征方程c pc q =+给出,从而,可将新问题转化为一个比较简单的问题。

例3 已知数列{}n a 满足1

5a =,126n n a a +=-+,求数列{}n a 的通项n a .

解析 若能注意到12242(2)n n n a a a +-=-+=--,于是可视数列{2}n a -是以首项123a -=,

公比为

2q =-的等比数列,于是利用等比数列的通项公式得123(2)()

n n a n N -+-=?-∈,即

1

23(2)()n n a n N -+=+?-∈.

症状四 缺乏n S 与n a 的辩证思考 【表现】 对以()n

n S f a =或()n n a g S =型给出的递推关系试题不知如何下手,如:设{}n a 是正数组

成的数列,其前n 项和为n S ,并且对于所有的自然数n ,n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项。(1)写出数列

{}

n a 的前3项;(2)求数列

{}

n a 的通项公式(写出推理过程);(3)令

11

1()()2n n n n n a a b n N a a +++=+∈,求12lim()n n b b b n →∞++

+-

参考答案:略

【症结】 对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。 【突破之道】 对于任意数列{}n a 有111,(2)n n n S a S S a n -=-=≥(适用于任意数列的重要关系式),

这表明123()n

n S a a a a n N +=+++

+∈构成了一个新的数列{}n S ,它的通项n S 表示相应数列

{}n a 的前n 项和,它的第一项1S 表示数列{}n a 的第一项1a ,当2n ≥时,数列{}n S 相邻项的差1n n n S S a --=,这就是数列{}n a 与其和数列{}n S 之间的辩证关系。另外,某些特殊数列可以通过适当

的变化(如裂项相消)以后求和。

例4 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >,且6(1)(2)

n n n S a a =++,n N +

∈,

(1)求{}n a 的通项公式;(2)设数列{}n b 满足(2

1)1n

b n a -=,并记n T 为{}n b 的前n 项和,求证:

231log (3)n n T a +>+,n N +∈.

解析 (1)令1n =,得21111632n a a a ==++

解得12a = (注意条件111a S ≡>,舍去11a =);若2n ≥,则由6(1)(2)n n n S a a =++得

1116(1)(2)n n n S a a ---=++,2n ≥两式相减得116(1)(2)(1)(2)n n n n n a a a a a --=++-++,

2n ≥,整理即得

111()()3()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,由题意有0n a >(n N +∈),

13n n a a --=(2n ≥)于是数列{}n a 是以2为首项,3为公差的等差数列,则31n a n =-,(n N +∈)

(2)略。

对于一般数列{}n a ,若已知条件为()n

n S f a =,求通项n a 的方法,除了用“尝试——猜想——探求—

—发现”(最后用数学归纳法严格证明)思维模式外,还有其他的处理方法,由()n

n S f a =首先推出

111()S a f a ≡=,解除11S a ≡的大小,接着常有两个思考方向:

(1) 当2n ≥时,1()n

n n S f S S -=-,问题转化为n S 与1n S -(2n ≥)的关系问题(前面已求出

1S ),求出n S 后,可用11a S =,1n n n a S S -=-(2n ≥)求出数列{}n a 的通项;

(2) 利用递推关系作差技巧,由

()n n S f a =得11()n n S f a --=(2n ≥),而1n n n a S S -≡-(2n ≥),两式相减即得1()()n

n n a f a f a -=-,于是我们就把问题转化为n a 与1n a -之间的

问题了(一般情况下,转化到这一步问题就比较容易解决了)。

数列综合应用问题专题

纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,1.解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题.

一. 典型例题解析:

例1. 已知二次函数y =f (x )在x =2

2+t 处取得最小值-42t (t >0),f (1)=0.(1)求y =f (x )的表达式;

(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1[g (x )]为多项式,n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ; (3)设圆C n 的方程为(x -a n )2+(y -b n )2=r n 2,圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列,记S n 为前n 个圆的面积之和,求r n 、S n .

(1)设f (x )=a (x -2

2+t )2-42

t ,由f (1)=0得a =1.∴f (x )=x 2-(t +2)x +t +1.

(2)将f (x )=(x -1)[x -(t +1)]代入已知得:

(x -1)[x -(t +1)]g (x )+a n x +b n =x n +1,上式对任意的x ∈R 都成立,取x =1和x =t +1分别代入上式得:

?????+=++=++1

)

1()1(1

n n n n n t b a t b a 且t ≠0,解得a n =t 1[(t +1)n +1-1],b n =t t 1+[1-(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x -a n )2+(y -b n )2=r n 2,又由(2)知a n +b n =1,故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上,又圆

C n 与圆C n +1相切,故有r n +r n +1=

2|a n +1-a n |=2(t +1)n

+1

设{r n }的公比为q ,则

?????+=++=+++++2

111)

1(2)

1(2n n n n n n t q r r t q r r

∴S n =π(r 12

+r 22

+…+r n 2

)=3

4

222

1)

2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n [(t +1)2n -1] ②÷①得q =n n r r 1+=t +1,代入①得r n =2

)1(21

+++t t n

[例2]从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据

规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少

5

1

,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4

1

.(1)设n 年内(本年度为第一

年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式;

(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

知识依托:本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

技巧与方法:正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧.

解:(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1-

51)万元,…第n 年投入为800×(1-5

1)n -

1万元,所以,n 年内的总投入为a n =800+800×(1-51)+…+800×(1-51)n -1=∑

=n k 1

800×(1-51)k -

1=4000×

[1-(

5

4)n

] 第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400×(1+

41),…,第n 年旅游业收入400×(1+4

1)n -1

万元.所以,n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k -1=∑

=n k 1

400×(45)k -

1.=1600

×[(

4

5)n

-1] (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,由此b n -a n >0,即:

1600×[(45)n -1]-4000×[1-(54)n ]>0,令x =(54

)n ,代入上式得:5x 2-7x +2>0.解此不等式,得x <52,或x >1(舍去).即(54)n <5

2

,由此得n ≥5.∴至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.

二.专题训练 填空题

① ②

.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)是第一象限的两个点,若1,x 1,x 2,4依次成等差数列,而1,y 1,y 2,8依次成等比数列,则△OP 1P 2的面积是_________.

解析:由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得:2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3.又由1,y 1,y 2,8依次成等比数列,得y 12=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4,

∴P 1(2,2),P 2(3,4).∴21),2,2(OP ==(3,4)∴,5||,22,14862121===+=OP OP 110

2

52221sin ||||2110

2

sin ,10272

2514|

|||cos 21212121212121=???==

∴=∴=

?=

=∴?OP P OP S OP P OP OP OP OP OP P P OP 答案:1

.从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升,然后再用水加满,再倒出b 升,再用水加满;这样倒了n 次,则容器中有纯酒精_________升.解析:第一次容器中有纯酒精a -b 即a (1-

a b )升,第二次有纯酒精a (1-a

b

)-

b a a b

a )

1(-,即a (1-a b )2升,故第n 次有纯酒精a (1-a b )n 升. 答案:a (1-a

b )n

.据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元.

解析:从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项,以7.3%为公比的等比数列,∴a 5=95933(1+7.3%)4≈120000(亿元). 答案:120000

三、解答题

.据有关资料,1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨,占地562.4平方公里,若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨,设环保部门1996年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问:(1)2001年回收废旧物资多少吨?(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?

(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地?

解:设a n 表示第n 年的废旧物资回收量,S n 表示前n 年废旧物资回收总量,则数列{a n }是以10为首项,1+20%为公比的等比数列.

(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)

(2)S 6=2

.01

6.1101%)201(]1%)201[(1066-?=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)∴从1996年到2000年共节约开采矿

石20×99.3≈1986(万吨)

(3)由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨),

∴从1996年到2001年共节约:8

4

10

4.7102.3974.562???≈3 平方公里. 设二次方程n a x 2

-n a +1x+1=0(n ∈N)有两根α和β,且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用n a 表示a 1n +;

11.数列{}n a 中,2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)⑴求数列{}n a 的通项公式;⑵

||||||21n n a a a S +++= ,

n

S ;⑶设

n b =

)

12(1

n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ,是否存在最大的整数m ,使得对任

意*

N n ∈,均有>

n

T 32

m

成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由。 解:(1)由题意,n n n n a a a a -=-+++112,}{n a ∴为等差数列,设公差为d , 由题意得2382-=?+=d d ,n n a n 210)1(28-=--=∴.

(2)若50210≤≥-n n 则,||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时

21281029,2

n n

a a a n n n +-=+++=?=-

6n ≥时,n n a a a a a a S ---+++= 76521

4092)(2

555+-=-=--=n n S S S S S n n 故=

n S 40992

2

+--n n n n 6

5

≥≤n n

(3))1

1

1(21)1(21)12(1+-=+=-=

n n n n a n b n n

∴n T )]1

1

1()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=

n n 若32m T n >对任意*N n ∈成立,即161m n n >

+对任意*

N n ∈成立, )(1*N n n n ∈+ 的最小值是21,,2

116<∴m m ∴的最大整数值是7。 即存在最大整数,7=m 使对任意*

N n ∈,均有.32

m T n >

【例2】将一枚骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次..成等差数列的概率为 ( ) A.1

9

B.

112 C.115

D.

1

18

【例3】在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全

相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )

A .310

B .15

C .110

D .1

12

【例4】8个篮球队中有2个强队,先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛,这两个强队被分在一个组内的概率是多少? 【

【例5】甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为 .(答案用分数表示)

(6)独立重复试验——加法原理与乘法原理的复合

【例6】甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3局2胜”,即以先赢2局者为胜.根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( )

(A1 0.216 (B)0.36 (C)0.432 (D )0.648

【说明】本题虽然属于独立重复试验.的题型,却有不能死套公式.这是因为:如果甲前两局获胜,则无须打第3局.

.

【例7】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的选择相互之间没有影响.

(I )任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率;

(II )任选3名下岗人员,求这3人中至少有2人参加过培养的概率. 三类概率问题的求解策略

对于一个概率题,我们首先要弄清它属于哪一类型的概率,因为不同的类型需要采取不同类型的概率

公式和求解方法;其次,要审清题意,注意问题中的关键语句,因为这些关键语句往往蕴含着解题的思路和方法。

下面略举数例谈谈几种概率应用题的解题技巧和策略。 一、可能性事件概率的求解策略

对于可能性事件的概率问题,除了要用到排列、组合的知识来解决外,还要用到排列、组合的解题思路和方法,同时,在利用概率的古典定义来求可能性事件的概率时,应注意按下列步骤进行:求出基本事件的总个数n;②求出事件A 中包含的基本事件的个数m;③求出事件A 的概率,即n

m A P =

)

(

例1 甲、乙两名学生参加某次英语知识竞赛,该竞赛共有15道不同的题,其中听力题10个,判断题5个,甲乙两名学生依次各抽一题。分别求下列问题的概率:

(1)甲抽到听力题,乙抽到判断题;(2)甲乙两名学生至少有一人抽到听力题。 二、互斥事件概率的求解策略

例2 从12双不同颜色的鞋中任取10只,求至少有一双配对的概率。 三、相互独立事件同时发生的概率的求解策略

例 3 在我军的一场模拟空战演习中,我军甲、乙、丙三名飞行员向同一假想敌机炮击,已知甲乙丙三名飞行员击中敌机的概率分别为0.4、0.5和0.7。(1)求敌机被击中的概率;

(2)若一名飞行员击中,敌机坠毁的概率是0.2,若两名飞行员击中,敌机坠毁的概率是0.6,若三名飞行员击中,则敌机必然坠毁,求敌机坠毁的概率。

458.01)14.06.041.02.036.0)(=?+?+?=A P

概率的计算方法

一、公式法 利用公式

P =(随机事件)

随机事件可能出现的结果数随机事件所有可能出现的结果数

就可以计算随机事件的概率,这里

1=(必然事件)P ,0=(不可能事件)P

,如果A 为不确定事件,那么0<)(A P <1. 例1.中国体育彩票每100万张一组,每张2元,设特等奖1名,奖金30万元;一等奖10名,各奖5万元;二等奖10名,各奖1万元;三等奖100名,各奖100元;四等奖1000名,各奖20元;五等奖10万名,各奖2元.小王花2元买了1张彩票,那么他获奖的概率是多少?他得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖的概率分别是多少?

二、列表法

例2.如果每组3张牌,它们的牌面数字分别是1,2,3,那么从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为几的概率最大?两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少?

1.袋中装有3个红球,1个白球,除颜色外完全相同.

(1)用实验的方法估计,从袋中随机摸出一球,是白球的概率. (2)计算从袋中随机摸出一球,是白球的概率是多少?

(3)实验估计结果与理论概率一致吗?为什么?你认为要得到较为准确的估计值,应注意哪些问题? 2.在摸牌游戏中,每组有三张牌,第一组牌面数字分别是2,3,4,第二组牌面数字分别是3,4,5,从每组牌中各摸出一张牌,两张牌的牌面数字和为几的概率最大?是多少?

3.三张除数字完全相同的纸牌,数字为1,2,3,每次抽取一张为一次实验,多少次实验后汇总下表:

高考数学百大经典例题 曲线和方程(新课标)

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹. 说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性.只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线. 典型例题四 例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点,求k 的取值范围.有一个交点呢?无交点呢? 分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ,即 25 21<--k k ,即21k 时,直线与曲线没有公共点. 说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数 与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析. 典型例题五

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-,则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点,且|AB|=2,αββα-=-)()(f f .

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中,满足唯一性的是 (). A.过直线外一点作与该直线垂直的直线 B.过直线 外一点与该直线平行的平面C.过平面外一点与平面平行的直 线D.过一点作已知平面的垂线分析:本题考查的是空间线线 关系和线面关系,对定义的准确理解是解本题的关键.要注意空间垂直并非一定相关.解:A.过直线外一点作与这条直线垂直的直线,由于并没有强调相交,所以这样的垂线可以作无数条.事实上这无数条直线还在同一个平面内,这个平面为该直线的一个垂面.B.过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行,但可以作无数个平面和该直线平行.C.过此点作平面内任一直线的平行线,这条平行线都平行于平面.所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条..过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条.假设空间点、平面,过点有两条直线、都垂直于,由于、为相交直线,不妨设、所确定的平面为 ,与的交线为,则必有,,又由于、、都在平面内,这样在内经过点就有两条直线和直线垂直,与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾.故选D.说明:有关“唯一性”结论的问题,常用反证法,或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明.在本书中,过一点作已知平面的垂线有且仅有一条,同时,过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个.它们都是“唯一性”命题,在空间作图题中常常用到.典型例题二例2 已知下列命题:(1)若一直线垂直于一个平面的一条斜线,则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影;(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行;(3)若平面外的两条直线,在这个平面上的射影互相垂直,则这两条直线互相垂直;(4)若两条直线互相垂直,且其中的一条平行一个平面,另一条是这个平面的斜线,则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直.上述命题正确的是(). A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(3)、(4) D.(2)、(4)分析:本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用.应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件,同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形.解:(1)已知直线不一定在平面内,所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系; - 1 - 高中数学经典例题讲解(2)平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直,所以它们之间也平行;(3)根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直,但不能进一步说明直线和直线垂直;(4)根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念,不难证明此命题的正确性.故选D.说明:(3)中若一直线与另一直线的射影垂直,则有另一直线必与这一直线的射影垂直.如E、FGBC在

2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2(x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ) 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 , 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 。 34 .( 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35.(20XX 年高考江苏卷试题 14)将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长) 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . (Ⅰ)若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高中数学必修一集合经典习题

集合练习题 一、选择题(每小题5分,计5×12=60分) 1.下列集合中,结果是空集的为() (A)(B) (C)(D) 2.设集合,,则() (A)(B) (C)(D) 3.下列表示①②③④中,正确的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.满足的集合的个数为() (A)6 (B) 7 (C) 8 (D)9 5.若集合、、,满足,,则与之间的关系为() (A)(B)(C)(D) 6.下列集合中,表示方程组的解集的是() (A)(B)(C)(D) 7.设,,若,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 8.已知全集合,,,那么 是() (A)(B)(C)(D) 9.已知集合,则等于() (A)(B) (C)(D) 10.已知集合,,那么() (A)(B)(C)(D) 11.如图所示,,,是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()

(A)(B) (C)(D) 12.设全集,若,, ,则下列结论正确的是() (A)且(B)且 (C)且(D)且 二、填空题(每小题4分,计4×4=16分) 13.已知集合,,则集合 14.用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为 15.设全集,,,则的值为 16.若集合只有一个元素,则实数的值为三、解答题(共计74分) 17.(本小题满分12分)若,求实数的值。 18.(本小题满分12分)设全集合,, ,求,,, 19.(本小题满分12分)设全集,集合与集合,且,求,

20.(本小题满分12分)已知集合 , ,且 ,求实数 的取值范围。 21.(本小题满分12分)已知集合 , , ,求实数的取值范围 22.(本小题满分14分)已知集合 , ,若 ,求实数的取值范围。 已知集合}31{≤≤-=x x A ,},{2A x y x y B ∈==,},2{A x a x y y C ∈+==,若满足B C ?, 求实数a 的取值范围. 已知集合}71{<<=x x A ,集合}521{+<<+=a x a x B ,若满足 }73{<<=x x B A ,求 实数a 的值.

高考数学百大经典例题不等式证明

典型例题一 例1 若10<-(0>a 且1≠a ). 分析1 用作差法来证明.需分为1>a 和10<a 时, 因为 11,110>+<---=x a . (2)当10<+<--=x a . 综合(1)(2)知)1(log )1(log x x a a +>-. 分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法2 作差比较法. 因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg ) 1lg(lg )1lg(+- -= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +--= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +---= 0)1lg(lg 1 2>--= x a , 所以)1(log )1(log x x a a +>-.

说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快. 典型例题二 例2 设0>>b a ,求证:.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式. 证明:b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ,∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步 骤是:判断符号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号) 分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+, 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1) 又:∵ 22 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号) 两边同加2 2 2 2 2 ():2()()a b a b a b ++≥+

高考集合知识点总结与典型例题

集合 一.【课标要求】 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用二.【命题走向】 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体 三.【要点精讲】 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 a∈;若b不是集合A的元素,(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A b?; 记作A (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或 者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;

互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集),记作N ; 正整数集,记作N *或N +; 整数集,记作Z ; 有理数集,记作Q ; 实数集,记作R 。 2.集合的包含关系: (1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ?B (或B A ?); 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ,则称A 等于B ,记作A =B ;若A ?B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作A B ; (2)简单性质:1)A ?A ;2)Φ?A ;3)若A ?B ,B ?C ,则A ?C ;4)若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集); 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ; (2)若S 是一个集合,A ?S ,则,S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集; (3)简单性质:1)S C (S C )=A ;2)S C S=Φ,ΦS C =S 4.交集与并集:

高考数学百大经典例题——不等式解法

典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)(-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 , 0321=-==x x x 顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 (2)原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三

高中数学 典型例题 子集、全集、补集·典型例题 新课标

高中数学新课标典型例题:子集、全集、补集·典型例题 例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}? (2){1,2,3}={3,2,1} (3){0}??≠ (4)0∈{0} (5){0}(6){0} ??∈= 分析 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的,后两个都是错误的. 说明:含元素0的集合非空. 例2 列举集合{1,2,3}的所有子集. 分析 子集中分别含1,2,3三个元素中的0个,1个,2个或者3个. 解含有个元素的子集有:; 0? 含有1个元素的子集有{1},{2},{3}; 含有2个元素的子集有{1,2},{1,3},{2,3}; 含有3个元素的子集有{1,2,3}.共有子集8个. 说明:对于集合,我们把和叫做它的平凡子集.A A ? 例已知,,,,,则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ?? ________. 分析 A 中必含有元素a ,b ,又A 是{a ,b ,c ,d}真子集,所以满足条件的A 有:{a ,b},{a ,b ,c}{a ,b ,d}. 答 共3个. 说明:必须考虑A 中元素受到的所有约束. 例设为全集,集合、,且,则≠ 4 U M N U N M ?? [ ] 分析 作出4图形. 答 选C . 说明:考虑集合之间的关系,用图形解决比较方便.

点击思维 例5 设集合A ={x|x =5-4a +a 2,a ∈R},B ={y|y =4b 2+4b +2,b ∈R},则下列关系式中正确的是 [ ] A A B B A B C A B D A B .=...≠≠ ??? 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题,事实上 x =5-4a +a 2=(2-a)2+1≥1, y =4b 2+4b +2=(2b +1)2+1≥1,所以它们的值域是相同的,因此A =B . 答 选A . 说明:要注意集合中谁是元素. M 与P 的关系是 [ ] A .M =U P B .M =P C M P D M P ..≠?? 分析 可以有多种方法来思考,一是利用逐个验证(排除 )的方法;二是利用补集的性质:M =U N =U (U P)=P ;三是利用画图的方法.

高考数学常见题型汇总(经典资料)

一、函数 1、求定义域(使函数有意义) 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0,a>0且a ≠1 三角形中 060,最小角<60 2、求值域 判别式法 ≥0 不等式法 222113y x x x x x =+ =++≥= 导数法 特殊函数法 换元法 题型: 题型一: 1y x x =+ 法一: 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二:图像法(对(0) b y ax ab x =+>有效

题型二: ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法:函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三: 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式,求出,就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四: 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 1)1,sin()sin()11 化简变形得即又由解不等式,求出,就是要求的答案 y y y y x y x x y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++=++= +≤ 题型五

222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥ 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2) 32,2322,2已知求解:直接令,解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2,函数 -)式相减) 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-。 (1)若()f x 在13x x ==和处取得极值,且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 2 2sin cos t t t -+ t 的取值范围; (2)若()f x 为实数集R 上的单调函数,设点P 的坐标为(),a b ,试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. (1)由()32 1(2)(2)3 f x a x bx a x =- +-+-,则 ()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值,所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02(2)323(2)0 a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-+ ∈恒成立, 而()()2 '21f x x =--+,其最大值为1. 故2 2sin cos 1t t t -+ ≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? (2)当2a =-时,由()f x 在R 上单调,知0b = 当2a ≠-时,由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立,或者()'0f x ≤恒成立. ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-, 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得22 4a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3)((0>a )的图象关于原点对称,))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1.集合 一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…来表示. 2.元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,…来表示. 3.空集 不含任何元素的集合叫做空集,记为?. 知识点二集合与元素的关系 1.属于 如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作a________A. 2.不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1.集合元素的特性 ________、________、________. 2.集合的分类 (1)有限集:含有________元素的集合. (2)无限集:含有________元素的集合. 3.常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N+Z Q R 知识点四集合的表示方法 1.列举法 把集合的元素________________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

2.描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.知识点五集合与集合的关系 1.子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素,我们就 说这两个集合有包含关系,称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B,但存在元素 ________,且________,我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集合A,都有________. (2)任何一个集合A都是它本身的子集,即________. (3)如果A?B,B?C,则________. (4)如果A?B,B?C,则________. 3.集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B),且 ________________,此时, 集合A与集合B中的元素是 一样的,因此,集合A与集 合B相等 A=B 4.集合相等的性质 如果A?B,B?A,则A=B;反之,________________________.

高考数学一轮经典例题 充分条件与必要条件 理

2013年高考数学(理)一轮经典例题——充分条件与必要条件 例1 已知p :x1,x2是方程x2+5x -6=0的两根,q :x1+x2=-5,则p 是q 的 [ ] A .充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换. 解 ∵x1,x2是方程x2+5x -6=0的两根, ∴x1,x2的值分别为1,-6, ∴x1+x2=1-6=-5. 因此选A . 说明:判断命题为假命题可以通过举反例. 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A .p :3x +2>5,q :-2x -3>-5 B .p :a >2,b <2,q :a >b C .p :四边形的两条对角线互相垂直平分,q :四边形是正方形 D .p :a ≠0,q :关于x 的方程ax =1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价. 解 对A .p :x >1,q :x <1,所以,p 是q 的既不充分也不必要条件; 对B .p q 但q p ,p 是q 的充分非必要条件; 对C .p q 且q p ,p 是q 的必要非充分条件; 对.且,即,是的充要条件.选.D p q q p p q p q D ??? 说明:当a =0时,ax =0有无数个解. 例3 若A 是B 成立的充分条件,D 是C 成立的必要条件,C 是B 成立的充要条件,则D 是A 成立的 [ ] A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D . 解 ∵A 是B 的充分条件,∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件,∴C D ② ∵是成立的充要条件,∴③C B C B ? 由①③得A C ④ 由②④得A D .

高考数学典型例题详解

高考数学典型例题详解 奇偶性与单调性 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一,特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (2)=0,解不等式f [log 2(x 2+5x +4)]≥0. ●案例探究 [例1]已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0,设不等式解集为A ,B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=-3x 2+3x -4(x ∈B )的最大值. 命题意图:本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力,属★★★★级题目. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f ”号,转化为x cos 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值. 解:由? ??<<-<

∴x -3>3-x 2,即x 2+x -6>0,解得x >2或x <-3,综上得2f (0)对所有θ∈[0, 2 π ]都成立? 若存在,求出符合条件的所有实数m 的范围,若不存在,说明理由. 命题意图:本题属于探索性问题,主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力,属★★★★★题目. 知识依托:主要依据函数的单调性和奇偶性,利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析:考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法. 技巧与方法:主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解:∵f (x )是R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ), 即cos2θ-3>2m cos θ-4m ,即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t ) =t 2-mt +2m -2=(t - 2 m )2 -4 2 m +2m -2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g (t )在[0,1]上的最小值为正. ∴当 2 m <0,即m <0时,g (0)=2m -2>0?m >1与m <0不符; 当0≤2 m ≤1时,即0≤m ≤2时,g (m )=-42m +2m -2>0 ?4-221,即m >2时,g (1)=m -1>0?m >1.∴m >2 综上,符合题目要求的m 的值存在,其取值范围是m >4-22.

数学百大经典例题-曲线和方程

典型例题一 例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ,的点都在曲线C 上”不正确,那么以下正确的命题是 (A )曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ,. (B )坐标满足方程()0=y x f ,的点有些在C 上,有些不在C 上. (C )坐标满足方程()0=y x f ,的点都不在曲线C 上. (D )一定有不在曲线C 上的点,其坐标满足方程()0=y x f ,. 分析:原命题是错误的,即坐标满足方程()0=y x f ,的点不一定都在曲线C 上,易知答案为D . 典型例题二 例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系. 分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可.其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”,即纯粹性;“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性.这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则. 解:如下图所示,过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ,因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ,所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上.但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上,因此方程1=y 不是直线l 的方程,直线l 只是方程1=y 所表示曲线的一部分. 说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性. 典型例题三 例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系. 分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析. 解:方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等.但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =,例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3,但它不满足方程x y =.因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹.

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