高中阶段常见函数性质汇总
函 数 名 称：常数函数
解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线
定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性
奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性
函 数 名 称：一次函数
解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)
图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓；
当b =0时，函数f (x )的图象过原点；
当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线；
当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线；
定 义 域：R 值 域：R
单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数；
当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；
奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；
反 函 数：有反函数。[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无
函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )=
x
k
(k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的
图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；
双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点；
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞
单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数；
当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增函数；
b
奇 偶 性：奇函数
反 函 数：原函数本身 周 期 性：无
函 数 名 称：变式型反比例函数 解析式 形 式：f (x )=
d
cx b
ax ++ (c ≠0且 d ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与直线c
a y =
、直线c d
x -=相交，当k>0时，函数f (x )的图象分
别在直线c
a y =
与直线c d
x -=形成的左下与右上部分；当k<0时，函数f (x )的图象分别
在直线c
a y =与直线c d
x -=形成的左上与右下部分；
双曲线型曲线，直线c
a y =与直线c d
x -=分别是曲线的两条渐近线；
图象成中心对称图形，对称中心为点,(c
a
c d -；
图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为
d a x y ++=、d
a x y -+-=；
个单位得
定 义 域：),(),(+∞--
-∞c c 值 域：),(),
(+∞-∞c
a
c a
单 调 性：当0>-ad bc 时，函数在),(c d --∞和),(+∞-c
d
上均为减函数； 当0<-ad bc 时，函数在),(c d --∞和),(+∞-c
d
上均为增函数； 奇 偶 性：非奇非偶函数 反 函 数：a
cx b dx y -+-=
周 期 性：无a
b x 2-=
函 数 名 称：二次函数
解析式 形 式：一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f
顶点式：)0()()(2
≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f
图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为a
b
x 2-
=，顶点坐标为)44,2(2a
b a
c a b --或),(h k ，与y 轴的交点为),0(c ； ②当0>a 时，抛物线的开口向上，此时函数图象有最低点)44,2(2
a b ac a b --；当0 a b a c a b --； ③当042 >-=?ac b 时，函数图象与x 轴有两个交点，当042 =-=?ac b 时，函数图象 与x 轴有一个交点，当042 <-=?ac b 时，函数图象与x 轴没有交点； ④横坐标关于对称轴对称时，纵坐标相等；当0>a 时，横坐标距对称轴近则函数值小，当0 ⑤函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 均可由函数)0()(2 ≠=a ax x f 平移得到； 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为),44( 2+∞-a b ac ；当0 a b ac --∞ 单 调 性：当0>a 时，]2,(a b - -∞上为减函数，),2[+∞-a b 上为增函数； 当0 b --∞上为增函数； 奇 偶 性：当0=b 时，函数为偶函数；当0≠b 时，函数为非奇非偶函数 反 函 数：定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数 周 期 性：无 函 数 名 称：指数函数 解析式 形 式：)1,0()(≠>=a a a x f x 图象及其性质：①函数图象恒过点)1,0(，与x 轴不相 交，只是无限靠近； c bx ++ )1 f (x )=a x ②函数x a x f =)(与x x a a x f -==)1()(的图象关于y 轴对称； ③当1>a 时，y 轴以左的图象夹在在直线1=y 与x 轴之间，y 轴以右的图象在直线1=y 以上；当10< =y 与x 轴之间； ④第一象限内，底数大，图象在上方； 定 义 域：R 值 域：),0(+∞ 单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0 反 函 数：对数函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 周 期 性：无 函 数 名 称：对数函数 解析式 形 式：)1,0(log )(≠>=a a x x f a 图象及其性质：①函数图象恒过点)0,1(，与y 轴不相交，只是无限 靠近； ②函数x x f a log )(=与x x x f a a log log )(1-==的 图象关于x 轴对称； ③当1>a 时，x 轴以下的图象夹在在直线1=x 与y 轴之间，x 轴以上的图象在直线1=x 以右；当10< ④第一象限内，底数大，图象在右方； 定 义 域：R 值 域：),0(+∞ 单 调 性：当0>a 时，函数为增函数；当0 反 函 数：指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 周 期 性：无 函 数 名 称：对钩函数 x y O f (x )=)1(lo g >a x a f (x )=) 10(log < 解析式 形 式：x x x f 1)(+ = 图象及其性质：①函数图象与y 轴及直线x y =不相交，只是无限靠近； ②当0>x 时，函数)(x f y =有最低点)2,1(，即当1=x 时函数取得最小值2)1(=f ； ③当0 2)1(-=-f ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域： ),2[]2,(+∞--∞ 单 调 性：在]1,(--∞和),1[+∞上函数为增函数；在)0,1[-和]1,0(上函数为减函数； 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：定义域内无反函数 周 期 性：无 2．3函数单调性（考点疏理+典型例题+练习题和解析）2．3函数单调性 【典型例题】 例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( D) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．1 2 a < 提示：2a -1<0时该函数是R 上的减函数. (2)函数2 ([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( A ) A ．0b ≥ B ．0b ≤ C ．0b > D ．0b < 提示：考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象 (3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数，,a b R ∈且0a b +≤，则下列表达正确的是（ D ） A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+ B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+- C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+ D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+- 提示：0a b +≤可转化为a b ≤-和b a ≤-在利用函数单调性可得. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数()y f x = 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数y = 的单调减区间是(,3]-∞- 提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间 （1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++ 解：(1)2221(0)21(0)x x x y x x x ?-++≥?=?--+ (1)2(0) (1)2(0) x x y x x ?--+≥?=?-++ （2）当2230,13x x x -++≥-≤≤得，函数2223(1)4y x x x =-++=--+ 当2230,13x x x x -++<<->得或，函数2223(1)4y x x x =--=-- 即2 2 (1)4(13)(1)4(13) x x y x x x ?--+-≤≤?=?--<->??或 如图所示，单调增区间为[1,1][3,]-+∞和，单调减区间为(,1][1,3]-∞-和 (1) (2) 例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数． 证明：设1212,x x R x x ∈<且 则33 2 2 1221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++ 12x x <因为 210x x ->所以，且在 1x 与 2x 中至少有一个不为0， 不妨设 20x ≠，那么22 22 22121123()24 x x x x x x x ++=+ +0>，12()()f x f x >所以 故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数 例 4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ?=+，且当0>x 时， 1)(0< （1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ； （3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ?->，求x 的范围。 解：(1)取m=0，n= 12则11(0)()(0)22f f f += ，因为1 ()02 f > 所以(0)1f = (2)设0x <则0x -> 由条件可知()f x o -> 又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=-> ，所以()0f x > ∴R x ∈时，恒有0)(>x f （3）设12x x <则 121211()()()()f x f x f x f x x x -=--+ =1211()()()f x f x x f x -- =121()[1()]f x f x x -- 因为12x x <所以210x x ->所以21()1f x x -<即211()0f x x --> 又因为1()0f x >，所以121()[1()]0f x f x x --> 所以12()()0f x f x ->，即该函数在R 上是减函数. (4) 因为()(2)1f x f x ?->，所以2()(2)(2)(0)f x f x f x x f ?-=-> 所以220x x -<，所以20x x x ><的范围为或 【课内练习】 1．下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( D ). A ．32y x =-+ B ． 3 y x = C ． 245y x x =-+ D ． 23810y x x =+- 提示：根据函数的图象. 2.函数 y =的增区间是（ A ）. A ． [-3,-1] B ． [-1,1] C ． (,3)-∞- D ． [1,)-+∞ 提示：注意函数的定义域. 3. 2()2(1)2f x x a x =+-+在 (,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ A ）. A ． 3a ≤- B ． 3a ≥- C ． 5a ≤ D ． 3a ≥ 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点. 4．若函数()f x 在区间[a ,b]上具有单调性，且()()0f a f b < ,则方程()0f x =在区间[a ，b]上（D ）A ．至少有一个实数根 B ．至多有一个实数根 C ．没有实数根 D ．必有唯一的实数根 提示:借助熟悉的函数图象可得. 5. 函数2610y x x =--+ 的单调增区间是__(,3]-∞-__，单调减区间___[3,)-+∞___。 提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴. 6．若2()23f x x mx =-+当 [2,)x ∈-+∞时是增函数,当(,2]x ∈-∞-时是减函数,则 (1)f =13 提示：由题可知二次函数的对称轴是2x =-可求出m 的值. 7．已知()f x 在定义域内是减函数，且()f x >0，在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ②③ ①()y a f x =+（为常数）；②()y a f x =-（a 为常数）；③ 1 () y f x =；④ 2[()]y f x =． 提示：借助复合函数的单调性. 8．函数(1) ()log [0,1]x x a f x a +=+在上的最大和最小值的和为a ，则a =1 2 提示：()f x 是[0,1]上的增函数或减函数,故(0)(1)f f a +=，可求得a =1 2 9．设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调增函数，满足()()(),(3)1f xy f x f y f =+= 求：（1）f （1）；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围. 解:(1) 令1x y ==可得(1)0f = (2)又2=1+1=(3)(3)(9)f f f += 由()(8)2f x f x +-≤,可得[(8)](9)f x x f -≤ 因为()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数, 所以有0x >且80x ->且(8)9x x -≤，解得：89x <≤ 10．求证:函数()(0)a f x x a x =+>在)+∞上是增函数. 证明:设12x x >> 12()()f x f x -=1212()()a a x x x x +-+1212()(1)a x x x x =-- 121212 ()()x x a x x x x -=- 当12x x >>120x x -> ,120x x >, 12x x a >，所以12()()0f x f x -> 所以函数()(0)a f x x a x =+>在)+∞上是增函数. 2．4 函数的奇偶性（考点疏理+典型例题+练习题和解析） 【典型例题】 例1．（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A ） ①偶函数的图象一定与y 轴相交；②函数()f x 为奇函数的充要条件是(0)0f =；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 提示：①不对，如函数21 ()f x x = 是偶函数，但其图象与y 轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕，答 案为A ． （2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［1,2a a -］，则（ ） A ．3 1 = a ， b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 提示：由2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，得b ＝0． 又定义域为［1,2a a -］，∴ (1)20a a -+=，∴31 = a ．故答案为A ． （3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2 ()2f x x x =-，则()f x ）在R 上的 表达式是（ ） A ．(2)y x x =- B ．(||2)y x x =+ C ．||(2)y x x =- D ．(||2)y x x =- 提示：由0x ≥时，2 ()2f x x x =-，()f x 是定义在R 上的奇函数得： 当x ＜0时，0x ->，2()()(2)(2)f x f x x x x x =--=-+=-- ∴(2)(0)()(2)(0)x x x f x x x x ≥?? -=--，即()(||2)f x x x =-，答案为D ． （4）已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，那么f （2）等于26- 提示：53 ()8f x x ax bx +=++为奇函数，(2)818f -+=，∴(2)818f +=-，∴(2)26f =-． （5）已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，若1 1 )()(-= +x x g x f ，则()f x 的解析式为 提示：由()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，可得1 1 )()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，得： 21111 ()()1211 f x x x x +==----， ∴11)(2-=x x f 例2．判断下列函数的奇偶性： （1 ）()(f x x =- (2)()f x （3）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（4）22 (0)()(0)x x x f x x x x ?+??． 解：（1）由 101x x +≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数． (2) 2 22101110 x x x x ?-≥??=?=±?-≥??，∴ ()0f x = ∴()f x 既是奇函数又是偶函数． （3）由2 210|2|20 x x ?->??--≠??得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22 lg(1) ()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222 lg[1()]lg(1) ()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数 （4）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-， 当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-， 综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数． 例3．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，试解关于a 的不等式： 2(2)(4)0f a f a -+-<． 解：由已知得2(2)(4)f a f a -<-- 因f(x)是奇函数，故 22(4)(4)f a f a --=-，于是2(2)(4)f a f a -<-． 又()f x 是定义在（-1，1）上的增函数，从而 2 2322412113 2141a a a a a a a a a ??-<<-<-?? -<- 即不等式的解集是2)． 例4．已知定义在R 上的函数()f x 对任意实数x 、y ，恒有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <，又2 (1)3 f =-． （1）求证：()f x 为奇函数；（2）求证：()f x 在R 上是减函数；（3）求()f x 在[3-，6]上的最大值与最小值． （1）证明：令0x y ==，可得 (0)(0)(00)(0)f f f f +=+=，从而，f(0) = 0． 令y x =-，可得 ()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，即()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数． （2）证明：设12,x x ∈R ，且12x x >，则120x x ->，于是12()0f x x -<．从而 121222122212()()[()]()()()()()0f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+-=-< 所以，()f x 为减函数． （3）解：由（2）知，所求函数的最大值为(3)f -，最小值为(6)f ． (3)(3)[(2)(1)][2(1)(1)]3(1)2f f f f f f f -=-=-+=-+=-= (6)(6)[(3)(3)]4f f f f =--=--+-=- 于是，()f x 在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4． 【课内练习】 1．下列命题中，真命题是（ C ） A ．函数1 y x = 是奇函数，且在定义域内为减函数 B ．函数30 (1)y x x =-是奇函数，且在定义域内为增函数 C ．函数2 y x =是偶函数，且在（-3，0）上为减函数 D ．函数2 (0)y ax c ac =+≠是偶函数，且在（0，2）上为增函数 提示：A 中，1 y x = 在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当0a <时，2(0)y ax c ac =+≠在（0，2）上为减函数，答案为C ． 2． 若)(x ?，()g x 都是奇函数，()()()2f x a x bg x ?=++在（0，＋∞）上有最大值5，则()f x 在（－ ∞，0）上有（ ） A ．最小值－5 B ．最大值－5 C ．最小值－1 D ．最大值－3 提示：)(x ?、()g x 为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-?为奇函数． 又()f x 有最大值5， ∴－2在（0，＋∞）上有最大值3． ∴()f x －2在(,0)-∞上有最小值－3，∴()f x 在(,0)-∞上有最小值－1．答案为C ． 3．定义在R 上的奇函数()f x 在（0，+∞）上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（A ） A ．（－3，0）∪（0，3） B ．（－∞，－3）∪（3，+∞） C ．（－3，0）∪（3，+∞） D ．（－∞，－3）∪（0，3） 提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解．答案为A ． 4.已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在［0，2］上是单调减函数，则（A ） A.(0)(1)(2)f f f <-< B. (1)(0)(2)f f f -<< C. (1)(2)(0)f f f -<< D. (2)(1)(0)f f f <-< 提示：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴()f x 在［－2，0］上单调递减. ∵()y f x =是偶函数，∴()f x 在［0，2］上单调递增. 又(1)(1)f f -=，故应选A. 5．已知()f x 奇函数，当x ∈（0，1）时，()f x =lg x +11，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是lg(1)x -． 提示：当x ∈（－1，0）时，x -∈（0，1），∴1 ()()lg lg(1)1f x f x x x =--=-=--． 6．已知x a x a x f -+-=2log )(3是奇函数，则2007a ＋2007a = 2008． 提示： 3 2(0)log 0a f a -==，21a a -=，解得：1a =，经检验适合，200720072008a a +=． 7．若()f x 是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，()1f x x =-，则(1)0f x - <的解集是{|02}x x << 提示：偶函数的图象关于y 轴对称，先作出()f x 的图象，由图可知()0f x <的解集为{|11}x x -<<，∴(1)0f x -<的解集为{|02}x x <<. 8．试判断下列函数的奇偶性： （1）()|2||2|f x x x =++-； （2）3 31)(2 -+-=x x x f ； （3）0)1(| |)(-= x x x x f ． 解：（1）函数的定义域为R ，()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=， 故()f x 为偶函数． （2）由210|3|30x x ?-≥?+-≠? 得：110x x -≤≤≠且，定义域为[1,0)(0,1]- ，关于原点对称， ()f x ==()()f x f x -==-，故()f x 为奇函数． （3）函数的定义域为(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函 数． 9．已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，若(3)f a -=，用a 表示(12)f ． 解：显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中， 令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-， 令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． ∵(3)f a -=， ∴(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-． 10．已知函数21 ()(,,)ax f x a b c Z bx c += ∈+是奇函数，又，(1)2f =，(2)3f <，求a 、b 、c 的值. 解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+ ∴c=0. 又(1)2f =，得12a b +=， 而(2)3f <，得 41 31 a a +<+，解得12a -<<. 又a Z ∈，∴0a =或1a =. 若0a =，则b=1 2 Z =?，应舍去； 若1a =，则b=1∈Z. ∴1,1,0a b c ===. 2．5 映射的概念、指数函数作业本A 、B 卷 （练习题和解析） A 组 1．在M 到N 的映射中，下列说法正确的是（ D ） A ．M 中有两个不同的元素对应的象必不相同 B ．N 中有两个不同的元素的原象可能相同 C ．N 中的每一个元素都有原象 D ．N 中的某一个元素的原象可能不只一个 提示：M 中两个不同的元素对应的象可以相同， N 中的元素可以没有原象．答案为D ． 2．函数2(33)x y a a a =-+?是指数函数，则有（ C ）. A ．1a =或2a = B ．1a = C ．2a = D ．0a >且1a ≠ 提示：233101a a a a ?-+=? >??≠? 得：2a =，答案为C ． 3．已知213 33211 (),2,()22 a b c -===，则下列关系中正确的是（ D ） A a b c << B c a b << C a c b << D 提示：3 21()2 b =，有1()2x y =在R 上为减函数知b a c <<，答案为D ． 4．(2)x y a =-在定义域内是减函数，则a 的取值范围是（1，2） 提示：由021a <-<解得：12a << 5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a = 提示：若01a <<，则11a a --=，即210a a +-= ，解得：a a = =． 若1a >，则11a a --=即210a a --= ，解得：a a ． 综上所述；a =． 6.比较下列个组数的大小： （1）0.50.5与0.40.6；（2）0.80.45 1.51 4,8,()2 -. 解：（1）∵ 0.50.50.50.6<且0.50.40.60.6<， ∴ 0.50.5<0.40.6. （2）0.8 1.642=， 1.350.4582=， 1.5 1.51()22-= ∵ 1.6 1.5 1.35222>>，∴ 0.8 1.50.451 4()82 ->> 7.求函数2 21()3 x x y -=的值域及单调区间. 解：①令222(1)1t x x x =-=--，则1t ≥-，1()3t y =， 111 0()()33 t -<≤,即03y <≤ ∴ 函数y 的值域为(0,3]. ②函数1()3 t y =在R 上为减函数， 当1x ≥时，2(1)1t x =--为增函数，当1x ≤时，2(1)1t x =--为减函数 ∴ 所给函数的增区间为(,1]-∞，减区间为[1,)+∞. 8．已知函数2()f x x bx c =++的对称轴为直线1x =-，且(0)3f =，比较()()x x f b f a 与的大小． 解：由题意：1 2(0)3 b f c ?-=-???==?，∴ 2,3b c ==， ∴2()23f x x x =++，()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当0x <时，230x x >>，则(2)(3)x x f f >； 当0x =时，231x x ==，则(2)(3)x x f f =； 当0x >时，023x x <<，则(2)(3)x x f f <． B 组 1．设21 ()2521,x x f x -=-?+它的最小值是（ ） A ．2 1- B ．3- B ．169- D ．0 提示：设2(0)x t t =>，得225 591()2 4 16y t t t =-+=-- ，当54t =时，min 916 y =-． 2．下列f ：M →N 的对应关系中,不是映射的是（C ） A ．M={α|090α?≤≤?} ，N=[0,1]，f ：取正弦． B ．M={α|090α?≤≤?}，N=[－1,1]，f ：取余弦． C ．M={0,1,2}，N={0, 1, 1 2 }，f ：取倒数． D ．M ={－3,－2,－1,2,3}，N={1,4,9,16}，f ：取平方． 提示：C 中，0没有象． 3.函数23--=x y 的单调递增区间是（ D ） A 、),(+∞-∞ B 、]0,(-∞ C 、),2(+∞ D 、]2,(-∞ 提示：|2|1 ()3 x y -=,|2|t x =-的减区间]2,(-∞就是所给函数的增区间.答案为D ． 4．设01a <<，使不等式2 2 21 35 x x x x a a -+-+>成立的x 的集合是{|4}x x < 提示：∵ 01a <<，∴ 原不等式可以化为：2221x x x -+<，解得4x <． 5．若M={－1,0,1} N={－2,－1,0,1,2}从M 到N 的映射满足：对每个x ∈M 恒使x + ()f x 是偶数, 则映射f 有_12__个． 提示：M 中的元素a 与其在N 中的象b 的和为偶数，故a 为偶数时，b 为偶数，a 为奇数时，b 为奇数，故符合条件的映射的个数为23212??=（个） 6．已知910390x x -?+≤，求函数111()4()242 x x y -=-?+的最大值和最小值． 解 ：由910390x x -?+≤得：(31)(39)0x x --≤，解得：139x ≤≤, ∴ 02x ≤≤ 令1()2x t =，则114t ≤≤, 221 4424()12y t t t =-+=-+ 当1 2 t =时，min 1y =，此时，1x =；当1t =时，max 2y =，此时，0x =． 7.若0,0a b >>，且a b c +=， 求证：(1)当1r >时，r r r a b c +< ；(2)当1r <时，r r r a b c +> . 证明：∵ 0,0a b >>，且a+b=c ，∴ 1a b c c +=， ∴10,10<<< ()()r r r r r a b a b c c c +=+， （1）当1r >时，1=+ ? ??+??? ??c b c a c b c a r r ，所以r r r a b c +<； （2）当1r <时，1=+>?? ? ??+??? ??c b c a c b c a r r ，所以r r r a b c +>. 8.（1）已知m x f x +-= 1 32 )(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|31x -｜＝k 无解？有一解？有两解？ 解:（1）由()()0f x f x +- =得：22 03131x x m m -+++=--,1313113x x x m =--=-- （2）当0k <时，直线y k =与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解； 当0k =或1k ≥时, 直线y k =与函数|13|-=x y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当01k <<时, 直线y k =与函数|13|-=x y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解. 8． 高中数学函数常用函数图形及其基本性质 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 常见函数性质汇总 常数函数f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴） 的直线 一次函数f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时，当k<0时 奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反函数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周期性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第 一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k>0时；当k<0时 奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无 x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个— —⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图）f (x )= d cx b ax ++(c ≠0且d ≠0) （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2≠++=a c bx ax x f 关系)0()(2≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0a 时；当0 一、配方法 例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值． 解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ． 二、判别式法 对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值． 解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ． 因此 4 5 max = y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ． 同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ． 注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法 例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ． 因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y 专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函 数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学常见函数图像1. 2.对数函数： 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 课题：对数函数及其性质（一） 课 型：新授课 教学目标： 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题. 教学重点：对数函数的图象和性质 教学难点：对数函数的图象和性质及应用 教学过程： 一、复习准备： 1. 画出2x y =、1 ()2 x y =的图像，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 2. 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系log P =， 生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数） 二、讲授新课： 1.教学对数函数的图象和性质： ① 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function). 自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） ② 辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数， 而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 0(>a ，且)1≠a ． ③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． ④ 练习：同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x = ⑤ 讨论：根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 列表归纳：分类 → 图象 → 由图象观察（定义域、值域、单调性、定点） 引申：图象的分布规律？ 2、总结出的表格 函数的基本性质【教学目标】 【教学重点】 函数的基本性质及应用 【教学难点】 函数关系的建立、用函数的性质解决简单的实际问题与领悟数学思想方法。 【教学过程】： 一．知识整理 1．基本思想 （1）函数主要研究两个变量的相互联系，故涉及到两个变量的相互作用、相互影响的问题，大多可用函数的观点来解决。 （2）研究函数的主要途径是函数的图象和基本性质（以图象说明性质）。 2.主要问题： （1）函数图象的基本作法：a.分段 b.平移 c.对称 d.伸缩 （2）函数单调性的求法：a.图象 b.单调运算 c.复合函数 d.定义 （3）函数最值（或范围）的求法：a.图象 b.单调性 c.不等式 d.复合函数 e.换元 f.数形结合 （4）反函数求法：①解出x =φ(y)，②调换x,y, ③写出反函数定义域 3.函数的基本性质 函数定义：在某个变化过程中有两个变量x,y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与之对应，那么y就是x函数，记作y = f (x)，x∈D，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x 的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 函数的相等：定义域相同，对应法则相同 函数图象：以自变量x的值为横坐标，与x的值对应的y的值为纵坐标所构成的点集，即{(x,y)|y = f (x), x∈D} a.定义域：自变量x的取值范围；亦为函数图象上点的横坐标的集合 b.值域：因变量y的取值范围；亦为函数图象上点的纵坐标的集合 c.奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)= f(a)，则称函数 f(x)为偶函数； 如果对于函数f(x)的定义域D内的任意实数a，都有f(-a)=-f(a)，则称函数f(x) 为奇函数； 高中数学平面直角坐标系下的图形变换及常用方法 摘要：高中数学新教材中介绍了基本函数图像，如指数函数，对数函数等图像等。而在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其他的图像，要让学生理解并掌握图形变换方法。 高中数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，高中生是最需要培养的能力之一就是作图解图能力，就是根据给定图形能否提炼出更多有用信息；反之，根据已知条件能否画出准确图形。图是数学的生命线，能不能用图支撑思维活动是学好初等数学的关键之一；函数图像也是研究函数性质、方程、不等式的重要工具。 提高学生在数学知识的学习中对图形、图像的认知水平，是中学数学教学的主要任务之一，教师在教学过程中应该确立以下教学目标：一方面，要求学生通过对数学教材中基本的图形和图象的学习，建立起关于图形、图象较为系统的知识结构；培养和提高学生认识、研究和解决有关图形和图像问题的能力。为达到这一目标，教师应在教学中让学生理解并掌握图形变换的思想及其常用变换方法。 函数图形的变换，其实质是用图像形式表示的一个函数变化到另一个函数。与之对应的两个函数的解析式之间有何关系？这就是函数图像变换与解析式变换之间的一种动态的对应关系。在更多的数学问题中，需要将这些基本图像通过适当的图形变换方式转化成其它图像，要让学生理解并掌握图像变换方法。 常用的图形变换方法包括以下三种：缩放法、对称性法、平移法。 1.图形变换中的缩放法 缩放法也是图形变换中的基本方法，是蒋某基本图形进行放大或缩小，从而产生新图形的过程。若某曲线的方程F （x ，y ）=0可化为f （ax ，by ）=0（a ，b 不同时为0）的形式，那么F （x ，y ）=0的曲线可由f （x ，y ）=0的曲线上所有点的横坐标变为原来的1/a 倍，同时将纵坐标变为原来的1/b 倍后而得。 （1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； （2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵 坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a 倍得到． ①y=f(x)ω?→x y=f(ω x );② y=f(x)ω?→y y=ωf(x). 缩放法的典型应用是在高中数学课本（三角函数部分）介绍函数)s i n (?ω+=x A y 的图像的相关知识时，课本重点分析了由函数y=sinx 的图像通 函数的概念与性质 【知识要点】 1.函数的概念及函数的三要素 2.怎么判断函数的单调性 3.怎么判断函数的奇偶性 【典型例题】 例1．求下列函数的解析式，并注明定义域． （1）若x x x f 2)1(+=-，求)(x f ． （2）若31 )1(44-+=+x x x x f ，求)(x f ． 例2.求下列函数的值域． （1）)1(1 3 2≥++=x x x y （2）1)(--=x x x f （3）232--=x x y （4）246 (),[1,4]1 x x f x x x ++= ∈+ 例3.已知函数f （x ）=m （x +x 1）的图象与函数h （x ）=41（x +x 1 ）+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求m 的值； （2）若g （x ）=f （x ）+ x a 4在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围. 例4．判断下列函数的奇偶性 （1）334)(2-+-=x x x f （2）x x x x f -+?-=11)1()( 例5．设定义在[-2，2]上的偶函数，)(x f 在区间[0，2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，求实为数m 的取值范围。 例6．已知函数f （x ）=x + x p +m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 例7．（2005年北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ， 有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值； （2）判断f （x ）的奇偶性并证明； （3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围. 高中数学常见函数图像 1.指数函数： 定义 函数 (0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R 上是增函数 在R 上是减函数 2.对数函数： 定义 函数 log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数 图象 1a > 01a << 定义域 (0,)+∞ 值域 R 过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数 x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y =x y O (1,0) 1 x =log a y x =x y O (1,0) 1 x =log a y x = 3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴． 4. 函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ? ?++??? ? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 竞赛讲义：函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。. 例题： 1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2 3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立， 若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________. 5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c 6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有 两个实数根，求证：a ＞4. 7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥ 21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1 x 4x 2-=++++++ 9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求 41[f ⑷＋f(0)]的值 10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2 1 高中常用函数性质及图像 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ） (3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴 3、一次函数及性质 一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（- k b ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） 高中数学必修 第二章 函数 1.函数的有关概念 (1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法： （1）)(x f 为整式型函数时，定义域为R ； （2）)(x f 为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）)(x f 为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （4）)(x f 为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合； （5）若)(x f 是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。 3．增函数、减函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，则都有： (1)f (x )在区间D 上是增函数?f (x 1)＜f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数?f (x 1)＞f (x 2)． 4.利用定义法判断函数单调性的步骤： （1）取值：在指定区间上任取)(,,122121x x x x x x <<或且令； （2）作差：将)]()()[()(1221x f x f x f x f --或进行化简变形，变形的方向应有利于判断)()(21x f x f - )]()([12x f x f -或的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化等； （3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定)]()()[()(1221x f x f x f x f --或的符号； （4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。 复合函数单调性的确定： “同增异减”. 5．函数的奇偶性 （1）一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f --=，那么函数)(x f 就叫做奇函数；奇函数的图象关于)0,0(对称；0)0(=f 高中阶段常见函数性质汇总 函 数 名 称：常数函数 解析式 形 式：f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 定 义 域：R 值 域：{b} 单 调 性：没有单调性 奇 偶 性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数] 反 函 数：无反函数 周 期 性：无周期性 函 数 名 称：一次函数 解析式 形 式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 图象及其性质：直线型图象。|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 当b =0时，函数f (x )的图象过原点； 当b =0且k =1时，函数f (x )的图象为一、三象限角平分线； 当b =0且k =-1时，函数f (x )的图象为二、四象限角平分线； 定 义 域：R 值 域：R 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数； 当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数； 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周 期 性：无 函 数 名 称：反比例函数 解析式 形 式：f (x )= x k (k ≠0) 图象及其性质：图象分为两部分，均不与坐标轴相交，当k>0时，函数f (x )的 图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 图象成中心对称图形，对称中心为原点； 图象成轴对称图形，对称轴有两条，分别为y =x 、y =-x ； 定 义 域：),0()0,(+∞-∞Y 值 域：),0()0,(+∞-∞Y 单 调 性：当k>0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的减函数； 当k<0时，函数f (x )为)0,(-∞和),0(+∞上的增 函数； 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 b 高一数学函数知识点归纳_高一数学函数的性质 同学们升入高中，有没有感觉到高中的数学不再像初中数学那样简单易懂了?高中的数学知识点非常多，同学们要学会对知识点进行总结归纳，下面小编给大家准备了高一数学函数知识点归纳，希望能帮助到大家。 高一数学函数知识点归纳 1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。 2、函数定义域的解题思路： ⑴若x处于分母位置，则分母x不能为0。 ⑵偶次方根的被开方数不小于0。 ⑶对数式的真数必须大于0。 ⑷指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。 ⑸指数为0时，底数不得为0。 ⑹如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。 ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。 3、相同函数 ⑴表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。 ⑵定义域一致，对应法则一致。 4、函数值域的求法 ⑴观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。 ⑵图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。 ⑶配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。 ⑷代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。 5、函数图像的变换 ⑴平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。 ⑵伸缩变换：在x前加上系数。 ⑶对称变换：高中阶段不作要求。 6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A 中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合A到集合B的映射。 ⑴集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 ⑵集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。 ⑶不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 7、分段函数 ⑴在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。 ⑵各部分自变量和函数值的取值范围不同。 ⑶分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。 8、复合函数：如果(u∈M)，u=g(x) (x∈A),则，y=f[g(x)]=F(x) (x∈A)，称为f、g 的复合函数。 高一数学函数的性质 1、函数的局部性质——单调性 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量 x1、x2，当x1< x2时，都有f(x1)f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是 函数y=f(x)的单调递减区间。 ⑴函数区间单调性的判断思路 ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1< x2。 常见函数性质汇总 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓； 图象及其性质：直线型图象。b=0；k>0；k<0 定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时， 当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数。K=±1、b=0的时候 周 期 性：无 补充：一次函数与其它函数之间的lianxi 1、与一元一次函数之间的联系 2、与曲线函数的联合运用 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限； 当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 周 期 性：无 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，李永二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0) x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b x y O f (x )=x k y f (x )= d cx b ax ++ 《函数》知识要点和基本方法 1.映射定义：设非空集合A,B ，若对集合A 中任一元素a ，在集合B 中有唯一元素b 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射。若集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到B 可建立n m 个映射。 2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B 上的映射f 。此时称数集A 为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x ∈A}为值域，且C ?B 。 3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。 相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。(两点必须同时具备) 4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y 轴上。 5.函数解析式的求法：①配凑法； ②换元法： ③待定系数法； ④赋值法；⑤消元法等。 6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。 7.函数单调性及证明方法: 如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x 1,x 2，当x 1 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0
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