习题
解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。 解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。 ○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。
X U X
x ??=
ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。
○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下：
T
xz yz xy z y x x w z u z
v y w y u x v z w y v
x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ??
??
????+????+????+????????=????
??????
???
???
????????????
??????+????+????+????????=????????????????????=γγγεεεε
○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下：
????????????????????=???????????????????
?=6665
64636261565554535251464545434241363534333231
2625242322211615141312
11
αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ??????????
?????????
?xz yz xy zz yy xx γγγεεε
○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功
总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。 说明弹性体力学中的几个基本假设。 ○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。 ○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。 ○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。 ○4 小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。
简述线应变与剪应变的几何含义。
线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。 推到平面应变平衡微分方程。 解：对于单元体而言其平衡方程：
?????????
??=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??0
00Z x
Y x X x z z y zy xz z zy
y y xy z
zx
y xy x στ
ττστ
σσσ
在平面中有
zy
zx
z ττσ== 代入上式的 ??????
?=+??+??=+??+??00Y X z xy y y x xy
x x τστσ
如题图所示，被三个表面隔离出来平面应力状态中的一点，求σ和τ的值。
解：x 方向上：?????=-+--=---045sin 45sin 3020045cos 45cos 304020000
0τστ
联立二式得：????
?--==30
220230τσ
相对于xyz 坐标系，一点的应力如下
64430003 0σ ??
??=-??
????
某表面的外法线方向余弦值为6/11
x y n n ==，
7/11
z n =，求该表面的法相和切向应力。
解：该平面的正应力
2222
2
2
2
222667766(3)324
1111111111x xy xz x n x y z yx y yz y zx zy z z x x y y z z x y xy y z yz z x zx n n n n n n n n n n n n n n n σ τ τσ τσ τ τ τ σ σσστττ????????
??=????
????????
??=+++++????????
=?+?-+?+?+? ? ? ? ?????????
全应力
5.80
n T ==
=
=
该平面的切应力
3.68
n τ===
一点的应力如下
20 10 10σ10 20 1010 10 20??
??=??
????MP
求主应力和每一个主应力方向的方向余弦；球该店的最大剪应力。 解：设主平面方向余弦为
x y z
n n n ，由题知20
x y z σσ=σ==
10
xy yx yz zy xz zx τ=τ=τ=τ=ττ==
122222222
32202020602020310390022020202101010201034000x y z x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz x zx z xy I MPa
I MPa I Pa
σσσσσσσσστττ=σσστττστστστμ∴=++=++==++---=??-?=+---=??+???-??=
将
123
I I I 代入
321230
I I I σσσ--+=得32
6090040000σσσ--+=
即
()()2
40100σσ--=
140MPa
σ=，
2310MPa σσ==。
最大剪应力
13
max 4010
152
2MPa σστ--=
=
=
（1）当
1σσ=时代入式（）
201010010201001010200
x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n ?-++=?
-+=?==??
++=?
22213x y z x y z n n n n n n ++=∴===
（2）当23σσσ==时代入式（）0x y z
n n n ++=且2221x y z x y z n n n n n n ?++=??
==??
x n ∴=
y z n n ==
已知一点P 的位移场为
23(4)10u yi yz j bx k ??=+++???
，求该点p(1,0,2)的应变分量。
解：p 点沿坐标方向的位移分量为u,v,w
()22222
10,310,4610u y v yz w x ∴=?=?=+?
点p(1,0,2)处线应变为0xx u x ε?=
=?，22310610yy v z y ε?=
=?=??，0zz w z ε?==?
剪应变为
0xy v u x y γ??=
+=??，203100yz w v
y y z γ??=+=+?=??，212101200xz w u x z γ??=+=?=??
一具有平面应力场的物体，材料参数为E 、v 。有如下位移场
32(,)u x y ax bxy =- 23(,)v x y cx y dy =-
其中，a 、b 、c 、d 是常量。求
x y xy
σστ讨论位移场的相容性
解：
23x u ax by x ε?=
=-? 223y v cx dy y ε?=
=+? 22xy v u cxy bxy y x γ??=+=-??
因为222x b y ε?=-? 222y
c x ε?=? 2
22xy c b x y γ?=-??
所以满足相容性条件
22
222y xy
x y x x y εγε???+=????
有广义胡克定律()()11x x y y y x E E εσμσεσμσ?=-????=-??得()()()()222222331331x y a c x b d y E a c x b d y E μμσμμμσμ?+-+=?-??+-+?=?-?
又
xy
xy G τγ=
则
()()221xy xy E
G xy c b τγμ==
?-+()1E c b xy
μ=--
一具有平面应力场的物体，材料性质是E=210GPa,v=.并且有如下位移场
233(,)301020u x y x x y y =-+ 232(,)10205v x y x xy y =++
当x=0.050m,y=0.020m 时，求物体的应力和应变。位移场是否相容
解：
226030600.05300.050.02 2.9985x u
x x y x ε?=
=-=?-??=?
226010600.050.02100.020.2012y v
xy y y ε?=
=+=??+?=?
32332220206010200.05200.02600.02100.05 1.02291xy v u x y y x x y γ??=
+=++-=?+?+?-?=??
由广义胡克定律
()()()9
522
21010 2.99850.30.2012 2.5410110.3x x y E Mpa σεμεμ?=+=?+?=?-- ()()()95
22
210100.3 2.99850.2012 2.5410110.3y x y E Mpa σμεεμ?=+=??+=?--
()()()9
521010 1.022918.261021210.3xy xy
xy E G Mpa τγγμ?===?=?+?+
22
0x
y εε?=?，22
y
x
εε?=?，20
xy
x y
γ?=??满足相容性条件
22
222y xy
x y x x y
εγεεε???+=
????
对于一个没有任何体积力的圆盘，处于平面应力状态。其中
32x ay bx y cx
σ=+-
3x dy e
σ=-
22z fxy gx y h
σ=+-
a, b, c, d, e, f, g, h 是常量。为了使应力满足平衡方程和相容方程，这些常量的约束条件是什么
解：由题意得：2x bxy c
x σ?=-?，23y dy y σ?=?，22xy fy gxy x τ?=+?，22xy fxy gx y τ?=+?
代入平衡方程
()()2222222030230
yx
x xy x bxy c fxy gx d f y x
y b f gx c g fy gxy dy x
x τστσ???+=-++=?+????+-+=?
???+=++=????
根据广义胡克定律：
()()()()()()323332
2222
111121666
x x
y y y x xy xy
x y ay bx y cx d y e E E
dy e a y b x y c x E E fxy gx y h G E ay d y
εσμσμμεσμσμμμτμγεμε?=-=+---??
?=-=--++??
?+==+-??
?-=?
22
2y x b y E εμε?=-? ()()2
2122xy fy gx x y E γμ?+=+??
代入相容方程
()()
66241ay d y b y fy gx μμμ--=++
()()332121a d b f
x y
g
μμμμ--++=
+ （2）
代入（1）得
()()()()22
3321321cg
y a d b f b f d f μμμμ=
??--++-++??+??
()()()()()()2
22
3321213321321a d b f cg
x a d b f b f d f μμμμμμμμ??--++=??+??
--++??-++??+?? 其中()()()()2
3321321a d b f b f d f μμμμ??
--++≠++??+??
根据弹性力学平面问题的几何方程，证明应变分量满足下列方程，
2222
2
y xy
x x y
y x εγε???????+
=
并解释该方程的意义。
证明：弹性力学平面问题的几何方程为：
u
x x ε??=
① ，u y
y
ε??= ②，
V u xy x y
γ????=+ ③，
将方程①，②分别对y 和x 求二阶偏导并相加得：
()
223332222
2
2x
x
u
v v u v x y y
x y x
x y x y x y
εε????????????????????+=+
+
=
+
等式右端项
u v xy
y
x
γ????+
=，
22222
x x xy
x y
y x εεγ???????∴+
=
该方程为相容方程中的第一式，其意义为弹性体内任一点都有确定的位移，且同一点不可能有连个不同的位移，应变分量
,,x y xy
εεγ应满足相容方程，否则，变形后的微元体之间有可能出现开裂与重
叠。
假设Airy 应力函数为
432234
12345a x a x y a x y a xy a y ?=++++，其中
i
a 为常数，求
,,x y xy
δδτ，并
求这些变量间的约束关系。
解：由
22222
,,x y xy x y
y x ???δδτ???????===-
，对该应力函数求偏导得;
32231234432x a x a x y a xy a y ???=+++
3223
2345234y
a x a x y a xy a y ???=+++
对以上两式的偏导可求得：
()2222222123
223452233412622612343y x x y y xy
x y a x a xy a y a x a xy a y a x a xy a y ??δδτ????????==++??==++??=-=-++?? 考虑相容性条件
4444
22
4
2
x x y y ?
?????????++
=,将上式代入可得各常量间的关系如下：
153660
a a a +-=
对给定的应力矩阵，求最大Tresca 和应力。将Von Mises 应力和Tresca 应力 20 10 10
进行比较，δ= 10 20 10 Mpa 。
10 10 20
δzτxyτxz
解：由Tresca准则：δ= δy τyz 故有δs=20Mpa，τmax=δs/2=10Mpa
δz
δ1=（δx+δy）/2=30Mpa δ2=10Mpa
由Von Mises准则：2δs2=6（τxy2+τyz2+τyz2）解得δs=30Mpa
30 -15 20
一点出的应力状态由应力矩阵给出，即δ= -15 -25 10 Mpa，若E=70Gpa，γ
20 10 40
=，求单位体积的应变能。
解：单位体积应变能：
υ=1/2E{δx2+δy2+δz2-2u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)}
u=（E-2γ）/2γγ=带入可得：
υ=
如图所示的平面三角形单元，厚度t=1cm，弹性模量E=*105mpa，泊松比γ=，试求插值函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵K e。
解：此三角形单元可得：
2△=（10-2）*4=32，故有
a1=1/32*（8u1-5u2-16u3）
a2=1/32*（4u1-4u2）
a3=1/32*（-8u1+8u3）
a4=1/32*（56v1-8v2-16v3）
a5=1/32*（-4v1+4v2）
a6=1/32*（-8v1+8v3）
而b1=y2-y3=-4 b1=x2-x3=-8
b1=y3-y1=4 b1=x3-x1=0
b1=y1-y2=0 b1=x1-x2=8
b1 0 b2 0 b3 0 -4 0 4 0 0
[B]=1/2△* 0 c1 0 c2 0 c3 =1/32* 0 -8 0 0 8
c1 b1 c2 b2 c3 b3 -8 4 0 8 0
1 γ 0 1 0
[D]=[E/(1-γ2)]* γ 1 0 =[E/]* 1 0
0 0 (1-γ)/2 0 0
1 0 0 0 0
[S]=[D]*[B]={E/}* 1 0 * 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 4 -4 0 0
[K]①=B T*D*B①*t*△={E/}*
-4 -1
0 0 0.6 -1 -0.6 0
0 0 0
1 0 0 0.6 -1 -0.6
0 0
0 0
[K]②=B T*D*B②*t*△={E/}* 0 0 4 -4
1
-4
求下图中所示的三角形的单元插值函数矩阵及应变矩阵，u1=2.0mm，v1=1.2mm，u2=2.4mm，v2=1.2mm，u3=2.1mm，v3=1.4mm，求单元内的应变和应力，求出主应力及方向。若在单元jm边作用有线性分布面载荷（x轴），求结点的的载荷分量。
解：如图2△=64/3，解得以下参数：
a1=19 a2=-2 a3=6； b1=-3 b2=4 b3=-1；c1=-1 c2=-3 c3=4；
N1={64/3}*(19-3x-y) N2={64/3}*(-2-3x-3y)
N3={64/3}*(6-x+4y)
故N= N i 0 N j 0 N m 0
0 N i 0 N j 0 N m
1 0 1 0 1 0
= 0 1 0 1 0 1
b i 0 b j 0 b m 0
[B]={1/2△}* 0 c i 0 c j 0 c m
c i b i c j b j c m b m
-3 0 4 0 -1 0
={64/3}* 0 -1 0 -3 0 4
-1 -3 -3 4 4 -1
1 γ 0
[D]={E/(1-γ2)}* γ 1 0
0 0 (1-γ)/2
1 γ 0 -3 0 4 0 -1 0
单元应力矩阵[S]=[D]*[B]= {E/13(1-γ2)}* γ 1 0 * 0 -1 0 -3 0 4
0 0 (1-γ)/2 -1 -3 -3 4 4 -1
2
-3 -u 4 3u -1 4u
单元应力[δ]=[S]*[q]= {E/13(1-γ2)}* -3u -1 4u -3 -u 4 *
(u-1)/2 (3u-3)/2 (3u-3)/2 2-2u 2-2u (u-1)/2
解：二维单元在x,y坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同，在平面矩阵
180°时变化，单元作上述变化时，应力矩阵不变化。
解：令1t =，1p =，而E 2.0e 011=+，1/3μ=，
2
10
1011002E
D μμμμ?
????
?=
??-?
?
-????
12
31231122
3
300000
0b b b N c c c c b c b c b ???
?=??????
2N
B A =
单元①
2.250.7500.752.250000.75D ??
??=??
????①②
0.500.500001000010.500.510B ?-??
?=-??
??
--??①
-1.125-0.75 1.125000.751.0+011*-0.375-2.250.37500 2.25-0.75-0.37500.3750.750S e ??
?
?=??
????
①
S DB =
1.31250.75-0.5625
-0.375-0.75-0.3750.75
2.4375-0.375-0.1875-0.375-2.25-0.5625-0.3750.5625000.375*1.0011
-0.375-0.187500.18750.3750-0.75-0.37500.3750.750
-0.375-2.250.37500 2.25ke e ??
?
?????
=?
???
???
?
??
?
①
单元②：
000.500.5
0B 01
0100101
0.5
00.5?-?
?
?=-????--?
?②
00.75 1.125
0.75 1.12500 2.250.375 2.250.3750*1.00110.750
0.75
0.375
0.375S e ?--??
?=--?????
?②
0.7500.750.37500.3750
2.250.375 2.250.37500.750.3751.31250.750.56250.3750.375 2.250.75
2.43750.3750.187500.3750.56250.37510.562500.37500.3750.187500.1875ke ?--?
?
?---????---=?
?----????----?
?--???
②
由ke ①
和ke ②
扩充KZ （总刚度阵）
1.31250.750.56250.3750.750.375000.75
2.43750.3750.18750.375 2.25000.56250.3751.312500.75000.3750.3750.18750 2.43750 2.250.37501.01011*0.750.3750.750 2.06250.750.56250.3750.375 2.25
0kz e ------------=+--------2.250.75 4.68750.3750.18750000.3750.56250.3750.56250000.37500.3750.187500.1875???????????
?????
--????---??--????
而Re .kz qe =，其中
1
1
2
211
Re 0022
Rx Ry Rx Ry '
?
?=--
????，
[]1
122
0000qe x y x y '
=，化简得：
112201.312500.7500.11310 2.43750 2.250.596820.750 2.06250.7500.19470
2.250.75
4.687510.42432x y x y ??
??-??????
??-??????--?????
???
==????????
-?????
???
--??????
??-????
则，
11220.56250.375
0.750.3750.11130.148100.18750.375 2.250.59680.95170.750.3750.56250.3750.19470.17420.37500.3750.18750.42430.0482Rx Ry Rx Ry ----????????????????----????????==????????----????????
---????????
如图所示有限元网格，cm a 4=，单元厚度mm t 1=，弹性模量MPa E 5
100.2?=，泊松比3.0=μ。
回答下述问题：
（1）结点如何编号才能使结构刚度矩阵带宽最小
（2）如何设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动 （3）形成单元刚度矩阵并集成结构刚度矩阵。 （4）如果施加一定载荷，拟定求解步骤。
(1) (2) （3）
解：1、节点编号如图(2)所示；
2、如图(3)设置位移边界条件才能约束结构的刚体移动；
3、如图(2)所示各节点的坐标为(以m为单位)：1(0,0)，2,0)，3(0,，4, )，5(0,，6,，7(0,，8,解：单元号 1 2 3 4 5 6
相邻结点 1 3 4 5 5 7
2 2 5 4 6 6
3 4 3 6 7 8
对于单元号1：
04
.0
3
2
1
-
=
-
=y
y
b
；
04
.0
1
3
2
=
-
=y
y
b
；
2
1
3
=
-
=y
y
b
；
08
.0
2
3
1
-
=
-
=x
x
c
；
3
1
2
=
-
=x
x
c
；
08
.0
1
2
3
=
-
=x
x
c
；
对于单元号2：
04
.0
4
2
3
-
=
-
=y
y
b
；
3
4
2
=
-
=y
y
b
；
04
.0
2
3
4
=
-
=y
y
b
；
2
4
3
=
-
=x
x
c
；
08
.0
4
3
2
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
3
2
4
=
-
=x
x
c
；
对于单元号3：
04
.0
3
5
4
=
-
=y
y
b
；
4
3
5
=
-
=y
y
b
；
04
.0
5
4
3
-
=
-
=y
y
b
；
5
3
4
=
-
=x
x
c
；
08
.0
3
4
5
=
-
=x
x
c
；
08
.0
4
5
3
-
=
-
=x
x
c
；
对于单元号4：
04
.0
6
4
5
-
=
-
=y
y
b
；
5
6
4
=
-
=y
y
b
；
04
.0
4
5
6
=
-
=y
y
b
；
4
6
5
=
-
=x
x
c
；
08
.0
6
5
4
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
5
4
6
=
-
=x
x
c
；
对于单元号5：
04
.0
7
6
5
-
=
-
=y
y
b
；
04
.0
5
7
6
=
-
=y
y
b
；
6
5
7
=
-
=y
y
b
；
08
.0
6
7
5
-
=
-
=x
x
c
；
7
5
6
=
-
=x
x
c
；
08
.0
5
6
7
=
-
=x
x
c
；
对于单元号6：
04
.0
8
6
7
-
=
-
=y
y
b
；
7
8
6
=
-
=y
y
b
；
04
.0
6
7
8
=
-
=y
y
b
；
6
8
7
=
-
=x
x
c
；
08
.0
8
7
6
-
=
-
=x
x
c
；
08
.0
7
6
8
=
-
=x
x
c
；
平面三角形单元的面积均为
1
1
1
2=
?
3
2
1
x
x
x
2
3
2
1
0032
.0m
y
y
y
=
弹性矩阵均为
?????-=0112μμ
E D 01μ ?????-2/)1(00μ??????=0
3.01
91.0100.211 01
3.0 ?????
35.000
应变矩阵
??????===11)
5()3()1(021c b B B B 110b c 220c b 22
0b c 330c b ?????330b c ????
?--=2505.12 5.12250-- 005.12 5.1200 2500 ?????
0250 ??????===33)
6()4()2(021c b B B B 330b c 220c b 220b c 440c b ?????440b c ?????-=005.12 5.1200- 2500- 0250- 2505.12
?????
5.12250 应力矩阵
)1()5()3()1(B D S S S ?===
?????---?=2308.192418.84725.27100.111 6154.99451.544835.16--- 02418.84725.27 6154.900 2308.1900
??
???09451.544835.16 )2()6()4()2(B D S S S ?===
?????--?=02418.84725.27100.111 6154
.90
- 2308.1900
- 0
9451
.544835.16-- 2308.192418
.84725
.27 ?????6154.99451.544835.16 单元刚度矩阵
t A S B K K K T
???===)1()1()5()3()1(
??????????----?=3297.07692.03846.05495.07143.03187.1100.18 1978.23846.01923.03297.03901.27143.0---- 3297.0005495.03297.05495.0-- 03846.01923.001923.03846.0-- 07692.03846.00
3846.07692.0-- ?????
?????--1978.2003297.01978.23297.0 t A S B K K K T
???===)2()2()6()4()2(
??????????--?=3297.05495.03297.0005495.0100.18 1923.03846.003846.01923.00-- 3846.07692.007692.03846.00-- 1978.23297.01978.2003297.0-- 7143.03187.13297.07692.03846.05495.0---- ??????????----3901.27143.01978.23846.01923.03297.0
结构刚度矩阵为：
???
???
???
???
??
???
???
??
???----?=000
00
0000
3297.07692.03846.05495.07143
.03187.1100.18K 00000000001978.23846.01923.03297.03901.27143.0---- 000000003846.07692.07143.000
3187.13297.05495.0---- 000000001978.23297.007143.03901.201923.03846.0---- 0000003846.007143.03187.100879.27143.003846.07692.0---- 00000003297.03901.27143.05879.4007143.01978.23297.0---- 00000005495.04286.14066.37143.03187.13297.07692.000-----
000001923.009780.64286.13901.27143.01978.23846.000----- 0
3297.07692.03846.05495.07143.04177.205495.03297.00
0000----- 0
1978.23846.01923.03297.07747.27143.01923.0003846.00000----- 3846.07692
.07143.0003187.17143.00990.13297.07692.0000000------ 1978.23297
.007143.03901.20
3846.07143.01978.23846.0000000------ 3297.05495
.003187.17143.00
3846.07692.000000000---- 1923.03846
.03901.2007143.01978.23297.000000000---- 7143
.03187
.13846.05495.03297.07692.00000000000----
???
?
??
?
??
????
?
??
?
??
?
?????----3901.27143.01923.03297.01978.23846.00
00
00
00
00
若施加一定载荷，求解步骤为：
1、对单元编号，并列出各单元三个结点的结点号；
2、计算外载荷的等效结点力，列出结构结点载荷列阵；
3、计算单元刚度矩阵，组集结构整体刚度矩阵
4、引入边界条件，即根据约束情况修正结构有限元方程，特别是消除整体刚度矩阵的 奇异性，得到考虑约束条件的可解的有限元方程。
5、利用线性方程组的数值解法，对结构的有限元方程进行求解，得到所有各结点的位 移向量。最后根据需要求解单元应力。
一长方形薄板如图所示。其两端受均匀拉伸P 。板长12cm,宽4cm ，厚1cm 。材料MPa E 5
100.2?=，泊松比3.0=μ。均匀拉力MPa p 5=。使用有限元法求解板的内应力，并和精确解比较（提示：可利用结构对称性，并用2个三角形单元对结构进行离散）。
解：
解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2 X 坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3 Y 坐标 0 0 4 4 2 2
3 4
平面三角形单元的面积均为1
1
12=?
32
1x x x 2
3
21
0024.0m y y y =
应力矩阵为：11
107692.00001978.26593.006593
.01978.2???
????????=D
单元1的应变距阵为：
??
????????----=0256667.1606667.1625250002500006667.1606667
.16)
1(B
单元1的单元刚度矩阵为：
9
)
1(10
6484.1003297.06484
.13297
.005769.03846.003846.05729.003846.02564.002584.03846.03297.0007326.03297
.07326.06484.13846.02564.03297.09048.17143.03297.05769.03846.07326.07143.03095.1???
??
???????????
??
???----------------=K
单元2的应变距阵为：
??
???
?????----=6667.1606667.16250250025025006667.1606667.1600)
2(B
单元2的单元刚度矩阵为：
9
)
2(10
2564.002564.03846.003846
.007326.03297.07326.03297.002564.03297.09048.17143.06484.13846.03846.07326.07143.03095.13297.05769.003297.06484.13297.06484.103846.00
3846.05769.005769.0???
??
???
???
??
???
??
???----------------=K
总刚度矩阵为：
9
109048.17143
.02564
.03297.06484.13846.00
07143.03095.13846.07326.03297.05769.0002564.03846.09048
.10
7143
.06484.13297.03297.07326.003095.17143.003846.05769.06484.13297.007143.09048.102564.03846.03846.05769.07143.0003095.13297.07326.0006484.13846.02564.03297.09048.17143.00
03297.05769.03846.07326.07143.03095
.1???
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
???
??
?
??
??
?--------------------------------=K 位移分量为：{}44322118,,,0,,,,0v u v v u v =?δ
载荷列阵为：{}
0,1000,0,,0,1000,0,3118x x F F R =?
因为
1
88818????=δK R
可以得
{}m
518100726.0,15.0,0525.0,0,0369.0,15.0,0649.0,0-??----=δ
单元1的单元应力：MPa x 7000.5=σ MPa y 3332.2=σ
MPa
xy 3245.0=τ 单元2的单元应力：
MPa x 9505.4=σ
MPa y 1648.0-=σ
MPa
xy 2583.0-=τ
长方形薄板内应力的精确解为：拉应力MPa 5，用有限元法求解出的结果与精确解大致相等。
验证三角形单元的位移差值函数满足
()
,
i j j ij
N x yδ
=
及
1
i j m
N N N
++=
。
解：平面三角形形函数为：
() 12
i i i
i
N A a b x c y
=++
，其中，
11
22
33
1
21
1
x y
A x y
x y
=
，
11,122,233,3,
,;,;,
a b c a b c a b c
分别是行列式2A中的第一行，第二行和第三行各元素的代数余子式。行列式中，任一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行的元素与其它行对应元素的代数余子式乘积之和为零，故有：
当
()()()
11111111
,121
N x y a b x c y
=?++=
，同时有，
()()()
()()()
22222222
33333333
,120
,120
N x y a b x c y
N x y a b x c y
=?++=
??
?
=?++=
??
同理也有：
()()()
()()()
211222233
311322333
,0,,0,,0
,0,,0,,0,
N x y N x y N x y
N x y N x y N x y
===
===
()()()
123
,,,1
N x y N x y N x y
∴++=
，即
1
i j m
N N N
++=
。
推导如图所示的9节点矩形单元的形函数。
解:三维杆单元的形状函数，
()()
()()
()()
()()
()()
()()
231312
121321233132
152
,,
x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x x x x x x
N N N
------
------
===
①
在局部坐标系中令节点1,5,2所对应的123
0,/2,
x x a x a
===
带入①式得到节点1,5,2仅在x方向上的形函数：
()()
()()
()()
2
/22
10/20
x a x a x a x a
x a a a
N--
??--
??
--
??
??
==
②
同理可得：
()()
()()
()
2
5/20/2/4
x x a x x a
x a a a a
N---
--
????-
????
==
由
123
,,y y y ，即节点2,6,3，可得到沿着全局坐标系y 轴的形状函数(通过变量轮换)，节点1的形函数
即x ，y 方向的乘积：
(
)()()()
22
22
111x a x a y b y b x y a b N N N ----==
由此可得：
()()()()
()()972
595725y y
y y
y b y b y y y y y b N ------==
()()()
22
422555x x a b y y b x y a b N N N ---∴==-
同理可整理得：
()()()
22
22222x x a y b y b x y a b N N N ---==
()()
22
223x x a y y b a b
N --=
，
(
)()()
22
224x a x a y b a b
N y
---=，
()()
22
426xy x a y b a b N --=-
， ()()
22
427xy x a y b a b
N --=-
，
()()()
22
428y x a x a y b a b
N ---=-
，
()()
22
169xy x a y b a b N --=
，
如图所示为一个桁架单元，端点力为[U1，U2]，端点位移为[u1，u2]，设内部任一点的轴向位移u
是坐标x 的线性函数：
12u a a x
=+
推导其形函数矩阵N 。
解：轴向位移u 是坐标x 的线性函数，12u a a x =+，写成向量形式为
()[]121a u x x a ??
=??
??，设两个节点的坐标为
,i j
x x ，代入向量形式的位移函数解
12
,a a 得：
1
1211i i j j x u a x u a -????
??=????????????
则由位移函数()[]1
111i i j j x u u x x x u -????
=????????可得形函数为：
[]1
111111i
j
i j i j i i
j x j j i j i x x x x
x x N x x x x x N N x x x
x x -??
-??
-????==--==????????--??
?
???
4.1 答：轴对称三角形环单元不是常应变单元，如果弹性体的几何形状、约束条件及载荷都对称于
某一轴，则所有的位移应变及应力也是对称于此轴，这样问题称为轴对称。轴对称三角形环单
ia ia r l z ==0ja ja r z l ==00
ma ma r z ==2110
1
111102
221100
ia
ia
a ja ja ma
ma
r z l
r z l l r z ?=
==11
()33
a ia ja ma z z z z l
=++=11()33a ia ja ma r r r r l
=++=0ja ja ia ja ma ma ja ma
ma
r z a r z r z r z =
=-=11ja ia ja ma ma
z b z z l z =-
=-=1()01ja ia ja ma ma
r c r r r =
=--=0
ma ma ja ma ia ia ma ia
ia
r z a r z r z r z =
=-=10
1
ma ja ma ia ia
z b z z z =-
=-=1()1ma ja ma ia ia
r c r r l
r =
=--=2ia ia
ma
ia ja ja ia ja ja r z a r z r z l r z ==-=11ia
ma ia ja ja
z b z z l
z =-=-=-1()1ia ma
ia ja ja
r c r r l r ==--=-元与平面常应变单元是不同的，轴对称三角形环单元的应变不是常数矩阵，其应变矩阵B=[B i
B j B m ],其中B i =
]0
0[21i
i i i i b c c f b ?，r
z c b r a f i i i i ++=（i,j,m ）。应变分量r ε，z ε，rz γ都是常量，但环向应变θε不是常量，它与i f ，j f ，m f 中的r 和z 有关。
4.2 答：轴对称问题中，刚度自由度：环向位移，径向位移，轴向位移。以三角环单元平均半径、
平均高度进行计算的单元刚度矩阵，配合以精确积分所得的等效结点载荷矩阵，计算的结果还是不错的！
4.3 轴对称问题的两个单元a 和b ，设材料的弹性模量为E ，泊松比为μ = ，试手算这两个单元的刚
度矩阵。
解：对于a 单元，由题可知：
单元a 的截面面积为
同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期 一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分）
一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（√） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ____C__________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是__B____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 （1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
《有限元基础》期末测试 一、结构线性静力分析 如图所示的托架，其顶面承受2 lbf in的均匀分布载荷。托架通过有孔的表面 50/ ν=，托架尺固定在墙上，托架是钢制的，弹性模量6 =?，泊松比0.3 E psi 2910 寸如图，单位为英寸。试通过ANSYS求其变形图及von Mises应力分布图。 对题目分析。进行建模，网格划分 托架网格图
施加约束后，就可以对实体进行加载求解， 托架变形图 托架变形图输出的是原型托架和施加载荷后托架变形图的对比，
虚线部分即为托架的原型，托架变形图可看出，由于载荷的作用，托架上面板明显变形了，变形最严重的就是红色部分，这是因为其离托板就远，没有任何物体与其分担载荷，故其较容易变形甚至折断。这是我们在应用托架的时候应当注意的。 节点位移图
托架von Mises 应力分布图
上面两个图为托架的应力分布图，由图可看出主要在两孔处出现应力集中，也就是说这些地方所受的应力的最大的，比较容易出现裂痕。我们在应用托架的时候，应当注意采取一些设施，以便减缓其应力集中。特别是在施加载荷时，绝对不能够超过托架所能承受的极限，否则必将导致事故的发生。 二、动力分析 如图1有一梁板结构，板的四角由四根梁固定支撑，板质量集中于中央。梁板材料相关参数为弹性模量112210/E N m =?，泊松比0.3ν=，密度 337.810/kg m ρ=?。板的厚度0.02t =，板长2000L mm =，宽1000B mm =，板的质量100M kg =。梁长1000h mm =，截面面积为42210A m -=?，惯性矩为 84210J m -=?，现在板的表面施加均匀压力载荷如图2。试研究该梁板结构的瞬 态动力响应。 图 1 图2
一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同 相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数 单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次 次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整 体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题 共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性 奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设
西安交通大学 级研究生课程考试试题 考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午 一、4 ) 4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4 4332211====y x ， y x ，y x ， y x 母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,, y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30） （1） 13结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)13~ 1( ,=i v u i i 位移场为： 3 132 2 123 113 102 92 83726524321xy y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++= 3 262 2 253 243 232 222 2132021918217161514xy y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为： ()3~1=i w i ()6~4=??? ????i n w i 位移场为： 2 652 4321y xy x y x w αααααα+++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 ,u x 7 8 10 9 11 12 1 2 3 4 5 6
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（） 二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必 考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题 （1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可
轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边 ε是与r有关。界是一回转面；应变不是常量。在轴对称问题中，周向应变分量 θ板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。板壳问题的弹性体受垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 线性问题/非线性问题 线性问题：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系方程、平衡方程都是线性的。
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
《汽车有限元基础》2009-2010二学期考试试卷
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 一、填空题 1. 有限元法的基本思想是用个单元的集合来代替原来具有个自由 度的连续体。 2. 单元刚度矩阵K中元素K ij的物理意义：当单元第j个自由度产生而其它自由度固定时，在第i个自由度产生的。 3．按照各杆轴线及外力作用线在空间的位置，杆系结构可分为： 和。4．平面刚架中各单元发生轴向拉压变形及面内的弯曲变形，而且这两种变形相互独立，因此刚架单元可以看成是由单元和单元叠加而成。因此，平面刚架单元的节点位移应包含个平动分量和个转动分量。 5．工程中常用的薄板单元有：单元和单元。6．有限元分析的主要步骤先后为：(1) 网格划分, (2) , (3) 。 7. 单元特性分析的主要内容先后为：(1) 、(2) 、(3) 应力或内力、(4) 、(5) 单元节点载荷。 8．对于弹性变形体，承受的外载荷共有三种：集中载荷、和。在有限元法中，对于没有作用在节点上的这些外载荷，是按照的原则将其移置到节点上。 9．工程中任一平板，若其厚度为t，板面宽度为b，当t/b小于时可以认为是薄板。常用的薄板单元有：单元和单元。10．薄壳单元中的应力可看成平面应力问题和问题中两种应力的叠加。 11．求解结构系统的动力响应时，常用的两种求解方法为：和 12．在有限元分析中，为了描述几何模型和有限元模型，需要用到几种坐标系： (1) (2) (3) 和(4)
《汽车有限元基础》2009-2010第二学期考试试卷 二、 问答题 1．某一薄板矩形单元的节点编号按照逆时针依次为i 、j 、m 和p 。假设该单元每个节点的位移表示为{}{}T yi xi i i w θθδ=， (i, j, m, p )；该单元每个节点的载荷表示为{}{}T iy ix i i T T Z F θθ=，(i, j, m, p )。请写出该单元的单元节点位移列阵和单元 节点载荷列阵。 2．请写出使用有限元分析软件时，进行数据前处理的主要工作内容。 3．右下图为一典型三节点三角形平面单元，节点按照逆时针依次编号为i 、j 和m ，节点的坐标依次为(x i ，y i )，(x j ，y j )、（x m ，y m ）。假设单元内任意一点的两个位移分量分别表示u 和v 。请写出该单元位移模式的多项式形式，并简述待定常数个数的确定理由。 4. 请简述针对动力问题的有限元分析的基本步骤。
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 ２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。 ３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。
５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、 下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为 。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵 ［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k
９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］ 。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
太原理工大学有限元复习题 一、简答题 1、弹性力学和材料力学在研究对象上的区别？ 答：材料力学的研究对象是杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学除了研究杆状构件外，还研究板、壳、块，甚 至是三维物体等。因此，弹性力 学的研究对象要广泛得多。 2、理想弹性体的五点假设？ 答：连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、 各向同性假定、小位移和小变形 的假定。 3、什么叫轴对称问题，采用什么坐标系分析？为 什么？ 答：如果弹性体的几何形状、约束状态以及外载 荷都对称于某一根轴，那么弹性 体所有的位移、应变和应力也都对称于这根轴， 这类问题称为轴对称问题。对于 轴对称问题，采用圆柱坐标比采用直角坐标方便 得多。当以弹性体的对称轴为Z 轴时，则所有的应力分量，应变分量和位移分量 都只与坐标r、z有关，而与θ无关。 4、梁单元和杆单元的区别？ 答：梁单元和杆单元在形状上没有多大区别，其 截面可以是任何形状，有一方向的长度远远大于 另外两个方向。主要区别是受力不同，梁单元主 要承受弯矩，杆单元主要承受轴向力。杆单元通 常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上可 以适用于各种情况。 5、薄板弯曲问题与平面应力问题的区别？ 答：平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何 形状都是薄板，但前者受力特点是平行于板面且 沿厚度均布载荷，变形发生在板面内；后者受力 特点是当承受垂直于板面的载荷时，板在弯曲应 力和扭转应力作用下将变成曲面板。 6、有限单元法结构刚度矩阵的特点？ 答：主对称元素总是正的；对称性；稀疏性；奇 异性；非零元素呈带状分布。 7、有限单元法的收敛性准则？ 答：完备性要求，协调性要求。 完备性要求。如果出现在泛函中场函数的最高阶 导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元 内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或 者说试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
有限元考试试题及答案 一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分） 答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化； （2）建立单元体的位移插值函数； （3）推导单元刚度矩阵； （4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵； （5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分） 答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分） 答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分） 答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分） 答：不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共4 0分， 每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1.一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材 料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =，2 275.3in A =，长度 in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1lbf （磅力，libraforce ）=。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分） 2.如图2 t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比μ=015分） 3.图示结点三角形单元的q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。 学院专业学号姓名 y
图3
一、简答题 1.答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2.答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形 变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有 相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3.答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4.答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由