2020首届加拿大初中数学奥林匹克
1.正实数列123,,,a a a ???满足21111,n n n a a a a ++=+=.
证明:对任意实数n,1.n a n
≥
2.紫泉的艺术课考试是这样的:紫泉需要画一系列线段,其中第n 条线段的长度为n.绘画过程中,紫泉不能把他的笔尖离开纸面,故第n+1条线段的起点即为第n 条线段的终点.紫泉所画的线段可以与画过的线段交叉,甚至覆盖之前的线段.
当紫泉画出有限条线段之后,他把自己的作品交给了艺术课老师.如果紫泉所画的图形是一个N ×N 的正方形,其中N 为正整数,那么他就通过率考试,否则他就不能通过考试.
请问紫泉有可能通过考试吗?
3.给定n ≥3个正实数.证明:至多有n －2个互异的3的幂可以表示为其中3个不同元素的和. 译者注:本题目为同时考试的加拿大MO 第一题.
4.给定菱形ABCD.线段PQ 与菱形ABCD 的内切圆相切,其中P 在边AB 上,Q 在边AD 上. 证明:当线段PQ 移动时,△CPQ 面积为常数.
译者注:本题目为同时考试的加拿大MO 第二题.
5.智多星的存钱罐里有无穷多个硬币,且它们的币值为两两互异的正整数.那么,是否可能制作这样一个存钱罐,使得智多星恰好有2020种方法从存钱罐中取出若干个硬币,使得它们的币值的和为2020？
译者注:本题目为同时考试的加拿大MO第三题.