高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三上学期期末联考数学
（理）试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于
.A M N ?.B M N ?.C ()U C M N ?.D
M C N ?
2.若,x y 满足约束条件10,
0,40,x x y x y -≥??-≤??+-≤?
则y x z 2+=的最小值为
3. 执行如图的程序框图，那么输出S 的值是
4. 如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且
2,120AB BC CAB ==
∠=,则AOB ∠5.在ABC ?中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C ，则a 为 6. 给出下列命题：
①若m b a ,,都是正数，且
b
a
m b m a >++，则b a <； ②若)('x f 是)(x f 的导函数，若0)(',≥∈?x f R x ，则)2()1(f f <一定成立； ③命题"012,"2
<+-∈?x x R x 的否定是真命题； ④“1||≤x ，且1|≤y |”是“2||≤+y x ”的充分不必要条件. 其中正确命题的序号是
A.①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
7. 已知双曲线1:2222=-b
y a x C )0,0(>>b a 与抛物线)0(22
>=p px y 的交点为A 、
B ，直线AB 经过抛物线的焦点F ，且线段AB 的长等于双曲线的虚轴长，则双曲线
的离心率为
8. 已知定义在R 上的函数，当[]0,2x ∈时，()()
811f x x =--，且对任意的实数
1
22,22n n x +??∈--??
（*N n ∈，且2n ≥），都有()1122x f x f ??
=- ???
，若方程
|log |)(x x f a =有且仅有四个实数解，则实数a 的取值范围为
A
．
B
．C ．()2,10D ．[]2,10
第Ⅱ卷 非选择题(共110分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上) 9.若复数
()2,12bi
b R i i
-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，则b =_____. 10.若n x x )1
3(3
2
-
展开式中各项系数和为128,则展开式中
3
1
x 系数是. 11. 若函数2
x y =与)0(>=k kx y 图象围成的阴影部分的面积2
9
，则=k . 12.若某几何体的的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.
13.圆O 中,弦
=AB
14.已知实数c b a ,,
022
2≠,则c
a 2-的取值范围是.
三、解答题()
15．(本小题满分1cos sin 32cos 22
-+x x x ωωω,且)(x f 的周期
为2 .
（Ⅰ）当???
??
?-∈21,21x 时，求)(x f 的最值； （Ⅱ）若41)2(
=παf ，求)3
2cos(απ
-的值. 16. (本小题满分13分)在等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a .公比
为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ． （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n
n
n b a c 2=，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
17. (本小题满分13分)如图,三棱锥S ABC -中，
SA ⊥平面ABC ，2AC AB SA ===，AC ⊥AB ， D ，E 分别是AC ，BC 的中点， F 在SE 上，且2SF FE =． （Ⅰ）求证：AF ⊥平面SBC ；
（Ⅱ）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角
A S
B
C
E
F
D
)
正视图 侧视图 俯视图
G AF E --的大小为30?？若存在，
求出DG 的长；若不存在，请说明理由．
18. (本小题满分13分)椭圆1:
2
2
22=+b y a x C )0(>>b a 的焦距为4，且以双曲线14
22
=-x y 的实轴为短轴，斜率为k 的直线l 经过点)1,0(M ，与椭圆C 交于不同两点A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 19. (本小题满分14分)已知数列}{n a 满足)()1(2,1*11N n a a a n n n ∈-+==+.
（Ⅰ）若3
1
12-
=-n n a b ，求证：数列}{n b 是等比数列并求其通项公式； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求证：11a +21a +…+
n
a 1
3<. 20. (本小题满分14分)已知函数x ax x h ln 2)(+-= （Ⅰ）当1=a 时，求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程； （Ⅱ）令)(2)(2x h x a x f +=
，已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且2
1
21>?x x ，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若存在]2,2
2
1[0+
∈x ，使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a （取值范围内的值）恒
成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
一选择题(每小题5分): CABC BDBA 二填空题: (每小题5分) 9.3
2
-
. 10. 21 11.3 12.215+ 13. 2
3
14.]33,33[-
三解答题:
15. (1）x x x f ωω2sin 32cos )(+=)6
2sin(2π
ω+
=x ………………1分
,2=T ∴2
π
ω=
………………2分
(第17题图)
)6
sin(2)(π
π+
=∴x x f ………………3分
2121≤≤-
x ππππ3
2
63≤+≤-∴x 1)6sin(23≤+≤-∴ππx …………4分 2)6
sin(23≤+
≤-∴π
πx ………………5分
当21-
=x 时,)(x f 有最小值3-,当3
1
=x 时,)(x f 有最大值2. …………6分 （2）由41)2(=παf ，所以4
1
)62sin(2)62sin(2=+=+?παππαπ
所以8
1
)62sin(=+πα8分
而81)26sin()26(2
cos )23
cos(
=+=??????+-=-
απαππ
α
π
10分 所以
1)23(cos 2)23(2cos )32cos(
2--=??
?
???-=-απαπαπ12
分
即
32
31
1)62(sin 2)32cos(2-=-+=-πααπ13分
16.解：（Ⅰ）由,15,252==S a 得n a n =3分
公比为2的等比数列}{n b 满足6042=+b b ．
所以n
n b 23?=6分
（Ⅱ）n c ==
．7分
则．
令
．
则．9分
两式作差得：=
=．11分
∴
．
故．13分
17. （1）由2AC AB SA ===，AC AB ⊥，
E 是BC 的中点，得2AE =
因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥． 2分 在Rt SAE △中，6SE =
16
33
EF SE ==．
因此2
AE EF SE =?，又因为AEF AES ∠=∠， 所以EFA EAS △∽△，
则90AFE SAE ?
∠=∠=，即AF SE ⊥． 4分 因为SA ⊥底面ABC ，所以SA BC ⊥，又BC AE ⊥，
所以BC ⊥底面SAE ，则BC AF ⊥．
又E BC SE =?，所以AF ⊥平面SBC ． 6分 (向量法请酌情给分)
（2）假设满足条件的点G 存在，并设DG t =()10(≤≤t ．
以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，
AS 为x ，y ，z 轴建立空间直线坐标D xyz -，则
(0,0,0)A ，(0,0,2)S ，(1,1,0)E ，(1,,0)G t ．
由2SF FE =得222
(,,)333
F ．F
所以)0,1,1(=AE ，)3
2
,32,32(=AF ，)0,,1(t AG =
． 7分
设平面AFG 的法向量为),,(111z y x =，则
由?????=?=?00，即?????=+=++0
32323211111ty x z y x ，取1y =得)1,1,(--=t t ．9分 设平面AFE 的法向量为),,(222z y x n =，则
由?????=?=?00AE n ，即?????=+=++0
032323222222y x z y x ，取1y =，即)0,1,1(-=n ．11分 A S
B
C
E
F
D G
x
y
z
由二面角G AF E --的大小为30?，得2
330cos 0
=
=， 化简得2
2520t t -+=，又01t ≤≤，求得1
2
t =． 于是满足条件的点G 存在，且1
2
DG =
． 13分 18.解：（1）∵焦距为4，∴ c=2………………………………………………2分
又以双曲线14
22
=-x y 的实轴为短轴 ∴b=2………………………… 4分
∴标准方程为14
822=+y x ………………………………………5分 （2）设直线l 方程：y=kx+1，A （x1，y1），B （x2，y2），
由???
??=++=148122y x
kx y 得064)21(22=-++kx x k
∴x1+x2=2214k k +-，x1x2=2216k
+-……………………7分
由（1）知右焦点F 坐标为（2，0），
∵右焦点F 在圆内部，∴BF AF ?＜0………………………………9分 ∴（x1 2）（x22）+ y1y2＜0
即x1x22（x1+x2）+4+k2 x1x2+k （x1+x2）+1＜0…………………… 10分 ∴2
22221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-?-++-?
+＜0…………… 12分 ∴k ＜8
1……………………………………… 13分 19.解：（1）22122(1)n n n a a +=+-=2121212[2(1)]141,n n n a a ---+-+=-
21211212114
4334,1133
n n n n
n n a a b b a a +-+---
-
=
==--
…………………………3分
1112.33b a =-=所以{}n b 是首项为23，公比为4的等比数列，12
4.3
n n b -=?………5分
（2）由（Ⅰ）可知121
2112114(21)3333n n n n a b ---=+
=?+=+，……………………7分 2121222121
2(1)(21)1(21).33
n n n n n a a ---=+-=+-=-………………8分
所以11(2(1))3n n n a +=+-，或1(21);(2)3
1(21).(21)3
n
n n n k a n k ?-=??=??+=-??………………9分
（3）∴2212211121
2,2.3333
n n n n a a --=
?-=?+ 2121
132
2n n -??=+ ???…………………………………11分
当n ＝2k 时，1234212111111k k a a a a a a -??????++++++ ? ?
???????
当n ＝2k －1时，12342322211111111k k k a a a a a a a ---??
????+++++++ ? ?
?????
?? <1234212111111
k k
a a a a a a -??
????++++++ ? ? ?????
??
<3 ∴
1 a1 ＋1 a
2 ＋…＋1
an
＜3．…………14分 20．（1）x
a x h 1
2)('
+
-= 1=a 时x x x h ln 2)(+-=x x h 12)('+
-=2ln 4)2(+-=h 2
3)2('-=h )(x h 在))2(,2(g 处的切线方程为0142ln 223=--+y x …3分
（2）)0(1
212)(2>+-=
+-='x x
ax ax x a ax x f 0120)(2=+-?='ax ax x f ，
所以???
?
???
>
==+>-=?211204421212a x x x x a a ，所以21< …6 分 （3）由0122 =+-ax ax ，解得a a a a x a a a a x -+= --=2