最新八年级上册数学教案《分式》最新八年级上册数学教案《分式》
第十五章分式
15．1 分式
15．1.1 从分数到分式
1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．
2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．
一、复习引入
1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？
2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？
①3(8m＋n)；②1＋x＋y2；③3(a2b＋ab2)；④2(a＋b)；⑤x2＋2x＋1(2)；⑥a2＋b2(3)；⑦2x(3x2－4).
二、探究新知
1．分式的定义
(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v千米/时．
为30－v(60)小时，所以30＋v(90)＝30－v(60).
(2)学生完成教材第127页“思考”中的题．
观察：以上的式子30＋v(90)，30－v(60)，a(S)，s(V)，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
可以发现，这些式子都像分数一样都是B(A)(即A÷B)的形式．分数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母．
归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子B(A)叫做分式．
巩固练习：教材第129页练习第2题．
2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式B(A)才有意义．
学生自学例1.
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1)3x(2)；(2)x－1(x)；(3)5－3b(1)；(4)x－y(x＋y).
解：(1)要使分式3x(2)有意义，则分母3x≠0，即x≠0；
(2)要使分式x－1(x)有意义，则分母x－1≠0，即x≠1；
(3)要使分式5－3b(1)有意义，则分母5－3b≠0，即b≠3(5)；
(4)要使分式x－y(x＋y)有意义，则分母x－y≠0，即x≠y.
思考：如果题目为：当x为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？
巩固练习：教材第129页练习第3题．
3．补充例题：当m为何值时，分式的值为0?
(1)m－1(m)；(2)m＋3(m－2)；(3)m＋1(m2－1).
思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？
分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．
三、归纳总结
1．分式的概念．
2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．
3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．
四、布置作业
教材第133页习题15.1第2，3题．
在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．
15．1.2 分式的基本性质(2课时)
第1课时分式的基本性质
1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．2．会用分式的基本性质求分式变形中的符号法则．
理解并掌握分式的基本性质．
灵活运用分式的基本性质进行分式变形．
一、类比引新
1．计算：
(1)6(5)×15(2)；(2)5(4)÷15(8).
教师出示问题．学生独立计算后回答：运用了分数的基本性质．
2．你能说出分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．
3．尝试用字母表示分数的基本性质：
小组讨论交流如何用字母表示分数的基本性质，然后写出分数的基本性质的字母表达式．
b(a)＝b·c(a·c)，b(a)＝b÷c(a÷c).(其中a，b，c是实数，且c≠0)
二、探究新知
1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的基本性质吗？
分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．
你能用式子表示这个性质吗？
如2x(x)＝2(1)，a(b)＝a2(ab)，你还能举几个例子吗？
回顾分数的基本性质，让学生类比写出分式的基本性质，这是从具体到抽象的过程．
学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．
2．想一想
下列等式成立吗？为什么？
－b(－a)＝b(a)；b(－a)＝－b(a)＝－b(a).
教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．
例1 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：
(1)－3a(－2a)；(2)2y(－3x)；(3)－y(－x2).
例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：
(1)－2x－1(x＋1)；(2)－x2＋3(2－x)；(3)x＋1(－x－1).
引导学生在完成习题的基础上进行归纳，使学生掌握分式的变号法则．
例3 填空：
(1)xy(x3)＝y(（）)，6x2(3x2＋3xy)＝（）(x＋y)；
(2)ab(1)＝a2b(（）)，a2(2a－b)＝a2b(（）).(b≠0)
解：(1)因为xy(x3)的分母xy除以x才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x，即
xy(x3)＝xy÷x(x3÷x)＝y(x2).
同样地，因为6x2(3x2＋3xy)的分子3x2＋3xy除以3x才能化为x＋y，所以分母也需除以3x，即
6x2(3x2＋3xy)＝6x2÷（3x）(（3x2＋3xy）÷（3x）)＝2x(x＋y).
所以，括号中应分别填入x2和2x.
(2)因为ab(1)的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即
同样地，因为a2(2a－b)的分母a2乘b才能化为a2b，所以分子也需乘b，即
a2(2a－b)＝a2·b(（2a－b）·b)＝a2b(2ab－b2).
所以，括号中应分别填a和2ab－b2.
在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．
三、课堂小结
1．分式的基本性质是什么？
2．分式的变号法则是什么？
3．如何利用分式的基本性质进行分式的变形？
学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．
四、布置作业
通过算数中分数的基本性质，用类比的方法给出分式的基本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．
第2课时分式的约分、通分
1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．
2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．
运用分式的基本性质正确地进行分式的约分与通分．
一、类比引新
1．在计算6(5)×15(2)时，我们采用了“约分”的方法，分数的约分约去的是什么？分式a2b(a2＋ab)，ab(a＋b)相等吗？为什么？
利用分式的基本性质，分式a2b(a2＋ab)约去分子与分母的公因式a，并不改变分式的值，可以得到ab(a＋b).
教师点拨：分式a2b(a2＋ab)可以化为ab(a＋b)，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__．
2．怎样计算5(4)＋7(6)？怎样把5(4)，7(6)通分？
类似的，你能把分式b(a)，d(c)变成同分母的分式吗？
利用分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．
二、探究新知
1．约分：(1)15ab2c(－25a2bc3)；(2)x2＋6x＋9(x2－9)；
(3)3x－3y(6x2－12xy＋6y2).
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．
解：(1)15ab2c(－25a2bc3)＝－5abc·3b(5abc·5ac2)＝－3b(5ac2)；
(2)x2＋6x＋9(x2－9)＝（x＋3）2(（x＋3）（x－3）)＝x＋3(x－3)；
(3)3x－3y(6x2－12xy＋6y2)＝3（x－y）(6（x－y）2)＝2(x－y)．
若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)
2．练习：
约分：3axy2(2ax2y)；3b（a＋b）(－2a（a＋b）)；（x－a）3(（a－x）2)；xy ＋2y(x2－4)；9－m2(m2－3m)；98(992－1).
学生先独立完成，再小组交流，集体订正．
提出最简公分母概念．
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．
学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：
(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．
4．通分：(1)2a2b(3)与ab2c(a－b)；(2)x－5(2x)与x＋5(3x) .
分析：为通分，要先确定各分式的公分母．
解：(1)最简公分母是2a2b2c.
2a2b(3)＝2a2b·bc(3·bc)＝2a2b2c(3bc)，
ab2c(a－b)＝ab2c·2a(（a－b）·2a)＝2a2b2c(2a2－2ab).
(2)最简公分母是(x－5)(x＋5)．
x－5(2x)＝（x－5）（x＋5）(2x（x＋5）)＝x2－25(2x2＋10x)，
x＋5(3x)＝（x＋5）（x－5）(3x（x－5）)＝x2－25(3x2－15x).
5．练习：
通分：(1)3x2(1)与12xy(5)；(2)x2＋x(1)与x2－x(1)；(3)（2－x）2(1)与x2－4(x).
教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式则应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．
学生板演并互批及时纠错．
6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．
1．什么是分式的约分？
怎样进行分式的约分？
什么是最简分式？
2．什么是分式的通分？
怎样进行分式的通分？
什么是最简公分母？
3．本节课你还有哪些疑惑？
四、布置作业
教材第133页习题15.1第6，7题．
本节课是在学习了分式的基本性质后学的，重点是运用分式的基本性质正确的约
变形后再确定最简公分母．
15．2 分式的运算
15．2.1 分式的乘除(2课时)
第1课时分式的乘除法
1．理解并掌握分式的乘除法则．
2．运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．
掌握分式的乘除运算．
分子、分母为多项式的分式乘除法运算．
一、复习导入
1．分数的乘除法的法则是什么？
2．计算：5(3)×12(15)；5(3)÷2(15).
由分数的运算法则知5(3)×12(15)＝5×12(3×15)；5(3)÷2(15)＝5(3)×15(2)＝5×15(3×2).
3．什么是倒数？
我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．
二、探究新知
问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b时，当容器的水占容积的n(m)时，水面的高度是多少？
问题2：大拖拉机m天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
作效率的m(a)÷n(b)倍．
根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法则是什么？
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
b(a)·d(c)＝b·d(a·c)；b(a)÷d(c)＝b(a)·c(d)＝b·c(a·d).
三、举例分析
例1 计算：
(1)3y(4x)·2x3(y)；(2)2c2(ab3)÷4cd(－5a2b2).
分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．
解：(1)3y(4x)·2x3(y)＝6x3y(4xy)＝3x2(2)；
＝－5ac(2bd).
例2 计算：
(1)a2－2a＋1(a2－4a＋4)·a2－4(a－1)；
(2)49－m2(1)÷m2－7m(1).
分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法则．
解：(1)原式（a－1）2(（a－2）2)·（a＋2）（a－2）(a－1)＝（a－1）（a＋2）(a－2)；
(2)原式（7－m）（7＋m）(1)÷m（m－7）(1)
＝（7－m）（7＋m）(1)·1(m（m－7）)＝－m＋7(m).
例3 “丰收1号”小麦试验田边长为a米(a＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a－1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？