极惯性矩常用计算公式
极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA
矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12
三角形：b*h^3/36
圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64
环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D
§16-1 静矩和形心
平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。
静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。
定义式：
，(Ⅰ-1）
量纲为长度的三次方。
由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。则
由此可得薄板重心的坐标为
同理有
所以形心坐标
，
（Ⅰ-2）
或
，
由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。
如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为
，
（Ⅰ-3）
，
（Ⅰ-4）
【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。
【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积
所以
读者自己也可用极坐标求解。
【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。
【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别
为
矩形Ⅰ：mm2
mm，mm
矩形Ⅱ：mm2
mm，mm
整个图形形心的坐标为
§16-2 惯性矩和惯性半径
惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。
，(Ⅰ-5)
量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义
，(Ⅰ-6)
为图形对轴和对轴的惯性半径。
组合图形的惯性矩设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为
，(Ⅰ-7)
若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩
（Ⅰ-8）
因为
所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系
（Ⅰ-9）
式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。
下式
（Ⅰ-10）
定义为图形对一对正交轴、轴的惯性积。量纲是长度的四次方。可能为正，为负或为零。若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。
【例I-3】求如图Ⅰ-5所示圆形截面的。
【解】如图所示取，根据定义，
由轴对称性，则有
（I-10a）
由公式（Ⅰ-9）
（I-10b）
对于空心圆截面，外径为，内径为，则
(Ⅰ-12a)
（I-12b）
【例I-4】求如图Ⅰ-6所示图形的及。
【解】取平行于轴的狭长矩形，由于，其中宽度随变化，
则
由，如图
附录A 平面图形的几何性质
§A-1 引言
不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系
任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面
积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、
y。定义下列积分：
（A-1）
分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或
静矩，其单位为。
如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和
zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；和
则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图
形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形
心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心
即为合力的作用点。
设、为形心坐标，则根据合力之矩定理
(A-2)
或
(A-3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出：
1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。
实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的
图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即:
(A-4)
(A-5)
§A-3 惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径
图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：
(A-6)
(A-7)
分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。
定义积分
(A-8)
为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。
定义积分
(A-9)
为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。
定义
,
分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。
根据上述定义可知：
1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为或。
2.因为=+，所以由上述定义不难得出
=+(A-10)
3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为
(A-11)
(A-12)
式中,d为圆的直径；R为半径。
类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为
, (A-13)
式中，D为圆环外径；d为内径。
4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩
形对于平行其边界的轴的惯性矩：
, (A-14)
根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩，便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为
(A-15)
对于外径为D、内径为d的圆环截面,
(A-16)
应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。
必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方法求得。
§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理
图A-4中所示之任意图形，在坐标系Oxy系中，对于x、y轴的惯性矩和惯性积为
另有一坐标系Ox1y1，其中x1和y1分别平行于x和y轴，且二者之间的距离为a和b。
所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。
下面推证二者间的关系。
根据平行轴的坐标变换
将其代人下列积分
,
得
展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得
(A-17)
如果x、y轴通过图形形心，则上述各式中的==0。于是得
(A-18)
此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明：
1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。
2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。
3.因为面积及a2、b2项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时abA为正，异号时为负。
所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。
§A-5 惯性矩与惯性积的转轴定理
所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。
图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为、和。
现将Oxy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α角，得到一新的坐标系，记为Ox1y1。要考察的是图形对新坐标系的、、与、、之间的关系。
根据转轴时的坐标变换：
于是有
将积分记号内各项展开，得
(A-19)
改写后，得
（A-20）
上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。
若将上述与相加，不难得到
这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。
上述式(A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通过形心。当然，对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。
§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩
从式(A-19)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0，令式(A-19)中的第三式为零，
即
由此解得
(A-21)
或
(A-22)
如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即
，
同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时, 、的数值也发生变化，而当α=α0时，二者分别为极大值和极小值。
定义过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。
根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式
(A-23)
需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。
当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数
值相等，但反号。所以，整个图形对于x、y轴的惯性积=0，故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心，故x、y为形心主轴。
§A-7组合图形的形心、形心主轴
工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。
因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。
·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。
·以形心为坐标原点，设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加(空
洞时则减)后便得到整个图形的、和。
·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α0。
·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩和。
可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6全部知识的过程。
§A-8 例题
例题A-1 截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断面线部分的I x、I y。
解: 根据积分定义，具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩，等于高为h、宽为b的
矩形对于x、y轴的惯性矩减去高为的矩形对于相同轴的惯性矩，即
上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的情形，计算比较简捷。
例题A-2 T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩。
解：1.分解为简单图形的组合。
将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。
2.确定形心位置
首先，以矩形I的形心C1为坐标原点建立如图A-8b所示的C1xy坐标系。因为y轴为T字形的对称轴，故图形的形心必位于该轴上。因此，只需要确定形心在y轴上的位置，即确定y c。根据式(A-5)的第二式，形心C的坐标
3.确定形心主轴
因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c所示的Cx0y0坐标系，其中y0通过原点且与对称轴重合，则x0、y0即为形心主轴。
4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩和
根据惯性矩的积分定义，有
例题A-3 图A-9a所示为一薄壁圆环截面，D0为其平均直径，δ为厚度，若δ、D0均为已知，试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。
解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即
其中,。
对于的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。取积分微元dA如图A-9b所示。根据惯性矩的定义，得到
在此输入你的公司名称 LOGO 惯性矩的计算方法及常用截 面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑===n i i n i i i A x A x 11 ， ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。
I等．I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )
(4-2b) 式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合 而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
、两个矩形，则 设任一截面图形( 图4 — 3) ，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y 、z) 处取一微小面积dA ，定义此微面积dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩I．微面积dA 乘以到坐标轴y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对y 轴的惯性矩I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩． 数学表达式为
极惯性矩(4-6) 对y 轴惯性矩(4 -7a ) 同理，对z 轴惯性矩(4-7b) 由图4-3 看到所以有 即(4-8) 式(4 — 8) 说明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。 在任一截面图形中( 图 4 — 3) ，取微面积dA 与它的坐标z 、y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对y 、z 轴的惯性积，简称惯积．表达式为 (4-9) 惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方．I,I,I恒为正值．而惯性积I其值能为正，可能为负，也可能为零．若选取的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零． 当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴．对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩．而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴( 或称主形心惯轴) ．截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩( 或称主形心惯矩) ．例如，图4-4 中若这对yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴．对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩．
极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA 矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12 三角形：b*h^3/36 圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64 环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D §16-1 静矩和形心 平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。 静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。 定义式： ，(Ⅰ-1） 量纲为长度的三次方。 由此可得薄板重心的坐标为 同理有 所以形心坐标 ，（Ⅰ-2） 或 ，
由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即， ；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。 如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为 ，（Ⅰ-3） ，（Ⅰ-4） 【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。 【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积 所以 读者自己也可用极坐标求解。
【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。 【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为 矩形Ⅰ：mm2 mm，mm 矩形Ⅱ：mm2 mm，mm 整个图形形心的坐标为 §16-2 惯性矩和惯性半径 惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。 ，(Ⅰ-5) 量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义 ，(Ⅰ-6) 为图形对轴和对轴的惯性半径。
截面的几何性质 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得 截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。 解：知半圆形截 面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下： 返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示， 试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和。 解：先求形心主轴的位置 即
15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴 的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是， ；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离 是。 根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是 ； 若 即 等式两边同除以2，然后代入数据，得 于是 所以，两槽钢相距
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y ==整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1）2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 1 1 11S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑=== n i i n i i i A x A x 1 1 ， ∑∑=== n i i n i i i A y A y 1 1 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐
惯性矩总结含常用惯性矩 公式 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。惯性矩的国际单位为(m^4)。 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3)
(2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。
惯性矩是一个物理量，通常被用作描述一个物体抵抗扭动，扭转的能力。惯性矩的国际单位为(m^4)。 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1．面积矩的定义 图2-2.1任意截面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义：积分和分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2—2.1) (2—2.1)面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm3。 2．面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2) (2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3．组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y i、z i分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1．极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I P，表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7) (2—2.7) (2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。
I等． I等是从不同角度反映了截 S，其数学表达式 (4 -1a ) (4-1b) (4 -2a )
(4-2b) 式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值．若把式 (4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形 ( 如矩形、圆形等 ) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中 A， y ， z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值， n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．
、两个矩形，则 设任一截面图形 ( 图 4 — 3) ，其面积为 A ．选取直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I．微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I．极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩． 数学表达式为
= 附录 A 极惯性矩与惯性矩 题号 页码 A-1 (1) A-3 ........................................................................................................................................................2 A-4 ........................................................................................................................................................3 A-6 ........................................................................................................................................................4 A-7 ........................................................................................................................................................4 A-8 .. (5) (也可通过左侧的题号书签直接查找题目与解) A-1 试确定图示截面形心 C 的坐标 y C 。 题 A-1 图 (a)解：坐标及微面积示如图 A ? 1 (a)。 由此得 d A =ρ d ?d ρ R α ∫ y d A ∫ ∫ ρ cos ? ?ρ d ?d ρ 2R sin α y C = A A ?α R α ∫ ∫ = ρ d ?d ρ 3α ?α (b)解：坐标及微面积示如图 A ? 1 (b)。
惯性矩的定义 ●区域惯性矩-典型截面I ●区域惯性矩，一个区域的惯性矩或典型截面轮廓的第二个区域惯性矩 ●面积惯性矩或面积惯性矩-也称为面积二阶矩-I，是用于预测梁的挠度、弯曲和 应力的形状特性。 ●面积惯性矩-英制单位 ●inches4 ●面积惯性矩-公制单位 ●mm4 ●cm4 ●m4 ●单位转换 ● 1 cm4 = 10-8 m4 = 104 mm4 ● 1 in4 = 4.16x105 mm4 = 41.6 cm4 ●示例-惯性单位面积矩之间的转换 ●9240 cm4 can be converted to mm4 by multiplying with 104 ●(9240 cm4) 104 = 9.24 107 mm4 ●区域惯性矩（一个区域或第二个区域的惯性矩） ● ●绕x轴弯曲可表示为 ●I x = ∫ y2 dA (1) ●其中
●I x =与x轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●y =从x轴到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●dA =基元面积(m2, mm2, inches2) ●绕y轴弯曲的惯性矩可以表示为 ●I y = ∫ x2 dA (2) ●其中 ●I x =与y轴相关的惯性矩面积(m4, mm4, inches4)●x =从轴y到元件dA的垂直距离(m, mm, inches)●典型截面I的面积惯性矩 ●典型截面II的面积惯性矩 ●实心方形截面 ● ●实心方形截面的面积惯性矩可计算为 ●I x = a4 / 12 (2) ●其中 ● a = 边长(mm, m, in..) ●I y = a4 / 12 (2b) ●实心矩形截面
材料力学—计算机计算惯性矩和抗弯截面系数方法 1 在AutoCAD中绘制需要计算的截面图形或导入图形，如图1所示。 图1 2 创建面域 面域创建的方式主要有两种： （1）reg命令。输入reg并回车或在菜单栏点选“绘图”→“面域”，按提示选择需要计算的截面图形线条；右键或Enter键确定。会建立两个面域（外围边框和内部边框）； （2）bo命令。在命令行输入bo并回车或在菜单栏点选“绘图”→“边界”，弹出如图2所示“边界创建”对话框。选择创建“对象类型”为“面域”，勾选“孤岛检测”，点击“拾取点”返回绘图界面，用十字光标拾取截面图形内部任意一点，右键或Enter键确定。也会建立两个面域（外围边框和内部边框）。 图2 3 面域差集计算 将建立的两个面域进行差集计算。在命令行输入subtract并回车或在菜单栏点选“修改”→“实体编辑”→“差集”，按提示选择要从中减去的实体或面域（外围边框）并回车，再选择要减去的实体或面域（内部边框）并回车，会将两个面域合成一个整体面域。 4 查询计算 （1）在命令行输入massprop 并回车或在菜单中选择“工具”→“查询”→“面积／质量特性”； （2）选择刚创建的面域并回车，弹出如图3所示的文本对话框； 图
3 （3）得到截面面积=37.7mm2，截面形心坐标为（88.11，211.48）。截面惯性矩、惯性积、主力矩。 5 对截面形心坐标轴的惯性矩、惯性半径、抗弯截面系数查询计算 （1）从主力矩与质心的X-Y方向可以得出： Ix=188.5mm4, Iy=188.5mm4 （2）利用刚得到的截面形心坐标为（88.11，211.48），命令行输入ucs→（88.11，211.48），将用户ucs坐标原点移动到截面形心，如图4； 图4 （3）命令行输入massprop并回车，弹出如图5所示的文本对话框； 图5 （4）可得：截面对形心轴的惯性矩Ix=188.5mm4、Iy=188.5mm4，惯性积Ixy=0（由图5可知，形心轴y轴为截面图形的对称轴，所以截面图形对形心轴x、y轴的惯性积恒等于零）。 由图5可知，截面图形边界框值为x：-4—4、y：-4—4， 抗弯截面系数计算如下： Wx1=Ix/ymax=188.5/4=47.13mm3 Wx2= Ix/ymin=188.5/4=47.13mm3 Wy1= Iy/xmax=188.5/4=47.13mm3 Wy2= Iy/ymin=188.5/4=47.13mm3 6 相同的计算方法就可以计算各种复杂截面的零件的惯性矩和抗弯截面系数，只是在计算中要注意截面面域的选择要正确，截面差集要准确。
惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。惯性矩得国际单位为(m^4)。 工程构件典型截面几何性质得计算 2、1面积矩 1.面积矩得定义 图2-2、1任意截面得几何图形 如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1) (2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。 2.面积矩与形心 平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2) (2—2、2) 或改写成,如式(2—2、3) (2—2、3) 面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该 轴一定通过图形形心。 3.组合截面面积矩与形心得计算 组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。如式(2—2、4) (2—2、4) 式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。 (2—2、5) 2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积
1.极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6) (2—2、6) 极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。 (1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7) (2—2、7) (2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8) (2—2、8) 式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。 2.惯性矩 在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9) (2—2、9) 称为图形对z轴与y轴得惯性矩。惯性矩就是对一定得轴而言得,同一图形对不同得轴得惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值,其量纲与单位与极惯性矩相同。 同一图形对一对正交轴得惯性矩与对坐标原点得极惯性矩存在着一定得关系。 如式2—2、10) I P=I z+I y (2—2、10) 上式表明,图形对任一点得极惯性矩,等于图形对通过此点且在其平面内得任一对正交轴惯性矩之与。 表6-1给出了一些常见截面图形得面积、形心与惯性矩计算公式,以便查用。工程中使用得型钢截面,如工字钢、槽钢、角钢等,这些截面得几何性质可从附录得型钢表中查取。 3.惯性积 如图2—32所示,积分定义为图形对y,、z轴得惯性积,用符号I yz表示,如式(2—11) 图2-2、2具有轴对称得图形 (2—11)
计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 第二种方法：采用桥博计算截面惯距 操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图） 输出结果附后 <<桥梁博士>>---截面设计系统输出 文档文件: C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds 文档描述: 桥梁博士截面设计调试 任务标识: 任务类型: 截面几何特征计算 ------------------------------------------------------------
抗弯惯距和抗扭惯距的计算 2009-10-20 09:54 计算过上部的人都知道，在计算横向力分布系数和冲击系数的时候都需要计算截面的抗弯惯距和抗扭惯距，下面就介绍几种方法来计算抗弯惯距和抗扭惯距（本教程拿30米简支转连续箱梁截面做样例）： 一、在AUTOCAD中有一个命令massprop可以计算截面的面积、周长、质心、惯性矩 操作简介：1、首先在CAD中画出如下图的图形；2、用region命令将图形转化成内外两个区域；3、用subtract命令求内外区域的差集；4、用move命令将图形移动至（0，0，0），用scale命令将图形单位调整为米；5、用massprop命令计算截面性质（可惜这个命令不能计算抗扭惯距） Command: mas MASSPROP Select objects: 1 found Select objects: ---------------- REGIONS ---------------- Area（面积）: 1.2739 Perimeter（周长）: 13.7034 Bounding box（边缘）: X: -1.7000 -- 1.7000 Y: 0.0000 -- 1.6000 Centroid（质心）: X: 0.0000 Y: 1.0458 Moments of inertia: X: 1.7883 Y: 0.7922 Product of inertia: XY: 0.0000 Radii of gyration: X: 1.1848 Y: 0.7886 Principal moments and X-Y directions about centroid: I: 0.3950 along [1.0000 0.0000]这就是惯距 J: 0.7922 along [0.0000 1.0000] 第二种方法：采用桥博计算截面惯距 操作简介：本人使用的是桥博3.03，大家可以新建一个项目组，在新建项目上右键选择截面设计，选择C:\Program Files\TongHao\DoctorBridge30\EXAMPLES\Tool\DbDebug2.sds,当前任务类型选择截面几何特征，在截面描述中清除当前截面（包括附加截面还有主截面里面的钢筋），选择“斜腹板单箱单室”（大家在可根据自己计算的截面选择相应的截面，如果桥博内置的截面没有的话，可以选用从CAD中导入，ＣＡＤ导入将在后面的教程中介绍）输入截面相应的数据（附图） 输出结果附后 <<桥梁博士>>---截面设计系统输出 文档文件: C:\Program
工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 如图2-31所示为一任意截面 的几何图形(以下简称图形)。定义：积分上t 和 A 分别定义为该图形对z 轴和y 轴的面积矩或静 矩，用符号S z 和S y ，来表示，如式(2 — 2.1) 面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的 量 纲是长度的三次方，其常用单位为 m 3 或mm 2 ?面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2 — 2.2) (2 — 2.2) 或改写成，如式(2 — 2.3) : 二 X 乙 (2 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐 标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距 离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 —2.3) 1 ?面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形
图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之, 图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3 ?组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) 鬲=刀殆=￡4订(2 — 2.4) 式中，A和y i、乙分别代表各简单图形的面积和形心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2 —2.5)确定 迟4吗 i-i (2 —2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1 ?极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义：积分1 称为图形对0点的极惯性矩，用符号I P, 表示，如式(2 —2.6) ' (2 —2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正，其量纲是长度的4次方，常用单位为m4或mm (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 —7) (2 —2.7) ⑵对于外径为D内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性
一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为 ∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （I-3） 截面图形的形心坐标为
∑∑===n i i n i i i A x A x 11 ， ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。 （3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。 （4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原 点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即 ??+=+==A x y A p I I dA y x dA I )(222ρ （I-7）
第1节静矩和形心 4.1 静矩和形心 任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，而且与构件截面的几何形状和尺寸有关．如：计算杆的拉伸 与压缩变形时用到截面面积A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩I等．A 、I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质． 4.1 静矩和形心 设有一任意截面图形如图4 — 1 所示，其面积为A ．选取直角坐标系yoz ，在坐标为(y,z) 处取一微小面积dA ，定义微面积dA 乘以到y 轴的距离z ，沿整个截面的积分，为图形对y 轴的静矩S，其数学表达式 (4 -1a ) 同理，图形对z 轴的静矩为 (4-1b) 图4-1 截面静矩与坐标轴的选取有关，它随坐标轴y 、z 的不同而不同．所以静矩的数值可能是正，也可能是负或是零．静矩的量纲为长度的三次方． 确定截面图形的形心位置( 图4-1 中C 点): (4 -2a ) (4-2b)
式中y、z 为截面图形形心的坐标值．若把式(4-2) 改写成 (4-3) 性质： ?若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必定通过截面的形心． ?若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零． ?由于截面图形的对称轴必定通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状看成是由若干简单图形( 如矩形、圆形等) 组合而成的．对于这样的组合截面图形，计算静矩(S) 与形心坐标(y、z ) 时，可用以下公式 (4-4) (4-5) 式中A，y ，z 分别表示第个简单图形的面积及其形心坐标值，n 为组成组合图形的简单图形个数． 即：组合图形对某一轴的静矩等于组成它的简单图形对同一轴的静矩的代数和．组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积．组合截面图形有时还可以认为是由一种简单图形减去另一种简单图形所组成的． 例4-1 已知T 形截面尺寸如图4-2 所示，试确定此截面的形心坐标值．