轴对称图形
轴对称图形典型例题
例1 如下图，已知，PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，D 是AP 上一点． 求证：∠BDP ＝∠CDP ．
证明：∵ PB ⊥AB ，PC ⊥AC ，且PB ＝PC ，
∴ ∠P AB ＝∠P AC （到角两边距离相等的点在这个角平分线上）， ∵ ∠APB ＋∠P AB ＝90°，∠APC ＋∠P AC ＝90°， ∴ ∠APB ＝∠APC ， 在△PDB 和△PDC 中，
??
?
??=∠=∠= PD PD APC APB PC PB .，，
∴ △PDB ≌△PDC （SAS ）， ∴ ∠BDP ＝∠CDP ．
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．
例2 已知如下图（1），在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．
（1）
证法一：过D 作DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC 于F ， ∵ BD 平分∠ABC ，∴ DE ＝DF ， 在Rt △EAD 和Rt △FCD 中，
??
?==.DF DE DC AD ，
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴ Rt △EAD ≌Rt △FCD （HL ），
∴ ∠C ＝∠EAD ，
∵ ∠EAD ＋∠BAD ＝180°， ∴ ∠A ＋∠C ＝180°． 证法二：如下图（2），在BC 上截取BE ＝AB ，连结DE ，证明△ABD ≌△EBD 可得．
（2）
证法三：如下图（3），延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连结ED ，以下同证法二．
（3）
注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法．
例3 已知，如下图，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．
求证：BE ＋CF ＞EF ．
证法一：在DA 截取DN ＝DB ，连结NE 、NF ，则DN ＝DC ，在△BDE 和△NDE 中，
??
?
??=∠=∠=.DE DE NDE BDE ND BD ，，
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题） ∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），
∴ BE ＝NE （全等三角形对应边相等）， 同理可证： CF ＝NF ，
在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF （三角形两边之和大于第三边）， ∴ BE ＋CF >EF ．
证法二：延长ED 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ， 在△BDE 和△CDM 中，
??
?
??=∠=∠=.DM DE CDM BDE CD BD ，，
（从另一个角度作辅助线） ∴ △BDE ≌△NDE （SAS ），
∴ CM ＝BE （全等三角形对应边相等）， 又∵ ∠BDE =∠A DE ，∠ADF ＝∠CDF ， 而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180°， ∴ ∠ADE +∠ADF ＝90°， 即∠EDF ＝90°，
∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°， 在△EDF 和△MDF 中，
??
?
??=∠=∠=.DF DF MDF EDF MD ED ，，
∴ △EDF ≌△MDF （SAS ），
∴ EF ＝MF （全等三角形对应边相等）， 在△CMF 中， CF ＋CM >EF ， ∴ BE ＋CF >EF ．
注 本题综合考察角平分线、中线的意义，关键是如何使题中的分散的条件集中．
例4 已知，如下图，P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠BAC 的度数．
解：∵ AP ＝PQ ＝AQ （已知），
∴∠APQ＝∠AQP＝∠P AQ＝60°（等边三角形三个角都是60°），
∵AP＝BP（已知），（注意观察图形和条件）
∴∠PBA＝∠P AB（等边对等角），
∴∠APQ＝∠PBA＋∠P AB＝60°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），
∴∠PBA＝∠P AB＝30°，同理∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP＋∠P AQ＋∠QAC＝30°＋60°＋30°＝120°．
注本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：（1）利用等边对等角得到相等的角；（2）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关系；（3）利用三角形内角和定理列方程．
例5 已知，如下图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），
∵EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠ACB＝∠EDB（等量代换），
∴ED∥AC（同位角相等，两直线平行），
在△BDE和△AED中，BE＝AE=ED，
连结AD可得，∠EAD＝∠EDA，∠EBD＝∠EDB，
∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，
∴∠EDA＋∠EDB＝90°，即AD⊥BC，
（用什么定理判定三角形全等的？）
∴D为BC的中点，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F，而∠BED＝∠A，
∴∠F＝∠A．
例6 已知，如下图，△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE．
求证：EF⊥BC．
证法一：作BC边上的高AD，D为垂足，
∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴ ∠BAD ＝∠CAD （等腰三角形三线合一），
又∵ ∠BAC ＝∠E ＋∠AFE ，∠AEF ＝∠AFE ， ∴ ∠CAD ＝∠E ，∴ AD ∥EF ， ∵ AD ⊥BC ， ∴ EF ⊥BC ．
证法二：过A 作AG ⊥EF 于G ，
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，AG ＝AG ，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， ∴ △AGE ≌△AGF （ASA ）， ∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ， 又∠EAF ＝∠B ＋∠C ，（请对比多种证法的优劣） ∴ ∠EAG ＋∠GAF ＝∠B ＋∠C ， ∴ ∠EAG ＝∠C ，∴ AG ∥BC ， ∵ AG ⊥EF ， ∴ EF ⊥BC ．
证法三：过E 作EH ∥BC 交BA 的延长线于H ，
∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ， ∴ ∠H ＝∠B ＝∠C ＝∠AEH ，
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，∠H ＋∠AFE ＋∠FEH ＝180°， ∴ ∠H ＋∠AEH ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°， ∴ ∠AEF ＋∠AEH ＝90°，即∠FEH ＝90°， ∴ EF ⊥EH ，又EH ∥BC ， ∴ EF ⊥BC ．
证法四：延长EF 交BC 于K ，
∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠C ，
∴ ∠B ＝21
（180°－∠BAC ），
∵ ∠AEF ＝∠AFE ，
∴ ∠AFE ＝21
（180°－∠EAF ），
∵ ∠BFK ＝∠AFE ，
∴ ∠BFK ＝21
（180°－∠EAF ），
∴ ∠B ＋∠BFK ＝21（180°－∠BAC ）＋21（180°－∠EAF ） ∵ ＝21
[360°－（∠EAF ＋∠BAC ）]，
∴ ∠EAF ＋∠BAC ＝180°， ∴ ∠B ＋∠BFK ＝90°，即∠FKB ＝90°， ∴ EF ⊥BC ．
注 本题考察等腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立EF 与BC 的联系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．
例7 如下图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，P 是AD 上一点． 求证：∠ABP ＝∠ACP ．
证明：连结BC ， ∵ AB ＝AC （已知），
∴ ∠ABC ＝∠ACB （等边对等角），
又∵ 点A 、D 在线段BC 的垂直平分线上
（与线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），而两点确定一条直线， ∴ AD 就是线段BC 的垂直平分线，
∴ PB ＝PC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴ ∠PBC ＝∠PCB （等边对等角），（线段垂直平分线的性质） ∴ ∠ABC －∠PBC ＝∠ACB －∠PCB （等式性质）， 即∠ABP ＝∠ACP ．
注 本题若用三角形全等，至少需要证两次，现用线段垂直平分线的判定和性质，就显得比较简洁．
例8 如下图，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ，若△ABC 的周长为28，BC ＝8，求△BCE 的周长．
解：∵ 等腰△ABC 的周长＝28，BC ＝8， ∴ 2AC ＋BC ＝28，
∴ AC ＝10， （理由是什么？） ∵ DE 垂直平分AB ， ∴ AE ＝BE ，
∴ △BCE 的周长＝BE ＋EC ＋BC ＝AE ＋EC ＋BC
＝AC ＋BC ＝10＋8＝18．
注 本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，关键是运用线段垂直平分线的性质得到线段的等量关系．
例9 已知，如下图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF
交BC 于F ，交AB 于E ，求证：
FC BF 21=
．
证法一：连结AF ，则AF ＝BF ，
∴ ∠B ＝∠F AB （等边对等角）， ∵ AB ＝AC ，
∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）， ∵ ∠BAC ＝120°，
∴ ∠B ＝∠C ＝
302180=∠-BAC
（三角形内角和定理），
∴ ∠F AB ＝30°，
∴ ∠F AC ＝∠BAC －∠F AB ＝120°－30°＝90°， 又∵ ∠C ＝30°，（线段的垂直平分线是常见的对称轴之一）
∴
FC AF 21
=
（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴
FC BF 21=
．
证法二：连结AF，过A作AG∥EF交FC于G，
∵EF为AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
又∵∠B＝30°，
∴∠AFG＝60°，
∠BAG＝90°，
∴∠A G B＝60°，△AFG为等边三角形，
又∵∠C＝30°，∴∠G AC＝30°，
∴AG＝GC，（构造等边三角形是证明线段相等的一种好方法）
∴BF＝FG＝GC＝
FC
2
1
．
例10 已知，如下图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB＝75°，∠DMC＝45°，AM＝MD．求证：AB＝BC．
思路分析
从结论分析，要证AB＝BC，可连结AC，使BC与AB能落在一个三角形内，再看∠BAC与∠BCA能否相等？
证明：连结AC，交DM于H，
∵∠AMB＝75°，∠DMC＝45°（已知），
∴∠AMD＝60°（平角定义）
又∵AM＝MD，
∴△AMD为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AM＝AD（等边三角形三边相等），
∵CD⊥BC，∴∠DCM＝90°，
∵∠DMC＝45°，∴∠MDC＝45°（三角形内角和定理），
∴CD＝CM（等角对等边），
∴AC是DM的垂直平分线
（和线段两端点等距离的点，在线段的垂直平分线上），
∴∠MHC＝90°，∴∠HCM＝45°，
∵∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，
∴AB＝BC（等角对等边）．
【典型热点考题】
例1 如图7—15，等腰△ABC的对称轴与底边BC相交于点D，请回答下列问题：
(1)AD是哪个角的平分线；
(2)AD是哪条线段的垂直平分线；
(3)有哪几条相等的边；
(4)有哪几对相等的角．
点悟：本题主要考查等腰三角形的所有特征．所以应该根据等腰三角形是轴对称图形的性质来解答问题．
解：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴．
(1)AD是顶角∠BAC的平分线．
(2)AD是线段BC的垂直平分线．
(3)AB＝AC，BD＝DC．
(4)∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ADC．
例2 如图7—16，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP．
点悟：利用三角形全等证明两个角相等最直观，但因为图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形全等同样可以，
证明：∵ PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PAC(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
∵∠APB＋∠PAB＝90°，∠APC＋∠PAC＝90°，
∴∠APB＝∠APC．
在△PDB和△PDC中，
???
??=∠=∠=PD PD APC APB PC PB ∴ △PDB ≌△PDC(SAS)
∴ ∠BDP ＝∠CDP ．
例3 如图7—17，先找出下列各图形中的轴对称图形，再画出它们的对称轴(有几条，画几条)．
点悟：先确定是否是轴对称图形，如果是轴对称图形，就将它们的对称轴全部画出来． 解：(1)是，它有3条对称轴． (2)是，它有2条对称轴． (3)是，它有2条对称轴． (4)是，它只有一条对称轴．
(5)它不是轴对称图形，故没有对称轴．
(6)它是轴对称图形，有一条对称轴．图均略．
例4 如图7—18，△ABC 中，AB ＝AC ，D 在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ，将图中的等腰三角形全部写出来，并求出∠B 的度数．
点悟：图中共有三个等腰三角形，要将它们一一写出来，不能遗漏．在计算∠B 的度数时，要充分利用三角形的一个外角等于它的两个不相邻的两个内角的和． 解：图中共有三个等腰三角形，它们分别是：△ABC ，△ABD ，△CAD ． 设∠B ＝x ，则∠C ＝x ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠DAC ＝2x ． ∴ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝∠B ＋∠C ＋∠BAD ＋∠DAC ＝x ＋x ＋x ＋2x ＝5x ＝180°
∴ ?=?
=
=∠365180x B ．
例5 如图7—19，在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ．要从河边同一点修两条水渠到A 、
B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短
?
点悟：先将具体问题抽象成数学模型．河流为直线MN ，在直线MN 的同一侧有A 、B 两点．在直线MN 上找一点P ，使P 点到A 、B 两点的距离之和为最小．这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决．
解：如图7—19所示．作B 点关于直线MN 的对称点B ′，连结AB ′，与MN 相交于P ，则P 点即为所求．
事实上，如果不是P 点而是P '点时， 则连结B P 、P A ''和B P ''．
由轴对称性知道，B P PB B P B P '=''=',，
所以P '到A 、B 的距离之和，B P P A B P P A ''+'='+'， 而P 到A 、B 的距离之和B A B P AP PB AP '='+=+ 在'P B A '?中，三角形两边之和大于第三边，B A B P P A '>''+' 所以P 点即为所求的点．
例6 如图7—20，已知，AD 为△ABC 的中线，且DE 平分∠BDA 交AB 于E ，DF 平分∠ADC 交AC 于F ．
求证：BE ＋CF ＞EF ．
点悟：遇到角平分线就可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解决问题． 证法一：在DA 上截取DN ＝DB ．连结NE 、NF ．则DN ＝DC ． 在△BDE 和△NDE 中，
??
?
??=∠=∠=,,,DE DE NDE BDE ND BD ∴ △BDE ≌△NDE ．
∴ BE ＝NE ．
同理可得，CF ＝NF ．
在△EFN 中，EN ＋FN ＞EF(三角形两边之和大于第三边)． ∴ BE ＋CF ＞EF ．
证法二：如图7—21，延长DE 至M ，使DM ＝ED ，连结CM 、MF ．
在△BDE 和△CDM 中，
???
??=∠=∠=,,,DM DE CDM BDE CD BD
∴ △BDE ≌△CDM(SAS)． ∴ CM ＝BE(全等三角形对应边相等) 又∵ ∠BDE ＝∠ADE ，∠ADF ＝∠CDF ， 而∠BDE ＋∠ADE ＋∠ADF ＋∠CDF ＝180° ∴ ∠ADE ＋∠ADF ＝90°，即∠EDF ＝90°． ∴ ∠FDM ＝∠EDF ＝90°． 在△EDF 和△MDF 中，
??
?
??=∠=∠=,,,DF DF MDF EDF MD ED ∴ △EDF ≌△MDF(SAS)
∴ EF ＝MF(全等三角形对应边相等)．
在△CMF 中，CF ＋CM ＞MF ， ∴ BE ＋CF ＞EF ．
点拨：本题综合考查角平分线，中线的意义，三角形全等及线段之间的等量关系，关键是要把题目中的已知条件集中巧妙应用．
【易错例题分析】
例 已知如图7—22，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ．
求证：∠A＋∠C＝180°．
证法一：如图7—22，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F．
∵ BD平分∠ABC，∴ DE＝DF
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
∵ AD＝DC，DE＝DF，
∴ Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)
∴∠C＝∠EAD，
∵∠EAD＋∠BAD＝180°，
∴∠A＋∠C＝180°．
证法二：如图7—23，在BC上截BE＝AB，连结DE，证明△ABD≌△EBD可得．
证法三：延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二，如图7—24．
警示：本题直接加以证明则不可能，需要巧妙的添加适当的辅助线，不会添加辅助线或添加不适当的辅助线则是最常见的误区．本题是用一个角的平分线上任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，添加辅助线的方法有多种情况，应该很好感悟尽快掌握．
欢迎阅读 页脚内容 A B C N O 图3 轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王?田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 7 8的长915和6________________________． Ｄ．2.．三条角平分线的交点 345．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝°，则∠ABD 的度数是（ ） A D E
八上第二章《轴对称图形》暑假辅导（难题）单元测试（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题 1.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高线AD和BE的交点.若 CD=4，则线段DF的长为() A. 2 B. 4 C. 3 D. 4√2 2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=12，在OA 上有一动点Q，OB上有一动点R.若△PQR周长最小，则最小周 长是() A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 3.如下图，△ABC中，∠A=60°，BE，BF三等分∠ABC；CE，CF三等分∠ACB，分别交 于点E、F，连接EF，则∠BEF等于() A. 40° B. 45° C. 60° D. 50° 4.如图，AD是△ABC的边BC上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，由下列条件中的某一个就能 推出△ABC是等腰三角形的是()
①BD=CD；②∠BAD=∠CAD；③S△ABD=S△ACD；④DE=DF． A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD 交CE于N，交AE于O.则①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM； ⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°， 则∠A n?1A n B n?1(n>2)的度数为() A. 70 2n B. 70 2n+1 C. 70 2n?1 D. 70 2n+2 7.在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上， AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最 小值等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射 线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为()
《简单的轴对称图形》典型例题 例1 想一想等边三角形的三个内角各是多少度，它有几条对称轴。 例2 如图，已知ABC ?是等腰三角形，AC AB 、都是腰，DE 是AB 的垂直平分线，12=+CE BE 厘米，8=BC 厘米，求ABC ?的周长． 例3 AC AB ABC =,:中在已知? _____ ,100)3(____,30)2(___ __,,70)1(00为则它的另外两内角分别若一角为为则它的另外两内角分别若一个角为则若=∠=∠=∠C B A ο 例 4 如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠110ACD ，求ABC ?各内角的度数.
例5 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE． 例6如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．
参考答案 例1 分析：由等腰三角形的性质易知等边三角形三个内角相等都是60°，它有三条对称轴。 解：三个内角都是60°，它有三条对称轴。 说明：等边三角形是等腰三角形的特例，所以等腰三角形的性质对其都是适用的，在数学的学习时这样的情况是会经常出现的。 例2 分析：本题依据线段垂直平分线的性质可以得到． 解：DE Θ是AB 的垂直平分线 ∴BE AE = ∴12=+CE AE 厘米AC = ABC ?Θ是等腰三角形 ∴12==AC AB 厘米 ∴ABC ?的周长是3281212=++=++BC AC AB 厘米 例3 分析：注意到题中所给的条件AB ＝AC ，得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题（1）可得οο55,55=∠=∠C B ；对问题（2）考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角；对问题（3）由三角形内角和为ο180可得此等腰三角形的顶角只能为ο100这一种情况。 略解：（1）οο55,55=∠=∠C B （2）另外两内角分别为：οοοο120,30;75,75（3）οο40,40 说明：通过题目中的（2）、（3）渗透分类思想，训练思维的严密性。
小学三年级数学轴对称图形练习题 姓名：班别: 学号： 一．填空。 1．如果一个图形沿着一条直线对折.两侧的图形能够完全重合.这个图形就是【】.折痕所在的直线叫做【】。 2．在对称图形中.对称轴两侧相对的点到对称轴的【】。 二．判断。 1．通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。( ) 2．圆是轴对称图形.每一条直径都是它的对称轴。【】 3.等腰梯形是对称图形。( ) 4.正方形只有一条对称轴。( ) 三．选择。 1．4.下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 2．下面不是轴对称图形的是【】。 ①长方形②平行四边形③圆④半圆 3．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像【如图所示】.此时.它所看到的全身像是( ) 4.【2004·安徽】如图14－18所示.下列图案中.是轴对称图形的是( ) A.【1】【2】 B.【1】【3】 C.【1】【4】 D.【2】【3】 5.(2004·厦门)如图14－19所示.下列图案中.是轴对称图形的是( )
图14-19 A.【1】【2】 B.【1】【3】【4】 C.【2】【3】 D.【1】【4】 6.下列英文字母属于轴对称图形的是【 】 A.N B.S C.L D.E 7.下列各时刻是轴对称图形的为【 】 A. B. C. D. 8.将写有字“B ”的字条正对镜面.则镜中出现的会是【 】 A . B . C . D . 9.和点P 【－3.2】关于y 轴对称的点是【 A.【3. 2】 B.【－3.2】 C. 【3.－2】 D.【－3.－2】 10．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示.则电子表的实际读数是 . 四．作图题。 画下面图形的对称轴． 五．解答题。 1. 判断下列图形【如图14－6所示】是不是轴对称图形. 2.判断下面每组图形【如图14－7所示】是 否关于 某条直线成轴对称. B ： 第10题图
轴对称图形解答题较难题 一、翻折变换题型 1 ．（ 1 ）数学课上，老师出了一道题，如图①， Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC=?AB，求证：∠ B=30°，请你完成证明过程． （ 2 ）如图②，四边形 ABCD 是一张边长为 2 的正方形纸片， E 、 F 分别为AB 、 CD 的中点，沿过点 D 的折痕将纸片翻折，使点 A 落在 EF 上的点 A′处，折痕交 AE 于点 G ，请运用（ 1 ）中的结论求∠ ADG 的度数和 AG 的长． （ 3 ）若矩形纸片 ABCD 按如图③所示的方式折叠， B 、 D 两点恰好重合于一点 O （如图④），当 AB=6 ，求 EF 的长． 二、特异三角形 1.如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（ 1 ）如图 1 ，△ ABC 中，∠ B=2 ∠ C ，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 D ，交 BC 于点 E ．求证： AE 是△ ABC 的一条特异线； （ 2 ）如图 2 ，若△ ABC 是特异三角形，∠ A=30°，∠ B 为钝角，求出所有可能的∠ B 的度数． 5 ．等腰△ ABC 中， CA=CB ，点 D 为边 AB 上一点，沿 CD 折叠△ CAD 得到 △ CFD ，边 CF 交边 AB 于点 E ， CD=CE ，连接 BF ． （ 1 ）求证： FD=FB ． （ 2 ）连接 AF 交 CD 的延长线于点 M ，连接 ME 交线段 DF 于点 N ，若 EF=4EC ， AB=22 ，求 MN 的长． 三、点的运动变化题型 8 ．如图，△ ABC 是边长为 6 的等边三角形， P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A 、 C 不重合）， Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度
第10题 一、 选择题 1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，?则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处 C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D.在A 、B 两内角平分线的交点处 4.下列说法中错误的是（ ） A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴 B 关于某条直线对称的两个图形全等 C 全等的三角形一定关于某条直线对称 D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30° 6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ） A ．100° B ．100°或40° C ．40° D ．80° 7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ） A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC 8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ） A . <1>和<2> B . <2>和<3> C . <2>和<4> D . <1>和<4> 轴对称作图题专练 1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，?且到∠AOB 的两边的距离相等． C B A
三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）相等。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图 形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴． 11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 . 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称 图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B 、正方形 C 、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。8题）
《轴对称图形与成轴对称》练习题 姓名：班别: 学号： 一．填空。 1．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2．在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）。 二．判断。 1．通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。() 2．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴。（） 3.等腰梯形是对称图形。( ) 4.正方形只有一条对称轴。( ) 三．选择。 1．4、下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 2．下面不是轴对称图形的是（）。 ①长方形②平行四边形③圆④半圆 3．一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是( ) 4.（2004·安徽）如图14－18所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（4） D.（2）（3） 5.(2004·厦门)如图14－19所示，下列图案中，是轴对称图形的是( ) 图14-19 A.（1）（2） B.（1）（3）（4） C.（2）（3） D.（1）（4） 6、下列英文字母属于轴对称图形的是（） A、N B、S C、L D、E 7、下列各时刻是轴对称图形的为（） A、B、C、D、 8、将写有字“B”的字条正对镜面，则镜中出现的会是（） A、B、 C、 D、 9、和点P（－3，2）关于y轴对称的点是（） A.（3，2） B.（－3，2） C. （3，－2） D.（－3，－2） 10．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是. 四．作图题。 画下面图形的对称轴． B 第10题图
1 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置？）；②等腰三角形的 对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角 形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 //3．∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，△P 1OP 2是 （ c ）：∵P 为∠AOB 内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为P 1、P 2， ∴OP=OP 1=OP 2且∠P 1OP 2=2∠AOB=60°， ∴△OP 1P 2是等边三角形． A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形； C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形. 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ） ∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） A ．PA+P B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定 7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ，（ C ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1 C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对 8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ， PD ⊥OA ，若PC=4 ，则PD=（C ）过点P 作PM ⊥OB 于M ，∵PC ∥OA ，∴∠COP=∠CPO=∠ POD=15°，∴∠BCP=30°，∴PM= A O P A E C B D
轴对称图形典型例题 例1 如下图，已知，PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP． 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，且PB＝PC， ∴∠P AB＝∠P AC（到角两边距离相等的点在这个角平分线上），∵∠APB＋∠P AB＝90°，∠APC＋∠P AC＝90°， ∴∠APB＝∠APC， 在△PDB和△PDC中， ∴△PDB≌△PDC（SAS）， ∴∠BDP＝∠CDP． （图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等） 注 利用角平分线定理的逆定理，可以通过距离相等直接得到角相等，而不用再证明两个三角形全等．
已知如下图（1），在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC．求证：∠A＋∠C＝180°． （1） 证法一：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF， 在Rt△EAD和Rt△FCD中， （角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明．） ∴Rt△EAD≌Rt△FCD（HL）， ∴∠C＝∠EAD， ∵∠EAD＋∠BAD＝180°， ∴∠A＋∠C＝180°． 证法二：如下图（2），在BC上截取BE＝AB，连结DE，证明△ABD ≌△EBD可得．
证法三：如下图（3），延长BA到E，使BE＝BC，连结ED，以下同证法二． （3） 注 本题考察一个角平分线上的任意一点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，关键是掌握遇到角的平分线的辅助线的不同的添加方法． 例3 已知，如下图，AD为△ABC的中线，且DE平分∠BDA交AB于E，DF 平分∠ADC交AC于F． 求证：BE＋CF＞EF． 证法一：在DA截取DN＝DB，连结NE、NF，则DN＝DC，在△BDE 和△NDE中，
一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形（位置）；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ d ）个 A A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误； （2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误； （3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误； （4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确． 2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ c ）个 B ①、②不是轴对称图形；③长方形是轴对称图形；④等腰三角形是轴对称图形 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ c ）----证全等，等量代换. 等边△ABC 中，有∠ABC=∠C=60°，AB=BC ，BD=CE ∴△ABD ≌△BCE （SAS ）∴∠BAD=∠CBE=∠PBD ∴∠APE=∠BAD +∠ABP=∠ABP+∠PBD =∠ABD =60° A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2 ，则 这个梯形较小 的底角是（ c ）度. A 已知等腰梯形两底长AD=4cm ，BC=10cm ，面积为21cm 2，求出梯形的 高为AE=3．而BC-AD=BE+CF=6，∴BE=3，由等腰梯形的性质即可求出梯形较小的底角为45°． A ．45° B ．30° C ．60° D ．90° 6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ D ） P A E C B D
- 2 - 轴对称图形练习题 一、选择题 1．下列图形中，只有两条对称轴的是（ ） A ．正六边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．圆 2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m 4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A.90° B. 75° C.70° D. 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接 1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7 8.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60° 9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠ B M N P 1A P 2 O P M A N C Q P B N M D C H E B A F E D C B A
精心整理 一、选择题 1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形； ②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上 的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂 2 ）3对称， B．顶 . 4与BE 相交于点P，则 ∠APE的度数是（） A．45°B．55° C．60°D．75°
5.等腰梯形两底长为4cm和10cm，面积为21cm2，则这个梯形较 小 的底角是（）度. A．45°B．30°C．60°D．90°6．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 A． D． 7． C D 8 PC （ A．4B．3 C．2D．1 9．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离 为5，Q是OB上任一点，则（）
A．PQ＞5B．PQ≥5 C．PQ＜5D．PQ≤5 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（） A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm 11 12 13CD=4， 14 15AB=6， 的周 1610且有一底角为 60°，则它的两底长分别为____________． 17．若D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD， 则∠BAC=____________．
18．△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题 19．如图：已知∠AOB和C、D两点，求作 两边20C， 21 22AC于E、 23ABP=结论．
参考答案 第一章 轴对称图形 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 1116．4、6 19202123＝AQ ，
轴对称复习练习题1．已知等腰三角形的一个角为42 0，则它的底角度数_______． 2．下列10个汉字：林 上 下 目 王田 天 王 显 吕，其中不是轴对称图形的是______有一条对称轴的是________；有两条对称轴的是_______；有 四条对称轴的是________． 3.如图，镜子中号码的实际号码是___________． 4．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为______． 5．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ． 6．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度． 7．如图，AB=AC ，0120BAC ∠=，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，那么ADC ∠= 。 8、如图，ABC △的周长为32，且AB AC AD BC =⊥，于D ，ACD △的周长为24，那么AD 的长为 ． 9．如图，∠A =15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM 的度数为________． 10.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，则这个三角形的腰长及底边长为________________________． 二、选择题 1．下列图形是轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． Ｄ． 2.到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） N M E F C B A D A B C D
A B M C N O 图3 A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点 C ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条角平分线的交点 3．在下列说法中，正确的是（ ） A ．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形; B ．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形; C ．等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形; D ．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 4．直角三角形三边垂直平分线的交点位于（ ） A.三角形内 B.三角形外 C.斜边的中点 D.不能确实 5．如图3，已知△ABC 中，AC+BC=24，AO 、BO 分别是角平分线，且MN ∥BA ，分别交AC 于N 、BC 于M ，则△CMN 的周长为（ ）A ．12 B ．24 C ．36 D ．不确定 6．如图4所示,Rt △ABC 中∠C=90°,AB 的中垂线 DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B=30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC=AE=BE B ．AD=BD C ．CD=DE D ．AC=BD 7．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o 8．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交 AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 9．如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ） A ．20o B ．30o C ．35o D ．40o 10、如图，在Rt ABC △中，ο90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，A D E B 图4 A C B D E
2.1轴对称与轴对称图形 姓名_______学号_______班级_______ 学习目标: 1.欣赏生活中的轴对称现象和轴对称图案,探索它们的共同特征,发展空间观念. 2.通过具体实例了解轴对称概念,了解轴对称图形的概念，知道轴对称与轴对称图形的区别和联系. 学习重点: 了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值. 学习难点: 能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念． 学习过程: 一、创设情境 观察如下的图案, 它们有什么共同的特征? 二、探索活动 活动一折纸印墨迹 问题1.你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2.两边墨迹的位置与折痕有什么关系？ 概念：把一个图形沿着___________________翻折，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形____________________对称,也称这两个图形成______________. 这条直线叫做________________，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点． 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称， 直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、 点C与点F都是关于直线MN的对称点. 活动二切藕制作成轴对称的两个截面 联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？ 活动三
把_________图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是_______________，这条直线就是_____________. 请你找出图1-5中的各图的对称轴. 联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？ 活动五轴对称与轴对称图形的区别和联系 三、课堂练习 1. 分别画出下列轴对称型字母的对称轴以及两对对称点. 2.画出下列各轴对称图形的对称轴.
文档 轴对称图形练习题 一、选择题 1．下列图形中，只有两条对称轴的是（ ） A ．正六边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．圆 2．如下左1图Rt 90ABC C BAC ∠∠o 在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如下左2图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，AB=16m ，则DE 的长为（ ）． A.8 m B.4 m C.2 m D.6 m 4．如下左3图：∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）． A.90° B. 75° C.70° D. 60° 5．把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是（ ）． A.直角三角形 B.长方形 C.等边三角形 D.等腰三角形 6．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）． A ． 9 B ． 12 C ． 9或12 D ． 5 7．如下左1图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接 1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7 8.如下左2图,∠BAC=110°若MP 和NQ 分别垂直平分AB 和AC,则∠PAQ 的度数是( ) ． A .20° B . 40° C .50° D . 60° 9．如下左3图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中（ ）． A .AD DH AH ≠= B .AD DH AH == C .DH AD AH ≠= D .AD DH AH ≠≠ B M N P 1A P 2 O P M A N C Q P B N M D C H E B A F E D C B A
《第2章轴对称图形》 一、选择题 1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D． 2．一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（） A．B．C．D． 3．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．11 B．16 C．17 D．16或17 4．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）A．30° B．36° C．40° D．45° 5．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（） A．10 B．7 C．5 D．4 6．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（）A．BF=EF B．DE=EF C．∠EFC=45°D．∠BEF=∠CBE 7．如图，在第1个△A 1BC中，∠B=30°，A 1 B=CB；在边A 1 B上任取一点D，延长CA 1 到A 2 ，使A 1 A 2 =A 1 D， 得到第2个△A 1A 2 D；在边A 2 D上任取一点E，延长A 1 A 2 到A 3 ，使A 2 A 3 =A 2 E，得到第3个△A 2 A 3 E，…按 此做法继续下去，则第n个三角形中以A n 为顶点的内角度数是（） A．（）n?75°B．（）n﹣1?65°C．（）n﹣1?75°D．（）n?85° 8．如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形 9．如图是P 1、P 2 、…、P 10 十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接P 1 P 2 、 P 1P 10 、P 9 P 10 、P 5 P 6 、P 6 P 7 ，判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？（） A．P 2P 3 B．P 4 P 5 C．P 7 P 8 D．P 8 P 9
B C 轴对称图形 考点1：轴对称及轴对称图形的意义 一、考点讲解： 1．轴对称：两个图形沿着一条直线折叠后能够互相重合，我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对 应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段． 2．如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3．轴对称的性质：如果两个图形关于某广条直线对称，那以对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分， 对应点的连线互相平行或在同一条直线上，对应的线段（或其延长线）相交，交点在对称轴上。 4．简单的轴对称图形： 线段：有两条对称轴：线段所在直线和线段中垂线． 角：有一条对称轴：该角的平分线所在的直线． 等腰(非等边）三角形：有一条对称轴，底边中垂线． 等边三角形：有三条对称轴：每条边的中垂线． 等腰梯形：过两底中点的直线 正n 边形有n 条对称轴 圆有无数条对称轴。 二、基本图形： 1．已知：点A 、B 分别 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最短。 变形1：正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，在对角线AC 上找一点P ，使PA+PB 最短。 变形2：已知点A （1，6）、点B （6，4），在x 轴和y 轴上各找一点C 、D ，使四边形 ACDB 的周长最短。 三、经典考题剖析： 1．在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是 （ ） 2．下列图形中是轴对称图形的是（）。 A B l
3．下列图形中，是轴对称图形的有（ ） Ａ．4个 Ｂ．3个 Ｃ．2个 Ｄ．1个 4．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() (A)(B)(C)(D) 5．如图，如果直线m 是多边形ABCDE 的对称轴，其中∠A=1300， ∠B=1100．那么∠BCD 的度数等于 （ ） A.400 B.500 C ．600 D.700 6．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） 7．如图5，请你画出方格纸中的图形关于点O 的中心对称图形，并写出整个图形的 对称轴的条数． 四、针对性训练： 1．从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是，该车的后5位号码实际是。 2．图4是平面镜里看到背向墙壁的电子钟示数，这时的实际时间应该是． 3．请先找出正三边形、正四边形、正五边形等正多边形的对称轴的条数，再猜想正n 边形对称轴的条数为 ． 4．下列图形中，是． 轴对称图形的为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 5．下列图案中，不是轴对称图形的是 6．下图形是轴对称图形的是 （A ）（B ）（C ）（D ） O 图 B A C D 图4 A ． B ． C ． D ． 友情提醒： 观察运动的重要标示，好好观
第2章《轴对称图形》易错疑难点归纳 易错点1 对轴对称的概念理解不透 1.下列说法正确的有( ) ①全等的两个图形一定成轴对称; ②成轴对称的两个图形一定全等; ③若两个图形关于某直线成轴对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧; ④若点,A B 关于直线MN 对称，则直线MN 垂直平分线段AB . A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 易错点2 判断轴对称图形对称轴的条数出错 2.如图所示的图形分别有几条对称轴?请分别画出它们的对称轴. 易错点3 没有正确利用轴对称的性质画出对称图形 3.如图，作出ABC ?关于BC 所在直线对称的图形. 易错点4 解题时考虑不全面，导致漏解 4.在ABC ?中，,AB AC AB =的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，求C ∠的度数. 易错点5 未能正确理解“三线合一”中的“三线”指的是哪三条线段 5.已知在ABC ?中， ,AB AC BD AC =⊥，垂足为点D .若30A ∠=?，求DBC ∠的度数. 疑难点1 利用轴对称解决最值问题 1.如图，等边三角形ABC 的边长为4 ,AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若2AE =，当EF CF +取得最小若值时，ECF ∠的度数为( ) A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
疑难点2 利用线段垂直平分线知识解决线段相等问题 2.如图，已知P 为ABC ?的边BC 的垂直平分线上的一点，该垂直平分线交BC 于点G ，且1,,2 PBG A BP CP ∠=∠的延长线分别交,AC AB 于点D ，E .求证:BE CD =. 疑难点3 探索问题 3.如图，在Rt ABC ?中，90,30,ACB A P ∠=?∠=?为BC 边上任意一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF . (1)试探索EF 与AB 的位置关系，并证明; (2)如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时， (1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)如图3，在Rt ABC ?中，90,,ACB A m P ∠=?∠=?为BC 延长线上一点，点Q 为AC 边上的动点，分别以,CP PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使(1)中的结论仍然成立，则需要添加怎样的条件?不需证明.
初二轴对称图形难题总结 如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求． （1）实践运用： 如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_________． （2）知识拓展： 如图（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程． 2．（1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值． 如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_________． （2）实践运用 如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_________． （3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法． 如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？