专题六 函数与导数
【高考考场实情】
函数与导数在高考考查中一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．高考对这一部分内容考查的难度相对稳定，其中一选择题为容易题为中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．
【考查重点难点】
选择、填空题主要考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的运用，函数零点的判断，简单的函数建模，导数的几何意义的运用等；解答题主要考查导数在函数问题中的综合运用，重点是利用导数的方法研究函数的单调性和极值，解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模的能力，突出了对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的学习对策．
【存在问题分析】
1．缺乏运用特殊值法、排除法解题意识
【指点迷津】本专题中，“特殊值法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值（或特殊情形，如特殊点、特殊函数、特殊图形等），通过简单的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特殊值法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用．
【例1】（2016年新课标Ⅰ卷理7、文9）函数22x
y x e =-在[2,2]-的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．对函数中的基本概念、公式的理解掌握不到位
【指点迷津】本专题中，从学生方面看，更倾向于题海战，而忽视了基本概念、公式的理解掌握，如指数、
对数的运算性质等推导过程的轻视；从教师层面看，指数、对数的运算性质推导过程的教学是在高一起始阶段，但由于在高一阶段的测试和练习中，并未涉及推导过程的考查，更多的是公式的运用，以至于教师对于运算性质的由来一笔带过，侧重于公式的运用的练习．
【例2】（2017年新课标Ⅰ卷理11）设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 3．未能深入领会数形结合的思想
【指点迷津】纵观历年数学高考试题，函数图象问题深受命题者的青睐．主要考查角度有：有“图”识“图”、有“图”作“图”、有“图”不作“图”、无“图”作“图”（注:此处第一个“图”是指试题题干中出现的“图象”字眼，第二个“图”是指为解决问题所作的函数图象），下例即为无“图”作“图”．解决有关函数图象的问题可归结为“以形助数”和“以数解形”两个方面，即有的函数图象问题，需利用（或挖掘）条件所呈现（或隐含）的函数图象，利用图象找出解决问题的突破口；而有的函数图象问题，无需作图，利用函数性质或其它知识即可解决问题．
【例3】（2017年新课标Ⅲ卷理15、文16）设函数10
()20x
x x f x x +≤?=?>? x
，则满足1()()12
f x f x +->的x
的取值范围是 ． 4．导数的综合运用能力较弱
【指点迷津】导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
【例4】（2017年新课标Ⅱ卷理21）已知函数2
()ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥． （Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．
【解决问题对策】
1．培养利用“特殊值法”解题的能力
对特“殊值法”还要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、混合选取，看能否达到目标．特殊值法可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊值法”的解题能力.
【例5】（2016年新课标Ⅰ卷理8）若1a b >>，01c <<，则（ ）
A ．c c a b <
B ．c c ab ba <
C ．log log b a a c b c <
D ．log log a b c c <
（C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C
2．厘清指数、对数的概念、运算性质及其函数性质
如2016年新课标卷Ⅰ(理8、文8)与 新课标Ⅲ（理6）和2017年新课标卷都考查了指数、对数、幂的运算及性质.对函数基础知识的教学要回归课本，深化函数基本概念、公式及基本图像性质的理解．
【例6】（2017年北京卷理8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与
M
N
最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48≈） A ．3310 B ．5310 C ．7310 D ．9310 3．提高识图、作图能力，培养数形结合思想
数形结合思想将抽象逻辑思维与直观形象思维有效地结合起来，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．高考对函数图象内容的命题重在考查学生识图、作图及对图形的想象能力，考查文字、符号、图形语言的灵活转化以能力，体现具备“有图想图”、“无图想图”的分析问题、抽象问题、转化问题的能力．
【例7】（2017年新课标Ⅲ卷理11、文12）已知函数2
1
1()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，
则a =（ ） A ．12-
B ．13
C ．1
2
D ．1 【新题好题训练】
1．已知函数，设，，
，则（ ）
A. B.
C.
D.
2．若函数在
上有最小值，则的取值范围为（ ）
A. B.
C.
D.
3．若函数
在
上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4．分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为__________．
5．已知，若函数且有且只有五个零点，则的取值范围是__________．
6．已知函数．
（Ⅰ）若函数在内有极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意，，求证：．
7．已知,.
（1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；
（2）当时，求证：方程恒有两解.
8．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
9．已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
10．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若是函数的导函数的两个零点，当时，求证：.