立体几何常考定理总结(八
大定理)
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
l
m
β
α
α
b
a
立体几何的八大定理
一、线面平行的判定定理：线线平行?线面平行
文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行.
符号语言：//a b a b αα??
?
????
?//a α
关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行?线线平行
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相．
交．，那么这条直线就和交线．．
平行. 符号语言：//l l m α
βαβ?
?
????=?
?//l m
关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行? 面面平行
文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．
符号语言：//a b a b A a b αα
αβββ
??????
=
??????
∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．行。．．
四、面面平行的性质定理: 面面平行?线线平行、面面平行?线面平行
n
m
A
α
a
文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三个．．．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:
////a a b b αβαγβγ?
?
?=????=?
关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面．．．．．都相交，则交线平行．．．．．．．．．
文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.
符号语言://,//a a αβαβ?? 关键：只要是其中一个平面内的直．．．．．．．．．．．．．．．线就行．．．
五、线面垂直的判定定理：线线垂直?线面垂直
文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面.
符号语言：,a m a n
a m n A m n ααα⊥?
?⊥?
?⊥??=?????
关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直?线线垂直
文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：
l l a a αα⊥?
?⊥??
关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直?面面垂直
B
A l β
αa
β
α
文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经
过这条直线，那么这两个平面垂直）
符号表示：a a ααββ⊥??⊥???
关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直?线面垂直
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．
的直线垂直于另一个平面.
符号语言：l AB AB AB l
αβαββα⊥?
?=?
?⊥???
?⊥?
关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．线。．．
一、线线、线面和面面的位置关系
两直线位置关系
a b
a b
a b
??
?
?
??
?
?
=A
共面
//
异面-----与异面
线面位置关系
//
l
l A
l l
l
α
α
αα
α
?
?
?
??
?
=
?
??
?⊥
??
?
?
?
?
?
斜交
垂直:
面面的位置关系
a
αβ
αβ
αβ
?
?
?
?
?
?⊥
?
?
平行：//
斜交：=
相交
垂直：
二、有关平行的证明
线
∥
线
⑴
//
//
//
a
c
a
c
b
b?
?
?
?
线∥线?线∥
线
（都是直线）
⑵
//
//
a
a a b
b
α
β
αβ
?
?
?
?
?
??
=
线∥面?线∥线
（相交平面）
⑶
//
//
a a b
b
αβ
αγ
βγ
=?
=
?
?
?
?
?
面∥面?线∥线
（平行平面）
⑷//
a
a b
b
α
α
?
??
?
⊥
⊥
同垂直于一个平
面
?线∥线
（线面垂直）
线
∥
面
⑴
//
//
a
b a
a b
α
αα
?
?
?
?
?
?
?
?
线∥线?线∥
面
⑵////
a
a
αβ
β
α
?
?
?
?
?
面∥面?线∥
面
面∥面
,
//
//,//
a b
a b O
a b
αα
αβ
ββ
?
?
?
?
?
??
=?
线∥面?面∥面
线
⊥
线
//
a c
b c
a b
⊥?
?⊥
?
?
线⊥线?线⊥线
a
a b
b
α
α
⊥?
?⊥
?
??
线⊥面?线⊥线
线
⊥
面
,
,
l a l b
a b P l
a b
α
αα
⊥⊥?
?
=?⊥
?
?
???
线⊥线?线⊥面
l
a
a
a l
αβ
αβ
β
α
⊥?
?
=?
?⊥
?
??
?
⊥?
面⊥面?线⊥面
面
⊥
面
a
a
β
αβ
α
⊥?
?⊥
?
??
线⊥面?面⊥面
四、三种角的范围
异面直线所成角
(]
0,90
θ∈??
直线与平面所成角
[0,90]
PAO
∠∈??
二面角
[0,180]
AOB
∠∈??
五、三角形的四心六、平面几何中结论
外心：中垂线的交点
外接圆的圆心
中位线定理——中位线平行且等于底边的一半内心：角平分线的交点
内切圆的圆心
线段对应成比例?线线平行
重心：中线的交点
（2比1）
两组对边平行或一组对边平行且相等的四边形为平
行四边形