1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题
2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题
3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的
4、 培养学生的解决问题的能力
一、相遇 甲从A
地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么
相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间
＝速度和×相遇时间.
一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=t S V 和和
二、追及
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差
例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t 后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲和v 乙，那么我们可以看到经过时间t 后，甲比乙多跑了5米，或者可
以说，在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t 追了乙5米 知识精讲
教学目标
3-1-2相遇与追及问题
三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：
(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同
(2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。
???÷??÷?÷?????÷?
总路程=速度和相遇时间相遇问题速度和=总路程相遇时间
相遇时间=总路程速度和追及时间=追及路程速度差追及问题追及路程=速度差追及时间
速度差=追及路程追及时间 模块一、直线上的相遇与追及问题
【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行
48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？
【解析】 本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48）
×3.5=94×3.5=329（千米）．
【巩固】 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时
行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？
【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135
（千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.
【例 2】 大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，
他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的
速度是每分钟走多少米？
【解析】 大头儿子和小头爸爸的速度和：30005060÷=(米/分钟)，小头爸爸的速度：
6024242+÷=（）(米/分钟)，大头儿子的速度：604218-=(米/分钟)．
【巩固】 聪聪和明明同时从各自的家相对出发，明明每分钟走20米，聪聪骑着脚踏车每分钟比明明快42
米，经过20分钟后两人相遇，你知道聪聪家和明明家的距离吗？
【解析】 方法一：由题意知聪聪的速度是：204262+=(米/分)，两家的距离=明明走过的路程+聪聪走
过的路程2020622040012401640=?+?=+=(米)
，请教师画图帮助学生理解分析．
？
20分钟后相遇聪聪
注意利用乘法分配律的反向应用就可以得到公式：S v t =和和．对于刚刚学习奥数的孩子，
注意引导他们认识、理解及应用公式．
方法二：直接利用公式：S v t =和和2062201640=
+?=（）(米)． 【例 3】 A 、B 两地相距90米，包子从A 地到B 地需要30秒，菠萝从B 地到A 地需要15秒，现在包
子和菠萝从A 、B 两地同时相对而行，相遇时包子与B 地的距离是多少米？
【解析】 包子的速度：90303÷=(米／秒)，菠萝的速度：90156÷=(米／秒)，相遇的时间：
90(36)10÷+=(秒)，包子距B 地的距离：9031060-?=(米)．
【巩固】甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？
【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，甲车的速度是360490
÷=（千米／时），乙车的速度是3601230
÷+=（小时）．
÷=（千米／时），则相遇时间是360(9030)3
【例4】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求A、B两地间的距离．
【解析】这题不同的是两车不“同时”．
（法1）求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和．这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来．48(15)288
?+=（千米），505250
?=（千米），+=（千米）．
288250538
（法2）还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程．+?=（千米），49048 538
(4850)5490
+=（千米）．
【巩固】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：41282
?=(千米)，甲、乙两车同时相对而行路程：77082688
+=(千米／时)，甲
-=(千米)，甲、乙两车速度和：454186车行的时间：688868
÷=(小时)．
【巩固】甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？
【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙两车同时相对而行的时间．乙车先行驶路程：22244
?=(千米)，甲、乙两车同时相对而行路：14444100
+=(千米)，与乙车
-=(千米)，甲、乙两车速度和：282250相遇时甲车行的时间为：100502
÷=(小时)．
【巩固】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？
【解析】妈妈先走了3分钟，就是先走了753225
?=（米）．20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，这一段的路程为：(7560) 20 2700
+?=（米），这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离．即?++?=（米）．
(753)(7560)202925
【巩固】甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行．货车每小时行50千米，客车每小时行70千米．客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇．问相遇
时客车、货车各行驶多少千米？
【解析】因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时．如果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的．再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间．然后根据路程＝速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程．相遇时间：(53050)(5070)4801204
-÷+=÷=（小时）相遇时客车行驶的路程:704280
?+=（千米）．
?=(千米)相遇时货车行驶的路程：50(41)250
【巩固】 甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每
小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？
【解析】 36637237364-?÷+=（）
（）(小时)．
【例 5】 甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B 地出发，乙车出
发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A 、B 两地
间相距多少千米？
【解析】 题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：
由图中可以看出，甲行驶了358+=(小时)，行驶距离为：488384?=(千米)；乙行驶了5小时，行驶距离为：505250?=(千米)，此时两车还相距15千米，所以A 、B 两地间相距：38425015++ 649=(千米)
也可以这样做：两车5小时一共行驶：
48505490+?=（）(千米)，A 、B 两地间相距：490483+? 15649+=(千米)，所以，A 、B 两地间相距649千米．
【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A 、B 两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距
141千米；出发后5小时，两车相遇．A 、B 两地相距多少千米？
【解析】 公式“相遇时间=路程和÷速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应
的．如图所示
5小时的相遇时间与A 、B 两地的距离相对应，(52-)小时的相遇时间与141千米相对应.两车的
速度之和是：1415247÷
-=（）(千米/时).A 、B 两地相距：475235?=(千米)
【例 6】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在
途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？
【解析】 每列车停车时间：15460?=（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：716-=小
时，速度和：404585+=（千米），两城距离：856510?=（千米）．
【巩固】 两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途
中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？
【解析】 每列车停车时间：12560?=（分）=1（小时），两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：716
-=小时，速度和：404585+=（千米），两城距离：856510?=（千米）．
【例 7】 甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时
行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米？这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每
小时要飞行多少千米？
【解析】 ①4小时后相差多少千米：(340300) 4160-?=（千米）．②甲机提高速度后每小时飞行多少千米：
1602340420÷+=（千米）．
【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同
时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．
【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．
【巩固】 南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S 城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车
同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米？
【解析】 两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，(5060)3330+?=（千米）．
【巩固】 两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，
5小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【解析】 因为是背向而行，所以每过1小时,两车就多相距404282+=(千米),则5小时后两车相距是：
(4042)580490+?+=（千米）．
【巩固】 两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，
5小时后，甲、乙两车相距多少千米？
【解析】 因为是背向而行，所以两车5小时后的距离是：(3540)540415+?+=（千米）。
【例 8】 两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，
当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少分钟？
【解析】 甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标．当乙返回时运动的方向变成了同时相对而
行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时 乙到达目标时所用时间：9001009÷=(分钟)，甲9分钟走的路程：809720?=(米)，甲距目标还有：900720180-=(米)，相遇时间：180(10080)1÷+=(分钟)，共用时间：9110+=(分钟)．
【巩固】 八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八
戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？
【解析】 要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间：255(4540) 3÷+=（小时）．悟空：
453135?=（千米），八戒：403120?=（千米）．
【例 9】 两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已
经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？
【解析】 根据题意列综合算式得到：()33008283155÷+-=（分钟），所以两个人还需要5分钟相遇。
多行5千米，4小时后两车相遇了吗？为什么？
【解析】
40545+=(千米)，40454340+?=（）(千米)，340千米<400千米，因为两车4小时共行340千米，所以4小时后两车没有相遇．
【例 10】 孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙
河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2
小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？
【解析】 注意：“还相距”与“相距”的区别．建议教师画线段图．可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路
程：2001502700+?=（） (千米)，又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：
7005001200+=(千米)．
【巩固】 两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40
千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇？
【解析】 所求问题＝全程－4小时行驶的路程和．路程和：384404312?+?=（千米），
450312138-=（千米）．
【例 11】 (2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米
的两地向对方的出发地前进．当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了___________小时．
【解析】 有两种情况，一种是甲乙两人一共走了301020-=(千米)，一种是甲乙两人一共走了
301040+=(千米)，所以有两种答案：
3010642-÷+=（）（）(小时)或3010644+÷+=（）（）(小时)
【巩固】 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，
小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？
【解析】 两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距90千米，这时
两车共行的路程应为（45090-）千米．即 (45090)(4050)4-++=(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距90千米．这时两车共行的路程为45090+千米，即 (45090)(4050)6+÷+=（小时)．
【巩固】 两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千
米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？
【解析】 两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：
480(4042) 548041070-+?=-=（千米）．
【例 12】 甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发2小时后，两人相距54千米；出发5小
时后，两人还相距27千米．问出发多少小时后两人相遇？
【解析】 根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为
(5427) -千米，即可求出两人的速度和：(5427)(52)9-÷-=（千米），根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行27千米需要：5279538+÷=+=（小时）．
【例 13】 甲、乙两地相距 240 千米，一列慢车从甲地出发，每小时行 60千米．同时一列快车从乙地出
（火车长度忽略不计）
【解析】 追及路程即为两地距离240千米，速度差906030-=（千米），所以追及时间240308÷=（小
时）
【巩固】 下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学
校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟？（假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家）.
【解析】 若经过5分钟，弟弟已到了A 地，此时弟弟已走了40×5=200（米）；哥哥每分钟比弟弟多走20
米，几分钟可以追上这200米呢？40×5÷（60-40）=200÷20=10（分钟），哥哥10分钟可以追上弟弟.
【巩固】 甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每
小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？
【解析】 出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），即两人的速度
的差（简称速度差），所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。
【巩固】 解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，
派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队？
【解析】 ()()6127861?÷-=(小时)．
【巩固】 甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行
17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米？
【解析】 平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程．由于兵兵每小时比平平
多走17143-=(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也就是求6千米里包含着几个3千米，用632÷=(小时)．因为甲地和乙地相距40千米，兵兵每小时行17千米，2小时走了17234?=(千米)，所以兵兵追上平平时，距乙地还有40346-=(千米)
【例 14】 小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着
明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸
爸追上小明时他们离家多远？
【解析】
当爸爸开始追小明时，小明已经离家：7012840?=(米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短28070210-=(米)，也就是爸爸与小明的速度差为28070210-= (米/分),爸爸追及的时间：8402104÷=(分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发12416+=(分钟)，此时离家的距离是：70161120?=(米)
【巩固】 哥哥和弟弟在同一所学校读书．哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5
分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校
【解析】哥哥出发的时候弟弟走了：405200
?=（米），哥哥追弟弟的追及时间为：200(6540)8
÷-=（分钟），所以家离学校的距离为：865520
?=（米）.
【巩固】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度.
【解析】小强出发的时候小明走了5012600
?=（米），被小强追上时小明又走了：(1000600)508
-÷=（分钟），说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为：10008125
÷=（米/分钟）.
【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影．小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米？
【解析】要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间；要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是：24006040
÷=(分钟)，小明所用的时间是：-=(分钟)，小明每分钟走的米数是：24003080
401030
÷=(米)．
【巩固】一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地．在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
【解析】慢车先行的路程是：405200
?=(千米)，快车每小时追上慢车的千米数是：904050
-=(千米)，追及的时间是：200504
?=(千米)，甲乙两地
÷=(小时)，快车行至中点所行的路程是：904360
间的路程是：3602720
?=(千米)．
【巩固】六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学
们？
【解析】同学们15分钟走72151 080
?=（米），即路程差．然后根据速度差＝路程差÷追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度．即÷+=（米）．
1080972192
【例15】小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米？
【解析】小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差．路程差是两人相背运动的总路程：(6070)3390
+?=(米)追及时间为：390706039
?+=
（）(米)
（）(分钟)小强走的总路程为：703932940
÷-=
【例16】王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟
后追上李华？
【解析】已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，王芳一共耽误了52212
?=(米)，速度差为：
?+=(分钟)．李华在这段时间比王芳多走：7012840
1107040
÷=(分钟)
-=(米/秒)，王芳追上李华的时间是：8404021
【巩固】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务．一共有多少份报纸？
【解析】本题可用追及问题思路解题，类比如下：路程差：小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份
间，即追及时间是60125÷=（分钟）．共整理报纸：5722720??=（份）
【巩固】 甲、乙两车同时从A 地向B 地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，
甲车因有紧急任务返回A 地；到达A 地后又立即向B 地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B
地，求A 、B 两地的路程．
【解析】 根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A 地到B 地所用的时间，由
此可以求出A 、B 两地的路程,追及路程为：34268?=(千米),追及时间为：68383417÷
-=（）(小时),A 、B 两地的路程为：3817646?=(千米).
【巩固】 小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米．小李出发后2小时，小王在小
李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王？
【解析】 小李2小时走：13226?=（千米），又知小王在小李的出发地点前面6千米处出发，则知道两人
的路程差是26620-=（千米）．每小时小王追上小李15132-=（千米），则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即：20210÷=（小时）．
【例 17】 甲、乙两辆汽车同时从A 地出发去B 地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中
甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B 地．A 、B 两地间的路程是多
少？
【解析】 由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．可理解
成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B 地，
所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：行这段路程甲车比乙车少用的时间是：
312-=(小时)，乙车2小时行的路程是：40280?=(千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是：504010-=(千米)，甲车所需的时间是：80108÷=(小时)，A 、B 两地间的路程是：508400?=(千米)．
【例 18】 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在后．已知甲车比乙车提前出
发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米．甲车出发5小时后追上乙车，求
A 、
B 两地间的距离．
【解析】 由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解．追及时间为：514-=(小时),
追及路程为：
9680464-?=（）(千米),A 、B 两地间的距离为：96164160?+=(千米)
【巩固】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千
米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
【解析】 方法一：根据题意，画出线段示意图：
汽车（65千米/小时）
两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，即654284*********?-?=-=(千米)方法二：先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路程，即：65284374148-?=?=（）(千米)
【例 19】 小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如
果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校．已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速
度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远？
【解析】 小明比小芳提前3分钟出发，则多走703210?=（米）．两家之间的所剩路程是14102101200-=（米），
两人的速度和是7080150+=（米），所剩路程需：1200(7080)8÷+=（分钟）走完．小明家距离学校70(83)770?+=（米）．
【巩固】 学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙
每小时行15千米．当小宇走了3千米后，小宙才出发．当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米？
【解析】 追及时间为：315121÷
-=（）(小时)，此时距部队驻地还有：161511-?=(千米)．
【例 20】 甲、乙两列火车同时从A 地开往B 地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，
比甲车提前2小时到达．求A 、B 两地间的距离．
【解析】 这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此
路程差是甲车两小时的路程．
方法一：如图：
甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：826-=(小时)，此时路程差为：206120?=(千米)，此时路程差就是甲车2小时的路程，所以甲车速度为：120260÷=(千米/小时)，A 、B 两地间的距离：608480?=(千米)
方法二：如图：
假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了：208160?=(千米)，这段路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度：160280÷=(千米/小时)，乙车到达时用了：826-=(小时)，A 、B 两地间的距离：806480?=(千米)
【例 21】 龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟
每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩
得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请
同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？
【解析】⑴乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要40104
÷=(分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要5001005
÷=(分钟)才能到达，所以乌龟胜利了．
⑵乌龟跑到终点还要40104
÷=(分钟)，而小兔跑到终点还要100021005
÷÷=(分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有：1001100
?=(米)．
【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢？
【解析】由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为10550
?=(米/分)，乌龟先跑10分钟，即兔子开始跑时，乌龟已经跑了5010500
÷=(分钟)就可
?=(米)，还剩1000500500
-=(米)，需要5005010以到达终点，而兔子到达终点需要的时间是：100010010
÷=(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点．
【例22】军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”
舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射
击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？
【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），经过20分钟可开炮射击“敌”舰.
【巩固】(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？
【解析】这是一道“追及问题”．根据追及问题的公式，追及时间=路程差÷时间差．由题意知，追及时间为5秒钟，也就是56060
-=(千米/时)，
÷?
（）小时，两车相距距离为路程差，速度差为1089018也就是181000
?米/时，所以路程差为：1810005606090000360025
（）(米)，所以，在
??÷?=÷=
这辆车鸣笛时两车相距25米．
【例23】甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
【解析】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米．
【巩固】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，
距多少米？
【解析】 相遇时甲走了AB 距离减去603180?=(米)，乙走了AB 距离加上180米，乙比甲多走了360米，
这个路程差需要360906012÷-=（）(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了129060?+（）
1800=米．所以AB 距离为18002900÷=米．
【巩固】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙二人同时从A 地去B 地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，
乙到达B 地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B 地，A 、B 两地相距多少米？
【解析】 相遇时甲走了AB 距离减去603180?=(米)，乙走了AB 距离加上180米，乙比甲多走了360米，
这个路程差需要360906012÷-=（）(分钟)才能达到，这12分钟两人一共行走了129060?+（）
1800=米．所以AB 距离为18002900÷=(米)．
【例 24】 甲乙两车分别从A 、B 两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时
甲车距B 地10千米，乙车距A 地80千米．问：甲车到达B 地时，乙车还要经过多少时间才能
到达A 地?
【解析】 由4时两车相遇知，4时两车共行A ，B 间的一个单程．相遇后又行3时，剩下的路程之和10＋
80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．所以A ，B 两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），又因为两车每时共行90千米，所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（时）＝1时48分．
【例 25】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中
的A 处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A 处相
遇。小红和小强的家相距多远?
【解析】 因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，推知小强第二次比第一次少
走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．
【巩固】 小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分
钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇．有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
【解析】 因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走
了(6040)9900+?=（米），所以小明比平时早出门9006015÷=（分）．
【例 26】 小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝；若小红让小蓝
先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝．小红、小蓝二人的速度各是多少？
【解析】 小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就
是追及时间，据此可求出他们的速度差为2054÷=(米/秒)；若小红让小蓝先跑4秒，则小红6秒可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于4624?=(米)，也即小蓝在4秒内跑了24米，所以可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度．综合列式计算如下：小蓝的速度为：205646÷?÷=(米/秒)，小红的速度为：6410+=(米/秒)
【巩固】 甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则
甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？
【解析】 若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的
速度差为1052÷=(米/秒)；若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，因此路程差就等于248?=(米)，也即乙在2秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．综合列式计算如下：乙的速度为：105424÷?÷=(米/秒)，甲的速度为：10546÷+=(米/秒)
【巩固】 甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终
点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【解析】 甲、乙两人的运动时间相同，所以，甲的路程÷甲的速度=乙的路程÷乙的速度，而甲、乙的速
度都不变，所以，乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
终点
由图可知，甲跑1001288-=(米)，乙跑88896+=(米)，所以当乙跑8100108+=(米)时，甲跑：108968899÷?=(米)，即当乙跑到终点时，甲离终点还有100991-=(米)
【例 27】 刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的
速度行进，上午11点到.如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
【解析】 这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求
速度.这就需要通过已知条件，求出时间和路程.假设有A ，B 两人同时从学校出发到韩丁家，A 每小时行10千米，下午1点到；B 每小时行15千米，上午11点到.B 到韩丁家时，A 距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是B 从学校到韩丁家这段时间B 比A 多行的路程.因为B 比A 每小时多行15-10=5（千米），所以B 从学校到韩丁家所用的时间是20÷（15-10）=4（时）.由此知，A ，B 是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为60÷（12-7）=12（千米/时）．
【巩固】 王新从教室去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在图书馆闭馆前2分钟到达，如果每分钟走
50米，就要超过闭馆时间2分钟，求教室到图书馆的路程有多远？
【解析】 设从教室去图书馆闭馆时所用时间是x 分钟
70250270140501007050100140
12
x x x x x x x -=+-=+-=+=（）（）
70122700?-=（）（米）
答：教室到图书馆的路程有700米．
【例 28】 （2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）甲、
度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米
处再次相遇。山道长米。
【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024
÷=（分钟）后可以返回山顶，如果乙不休息，那么这个时候乙应该到达山脚，所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚，也就是距离山脚还有?=（米），所以山顶到山脚的距离为90024203090012002100 3030900
+?+=+=
（）（米）。
【巩固】(北京市2006年迎春杯试题)小张和小王早晨8点整同时从甲地出发去乙地，小张开车，速度是每小时60千米．小王步行，速度为每小时4千米．如果小张到达乙地后停留1小时立即沿原路返回，恰好在10点整遇到正在前往乙地的小王．那么甲、乙两地之间的距离是千米．
【解析】因为小张和小王相遇时恰好经过了两个甲地到乙地的距离，而这个过程中小张开车1个小时，小王步行2个小时，他们一共所走的路程是：6014268
?+?=(千米)，所以甲、乙两地之间的距离是：68234
÷=(千米)．
【例29】(2003年明心奥数挑战赛)如下图，某城市东西路与南北路交会于路口A．甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A．甲向北，乙向东同时匀速行走．4分钟后二人距A的距离相等．再继
续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等．问：甲、乙二人的速度各是多少？
1.
【解析】本题总共有两次距离A相等，第一次：甲到A的距离正好就是乙从A出发走的路程．那么甲、乙两人共走了560米，走了4分钟，两人的速度和为：5604140
÷=(米/分)。第二次：两人距A的距离又相等，只能是甲、乙走过了A点，且在A点以北走的路程=乙走的总路程．那么，从第二次甲比乙共多走了560米，共走了42428
÷=(米/分)，甲速
+=(分钟)，两人的速度差：5602820 +乙速140
=，解这个和差问题，甲速=，显然甲速要比乙速要快；甲速-乙速20
14020280
（）(米/分)，乙速1408060
=+÷=
=-=(米/分)．
【例30】(第六届“走进美妙的数学花园"中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之
间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是15千米．下午4点时小王到达乙地，
晚上7点小张到达乙地．小张是早晨_________出发．
【解析】由“下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”可知：两人的速度差是每小时30千米，由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走(1530 )
+千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时．全程是453135
?=(千米)，1351572
÷-=(小时)，即上午10点出发．
【例31】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A、B两地的距离.
若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程时，所用时间应为：（26-6）=20（分）。同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在26分钟内所走的路程之和，为50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度为1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B间的距离。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分），（80+50）×6＝130×6=780（米）
【巩固】小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求往返都骑车所需的时间是多少？
【解析】一个单程步行比骑车多用705020
-÷=（分钟），往返骑车的
-=（分钟），骑车单程(5020)215
时间15230
?=（分钟）．
模块二、终（中）点问题
【例32】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？
【解析】根据题意，画线段图如下：
从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程=全程一半-50米，冬冬所行路程=全程一半+50米；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了502100
?=(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：（）(米)．
6050101100
+?=
【巩固】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少行3千米．两地相距多少千米？
【解析】两人行驶的时间为3÷（5-4）=3小时，所以两地相距(5+4)×3=27千米
【巩固】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距1100米，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，问两人在距两地中点多远处相遇？
【解析】两个人的相遇时间为：1100(5060)10
?=（米），
÷+=（分钟），所以相遇时东东走了：6010600两个人距离中点距离为：6001100250
-÷=（米）
【巩固】王老师从甲地到乙地，每小时步行5千米，张老师从乙地到甲地，每小时步行4千米．两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离．
【解析】画一张示意图(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)
中点1千米
乙
甲
离中点1千米的地方是A 点，从图上可以看出，王老师走了两地距离的一半多1千米，张老师走了两地距离的一半少1千米．从出发到相遇，王老师比张老师多走了2千米，王老师比张老师每
小时多走(54
)-千米，从出发到相遇所用的时间是2(54) 2÷-=(小时)。因此，甲、乙两地的距离是(54) 2
18+?=(千米)．
【巩固】 甲乙二人同时分别自A 、B 两地出发相向而行，相遇之地距A 、B 中点300米，已知甲每分钟行
100米，乙每分钟行70米，求A 地至B 地的距离.
【解析】 相遇时甲比乙多行3002600?=（米），相遇时共用了()6001007020÷-=（分），A 、B 两地之
间的距离为()10070203400+?=（米）.
【巩固】 李明和王亮同时分别从两地骑车相向而行，李明每小时行18千米，王亮每小时行16千米，两人
相遇时距全程中点3千米．问全程长多少千米？
【解析】 李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮实际多走了326?=(千米)．由
已知李明每小时比王亮多走18162-=(千米)，李明比王亮多行6千米需要623÷=(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程是：(1816)3102+?=(千米)．
【巩固】 树叶和月亮同时分别从两地骑车相向而行，树叶每小时行18千米，月亮每小时行16千米，两人
相遇时距全程中点5千米．问全程长多少千米？
【解析】 树叶走了全程的一半多5千米，月亮走了全程的一半少5千米，树叶比月亮实际多走了
5210?=(千米)．已知树叶每小时比月亮多走18162-=(千米)，那么树叶比月亮多行10千米需要1025÷=(小时)，这就是两人的相遇时间，有了相遇时间，全程就容易求了．全程：(1816)5170+?=(千米)．
【巩固】 蜡笔小新从家出发去超市找妈妈，小新妈妈从超市回家，他们同时出发，小新每分钟走45米，
小新妈妈每分钟走65米，他们在离中点60米的地方相遇了，求小新家到超市的距离是多少米？
【解析】 路程差：602120?=(米)，速度差：654520-=(米／分钟)，相遇所用的时间：120206÷=(分钟)，
家到超市的距离：(4565)6660+?=(米)．
【巩固】 甲、乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行5千米，乙每小时行4千米．两人相遇时乙比甲少
行3千米．两地相距多少千米？
【解析】 乙每小时比甲少行：541-=(千米)，由题意知，“两人相遇时乙比甲少行3千米”，说明两人行驶
的时间为：3543÷-=（）(小时)，已知速度和与相遇时间，可求路程．两地相距为：
54327+?=（）(千米)．
【例 33】 小新和正南二人同时从学校和家出发，相向而行，小新骑车他的三轮车每分钟行100米，5分
钟后小新已超过中点50米，这时二人还相距30米，正南每分钟行多少米？
【解析】 5分钟后小新比正南多走了50230130?+=（米），所以每分钟多走：130526÷=（米），所以正
【例 34】 甲、乙两列火车同时从东西两镇之间的A 地出发向东西两镇反向而行，它们分别到达东西两镇
后，再以同样的速度返回，已知甲每小时行60千米，乙每小时行70千米，相遇时甲比乙少行
120千米，东西两镇之间的路程是多少千米？
【解析】 建议教师帮助学生画图分析．
从出发到甲、乙两列火车相遇，两列火车共同行驶了2个全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小时比乙少行706010-=(千米)，1201012÷=(小时)，说明相遇时，两辆车共同行驶了12小时．
那么两辆车共同行驶1个全程需要6小时，东西两镇之间的路程是
60706780+?=（）(千米)．
【例 35】 (明心奥数挑战赛)甲、乙二人从A ，B 两地同时出发相向而行，甲每分钟行80米，乙每分钟行
70米，出发一段时间后，二人在距中点60米处相遇．如果甲晚出发一会儿，那么二人在距中
点220米处相遇．甲晚出发了多少分钟？
【解析】 同时出发，相遇时甲多走602120?=(米)，相遇时间为120807012÷
-=（）(分)，因此甲、乙两地距离为8070121800+?=（
）(米)．当甲晚出发一会儿时，两人各用时间分别为乙用时：180022207016÷+÷=（）(分)，甲用时：180********.5÷-÷=（）(分)， 所以甲比乙晚出发168.57.5-=(分)．
【例 36】 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米．甲到少年宫后立
即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已经30分钟．问：甲、乙每分
钟各走多少米？
【解析】 根据题意，画线段图如下：
方法一：30分钟内，二人的路程和240024800S =?=和(米)，因此速度和为：480030160÷=(米/
分)；又知道30分钟甲的路程为：24003002700+=(米)，所以甲速度为：27003090÷=
(米/分)，则乙速度为：1609070-=(米/分)．
方法二：30分钟内，甲的路程为24003002700+=(米)，乙走的路程为：24003002100-=(米)，
因此甲的速度为：27003090÷=(米/分)，乙的速度为：
24003003070-÷=（）(米/分)．
【例 37】 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，摩托车每小时行54千米．汽车每小时行48千
米．两车相遇后又以原来的速度继续前进，摩托车到乙地立即返回．汽车到甲地立即返回．两
车在距离中点108千米的地方再次相遇，那么甲乙两地的路程是多少千米？
【解析】 第二次相遇距中点108千米，说明两车共有1082216?=(千米)的路程差，由此可知两车共行驶了：
216544836÷-=（）(小时)．又因为第二次相遇两车共走了三个全程，所以走一个全程用36312÷=(小时)．这样可以求出甲乙两地的路程是：5448121224+?=（）(千米)．
【例38】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离．
【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个
A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当
它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即953285
?=(千米)，而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：9532528525260
?-=-=(千米)．
【巩固】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地90千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地30千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了90千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个90千米，即903270
?=（千米），而这270千米比一个A、B两地间的距离多30千米，可得：9033027030240
?-=-=(千米)．
【巩固】(第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点
后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A、B间的距离．要求写出关键的推理过程．
第4题
【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了1003300
?=(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长-=（米）．
30080220
【巩固】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地20千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【解析】第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了80千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即803240
?=（千米），而这240千米比一个A、B两地间的距离多20千米，可得：24020220
-=(千米)．
乙二人同时分别从A 、B 两地出发，相向匀速而行．甲到达B 地后立即往回走，乙到达A 地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离A ，B 中点2千米处靠B 一侧，第二次相遇在离A 地4千米处．A 、B
【解析】 如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，
这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长6410+=(千米)，A 、B 两地相距10220?=(千米)．
【例 39】 甲、乙两辆汽车同时分别从A 、B 两地相对开出，甲车每小时行42千米，乙车每小时行45千
米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达B 、A 两地后， 立即按原路原速
返回．两车从开始到第二次相遇共用6小时．求A 、B 两地的距离？
【解析】 甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个AB 间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到B 、
A 两地后，又共同行完一个A
B 间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个AB 间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行3个AB 间的路程．甲、乙速度和：424587+=(千米)，3个AB 间路程：876522?=(千米)，A
、B 相距：5223174÷=(千米)．
【例 40】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的
地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰
好是8千米，这时是几点几分？
【解析】 画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明骑了84
4-=(千米)．而爸爸骑的距离是 48 12+=(千米)．
这就可以知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的124
3÷=倍．按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行83 24?=(千米)．但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了412
16+=(千米)，少骑行2416
8-=(千米)．摩托车的速度是881÷=(千米/分)，爸爸骑行16千米需要16分钟．8816
32++=(分钟)．所以这时是8点32分．
【巩固】 自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然
后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度．
【解析】 在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间，摩托车所走的路程为(189+)千米，而自行车
所走的路程为(189-)千米，所以，摩托车的速度是自行车速度的3倍((189)(189) =+÷-)；摩托车与自行车的速度差是自行车速度的2倍，再根据第一次摩托车开始追自行车队时，车队已出发
1226÷=(分钟)；联系摩托车在距出发点9千米的地方追上自行车队可知：摩托车在6分钟内走
了9千米的路程，于是摩托车和自行车的速度都可求出了．列式为：
1891893+÷-=（）（）倍，12316÷-=（）(分钟)，摩托车的速度为：96 1.5÷=(千米/分钟)，自行车的速度为：1.530.5÷=(千米/分钟)
【例 41】 A 、B 两地间有条公路，甲从A 地出发，步行到B 地，乙骑摩托车从B 地出发，不停地往返于
A 、
B 两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B 地时，乙追上甲几次？
【解析】
乙
B
由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在1008020-=(分钟)内所走的路程恰等于线段FA 的长度再加上线段AE 的长度，即等于甲在(80100+)分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(18020=÷)，则BF 的长为AF 的9倍，所以，甲从A 到B ，共需走80(19)800?+=(分钟)乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB 全程．从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB 全程，因此，追及时间也变为200分钟(1002=?)，所以，在甲从A 到B 的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟．
【巩固】 甲、乙两地之间有一条公路．李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲
地，80分钟后两人在途中相遇．张平到达甲地后马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明．张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去．问：当李明到达乙地时，张平共追上李明多少次？
【解析】 我们希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的时间，进而确定整个过程的进展，并得
到答案．但知道这些并不够．应先分析什么是“追上”．如图，当两人经过80分钟相遇时，两人所走的路程之和恰是甲乙两地指间的距离，因此两人才能相遇．如图所示：
李明
乙B A
第一次追上就是张平比李明多走了一个甲、乙两地距离．这用了8020100+=分钟．以此类推，第二次相遇的情况从图上可以看出来，使张平比李明多走了3个甲、乙之间距离；第三次相遇，是张平比李明多走了5个甲乙之间距离……所以，知道了张平的速度是李明的几倍，也就知道在李明走完一个甲乙之间距离的时候，张平走了几个甲乙之间距离，他比李明多走了几个．这样就可求出当李明到达乙地时，张平追上了他几次．C 是两人相遇地点，D 是张平第一次追上李明的地点．要分析如何求出两人速度的倍数关系．在从相遇到第一次追上这20分钟内，张平从C 走到A 再走到D ，即C A A D +．CA 也就是AC ，是李明相遇前的路程，即李明80分钟走的；AD 是李明第一次被追上时已走的路程，即他8020100+=分钟走的．因此，张平20分钟走的路程
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。 2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。 3. 用解方程的方法求解。 4. 利用分数应该题的方法进行解题 一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本 利润率利润 成本成本； 1=?+售价成本（利润率），1=+售价 成本利润率 其它常用等量关系： 售价=成本×（1+利润的百分数）； 成本=卖价÷（1+利润的百分数）； 本金：储蓄的金额； 利率：利息和本金的比； 利息=本金×利率×期数； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）； 二、经济问题的一般题型 (1)直接与利润相关的问题： 直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。 (2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题： 涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。 三、解题主要方法 1．抓不变量(一般情况下成本是不变量) ； 2．列方程解应用题． 摸块一，物品的出售问题 例题精讲 知识点拨 教学目标 经济问题（一）
（一）单纯的经济问题 【例 1】 某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商 店从这60个皮箱上共获得多少利润？ 【考点】经济问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 6300-60×80=1500（元） 【答案】1500 【例 2】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便宜4元，则仍可赚 钱25%，求原价是多少元？ 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：20027%54?=（元）所以 原价为：20054254+=（元） 【答案】254 【例 3】 王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4 5后，被迫降价为：5个 菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个． 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏20.4 1.6-=元，由于最 后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元． 【答案】2.4 【例 4】 昨天和今天，学校食堂买了同样多的蔬菜和肉，昨天付了250元，今天付了280元，原因如图 所示，那么，今天蔬菜付了 元。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 采用假设法。如果都涨价10%，那么应该多付25010%25?=元，所以今天肉的总价为 (3025)(20%10%)50-÷-=元，那么蔬菜的总价为25050200-=元。 【答案】200元 【例 5】 奶糖每千克24元，水果糖每千克18元。买两种糖果花了同样多的钱，但水果糖比奶糖多4千 克。水果糖 千克，奶糖 千克。 【考点】经济问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级
【学习目标】 1、掌握追及及相遇问题的特点 2、能熟练解决追及及相遇问题 追及问题 1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。 甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。 2、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度相等，即v甲=v乙。 ⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 ①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇 ③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 ⑶匀减速运动的物体甲追赶同向的匀速运动的物体已时，情形跟⑵类似。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。
①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，并会有两次相遇 ③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 3、分析追及问题的注意点： ⑴要抓住一个条件，两个关系： ①一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如 两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。 ②两个关系是时间关系和位移关系， 通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v-t图象的应用。 二、相遇 ⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。 ⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 【典型例题】 1．在十字路口，汽车以的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： 什么时候它们相距最远？最远距离是多少？
1、 学会化线段图解决行程中的走停问题 2、 能够运用等式或比例解决较难的行程题 3、 学会如何用枚举法解行程题 本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂。 模块一、停一次的走停问题 【例 1】 甲、乙两车分别同时从A ，B 两城相向行驶，6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛 描，修理2.5时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A 城到B 城共用多长时 间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 12.5时。由题意推知，两车相遇时，甲车实际行驶5时，乙车实际行驶7.5时。与计划的6时相 遇比较，甲车少行1时，乙车多行1.5时。也就是说甲车行1时的路程，乙车需行1.5时。进一步推知，乙车行7.5时的路程，甲车需行5时。所以，甲车从A 城到B 城共用7.5＋5＝12.5（时）。 【答案】12.5时 【例 2】 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就 停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快 多少米？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 先算出兔子跑了330103300?=（米），乌龟跑了30215106750?+=（）（米） ，此时乌龟只余下69906750240-=（米） ，乌龟还需要240308÷=（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了83302640?=（米） ，所以兔子一共跑330026405940+=（米）．所以乌龟先到，快了699059401050-=（米） ． 【答案】1050米 【例 3】 快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到 第二次相遇共需多长时间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 11时36分。快车5时行的路程慢车需行12.5－5＝7.5（时），所以快车与慢车的速度比为7.5∶5 ＝3∶2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不停留，则第一次相遇到第二次相遇需10时。现在慢车停留1时，快车停留2时，所 以第一次相遇后11时，两车间的距离快车还需行60分，这段距离两车共行需3603632 ?=+（分）。第一次相遇到第二次相遇共需11时36分。 【答案】11时36分 例题精讲 知识点拨 教学目标 走停问题
简单的相遇与追及问题 一、学习目标 1. 理解相遇与追及的运动模型，掌握相遇与追及这两种情况下路程、时间、速度这三个基本量之间的关系.会利用这个关系来解决一些简单的行程问题. 2. 体会数形结合的数学思想方法. 二、主要内容 1. 行程问题的基本数量关系式： 路程=时间×速度；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度. 2．相遇问题的数量关系式： 相遇路程=相遇时间×速度和； 速度和=相遇路程÷相遇时间； 相遇时间=相遇路程÷速度和. 3.追及问题的数量关系式： 追及距离=追及时间×速度差； 速度差=追及距离÷追及时间； 追及时间=追及距离÷速度差. 4. 能熟练运用路程、时间、速度这三个基本量的关系，结合图形分析，解决一些简单的行程问题. 三、例题选讲 例1两辆汽车同时分别从相距500千米的A，B两地出发，相向而行，速度分别为每小时40千米和每小时60千米.求几小时后两车相遇.
例2甲车在乙车前200千米，同时出发，速度分别为每小时40千米与60千米.问多少小时后，乙车追上甲车. 例3一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距598千米的两地相向而行.公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行52千米，问几小时后两车相距138千米？ 例4 甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇.求东、西两地相距多少千米？ 例5甲、乙两人同时从相距18千米的两地相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行5千米.甲带着一只狗，每小时走20千米，狗走得比人快，同甲一起出发，碰到乙后，它往甲方向奔走；碰到甲后，它又往乙方向奔走，直到甲、乙两人相遇为止，这只狗一共奔走了多少千米？
2019年经济学知识竞赛题库及答案 一、单选题 1.经济学研究的基本问题是（d ） A、怎样生产 B、生产什么，生产多少 C、为谁生产 D、以上都是 2.恩格尔曲线从（ b）导出 A、价格——消费曲线 B、收入——消费曲线 C、需求曲线 D、无差异曲线 3.我国M1层次的货币口径是 D 。 A、MI=流通中现金 B、MI=流通中现金+企业活期存款+企业定期存款 C、MI=流通中现金+企业活期存款+个人储蓄存款 D、MI=流通中现金+企业活期存款+农村存款+机关团体部队存款 4.格雷欣法则起作用于 B 。 A、平行本位制 B、双本位制 C、跛行本位制 D、单本位制 5.宏观经济学的中心理论是（c ） A、价格决定理论； B、工资决定理论； C、国民收入决定理论； D、汇率决定理论。 6.根据消费函数，引起消费增加的因素是（B） A、价格水平下降； B、收入增加； C、储蓄增加； D利率提高。 7.以下四种情况中，投资乘数最大的是（D）
A、边际消费倾向为0.6； B、边际消费倾向为0.4； C、边际储蓄倾向为 0.3； D、边际储蓄倾向为0.1。 8.IS曲线向右下方移动的经济含义是（A）。 A、利息率不变产出增加； B、产出不变利息率提高； C、利息率不变产出减少； D、产出不变利息率降低。 9.水平的LM曲线表示（A）。 A、产出增加使利息率微小提高； B、产出增加使利息率微小下降； C、利息率提高使产出大幅增加； D、利息率提高使产出大幅减少。 10.各国在进行货物贸易统计时对于出口额的资料以（a ） A、 FOB计价 B 、CIF计价 C、 CFR计价 D、 EXW计价 11.真正能够反映一个国家对外贸易实际规模的指标是（ a） A、对外贸易量 B、对外贸易额 C 、对外贸易依存度 D、对外贸易值 12.以货物通过国境为标准统计进出口的是（ c） A、无形商品贸易 B、过境贸易 C、总贸易体系 D、国境贸易 13.当一国的出口额大于其进口额时，称为（d ） A、国际收支逆差 B、国际收支顺差 C、对外贸易逆差 D、对外贸易顺差 14.有效竞争理论是由（ a）提出 A、克拉克 B、马克思 C、贝恩 D、霍夫曼 15.产业组织是指（a ） A、同一产业内企业间的组织或市场关系 B、产业中同类企业的总和
追及与相遇问题 1、追及与相遇的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2、理清两大关系： 时间关系、位移关系。 3、巧用一个条件： 两者速度相等；它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 4、三种典型类型 （1）同地出发，初速度为零的匀加速直线运动A 追赶同方向的匀速直线运动B ①当 B A v v =时，A 、B 距离最大； ②当两者位移相等时， A 追上B ，且有B A v v 2= （2）异地出发，匀速直线运动B 追赶前方同方向的初速度为零的匀加速直线运动A 判断B A v v =的时刻，A 、B 的位置情况 ①若B 在A 后面，则B 永远追不上A ，此时AB 距离最小 ②若AB 在同一处，则B 恰能追上A ③若B 在A 前，则B 能追上A ，并相遇两次 （3）异地出发，匀减速直线运动A 追赶同方向匀速直线运动B ①当B A v v =时，A 恰好追上B ，则A 、B 相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ②当B A v v =时，A 未追上B ，则A 、B 永不相遇，此时两者间有最小距离； ③当B A v v >时，A 已追上B ，则A 、B 相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 5、解追及与相遇问题的思路 （1）根据对两物体的运动过程分析，画出物体运动示意图 （2）根据两物体的运动性质，（巧用“速度相等”这一条件）分别列出两个物体的位移方程，注意要将两物体的运动时间的关系反映在方程中 （3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程 （4）联立方程求解 注意：仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意t v -图象的应用 【典型习题】 【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求： （1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？ （2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？
列方程解行程问题 一、概念 一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数） 2.只含有一个未知数 3.经整理后未知数的最高次数为1 2、解一元二次方程 三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） 行程问题解决方法：画图分析法 4、 常见的行程问题中的类型 直线型的行程问题 （1） 相遇问题 1、 同时相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x=480 x=2 答：2小时后相遇 2、先后相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？
慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480 答：小时后两车相遇。 3、同时不相遇（相距） 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？ 情况一：相遇前相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480 答：小时后相距60公里 情况二：相遇后相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480 答：小时后相距60公里 慢车速×时间1 +慢车速×时间2 +快车速×时间2 =总路程 总结： 慢车速×时间+快车速×时间= 总路程
追及与相遇问题刘玉平 课时安排：3课时 三维目标： 1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式； 2、能灵活选用合适的公式解决实际问题； 3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力； 4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题； 教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。 教学方法：启发式、讨论式。 教学过程 两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。 一、追及问题 1、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种： ⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定 能追上。 a、追上前，当两者速度相等时有最大距离； b、当两者位移相等时，即后者追上前者。 ⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最 小距离； b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界 条件； c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上； 在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个 值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还 有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。 ⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。 匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 2、分析追及问题的注意点： ⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、 最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。
2006～2007学年度第二学期《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ）
A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆 C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉
专题：直线运动中的追击和相遇问题 一、相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 二、 解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图，理清三大关系 （1）时间关系 ：0t t t B A ±= （2）位移关系：0A B x x x =± （3）速度关系： 两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 三、追击、相遇问题的分析方法: A. 画出两个物体运动示意图，根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程; B. 找出两个物体在运动时间上的关系 C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D. 联立方程求解. 说明:追击问题中常用的临界条件: ⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上, 否则就不能追上. 四、典型例题分析： (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v 1< v 2）：v 1< v 2时，两者距离变大；v 1= v 2时， 两者距离最大；v 1>v 2时，两者距离变小，相遇时满足x 1= x 2+Δx ，全程只相遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s 2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求： (1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？ (2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 答案：（1） 2s 6m （2）12m/s (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1< x 2+Δx ，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x 1=x 2+Δx ，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x 1> x 2+Δx ，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一个步行者以6m/s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m 时，绿灯亮了，汽车以1m/s 2的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？ 答案：不能追上 7m (三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v 1> v 2）：v 1> v 2时，两者距离变小；v 1= v 2时，①若满足x 1
初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。 相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。 相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间 基本公式有： 两地距离=速度和×相遇时间 相遇时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相遇时间 二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有： 第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。 相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。 相离问题
两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。 解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。 基本公式有： 两地距离=速度和×相离时间 相离时间=两地距离÷速度和 速度和=两地距离÷相离时间 相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程 在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。 追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。 解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。 基本公式有： 追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间 速度差×追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差 要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）常用公式： 行程问题基本恒等关系式：速度×时间=路程，即S=vt. 行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比；
走走停停的行程问题 1、骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米，并且每行3分到达 一站停车1分。问：公共汽车多长时间追上骑车人？ 方法一：11分。提示：列表计算： 方法二： 3*(700-300)=1200（米）即当人车的距离小于或等于1200米时，汽车与人的速度差是700-300=400（米/分）;当人车的距离大于1200米时，汽车的平均速度是700×3/4=525（米/分）这时汽车与人的速度差是 525-300=225（米/分）因为：3000>1200 3000-225*4=2100>1200; 3000-225*8=1200（米）; 1200/400=3（分钟） 8+3=11（分钟）公共汽车11分钟追上骑车人。 方法三： 假设汽车不停, 那么汽车追上骑车人至少需要: 3000/(700-300)=7.5(分钟) 所以可以知道在此时间内汽车至少要停两次,花费8分钟. 汽车8分钟行驶距离: 700*(8-2)=4200(米)，骑车人8分钟行驶距离: 300*8=2400(米) ， 8分钟后 人车相距: 3000+2400-4200=1200(米)，1200米小于汽车三分钟行驶距离, 因此, 汽车追上骑车人还需要: 1200/(700-300)=3(分钟) 结论: 汽车追上骑车人需要: 8+3=11(分钟) 方法四： 700-300=400（m） (400+400+400-300)+（400+400+400-300）+（400+400+400）=3000(m)
4 + 4 + 3 =11(分)答：公共汽车11分追上骑车人。
2006～2007学年度第二学期 《经济学基础》试卷（ A卷） 考试形式：开（√）、闭（）卷 题号一二三四五六七八总分统分人得分 注：学生在答题前，请将密封线内各项内容准确填写清楚，涂改及模糊不清者、试卷作废。 得分阅卷人 一、选择题（每小题 2 分，共 30 分。每题只有一 个正确答案，请将答案号填在题后的括符内） 1、1、资源的稀缺性是指：（ B ） A、世界上的资源最终会由于人们生产更多的物品而消耗光 B、相对于人们无穷的欲望而言，资源总是不足的 C、生产某种物品所需资源的绝对数量很少 D、企业或者家庭的财富有限，不能购买所需要的商品 3、2、作为经济学的两个组成部分，微观经济学与宏观经济学是：（ C ） A、互相对立的 B、没有任何联系的 C、相互补充的 D、宏观经济学包含微观经济学 3、宏观经济学的中心理论是：（B ） A、失业与通货膨胀理论 B、国民收入决定理论 C、经济周期与经济增长理论 D、国民收入核算理论 4、在家庭收入为年均8000元的情况下，能作为需求的是（ C ） A、购买每套价格为5000元的的冲锋枪一支 B、购买价格为5万元的小汽车一辆
C、购买价格为2500元左右的彩电一台 D、以上都不是 5、当汽油的价格上升时，对小汽车的需求量将：（A ） A、减少 B、保持不变 C、增加 E、不一定 6、均衡价格随着：（ C ） A、需求与供给的增加而上升 B、需求的减少和供给的增加而上升 C、需求的增加与供给的减少而上升 D、需求与供给的减少而上升 7、在市场经济中，减少汽油消费量的最好办法是：（C ） A、宣传多走路、少坐汽车有益于身体健康 B、降低人们的收入水平 C、提高汽油的价格 D、提高汽车的价格 8、政府为了扶持农业，对农产品实行支持价格。但政府为了维持这个高于均衡价格的支持价格，就必须：（ B ） A、实行农产品配给制 B、收购过剩的农产品 C、增加对农产品的税收 D、给农民补贴 9、比较下列四种商品中哪一种商品需求的价格弹性最大：（ C ） A、面粉 B、大白菜 C、点心 D、大米 10、若价格从3元降到2元，需求量从8个单位增加到10个单位，这时卖方的总收益：（ C ） A、增加 B、保持不变 C、减少 D、不一定
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1、速度小者追速度大者（一定追 上） 追击与相遇问题专项典型例题分析 (一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时，两者距离变大；v 时， 2 两者距离最大；v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相 遇(即追上)一次。 【例1】一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s 的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长
时间两者相距最远？此时距离是多少？(2)小汽车什么时候追上自行车，此时小汽车的速度是多少？ 【针对练习】一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边驶过的货车（以8m/s的速度匀速行驶）有违章行为时，决定前去追赶，经2.5s将警车发动起来，以2m/s2的加速度匀加速追赶。求：①发现后经多长时间能追上违章货车？②追上前，两车最大间距是多少？ (二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。 【例2】一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开使行驶，恰在这时一辆自行车在汽车后方相距20m的地方以6m/s的速度匀速行驶，则自行车能否追上汽车？若追不上，两车间的最小间距是多少？
小学常用公式 和差问题 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数+1)＝小数 差倍问题 差÷(倍数-1)＝小数 植树问题 1 单条线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 棵数＝全长÷间隔长＋1＝间隔数＋1 全长＝间隔长×(棵数－1) 间隔长＝全长÷(棵数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 棵数＝间隔数＝全长÷间隔长 全长＝间隔长×棵数 间隔长＝全长÷棵数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 棵数＝全长÷间隔长－1＝间隔数－1 全长＝间隔长×(棵数＋1) 间隔长＝全长÷(棵数＋1) 2 双边线路上的植树问题主要也有三种情形： 参考单条线路上的植树问题，注意要除以2。 3 环形或叫封闭线路上的植树问题的数量关系如下 棵数＝间隔数＝全长÷间隔长 全长＝间隔长×棵数 间隔长＝全长÷棵数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题
追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 【题目】一游泳池道长100米，甲乙两个运动员从泳道的两端同时下水做往返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？ 【解答】从身边经过，包括迎面和追上两种情况。 能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。 第一次追上用100÷（89－81）＝分钟， 以后每次追上需要×2＝25分钟，显然15分钟只能追上一次。 因此经过13＋1＝14次。 如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。 总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米， 两人走3个全程中甲就走3份M米。 （含义是说，第一次相遇时，甲乙实际就是走了一个全程，第二次相遇时，根据上面的公式，甲乙走了 2x2-1=3个全程，如果在第一次相遇时甲走了m米，那么第二次相遇时甲就走了3个m米） 下面我们用这个方法看一道例题。 湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：
2．已知一模型的最小二乘的回归结果如下： i i ?Y =101.4-4.78X 标准差 （45.2） （1.53） n=30 R 2 =0.31 其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。 回答以下问题：（1）系数的符号是否正确，并说明理由；（2）为什么左边是i ?Y 而不是i Y ； （3）在此模型中是否漏了误差项i u ；（4）该模型参数的经济意义是什么。 13．假设某国的货币供给量Y 与国民收入X 的历史如系下表。 某国的货币供给量X 与国民收入Y 的历史数据 根据以上数据估计货币供给量Y 对国民收入X 的回归方程，利用Eivews 软件输出结果为： Dependent Variable: Y Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. X 1.968085 0.135252 14.55127 0.0000 C 0.353191 0.562909 0.627440 0.5444 R-squared 0.954902 Mean dependent var 8.258333 Adjusted R-squared 0.950392 S.D. dependent var 2.292858 S.E. of regression 0.510684 F-statistic 211.7394 Sum squared resid 2.607979 Prob(F-statistic) 0.000000 问：（1）写出回归模型的方程形式，并说明回归系数的显著性（） 。 （2）解释回归系数的含义。 （2）如果希望1997年国民收入达到15，那么应该把货币供给量定在什么水平？ 14．假定有如下的回归结果 t t X Y 4795.06911.2?-= 其中，Y 表示美国的咖啡消费量（每天每人消费的杯数），X 表示咖啡的零售价格（单位：美元/杯），t 表示时间。问： （1）这是一个时间序列回归还是横截面回归？做出回归线。 （2）如何解释截距的意义？它有经济含义吗？如何解释斜率？（3）能否救出真实的总体回归函数？ （4）根据需求的价格弹性定义： Y X ?弹性＝斜率，依据上述回归结果，你能救出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？ 15．下面数据是依据10组X 和Y 的观察值得到的： 1110=∑i Y ，1680 =∑i X ，204200=∑i i Y X ，315400 2=∑ i X ，133300 2 =∑i Y 假定满足所有经典线性回归模型的假设，求0β，1β的估计值； 16.根据某地1961—1999年共39年的总产出Y 、劳动投入L 和资本投入K 的年度数据，运用普通最小二乘法估计得出了下列回归方程：
3-1-1-行程问题基础 教学目标 1.行程的基本概念，会解一些简单的行程题. 2.掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、 “设而不求法”、“设单位1法” 3.利用对比分析法解终（中）点问题 知识精讲 一、s、v、t探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度。 二、关于s、v、t三者的基本关系 速度×时间=路程可简记为：s=vt 路程÷速度=时间可简记为：t=s÷v 路程÷时间=速度可简记为：v=s÷t
三、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度?总时间。 板块一、简单行程公式解题 【例 1】韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就 可到校？ 【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024 ÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640 +=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012 ÷=(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校． 【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽 车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？. 【解析】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时 最少要行驶100÷4=25(千米)． 【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货 车提前开出几小时？ 【解析】北京到某地的距离为：6015900 ?=（千米），客车到达某地需要的时间为： -=（小时），所以客车要比货车提前开出3小9005018 ÷=（小时），18153 时。
小升初行程问题专项训练之相遇问题追及问题 一、基本公式: 1、路程=速度×时间 2、相遇问题：相遇路程=速度和×相遇时间 3、追及问题：相差路程=速度差×追及时间 二、行程问题（一）-----相遇问题 例题： 1.老李和老刘同时从两地相对出发，老李步行每分钟走8米，老刘骑自行车的速度是老李步行的3倍，经过5分钟后两人相遇，问这两地相距多少米？ 2.在一条笔直的公路上，王辉和李明骑车从相距900米的A、B两地同时出发，王辉每分钟行200米，李明每分钟行250米，经过多少时间两人相距2700米？（分析各种情况） 3.客货两车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行44千米，货车每小时行52千米，两车相遇后继续以原速度前进，到达乙、甲两地后立即返回，第二次相遇时，货车比客车多行60千米。问甲、乙两地相距多千米？ 4.小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处，问甲、乙两地相距多少米？ 5.甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。在出发后40分钟两人第一次相遇。小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇。问小张和小王两人的速度各是多少？ 6. 小张与小王分别从甲、乙两村出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）。他们离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇。问他们两人第四次相遇的地点离乙村有多远？（相遇指迎面相遇）
7.甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？ 8.甲、乙两地相距15千米，小聪和小明分别从甲、乙两地同时相向而行，2小时后在离中点0.5千米处相遇，求小聪和小明的速度。 9.甲、乙两人同时从相距50千米的两地同时出发相向而行，甲每小时行3千米，乙每小时行2千米，与甲同时同向而行的一条小狗，每小时行5千米，小狗在甲、乙之间不停往返，直到两人相遇为止。问小狗跑了多米？ 【课后演练】 1.甲、乙两辆车同时从相距675千米的两地对开，经过5 小时相遇。甲车每小时行70千米，求乙车每小时行多少千米？ 2.快、慢两车国时从两城相向出发，4小时后在离中点18千米处相遇。已知快车每小时行70千米，问慢车每小时行多千米？ 3.甲、乙两车同时从相距1313千米的两地相向开出，3小时后还相距707千米，再经过几小时两车相遇？