板块一 任意四边形模型
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
S 4
S 3
S 2
S 1O D
C
B
A
①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△
AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
A
【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平
方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？
例题精讲
任意四边形、梯形与相似模型
B
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC
S ?=?，那么6BGC
S
=；
⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． (？？？)
【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的
面积的1
3
，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
A
B C D
O
H G
A B
C D O
【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD
BCD
S
S
=，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题． 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．
解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．
∵1
3ABD BCD S S ??=，
∴1
3AH CG =，
∴1
3AOD DOC S S ??=，
∴1
3
AO CO =，
∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==．
【例 3】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、
4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
O
G
F E
C
B
A
【解析】 ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和CDO ?的面积都是1628÷=，
所以OCF △的面积为844-=；
⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862-=， 根据蝴蝶定理，::2:41:2COE COF EG FG S S ??===，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ??==，
那么112
21233
GCE CEF S S ??==?=+．
【例 4】 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的
面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
7
67
6
E
D
C
B
A
【解析】 在ABE ，CDE 中有AEB CED ∠=∠，所以ABE ，CDE 的面积比为()AE EB ?:()CE DE ?．同
理有ADE ，BCE 的面积比为():()AE DE BE EC ??．所以有ABE
S
×CDE
S
=ADE
S
×BCE
S
，也就是
说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即6ABE S ?=7ADE S ?，所以有ABE 与ADE 的面积
比为7:6，ABE S =7392167?=+公顷，ADE S =6
391867
?=+公顷．
显然，最大的三角形的面积为21公顷．
【例 5】 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积
为 ．
B
D
B
D
【解析】 连接AD 、CD 、BC ．
则可根据格点面积公式，可以得到ABC ?的面积为：41122+
-=，ACD ?的面积为：3
31 3.52
+-=，
ABD ?的面积为：4
2132
+
-=． 所以::2:3.54:7ABC ACD BO OD S S ??===，所以44123471111
ABO ABD S S ??=
?=?=+．
【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．
D
【解析】 因为:2:5BD CE =，且BD ∥CE ，所以:2:5DA AC =，525ABC S ?=
+，510
277
DBC S ?=?=．
【例 6】 (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形ABCD 中，2BE EC =，CF FD =，求三角形AEG
的面积．
A
B
C
D
E
F G
A
B
C
D
E
F
G
【解析】 连接EF ．
因为2BE EC =，CF FD =，所以1111
()23212
DEF ABCD ABCD
S S S
?=??=．
因为12AED ABCD S S ?=，根据蝴蝶定理，11
::6:1212
AG GF ==，
所以6613
677414
AGD GDF ADF ABCD ABCD S S S S S ???===?=．
所以1322
21477AGE AED AGD ABCD ABCD ABCD S S S S S S ???=-=-==，
即三角形AEG 的面积是2
7
．
【例 7】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长
方形ABCD 的面积．
A
B
C
D E
F G
A
B
C
D E
F G
【解析】 连接AE ，FE ．
因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，所以3111
()53210
DEF
ABCD ABCD S S S =??=长方形长方形． 因为12AED
ABCD S
S =长方形，11
::5:1210
AG GF ==，
所以510AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD
S =平
方厘米．因为1
6
AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．
【例 8】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角
形BDG 的面积．
A
B
A
B
【解析】 设BD 与CE 的交点为O ，连接BE 、DF ．
由蝴蝶定理可知::BED
BCD
EO OC S S
=，而1
4
BED ABCD
S
S =，12
BCD
ABCD
S
S =，
所以::1:2BED
BCD
EO OC S
S
==，故1
3
EO EC =．
由于F 为CE 中点，所以1
2
EF EC =，故:2:3EO EF =，:1:2FO EO =．
由蝴蝶定理可知::1:2BFD BED S S FO EO ==，所以11
28
BFD BED ABCD S S S ==，
那么111
1010 6.2521616
BGD BFD ABCD S S S ===??=（平方厘米）．
【例 9】 如图，在ABC ?中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于O ,若AOM ?、ABO ?和
BON ?的面积分别是3、2、1，则MNC ?的面积是 ．
N
M O
C
B
A
【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
根据蝴蝶定理得 313
22
AOM BON MON AOB S S S S ??????=
==
设MON S x ?=，根据共边定理我们可以得
ANM ABM
MNC MBC
S S S S ????=
，3332
2312
x
x ++=
++，解得22.5x =．
【例 10】 (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形123456A A A A A A 的面积是2009平方厘米，123456B B B B B B 分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
B 4
B A 6
A 5
4
A 3
A A
B 4
B A 6
A 5
4
A 3
A A
【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA ?一样大小的三角形组成，只要求
出了23A OA ?的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接63A A 、61B B 、63B A ．
设116A B B ?的面积为”1“，则126BAB ?面积为”1“，126A A B ?面积为”2“，那么636A A B ?面积为126A A B ?的2倍，为”4“，梯形1236A A A A 的面积为224212?+?=，263A B A ?的面积为”6“，123B A A ?的面积为2．
根据蝴蝶定理，12632613:1:6B A B A A B B O A O S S ??===，故23616A OA S ?=
+，12312
7
B A A S ?=， 所以23123612::12:1:77A OA A A A A S S ?=梯形，即23A OA ?的面积为梯形1236A A A A 面积的1
7，故为六边形
123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的13
6147
?=，所以阴影部分面积为
32009111487??
?-= ???(平方厘米)．
板块二 梯形模型的应用
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
A B
C
D
O b
a S 3
S 2
S 1S 4
①2213::S S a b =
②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +．
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)
【例 11】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．
【解析】 设1S 为2
a 份，3S 为2
b 份，根据梯形蝴蝶定理，234S b ==，所以2b =；又因为22S a b ==?，所以
1a =；那么211S a ==，42S a b =?=，所以梯形面积123412429S S S S S =+++=+++=，或者根
据梯形蝴蝶定理，()()2
2
129S a b =+=+=．
【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已
知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．
35
25O
A
B
C
D
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::25:35AOB
BOC
S
S a ab ==，可得:5:7a b =，再根据梯形蝴蝶定理，
2222::5:725:49AOB
DOC
S
S
a b ===，所以49DOC
S =(平方厘米)．那么梯形ABCD 的面积为
25353549144
+++=(平方厘米)．
【例 12】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角
形BOC 面积的2
3
，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．
O
A B
C D 【解析】 根据梯形蝴蝶定理，2::2:3AOB
BOC
S
S
ab b ==，可以求出:2:3a b =， 再根据梯形蝴蝶定理，2222::2:34:9AOD
BOC
S
S
a b ===．
通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
【例 13】 (第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且
3
5
ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？
A
B
C
D
O
【解析】 根据蝴蝶定理，ABD AO CBD CO =三角形的面积三角形的面积，所以35AO CO =，又1AO =，所以5
3
CO =．
【例 14】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？
A B
C
D
O
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，:1:1.52:3a b ==，2222::2:34:9AOD BOC S S a b ??===，
所以()
24cm AOD S ?=．
【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ?、COD ?的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．
O
D
C
B
A
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，22::4:9AOB
ACOD
S
S
a b ==，所以:2:3a b =，
2:::3:2AOD
AOB
S
S
ab a b a ===，3
1.2 1.82
AOD COB S S ==?=，
1.2 1.8 1.8
2.77.5ABCD S =+++=梯形．
【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG 的面积是11，三角形BCH
的面积是23，求四边形EGFH 的面积．
H
G F
E D
C
B A
H
G F
E
D
C
B A
【解析】 如图，连结EF ，显然四边形ADEF 和四边形BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG 的面
积等于三角形ADG 的面积；三角形BCH 的面积等于三角形EFH 的面积，所以四边形EGFH 的面积是112334+=．
【巩固】(人大附中入学测试题)如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2
的面积为36，则三角形1的面积为________．
321 3
21
【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角
形3，所以1的面积就是4361645?=+，3的面积就是5
362045
?=+．
【例 16】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．
B
A
【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，根据梯形蝴蝶定理可以知道
22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =??=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，
所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为1平
方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A B
C
D
E
F
【解析】 连接DE ，根据题意可知:1:2BE AD =，根据蝴蝶定理得2
129S =
+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么12ABCD
S
=(平方厘米)．
【例 17】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，,E F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．
D
A
【解析】 因为,E F 是DC 边上的三等分点，所以:1:3EF AB =，设1OEF S =△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道
3AOE OFB S S ==△△份，9AOB S =△份，(13)ADE BCF S S ==+△△份，因此正方形的面积为244(13)24+++=份，6S =阴影，所以:6:241:4S S ==阴影正方形，所以3S =阴影平方厘米．
【例 18】 如图，在长方形ABCD 中，6AB =厘米，2AD =厘米，AE EF FB ==，求阴影部分的面积．
D
D
【解析】 方法一：如图，连接DE ，DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED 的面积为
26322?÷÷=平方厘米．
由于:1:3EF DC =，根据梯形蝴蝶定理，:3:1DEO
EFO
S S
=，所以3
4
DEO
DEF
S
S =，而2
D E F
A D E
S
S ==平方厘米，所以3
2 1.54
DEO
S
=?=平方厘米，阴影部分的面积为2 1.5 3.5+=平方厘米． 方法二：如图，连接DE ，FC ，由于:1:3EF DC =，设1O E F S =△份，根据梯形蝴蝶定理，3OED S =△
份，2(13)16EFCD S =+=梯形份，134ADE BCF S S ==+=△△份，因此416424ABCD S =++=长方形份，437S =+=阴影份，而6212ABCD S =?=长方形平方厘米，所以 3.5S =阴影平方厘米
【例 19】 (2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的
面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
B
B
【解析】 连接AC ．
由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =， 根据梯形蝴蝶定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE
AOC
DOE
AOD
S S
S
S
=??=，所以6AOC
S
=(平方厘
米)，9AOD
S
=(平方厘米)，又6915ABC
ACD
S
S
==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平
方厘米)．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部
分的面积是 平方厘米．
B
B
【分析】 连接AE ．
由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=． 根据蝴蝶定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故236OCD S ?=， 所以6OCD S ?=(平方厘米)．
【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单
位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．
B
B
【解析】 连接AE ．
由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么OCD OAE S S ??=．
根据蝴蝶定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ?????=?=?=，故216OCD S ?=，所以4OCD S ?=(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED 中，()11
1681222
ADE ABED S S ?==?+=(平方厘米)，
所以1284AOE ADE AOD S S S ???=-=-=(平方厘米)，
根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244?÷=(平方厘米)．
【例 20】 如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ?的面积是5平方厘米，CED ?的面积是
10平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
F
A
B
C
D E
10
5 F
A
B C
D
E
10
5
【分析】 连接BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10平
方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为1010520?÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为
()2010260+?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为605102025---=(平方厘米)．
【巩固】如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，DEF ?的面积是4平方厘米，CED ?的面积是6平
方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？
6
4A
B C
D
E
F
6
4A
B C D
E
F
【解析】 (法1)连接BF ，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积
相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为6649?÷=(平方厘米)，所以长方形的面积为()96230+?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．
(法2)由题意可知，
4263EF EC ==，根据相似三角形性质，2
3
ED EF EB EC ==，所以三角形BCE 的面积为：2
693
÷
=(平方厘米)．则三角形CBD 面积为15平方厘米，长方形面积为15230?=(平方厘米)．四边形ABEF 的面积为3046911---=(平方厘米)．
【巩固】(98迎春杯初赛)如图，ABCD 长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB
的长是9.那么四边形OECD 的面积是多少？
B
【解析】 因为连接ED 知道ABO △和EDO △的面积相等即为54，又因为169OD OB ∶=∶,所以AOD △的面积
为5491696÷?=，根据四边形的对角线性质知道：BEO △的面积为：54549630.375?÷=，所以四边形OECD 的面积为：549630.375119.625+-=(平方厘米).
【例 21】 (2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的
面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
?
8
5
2O A B C
D
E
F
?
8
5
2O A B
C
D E
F
【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S
?=，又根据蝴蝶定理，
EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?，所以2816EOD FOC EOF COD S S S S ?????=?=?=，所以4EOD S ?=(平方厘米)，4812ECD S ?=+=(平方厘米)．那么长方形ABCD 的面积为12224?=平方厘米，四边形OFBC 的面
积为245289---=(平方厘米)．
【例 22】 (98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD 中，AOB 是直角三角形且面积为54，OD 的长是16，OB
的长是9．那么四边形OECD 的面积是 ．
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
【解析】 解法一：连接DE ，依题意11
95422
AOB
S
BO AO AO =??=??=，所以12AO =， 则11
16129622
AOD
S
DO AO =??=??=． 又因为154162AOB DOE S S OE ===??，所以3
64
OE =，
得1133
96302248
BOE S BO EO =??=??=，
所以()35
54963011988
OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．
解法二：由于::16:9AOD AOB S S OD OB ==，所以16
54969
AOD S =?=，而54DOE AOB S S ==，根据
蝴蝶定理，BOE AOD AOB DOE S S S S ?=?，所以3
545496308
BOE S =?÷=，
所以()35
54963011988
OECD BDC BOE ABD BOE S S S S S =-=-=+-=．
【例 23】 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形
DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ?的面积是多少？
B
B
【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是梯形．在梯形ADBC 中，BDK ?和
ACK ?的面积是相等的．而:1:3AK KB =，所以ACK ?的面积是ABC ?面积的11
134
=+，
那么BDK ?的面积也是ABC ?面积的
14
． 由于ABC ?是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且
AM DE =，可见ABM ?和ACM ?的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ?的面积与正
方形DEFG 的面积相等，为48．
那么BDK ?的面积为1
48124
?=．
【例 24】 如图所示，ABCD 是梯形，ADE ?面积是1.8，ABF ?的面积是9，BCF ?的面积是27．那么阴
影AEC ?面积是多少？
【解析】 根据梯形蝴蝶定理，可以得到AFB DFC AFD BFC S S S S ?????=?，而AFB DFC S S ??=(等积变换)，所以可得
99
327
AFB CDF AFD BFC S S S S ??????===，
并且3 1.8 1.2AEF ADF AED S S S ???=-=-=，而::9:271:3AFB BFC S S AF FC ??===， 所以阴影AEC ?的面积是：4 1.24 4.8AEC AEF S S ??=?=?=．
【例 25】 如图，正六边形面积为6，那么阴影部分面积为多少？
【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把
六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积88
6183
?=．
【例 26】 如图，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分
组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米？
⑥
⑤
④
③
②①
B
F
E
D C
A
【解析】 因为E 是DC 中点，F 为AC 中点，有2AD FE =且平行于AD ，则四边形ADEF 为梯形．在梯形
ADEF 中有③=④，
②×⑤=③×④，②：⑤=2AD ： 2FE =4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6(41)2÷-=，
②=⑤48?=，所以②×⑤=④×④=16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF 的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为844218+++=．有CEF 与ADC 的面积比为CE 平方与CD 平方的比，
即为1:4．所以ADC 面积为梯形ADEF 面积的44-1=43，即为4
18243
?=．因为D 是BC 中点，所以
ABD 与ADC 的面积相等，而ABC 的面积为ABD 、ADC 的面积和，即为242448+=平方厘米．三角形ABC 的面积为48平方厘米．
【例 27】 如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，
现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 ．
【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定
理来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6 1.5242222?÷?+?=，阴影部分的面积为662214?-=．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2:61:3=，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之
比为221:13:13:31:3:3:9??=，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9
16
，阴影部分的面
积占该梯形面积的716，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7
16
，那么阴影部分的面积为
227
(62)1416
?-=．
【例 28】 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 与CD 上，且2CE BE =，2CF DF =，连接BF 、
DE ，相交于点G ，过G 作MN 、PQ 得到两个正方形MGQA 和PCNG ，设正方形MGQA 的面积为
1S ，正方形PCNG 的面积为2S ，则12:S S =___________．
Q
P
N M
A
B
C D E F
G
Q
P
N
M
A
B
C
D E F
G
【解析】 连接BD 、EF ．设正方形ABCD 边长为3，则2C E C F ==，1BE DF ==，所以，222228EF =+=，
2223318BD =+=．因为222
81814412EF BD ?=?==，所以12EF BD ?=．由梯形蝴蝶定理，得22::::::8:18:12:124:9:6:6GEF GBD DGF nBGE S S S S EF BD EF BD EF BD =??==△△△，
所以，66496625BGE BDFE BDFE S S S ==+++△梯形梯形．因为9
3322
BCD S =?÷=△，2222CEF S =?÷=△，
所以52BCD CEF BDFE S S S =-=△△梯形，所以，653
2525
BGE S =?=△．
由于BGE △底边BE 上的高即为正方形PCNG 的边长，所以362155CN =?÷=，69
355
ND =-=，
所以::3:2AM CN DN CN ==，则2212::9:4S S AM CN ==．
【例 29】 如下图，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，且2CD AB =，点E 、F 分别是AD 和BC 的中点，
已知阴影四边形EMFN 的面积是54平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米．
D
D
【解析】 连接EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小
三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD 面积．
设梯形ABCD 的上底为a ，总面积为S ．则下底为2a ，()13
222
EF a a a =+=．
所以3::2:32AB EF a a ==，3
::23:42
EF DC a a ==．
由于梯形ABFE 和梯形EFCD 的高相等，所以
()()33:::25:722ABFE EFCD S S AB EF EF DC a a a a ????
=++=++= ? ?????
梯形梯形，
故512ABFE S S =梯形，7
12
EFCD S S =梯形．
根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE 内各三角形的面积之比为222:23:23:34:6:6:9??=，所以
9953
4669251220
E M
F ABFE S S S S ==?=+++梯形；
同理可得9973
9121216491228
ENF S S S S ==?=+++梯形EFCD ，
所以339
202835
EMFN EMF ENF S S S S S S =+=+=，由于54EMFN S =平方厘米，
所以9
5421035
S =÷=(平方厘米)．
【例 30】 (2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、
H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简
分数m
n
，那么，()m n +的值等于 ．
B
E
E
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面
积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ． 左图中AEGD 为长方形，可知AMD ?的面积为长方形AEGD 面积的
1
4
，所以三角形AMD 的面积为2111
1248??=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为
111482
-?=．
B
E
E
如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的
1
4
，所以三角形BEF 的面积为21111248??=，梯形AEFC 的面积为113
288
-=．
在梯形AEFC 中，由于:1:2
E F A C =，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4??=，所以三角形EFN 的面积为311
8122424
?=
+++，那么四边形BENF 的面积为111
8246+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为
111463
-?=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即3
2
m n =，
那么325m n +=+=．
板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①
AD AE DE AF
AB AC BC AG
===
； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 31】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？
F
E
D
C
B
A
【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以
::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4
10814
FC =?=+．
【例 32】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管
口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？
60
5040
30
2010
E
A
D C B
【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米．
【例 33】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．
A E
D C
B
【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，
设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷?=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．
【例 34】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，
则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．
E
G
F A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，
所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，
进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．
A E
D C
B
【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷?=
【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，
则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．
Q E G
N
M
F P
A D C
B
【解析】 设1ADE S =△份，2
2
::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有
5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．
所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．
【例 35】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．
A E
D C
B
【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，
则25ABC S =△份，25421D B C E S =-=梯形份，D B C E S 梯形比ADE S △大17份，恰好是2
8.5c m ，所以
212.5c m ABC S =△
【例 36】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度
N
M
P
A C B
【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：
::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷?=cm ，所以642cm BM =-=
【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．
O
E
D C B
A
【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得::2:3AD AB DE BC ==．
【例 37】 如图，ABC ?中，14AE AB =，1
4
AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ?的面积是1平方厘米．那
么AED ?的面积是 平方厘米．
A B C
D
E
O