第七章 数值积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且原函数为F(x)，则可用牛顿―莱布尼兹
公式：)()()(a F b F dx x f b a
-=?来求得定积分。然而很多函数无法用牛顿―莱布尼兹公式求积分。
一个简单被积函数，例如，其不定积分可能很
复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x
>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)
ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2
所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数P n (x )来近似代替被积分函数f (x )，然后通过求?b
a n dx x P )(得?b
a dx x f )(的近似值。
7.1 插值型求积公式
设?=b
a dx x f I )(*，插值型求积公式就是构造插值多项式P n (x )，使
?=≈b
a n dx x P I I )(*
。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a
b a
x a f b a b x x P --+--=
，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b
a b
a +-=??
?
???--+--==??称为梯形公式。
以a , 2
b
a c +=
，b 为三个插值节点，构造二次插值多项式)()
)(()
)(( )())(())(()())(())(()(2b f c b a b c x a x c f b c a c b x a x a f b a c a b x c x x P ----+----+----=
，
则可以推出)()()()(2102b f c f a f dx x P S b
a
λλλ++===?，)(6
1
))(())((0a b dx b a c a b x c x b
a
-=----=?
λ，
)(64))(())((1a b dx b c a c b x a x b
a
-=----=?
λ，)(6
1
))(())((2a b dx c b a b c x a x b a -=----=?λ。由此得公式：[])()(4)(6
b f
c f a f a
b S ++-=
，称为辛卜生（Sinpson ）求积公式。 根据经典拉格朗日插值公式)()()(0
k n
k k n x f x l x P ∑==，代入求定积分则
有)()()()(0
k n
k b a k k n
k b
a k x f dx x l dx x f x l I ?==∑?∑?==，引入记号dx x l b
a k k )(?=λ，
)(0
k n
k k x f I ∑==λ，λk 为求积系数，x k 为求积节点。注意：一积分结果为函
数值的一个代数和，二是a
b dx x l n
k b
a k -=∑?=0
)(。
如果积分区间比较大，直接使用上述求积公式精度难以保证。可
对f (x )用分段抛物插值。通常采取的办法是复化求积方法： （1）等分求积区间，比如取步长n
a
b h -=
，分[a, b]为n 等分，分点为kh x x k +=0，k = 0, 1, 2,…, n 。
（2）在区间 [x k , x k+1]上使用以上求积公式求得I k 。 （3）取和值∑-==1
0n k k I I 作为整个区间上的积分值。
将梯型公式和辛卜生公式应用于各子区间[]1,+k k x x ()1,,0-=n k 上得到子区间的定积分，再将子区间的定积分加起来得到整个区间的定积分近似值，相关公式称为复化梯型公式和复化辛卜生公式。相对于
复化梯型公式，复化辛卜生公式是一种精度较高的求积公式。例如对于复化梯型公式，令[])()(2
1++=k k k x f x f h
I ，则
∑-==1
0n k k n I T [])()(211
0+-=+=∑k k n k x f x f h ??
?
???++=∑-=)()(2)(21
1b f x f a f h n k k
x k 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (x k ) 4 3.93846 3.7647 3.50685 3.2 2.8764 2.46 2.26549 2 例 利用数据表计算积分 dx x
I ?+=1
2
*
14
( 1415926.3|arctg 410*===πx I )。解：取n = 8用复化梯形公式：
()13899
.31872432852212832412812)0(21818=?
??+???
??+??? ??+??? ??+?????? ??+??? ??+??? ??+??? ??+?=f f f f f f f f f T 7.2 变步长梯形方法
使用复化求积公式须给出合适的步长，步长太大精度难保证，步长太小会增加计算量，事先给出一个合适的步长是十分困难的。递推公式避免了老节点的重复计算，使计算量减少了一半。
变步长积分法思想是将区间逐次对分，比较前后两次计算结果，
若满足精度要求就停止，否则再次对分，直到到达精度要求为止。设将区间[a, b] n 等分，共有n+1个分点，按复化梯形公式计算T n ，需要计算n+1个f (x )的值。T 2n 的全部分点中有n+1个是原有的点。小区间[x k , x k +1]经过二分增加分点2
1
+k x 后，用复化梯形公式得积分为：
[]
)()(2)(4
121++++=
k k k k x f x f x f h
I ，因此有
[]
[]∑∑∑∑
-=+-=+-=+++-=+=++=++=1
1
010111
2)
(221)
(2)()(4)
()(2)(4212121n k k n n k k n k k k k k k n k n x f h T x f h x f x f h x f x f x f h
T
例 计算
。
解：根据梯形公式和复化梯形公式2/)]1()0([1f f T +=，
∑-=++=1
5.02)(221n k k n n x f h T T ，于是有
n 1 2 4 8 16 32 T n 0.9397 0.9445 0.9456 0.9459 0.9461 0.9461
7.3 求积公式的误差
P n (x )是f (x )的n 次插值多项式，当)(x f 本身就是次数不超过n 的
多项式时)()(x P x f n ≡，求积公式)()()(*0
*
k n
k k b
a n b
a x f dx x P dx x f I ∑??====λ是
精确的。由于
a b n
k k
-=∑=0
λ
，若f (x k )的舍入误差小于ε ，则
)()()()()(*0
*
*
a b x f x f x f x f I I k k n
k k k n
k k k n
k k
-<-≤-=
-∑∑∑===ελλλ
。
所以舍入误差对数值积分的影响不大。
应用插值多项式余项定理)()!
1()
()(1)1(x n f x R n n +++=ωξ，对于插值多项式
次数为1的情况有：))((2
)
()(b x a x f x R --''=ξ，可以证明梯形公式的截断误差为：3
*)
(12
)())((2
))((a b f dx b x a x x f T I b
a
-''=--''=-?ξξ-（注意：这里用
到了积分中值定理：设)(x f 在区间[a,b]上连续，)(x g 在[a,b]区间上可积且不变号，则在[a,b]区间上至少有一个ξ满足
??
=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ξ）。
将[a, b]区间n 等分，取n
a
b h -=
考虑复化梯形积分公式的误差，这个误差是n 个等分区间段上得误差之和，即
12
)()(-12)(-)(12-12)(-2
31031
3*
h f a b h f n f h h f T I n i i n i i n ξξξξ''-=''=''=''=-∑∑
-=-=（注意：这里
用到了介值定理，即对于连续函数)(x f 和自然数n ，存在ξ
使
。
7.4 收敛条件及收敛加速
梯形法简单，但精度低，收敛的速度慢。如何提高收敛速度？
设I 是精确积分值，根据复化梯形公式的余项表达式可知：
),(12)()(-2*
b a h f a b T I n ∈''-=-ηη，，),(12
)2/)(()(-*2*2*
b a h f a b T I n ∈''-=-ηη，。假
定)()(*
''≈''ηηf f , 则有4
1*
2*=--n n T I T I 。整理得：)(31
22*n n n T T T I -=-。可见只要二分前后T n 与T 2n 相当接近，就可以保证T 2n 的误差很小。T 2n 的误差大致等于)(3
1
2n n T T -，用误差值作为T 2n 的补偿，可期望所得到的)(3
122*n n n T T T I -+=，可能是更好的结果。
也可以这样考虑，将所有T n 看做构成一个函数T ，变量是h 2。
当h 趋近0时，T(h 2)接近I *，即T(0)=I *，连接点),2n n T h （和),12
1++n n T h （得一直线，其方程为：1
2212
21221
++++--+--=n n
n n n n n n T h h h x T h h h x y ，延伸该直线与Y 轴相交（见下图），3
-4T ~
11
2212
21221
n n n n n n n n n n T T T h h h T h h h +++++=--+-=
。这就是一种迭代的加速。
图 一种迭代加速
7.5 高斯型求积公式
在插值型求积公式中，插值节点是事先固定的，有时还进一步限定是等距的。是否可以在[a, b]上自由选择节点的位置，使精度提高？
称：)()(0
i n
i k b
a x f A dx x f ∑?=≈为一般求积公式，这里A k 为不依赖f (x )
的常数。若对任意不高于m 次的多项式精确成立，而对于x m +1不能精确成立，就说具有m 次代数精确度。下面讨论最高代数精确度的求积公式（叫做高斯型求积公式）。
例 求形如 ?-+≈1
11100)()()(x f A x f A dx x f 的两点求积公式。本题的解法很多，结果也不一定相同。（1）用梯形公式得)1()1()(1
1f f dx x f +-≈?-，此公式有一次代数精确度。（2）若对求积公式中的四个待定系数A 0, A 1, x 0, x 1适当选取，使求积公式对f (x ) = 1，x ，x 2，x 3都准确成立，即得
方程组 ?????
????=+=+=+=+0
3
202
3113002
1120
0110010x A x A x A x A x A x A A A ，求解得33,33,11010=-===x x A A 。故得
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
-
≈
?-
3
3
3
3
)
(
1
1
f
f
dx
x
f，此公式有三次代数精确度。
7.6 Monte Carlo方法
是否可以用“抛石子”方法计算数值积分？
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法出现于二十世纪四十年代中期。该方法以计算机为硬件基础，是以概率统计理论为指导的一类新型计算方法，其理论基础是大数法则：在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。均匀地随机地选取[b
a,]中{}k
M x
个点，显然∑
?
=
-
≈
M
k
k
b
a
x
f
M
a
b
dx
x
f
1
)
(
)
(，注意当M取1时，此公式就是积分中值定理，当M取2时，此公式即为梯形公式。当M足够大，可得到足够好的积分值。对一重积分而言，数值积分方法要有效得多；对于多重积分和积分域不规则的情况???
Ω
dV
x
x
x
f)
,
,
(
3
2
1
，常规数值积分方法根本没法和Monte Carlo方法相比。
以下计算： 1
dx
e x：（结果是1.708, 直接用rand()的结果是1.670）
int main(int argc, char* argv[])
{
int r, i ;
double x = exp(1.), f, s = 0. ;
srand(time(NULL)) ;
for( i = 0 ; i < MAX_LOOP ; i++ ) {
r = rand()%100000 ;
r = (r*r)%100000 ;
x = r*0.00001 ;
f = exp(x) ;
s += (f/MAX_LOOP) ;
}
return 0;
}
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+员工培训及培训积分管理办法
员工培训及培训积分管理办法 一、目的 为提高员工业务水平、知识技能、职业素养及管理能力，满足公司快速发展需要、并使培训工作制度化、规范化、体系化，特制定本制度。 二、范围 适用于公司的内外部培训。 三、职责 3.1 总经理负责公司培训文化、培训制度及培训体系的建立与完善。 3.2 人力资源部负责组织、分析各部门年度培训需求并组织各部门制定年度培训计划，在各部门年度培训计划的基础上整理汇总公司年度计划。负责公司长期、年度、月度培训计划的制定、审议、汇总、呈报、执行；负责培训费用总预算的编制及培训费用的使用控制；组织公司共性培训课的举办和岗前培训、体系培训；外聘讲师的审核和选择，外培课程及人员的挑选、审核与办理；对各部门培训计划实施情况的督导、跟踪；组织汇编培训教材；评估培训效果，收集培训建议和意见，调整培训内容和培训形式；负责培训相关资料的归档、登记部门及员工培训积分、建立员工培训档案等。 3.3 各部门部长负责本部门年度、月度培训计划的制订与执行；部门培训费用的计划编制与培训费用的使用控制；组织部门人员业务知识、专业技能、部门各项规章制度及体系文件的培训工作；内部讲师的培养、内部专业课程的课件制作、内部培训档案的建立与归档工作；内部员工培训督导与跟踪。 四、管理要求 4.1相关定义 4.1.1 培训：为提高员工业务技能、开拓思路、综合素质提高而进行的有目的训练。包括出国考察、参加各种展览会、技术研讨会、外聘讲师来公司进行培训、公司委派的各种培训、由公司承担费用的各类自修、公司或部门组织的培训及其他特殊岗位的实习。 4.1.2 培训费：一切用于培训的费用。包括：教材费、学费、签证费、调研费、实习费、上机费、证书费、食宿费、交通费、外聘教师费用等。 4.2 培训原则 4.2.1 员工培训以充分开发员工潜能，提高员工的整体素质、业务水平和专业技能为目标，须有益于公司的权益和企业发展需要。 4.2.2 全体员工应遵循“先培训后上岗、先培训后任职”的原则。即：员工上岗之前和任
实验二数值方法计算积分 学号：姓名：指导教师：实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积 方法计算积分的原理。 一、用不同数值方法计算积分 10x ln xdx=-94. (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关 于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小 的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。 二、实现实验 1、流程图： 下图是龙贝格算法框图：
2、 算法： (1) 复合梯形公式：Tn=++)()([2b f a f h 2∑-=1 1 )](n k xk f ； (2) 复合辛普森公式：Sn=6h [f(a)+f(b)+2∑-=11)](n k xk f +4∑-=+1 )2/1(n k x f ]； 以上两种算法都是将a-b 之间分成多个小区间（n ）,则h=(b-a)/n,x k =a+kh, x k+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3) 龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 1、Sn= 34T2n-31 Tn 2、 Cn=1516S2n-151 Sn 3、 Rn=6364C2n-631 Cn 从而实现算法。 3、 程序设计 （1）、复合梯形法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0. 001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); （2）、复合辛普森法： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0 .001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); （3）龙贝格法： function [I,step]=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),
七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） XX公司培训积分管理办法 一、目的：为了提高公司员工的整体素质，建立学习型组织，充分调动员工培训积极性，实现员工与企业同步发展，特制定此办法。 二、适用范围本办法适用于北京区域全员。 三、积分的定义员工通过参加培训和提供授课的方式获取积分。行政人事部给员工设置培训档案并定期更新培训积分，培训积分是衡量员工个人学习进步的标尺之一，培训积分作为员工绩效、薪酬、晋升等的参考标准之一。 （一）积分类型：培训积分分为两类：A 类积分为接受培训积分，B 类积分为授课积分。（二）积分的要求和目标：不同职位的员工全年学习培训积分要求有所不同，职位越高，学习培训积分也要求越高。经理级以上人员在达到A类培训积分要求的同时还应达到B类积分要求。积分未达标的员工将在年底绩效考核时予以扣分，具体参见北京区域部门考核指标。全年各级别学习培训积分目标为： 四、获得积分渠道 （一）作为学员参加培训： 1、公司内部培训：参加公司及集团总部举办的各类讲座、专题培训、研讨会等形式的课程均可申请培训积分。 2、外部培训：员工参加完成公司委派的外部培训课程，持《培训心得报告》以及结业证、考试成绩或其他证明材料到行政与人力资源部备案后可申报培训积分。 3、个人业余进修：参加公司认可的业余进修，取得进修合格证明材料后可申报培训积分。 4、业务交流、考察：参加业务交流或考察，持《培训心得报告》或其他证明材料到行政与人力资源部备案后可申报培训积分。 5、读书分享：行政与人类资源部将根据企业发展及营运需要，有计划地推荐下发员工自学书目，持《培训心得报告》或其他证明材料到行政与人力资源部备案后可申报培训积分，按照2积分/本计算。（二）作为内部讲师进行授课： 1、内部讲师按时完成行政与人力资源部安排的课程，可申报培训积分。 2、内部讲师在部门内部自行组织的培训在行政与人力资源部备案后可申报培训积分。 五、积分计算办法 （一）计算公式： 1小时=1积分； 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L 培训积分管理办法 1.目的 为规范培训管理，如实记录职员在公司的受训经历，建立完整的培训档案，为开展员工发展的工作提供支持。 2.适用范围 适用于所有员工的培训积分管理。 3.职责 3.1.人力资源部 1、建立公司的培训积分管理制度； 2、负责培训积分的整理、登记、汇总、归档等管理工作； 3、建立培训积分与绩效挂钩的奖励制度。 3.2.各部门 1、参加培训，提交报告等可获得积分的证明文件； 2、负责本部门内部培训积分的整理工作，并报人力资源部备案。 4.管理办法 4.1.培训积分的使用 4.1.1.在公司，获得培训积分的多少是衡量员工个人学习进步的标尺之一，积分记录是员工晋升和评奖的重要参考信息。 4.1.2.普通员工每年度的培训积分不得少于24分。中层以上管理人员每年度培训积分不得少于40分。若低于以上积分要求，原则上不具备以下奖励和提升条件： 1、晋升； 2、提薪； 3、推荐为更高星级培训讲师； 4、员工年度考核等级评为优秀；中高层年度考核等级评定为良； 5、参加优秀员工选评。 4.2.获得培训积分的渠道 4.2.1.公司内部培训：参加并完成公司举办的各类讲座、培训专题、研讨会等形式的课程均可申报培训积分； 4.2.2.外部培训：员工参加完成公司委派的外部培训课程，提交《学习报告》（含所在部门负 责人的评估意见）以及结业证、考试成绩或其他证明材料到人力资源部门备案后可申报培训积分； 4.2.3.双向交流、考察：员工双向交流、考察完毕回到原岗位后提交《交流或考察报告》，经审核评价合格后可申报培训积分； 4.2.4.个人业余进修：参加公司认可的业余进修，取得进修合格证明材料后可申报培训积分。 4.3.积分计算办法 4.3.1.培训积分＝培训课程积分系数×该培训的净课时（小时）数。如：某培训的积分系数为2.0，培训两天，净课时数为12小时，则员工全程上完该课程后可得培训积分＝2.0×12=24分； 4.3.2.培训积分系数确定原则： 1、凡时长小于等于4小时的内、外部培训均列入短期讲座类培训，短期讲座类的培训积分系数统一为1.0； 2、凡时长大于4小时的内、外部培训均列入研修类培训，研修类培训积分系数统一均为1.5； 3、双向交流、外出考察、个人业余进修，培训积分系数统一计为1.0； 4、对于由多门课程组成并连续进行的系列培训项目（如新员工培训、经理任职资格培训等），积分登记时按每门课程分别登记，积分系数为2.0； 5、人力资源部负责按上述标准确定培训积分系数和积分数并写入培训通知； 6、对于各部门组织的各类内部培训，应事先向人力资源部申请确定培训积分系数和积分数，方为有效。 4.3.3.有下列情况者，当次培训不予积分： 1、员工参加培训出勤率少于80%； 2、参加外派培训，有结业证书而未能获得结业证书的； 3、有培训测试的培训，测试成绩低于70分（百分制）； 4、有培训追踪的培训，未能进行培训效果或评价结果为不满意。 4.4.培训积分的登记 4.4.1.对公司人力资源部组织的公司级培训，由人力资源部负责整理登记； 4.4.2.对于各部门组织的各类内部培训，由各部门报人力资源部审核，由人力资源部负责整理登记； 4.4.3.员工参加外训、外出考察、双向交流、自修以及业余攻读学位等，须在学习结束一个月之内向人力资源部申请登记积分。逾期不申报视作放弃申请本次积分。 定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 毕业论文文献综述 信息与计算科学 导数的数值计算方法 一、 前言部分 导数概念的产生有着直觉的起源，与曲线的切线和运动质点的速度有密切的关系．导数用于描述函数变化率，刻画函数的因变量随自变量变化的快慢程度．比如说，物理上考虑功随时间的变化率（称为功率），化学上考虑反应物的量对时间的变化率（称为反应速度），经济学上考虑生产某种产品的成本随产量的变化率（称为边际成本）等等，这些变化率在数学上都可用导数表示． 导数由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法，导数是研究函数的切线、单调性、极值与最值等问题的有力工具；运用它可以简捷地解决一些实际问题，导数的概念是用来研究函数在一点及其附近的局部性质的精确工具，而对于函数在某点附近的性质还可以应用另一种方法来研究，就是通过最为简单的线性函数来逼近，这就是微分的方法．微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁， Rolle 中值定理， Lagrange 中值定理， Cauchy 中值定理， Taylor 公式是微分学的基本定理， 统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具 ] 1[．在微分学中，函数的导数是通过极限定义的，但 当函数用表格给出时，就不可用定义来求其导数，只能用近似方法求数值导数] 2[．最简单 的数值微分公式是用差商近似地代替微商，常见的有 [3] ． ()()() 'f x h f x f x h +-≈ ， ()()() 'f x f x h f x h --≈， ()()() '2f x h f x h f x h +--≈ ． 需要注意的是微分是非常敏感的问题，数据的微小扰动会使结果产生很大的变化] 4[． 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a Q/ZSSG030101— E/0 员工培训及培训积分管理办法 一、目的 为提高员工业务水平、知识技能、职业素养及管理能力，满足公司快速发展需要、并使培训工作制度化、规范化、体系化，特制定本制度。 二、范围 适用于公司的内外部培训。 三、职责 3.1 总经理负责公司培训文化、培训制度及培训体系的建立与完善。 3.2 人力资源部负责组织、分析各部门年度培训需求并组织各部门制定年度培训计划，在各部门年度培训计划的基础上整理汇总公司年度计划。负责公司长期、年度、月度培训计划的制定、审议、汇总、呈报、执行；负责培训费用总预算的编制及培训费用的使用控制；组织公司共性培训课的举办和岗前培训、体系培训；外聘讲师的审核和选择，外培课程及人员的挑选、审核与办理；对各部门培训计划实施情况的督导、跟踪；组织汇编培训教材；评估培训效果，收集培训建议和意见，调整培训内容和培训形式；负责培训相关资料的归档、登记部门及员工培训积分、建立员工培训档案等。 3.3 各部门部长负责本部门年度、月度培训计划的制订与执行；部门培训费用的计划编制与培训费用的使用控制；组织部门人员业务知识、专业技能、部门各项规章制度及体系文件的培训工作；内部讲师的培养、内部专业课程的课件制作、内部培训档案的建立与归档工作；内部员工培训督导与跟踪。 四、管理要求 4.1相关定义 4.1.1 培训：为提高员工业务技能、开拓思路、综合素质提高而进行的有目的训练。包括出国考察、参加各种展览会、技术研讨会、外聘讲师来公司进行培训、公司委派的各种培训、由公司承担费用的各类自修、公司或部门组织的培训及其他特殊岗位的实习。 4.1.2 培训费：一切用于培训的费用。包括：教材费、学费、签证费、调研费、实习费、上机费、证书费、食宿费、交通费、外聘教师费用等。 4.2 培训原则 4.2.1 员工培训以充分开发员工潜能，提高员工的整体素质、业务水平和专业技能为目标，须有益于公司的权益和企业发展需要。 目录 第一章数值积分计算的重述 (1) 1.1引言 (1) 1.2问题重述 (2) 第二章复化梯形公式 (3) 2.1 复化梯形公式的算法描述 (3) 2.2 复化梯形公式在C语言中的实现 (3) 2.3 测试结果 (4) 第三章复化simpson公式 (6) 3.1 复化simpson公式的算法描述 (6) 3.2 复化simpson公式在C语言中的实现 (6) 3.3 测试结果 (7) 第四章复化cotes公式 (8) 4.1 复化cotes公式的算法描述 (8) 4.2 复化cotes公式在C语言中的实现 (9) 4.3 测试结果 (10) 第五章Romberg积分法 (11) 5.1 Romberg积分法的算法描述 (11) 5.2 Romberg积分法在C中的实现 (12) 5.3 测试结果 (13) 第六章结果对比分析和体会 (144) 参考文献 (16) 附录 (16) 数值积分?-10 2 dx e x （一） 第一章 数值积分计算的重述 1.1引言 数值积分是积分计算的重要方法，是数值逼近的重要内容，是函数插值的最直接应用，也是工程技术计算中常常遇到的一个问题。在应用上，人们常要求算出具体数值，因此数值积分就成了数值分析的一个重要内容。在更为复杂的计算问题中，数值积分也常常是一个基本组成部分。 在微积分理论中，我们知道了牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 ()() () b a f x d x F b F a =-? 其中()F x 是被积函数()f x 的某个原函数。但是随着学习的深入，我们发现一个问题: 对很多实际问题，上述公式却无能为力。这主要是因为:它们或是被积函数没有解析形式的原函数,或是只知道被积函数在一些点上的值,而不知道函数的形式,对此,牛顿—莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式就无能为力了。此外,即使被积函数存在原函数,但因找原函数很复杂,人们也不愿花费太多的时间在求原函数上,这些都促使人们寻找定积分近似计算方法的研究,特别是有了计算机后,人们希望这种定积分近似计算方法能在计算机上实现,并保证计算结果的精度,具有这种特性的定积分近似计算方法称为数值积分。由定积分知识,定积分只与被积函数和积分区间有关,而在对被积函数做插值逼近时,多项式的次数越高,对被积函数的光滑程度要求也越高,且会出现Runge 现象。如7n >时,Newton-Cotes 公式就是不稳定的。因而,人们把目标转向积分区间,类似分段插值,把积分区间分割成若干小区间,在每个小区间上使用次数较低的Newton-Cotes 公式,然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似,这就是复化的基本思想。本文主要 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx 集团公司员工培训积分管理办法 一、目的： 为了提高公司员工的整体素质，建立学习型组织，并保障公司培训工作顺利进行，充分调动员工培训积极性，实现员工与企业同步发展，人力资源部依据公司年度培训计划目标和部门、子公司培训计划目标特制定本办法。 二、适用范围： A 类积分为接受培训积分，适用于公司全体员工； B 类积分为各级管理员对下属的培训积分，适用于公司管理层； C类积分为内部讲师授课积分，适用于公司内部讲师。 三、积分的要求和目标： 不同职位的员工全年学习培训积分要求有所不同，职位越高，学习培训积分也要求越高。 年度累计A 类积分和B类积分的多少是员工晋级、晋升、年终奖金发放的参考依据之一。 中层管理人员在达到A类培训积分要求的同时还应达到B类积分要求，且B 类积分中本部门培训分数占比不得低于70%。 部门\子公司至少配备1名内部讲师，选拔流程：部门\子公司负责人推荐→课程试讲→人力资源部门审定→备案；讲师C类积分年度达标值为80分，如管理人员被公司选拔为内部讲师，在年度内授课可同时享受B、C类积分。 四、培训积分方法： A 类积分的细则： 1、公司或部门\子公司组织的内部培训： 积分方法：公司组织的内部培训基本积分为15 分/次。 （1）进行考试的，按成绩给予积分：成绩X≥90 分时给基本积分再加奖积分5 分；成绩90分≥X≥60 分时给基本积分；成绩X＜60 分时不给积分。 （2）以培训总结、问卷等形式代替考试的：完成且内容详实的给基本积分，内容不全的视情况扣分，未完成的不给积分。 （3）对于违反培训、考试纪律的，将予以扣积分处理：旷课的，不给基本积分并倒扣积分5 分/课次；迟到、早退和中途擅自离开课堂30分钟及以上的，在基本积分上扣3分/课次，其它课堂、考试违纪行为在基本积分上扣5 分/课次。 积分程序： 公司培训计划实施→考试或总结记录存档于人力资源部→人力资源部实施积分 部门\子公司培训计划实话→考试或总结记录存档于部门→部门\子公司上报人力资源部，审核后实施积分 2、公司组织的外部培训： 积分方法： （1）培训单位颁发资格证书的，积分按获得资格证书的级数分别计分，初级、中级、高级分别给予15分、20分、25分的积分；如资格证未分级，则给予基本积分15分。 （2）培训单位不颁发资格证书的，以培训报告、行动计划的优劣赋分。及时提交了培训报告、行动计划的给基本积分15分；培训报告或行动计划中写出了对公司、部门\子公司有建设性方案的给基本积分再加奖积分5 分；报告或行动计划中写出了对公司、部门\子公司有建设性方案的并在公司实施的给基本积分再加奖积分10分；未及时提交培训报告、行动计划的扣积分10 分。 积分程序：填写《培训申请表》→上交外出培训评估报告、培训（资格）证书复印件和行动计划→人力资源部实施积分 3、以个人名义参加的外部培训（以主办单位颁发的资格证书为准奖励积分）： 积分方法： （1）与岗位工作有密切关系的培训和学习，取得资格证书的，初级、中级、高级分别奖励积分15分、20分、25 分； （2）与岗位工作相关的培训和学习，取得资格证书的，初级、中级、高级分别奖励积分10分、15分、20 分。 积分程序：向人力资源部上交资格证书原件→人力资源部留存复印件→人力资源部实施积分 B类积分的细则： 管理人员在本部门\子公司内部按公司年度培训计划实施授课的，基本积分按5 分/小时计，不足1 小时不积分；在公司计划外课程授课，且课程内容经人力资源部审核批准后，基本积分按3分/小时计，不足1小时不积分。 积分程序：人力资源部安排的课程→人力资源部实施积分 部门\子公司安排的课程→部门\子公司提交培训报告→人力资 源部实施积分 C类积分的细则： 内部培训师按公司年度培训计划实施授课的，基本积分按5分/小时计，不足1小时不积分；在公司计划外课程授课，且课程内容经人力资源部审核批准后，基本积分按3分/小时计，不足1小时不积分。 积分程序：人力资源部安排的课程→人力资源部实施积分 部门\子公司安排的课程→部门\子公司提交培训报告→人力资 源部实施积分 四、学习培训积分奖罚： 第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。 五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：培训积分制
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