高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络
二、高考考点
1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质;
2.有关圆锥曲线的轨迹(或轨迹方程)的探求;
3.直线与圆锥曲线的问题:对称问题;最值问题;范围问题等;
4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题;
5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题;
6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点
(一)椭圆
Ⅰ定义与推论
1、定义1的的认知
设M为椭圆上任意一点,分别为椭圆两焦点,分别为椭圆长轴端点,则有
(1)明朗的等量关系:(解决双焦点半径问题的首选公式)
(2)隐蔽的不等关系:,
(寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据)
2、定义2的推论
根据椭圆第二定义,设为椭圆上任意一点,分别为椭圆左、右焦点,则有:
(d1为点M到左准线l1的距离)
(d2为点M到右准线l2的距离)
由此导出椭圆的焦点半径公式:
Ⅱ标准方程与几何性质
1、椭圆的标准方程
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程①
中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程②
(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系:
(2)标准方程①、②统一形式:
2、椭圆的几何性质
(1)范围:(有界曲线)
(2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心,椭圆的共性)
(3)顶点与轴长:顶点,长轴2a,短轴2b(由此赋予a、b名称与几何意义)(4)离心率:刻画椭圆的扁平程度
(5)
准线:左焦点对应的左准线
右焦点对应的右准线
椭圆共性:两准线垂直于长轴;两准线之间的距离为;
中心到准线的距离为;焦点到相应准线的距离为.
Ⅲ挖掘与引申
1、具特殊联系的椭圆的方程
(1)共焦距的椭圆的方程
且
(2)同离心率的椭圆的方程
且
2、弦长公式:
设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点,
则;
或。
(二)双曲线
Ⅰ、定义与推论
1.定义1的认知
设M为双曲线上任意一点,分别为双曲线两焦点,分别为双曲线实轴端点,则有:(1)明朗的等量关系:(解决双焦点半径问题的首选公式)
(2)隐蔽的不等关系:,
(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据)
2.定义2的推论
设为双曲线上任意上点,分别为双曲线左、右焦点,则有,其中,为焦点到相应准线l i的距离
推论:焦点半径公式
当点M在双曲线右支上时,;
当点M在双曲线左支上时,。
Ⅱ、标准方程与几何性质
3.双曲线的标准方程
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程为①
中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为②
(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系:
(2)标准方程①、②的统一形式:
或:
(3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式:
4.双曲线的几何性质
(1)范围:
(2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心)
(3)顶点与轴长:顶点
(由此赋予a,b名称与几何意义)
(4)离心率:
(5)
准线:左焦点对应的左准线;右焦点对应的右准线
双曲线共性:准线垂直于实轴;两准线间距离为;
中心到准线的距离为;焦点到相应准线的距离为
(6)渐近线:双曲线的渐近线方程:
Ⅲ、挖掘与延伸
1.具有特殊联系的双曲线的方程
对于双曲线(※)
(1)当λ+μ为定值时,(※)为共焦点的双曲线(系)方程:c2=λ+μ;
(2)当为定值时,(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程:;
(3)以直线为渐近线的双曲线(系)方程为:
特别:与双曲线共渐近线的双曲线的方程为:(左边相同,区别仅在于右边的常数)
2.弦长公式
设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点
则
经典例题
1、
(1)若椭圆的一个焦点是(-2,0),则a等于。
(2)已知椭圆的焦点为F1、F2,点P是其上的动点,当为钝角时,点P的横坐标的取值范围为。
分析:
(1)从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得:
这里
由此解得
(2)这里a=3, b=2, c=
∴以线段F1F2为直径的圆的方程为
设,则由点P在椭圆上得:①
又由为钝角得:
∴②
∴由①、②联立,解得:
∴所求点P横坐标的取值范围为
点评:注意到点P对的大小的影响可用点P与圆相对位置关系来反映,故选择这一解法。当然,本题亦可由推出的范围,请同学们尝试和比较。
2、已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于P、Q两点,
且,求椭圆的离心率。
分析:不防设椭圆方程为,为等
腰直角三角形,注意到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径,故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。
解:设椭圆方程为
设,则由为等腰得:
又由椭圆第一定义得
∴的周长为4a
∴
即①
注意到为,
∴
∴②
即②′
因此,①代入②′得
由此解得
∴
点评:这里对条件运用颇为充分:两次运用椭圆定义,第一次用于导出①,第二项用于导出②;两次运用条件:第一次利用为等腰表示出,第二次利用为导出②′。充分利用题设条件,
也是解题成功的保障之一。
3、已知双曲线的左、右两个焦点为,P为双曲线上的点,又,成等比数列且,求双曲线方程。
分析:这里要求b的值。注意到,为了求b,首先需要从题设条件入手寻找关于b的方程或不等式。由题设
得,为便于将其设为关于b的方程,考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此,解题便以判定点P位置拉开序幕。
解:这里(4的特殊性)
∵,即,
∴点P在双曲线右支上
设点,则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得
①
又由题设得②
∴①代入②得③
再注意到由得
∴,
∴
即④
于是③、④得⑤
而,所以由⑤得b=1
因此,所求双曲线方程为:
点评:这里对已知条件的两次运用:第一次“粗”用,利用4=2a的特殊性判定点P在双曲线右支上;第二
次“细”用,利用(将4作为一般正数)导出点P横坐标存在的范围:。粗细结合,将已知条件运用得酣畅淋漓。
4、设椭圆的焦点为,P为椭圆上一点,的最大值为。
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线l与椭圆交于M、N两点,且直线l与圆心在原点,半径等于b的圆相切,已知线段MN长度的最小值为4,求椭圆方程和直线l的方程。
分析:中的最大值为的最小值为,循着特殊与一般相互依存的辩证关系,想到从在中运用余弦定理推导的最小值切入。
解:
(1)设=,,,
则在中由余弦定理得
即①
∴的最小值为
又由题设知的最大值,即的最小值为
∴
∴即a=2b
∴
(2)由已知椭圆方程为②
由题设知直线l不垂直于x轴
设直线l的方程为③
设
则由直线l与圆相切得:④
将③代入②得:
⑤
∴④代入⑤得
∴直线l与椭圆相交于不同两点
又由韦达定理得:,⑥
∴
(当且仅当,即时等号成立)∴的最小值为2b(当时取得)
∴由题设得(此时)⑦
∴a=2b=4⑧
进而由④得,即⑨
因此,由⑦、⑧、⑨得所求椭圆方程为,
直线l的方程为或
点评:这里导出的①式为此类问题的共同基础:设P为椭圆上任意一点,,则最小值为
据此若的最大值为,则(即);
若的最大值为,则(即);
若的最大值为,则(即)。
5、已知斜率为1的直线l与离心率为的双曲线交于P、Q两点,又直线l与y轴交于点R,且,,求直线和双曲线方程。
分析:主要已知条件借助向量表出,故主要问题是认知已知条件,进而根据问题的具体情况进行推理或转化。
解:由得,
∴双曲线方程为①
设,直线l的方程为②
将②代入①得③
对于方程③,恒成立
由韦达定理得④
⑤
∵
∴
即
由此得
又由题设得,故得⑥
∴由④、⑥联立解得⑦
将⑦代入⑤得⑧
再注意到得
⑨
∴将⑦、⑧代入⑨得
解得,⑩
∴
因此,由①,②得所求双曲线方程为,
所求直线方程为
点评:
(Ⅰ)关于此类直线与圆锥曲线相交的问题,对于交点坐标的处置适当与否,成为解题繁简成败的关键。于是,围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择,产生出解题策略:解而不设与设而不解;“既设又解”与“不设不解”。在这里,我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”,请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。
(Ⅱ)这里解题的层次分明,已知式一转化一代入一结论:
已知式()→转化→代入→结论⑧;
已知式()→转化→代入→结论⑩。
同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。
6、已知,
(1)求点P(x,y)的轨迹C的轨迹方程;
(2)若直线与曲线C交于A、B两点,D(0,-1),且有,试求m的取值范围。
分析:
对于(1),从已知条件入手,利用向量的坐标表示进行推理;
对于(2),此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题,要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。
解:
(1)由已知得,
∴由得
,得
∴所求点P的轨迹C的方程为:①
(2)设,弦AB的中点,
则将l的方程代入①得
②
由题意得③
且④
∴
即圆点M的坐标为
注意到
点D在弦AB的垂直平分线上
∴
∴(,且)
,且)⑤
于是将⑤代入③得或⑥
此时再注意到由⑤得⑦
(关于k的二次函数隐含范围的发掘)
于是由⑥、⑦所求m的取值范围
点评:
(1)认知已知条件,这时将其向基本的弦长或弦中点问题转化,这是解决直线与圆锥曲线复杂问题的基本策略之一;
(2)注意在寻求参数的取值范围的过程中,对所使用的二次函数等有关函数的值域的发掘与运用:在这里,为k的二次函数,又由这里,故。因此可解关于k的二次函数m的取值范围:。这是本题导出正确结果的最后的屏障,不认知这一些,便会导出的错误结果。
五、高考真题:
(一)选择题
1.(2004·全国卷)椭圆的两个焦点为,过作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=()
A. B. C. D. 4
分析:由已知
不防设点P在x轴正方,则以代入椭圆方程得,故得点,
从而,故选C。
2.(2005·江苏卷)点P(-3,1)在椭圆(a>b>0)的左准线上,过点P且方向为的光线经过直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
分析:运用入射光线与反射光线的物理性质,刻意运用入射光线与反射光线的性质与联系。
点P(-3,1)关于直线y=-2的对称点为
左焦点
又方向为的直线的斜率为,
设入射光线与直线y=-2的交点为M,则由入射光线与反射光线倾斜角之间的关系得
∴
∴,
解得:c=1.
再由点P(-3,1)在左准线上得,
∴,应选A。
3.(2005·重庆卷)若动点(x,y)在曲线(b>0)上变化,则的最大值为()
A. B.
C. D. 2b
分析:注意到曲线方程二次方程,故考虑向二次函数的最值问题转化。
由得①
设,则
②
又由①中得,且②的对称轴为
(1)当,即时,;
(2)当,即时,,
于是由(1)、(2)知应选A。
4.(2005·山东卷)设直线关于原点对称的直线为,若与椭圆的交点为A、B,
P为椭圆上的动点,则使的面积为的点P的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析:的方程为,且易知的下方有两个满足题设条
件的点。
以下考察直线上方是否存在满足题设的点P
设在上方且与椭圆相切于点P的直线的方程为,
将它与椭圆方程联立,消去y得
由△=0得:,取
∴与之间的距离
∴,
∴直线上方不存在满足题设的点P②
于是由①,②知应选B。
点评:运用数形结合的方法,解题过程变得简捷。
5.(2005·湖南卷)已知双曲线的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,的
面积为(O为原点),则两条渐近线的夹角为()
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
分析:首先着眼于寻找a,b的联系,由题设知F(c,0),右准线方程为,并且取点,
则,
∴a=b,
∴双曲线为等轴双曲线,两渐近线夹角为90°,
∴应选D。
6.(2005·全国卷II )已知双曲线的焦点为,点M在双曲线上,且轴,则到直线的距离为()
A. B. C. D.
分析:立足于计算与推理,由已知得:
∴
∴轴,∴,代入椭圆方程得
,即
∴
当点到直线的距离为h,则由
得,
∴应选C。
点评:这里线段为半正焦弦,故,利用它更为方便。
7.(2005·全国卷III )已知双曲线的焦点为,点M在双曲线上且,则点M 到x轴的距离为()
A. B. C. D.
分析:由已知得,,
∴①
∵,∴
∴②
∴由①,②得
∴
设所求距离为h,
于是由得,故选C。
8.(2005·福建卷)已知是双曲线的两个焦点,以线段为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
分析:从认知的特性切入,寻找关于a,c的等式(或方程)
∵为正三角形,∴点M在y轴上
设边的中点为P,连结,得,
∵,
∴,①
又由题设知点P在双曲线左支上,
∴②
∴①代入②得
∴,应选D。
(二)填空题
1.(2005·上海卷)若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线方程为
。
分析:由题设得:,
∴由得,
∴
∴所求双曲线方程为
2.(2005·山东卷)设双曲线的右焦点为F,右准线l与两条渐近线交于P、Q两点,如果为,则双曲线的离心率为。
分析:设右准线l与x轴交于点R,则,
又
由此解得a=b,故得
3.(2005·浙江卷)过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于。
分析:设左焦点为,右顶点为A,
则由题意得(※)
注意到MN为双曲线的正焦弦,故
∴由(※)得
由此解得e=2。
4.(2005·江西卷)以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B是两个定点,k为非零常数,若,则动点P的轨道为双曲线;
②过定圆C上的一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线与椭圆有相同的焦点。
其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)。
分析:对各命题依次辩析,由双曲线定义知,①中点P轨迹是双曲线一支;对于②,点P轨迹是椭圆上除去点A的
曲线;对于③,方程两根分别为和2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率;对于④,可知是真命题,综上可知应填③、
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2O M A B b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心O(a,b),半径r。 (1)圆的一般式方程:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系: 配方化为标准方程:(x+D/2)^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标:(-D/2,-E/2) 半径为r=√[(D^2+E^2-4F)]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 (2)点与圆的位置关系点P(X1,Y1) 与圆(x-a)^2+(y-b) ^2=r^2的位置关系: ⑴当(x1-a)^2+(y1-b) ^2>r^2时,则点P在圆外。 ⑵当(x1-a)^2+(y1-b) ^2=r^2时,则点P在圆上。 ⑶当(x1-a)^2+(y1-b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A,它平行于y轴(或垂直于x 轴),将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2。令y=b,求出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于 点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结 姓名: (一)椭圆 1.椭圆的定义 如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数(大于两定点的距离),则动点的规迹是椭圆 即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点,F1,F2是定点且|F1F2|=2C 当a>c时表示 当a=c时表示 当a 标准方程 x,y的范围 顶点焦点对称轴对称中心 长半轴的长短半轴的长焦距 离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越 准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1,F2分别为椭圆的下上两焦点,P为椭圆上的一点) 4.椭圆系 (1)共焦点的椭圆系方程为 22 2 1 x y k k c += - (其中k>c2,c为半焦距) (2 )具有相同离心率的标准椭圆系的方程 22 22 (0) x y a b λλ +=> (二) 双曲线 1.双曲线的定义 如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数(小于两定点间的距离),那么动点的轨迹是双曲线 若一个动点到两定点距离之差等于一个常数,常数的绝对值小于两定点间的距离,那么动点的轨迹是双曲线的一支 F1,F2为两定点,P为一动点,(1)若||PF1|-|PF2||=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 (2) 若|P F1|-|PF2|=2a ①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是 ②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是 ③2a=0则动点P的轨迹是 2.双曲线的标准方程 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1.已知两圆C1:(x+4)2+y2=2,C2:(x﹣4)2+y2=2,动圆M与两圆C1,C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是() A.x=0 B. C.D. 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在 x轴上,虚轴长为12,离心率为; (2)顶点间的距离为6,渐近线方程为. 3、与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上,且经过点A(,﹣2)和B(﹣2,)两点的双曲线的标准方程. 5、已知P是双曲线=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为. 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点,P为该双曲线上一点,若△PF1F2为等腰直角三角形,则该双曲线的离心率为. 2、设F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为. 3、双曲线的焦距为2c,直线l过点(a,0) 和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(﹣1,0)到直线l 的距离之和.则双曲线的离心率e的取值范围是() A. B.C.D. 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点,F为双曲线的右焦点,已知A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为. 2、.已知F1,F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积. 3、已知双曲线焦点在y轴上,F1,F2为其焦点,焦距为10,焦距是实轴长的2倍.求: (1)双曲线的渐近线方程; (2)若P为双曲线上一点,且满足∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积. 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P(1,1)的直线L与双曲线只有一个公共点,则直线L的斜率k= ____ 5、综合题型 【考点8】椭圆、双曲线、抛物线 2009年考题 1、(2009湖北高考)已知双曲线141222 2 222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆(b >0)的焦点,则b=( ) A.3 B.5 C.3 D.2 选C.可得双曲线的准线为2 1a x c =±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、(2009陕西高考)“0m n >>”是“方程2 21mx ny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【解析】选C.将方程2 2 1mx ny +=转化为 22 111x y m n +=, 根据椭圆的定义,要使焦点在y 轴上必须 满足 11 0,0,m n >>且11n m >,故选C.3、(2009湖南高考)抛物线 28y x =-的焦点坐标是( ) A .(2,0) B .(- 2,0) C .(4,0) D .(- 4,0) 【解析】选B.由 28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2 p - =-,故选B. 4、(2009全国Ⅰ)已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B , 若3FA FB =u u u r u u u r ,则||AF uuuu r =( ) (A) 2 (B) 2 3 (D) 3 【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ,易知FN=1.由题意3FA FB =u u u r u u u r ,故2 ||3 BM =. 又由椭圆的第二定义,得222 ||233 BF = = ||2AF ∴=5、(2009江西高考)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ,,(0,2)P b 是正三角形的 三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A . 32 B .2 C .5 2 D .3 椭圆与双曲线性质--(重要结论) 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 02y a x b K K AB OM = ?,即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(< 椭圆 第一定义:平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|的动点P的轨迹叫做椭圆。 即:│PF│+│PF'│=2a 其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│FF'│叫做椭圆的焦距。第二定义:平面内与一个定点F的距离与到一条定直线间距离之比为常数e()的点轨迹叫做椭圆。 不在定直线上,该常数为小于1的正数) 一.图像 标准方程 图形 顶点(四个) 焦点 中心(0,0) 长轴长2a 短轴长2b 焦距2c a、b、c的关 系 范围 对称性 离心率 焦点弦 焦半径曲线上任意一点与 焦点的连线段的长 通径通过焦点且与长轴垂直的弦 焦点三角形 的面积 二.椭圆的参数方程 三.点与椭圆 点P在椭圆内 点P在椭圆上 点P在椭圆外 四.直线与椭圆 1.位置关系 方程联立 △ △ △ 2.所交弦长 五.附加 1.周长 2.求椭圆方程 方法:待定系数法、定义法 双曲线 双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。 一。图像 标准方程 图形 顶点(四个) 中心(0,0) 实轴长:2a 虚轴长:2b 焦距2c a、b、c的关 系 范围 对称性 离心率 渐近线方程 焦点弦 焦半径 通径通过焦点且与长轴垂直的弦 焦准距 焦点三角形 的面积 二性质补充 1.等轴双曲线 性质e= 渐近线方程 渐近线成角 三.点与双曲线 点P在双曲线开口内 点P在双曲线上 点P在双曲线开口外 四.附加 1.双曲线系方程 2.求双曲线方程 方法:待定系数法、定义法 高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点(限考)概要: 1、椭圆: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆,两定点是焦点,两定点间距离是焦距,且定长2a大于焦距2c。用集合表示为: ; ②定义二:在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数是离心 率用集合表示为: ; (2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 (3)参数方程:(θ为参数); 3、双曲线: (1)轨迹定义: ①定义一:在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线,两定点是焦点,两定点间距离是焦距。用集合表示为: ②定义二:到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e,那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点,定直线叫准线,常数e是离心率。 用集合表示为: (2)标准方程和性质: 注意:当没有明确焦点在个坐标轴上时,所求的标准方程应有两个。 4、抛物线: (1)轨迹定义:在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线,定点是焦点,定直线是准线,定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 : (2)标准方程和性质: ①焦点坐标的符号与方程符号一致,与准线方程的符号相反;②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点,对称轴是坐标轴,有别于一元二次函数的图像; 二、复习点睛: 1、平面解析几何的知识结构: 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线,一个三角形”,即六点:四个顶点,两个焦点;六线:两条准线,长轴短轴,焦点线和垂线PQ;三角形:焦点三角形。则椭圆的各性质(除切线外)均可在这个图中找到。 第2讲椭圆、双曲线、抛物线 考情解读 1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现.该部分题目多数为综合性问题,考查分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题,一般难度较大. 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a x≥0 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1 若椭圆C :x 29+y 2 2=1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 2|=4则∠F 1PF 2等于( ) A .30° B .60° C .120° D .150° (2)已知抛物线x 2=2py (p >0)的焦点与双曲线x 2-y 2=-1 2的一个焦点重合,且在抛物线上有一 动点P 到x 轴的距离为m ,P 到直线l :2x -y -4=0的距离为n ,则m +n 的最小值为________. 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2;(2)根据抛物线定义得m =|PF |-1.再利用数形结合求最值. 答案 (1)C (2)5-1 解析 (1)由题意得a =3,c =7,所以|PF 1|=2. 在△F 2PF 1中, 由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1=42+22-(27)22×4×2=-12. 又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°,180°),所以∠F 2PF 1=120°. (2)易知x 2=2py (p >0)的焦点为F (0,1),故p =2, 因此抛物线方程为x 2=4y . 根据抛物线的定义可知m =|PF |-1, 设|PH |=n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足), 因此m +n =|PF |-1+|PH |. 易知当F ,P ,H 三点共线时m +n 最小, 因此其最小值为|FH |-1=|-1-4| 5 -1=5-1. 思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF 1|+|PF 2|>|F 1F 2|,双曲线的定义中要求||PF 1|-|PF 2||<|F 1F 2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化. (2)注意数形结合,画出合理草图. (1)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为3 2 .双曲线x 2-y 2=1的渐近线与椭 圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为( ) A.x 28+y 2 2=1 B.x 212+y 2 6=1 C.x 216+y 2 4 =1 D.x 220+y 2 5 =1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制: 审阅: 第二讲 双曲线(2课时) 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、)2. 理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 【知识聚焦】(必须清楚、必须牢记) 1.双曲线定义 平面内与两个定点F 1,F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做_____________,两焦点间的距离叫做_______________.集合P ={M |||MF 1|-|MF 2||=2a },|F 1F 2|=2c ,其中a ,c 为常数且a >0,c >0.(1)当______________时,P 点的轨迹是双曲线;(2)当_____________时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当_____________时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e =2是双曲线为等轴双曲线的充要条件,且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). 4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2-y 2b 2=1 (a >0,b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2-y 2 b 2=t (t ≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m +y 2 n =1 (mn <0). 【链接教材】(打好基础,奠基成长) 1.(教材改编)若双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1 (a >0,b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B .5 C. 2 D .2 2.(2015·安徽)下列双曲线中,渐近线方程为y =±2x 的是( ) A .x 2 -y 24=1 B.x 24-y 2=1 C .x 2 -y 2 2 =1 D.x 22 -y 2 =1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制: 审阅: 3.(2014·广东)若实数k 满足0 教师日期 学生 课程编号课型 课题椭圆与双曲线 教学目标 1.理解椭圆的定义,会推导椭圆的标准方程;掌握两种类型的椭圆的标准方程(焦点位于x轴或y 轴) 2.掌握椭圆的几何性质和应用 3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念;掌握双曲线的标准方程 4掌握椭圆的几何性质和应用 5.直线被椭圆所截得的弦长公式;与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧; 6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 教学重点 1.椭圆和双曲线的几何性质和应用; 2.直线被椭圆所截得的弦长公式;与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧; 3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想 教学安排 版块时长 1 知识梳理15 2 例题解析50 3 巩固训练35 4 师生总结10 5 课后练习10 椭圆与双曲线 1.已知点A (2,3)、B (1,5)则直线AB 的倾角为( ) A.arctan2 B.arctan(-2) C.2π+arctan2 D. 2π+arctan 2 1 【难度】★ 【答案】D 2.下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-. B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程 121121()()()()y y x x x x y y --=--表示. C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x y a b +=表示. D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示. 【难度】★ 【答案】B 3.在ABC ?中,a 、b 、c 为三内角所对的边长,且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列,则直线 a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是 . 【难度】★★ 【答案】两直线重合 4.设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点,要使不等式m y x ++≥0恒成立,则m 取值范围是( ) A .m ≥0 B .m ≥12- C .m ≥12+ D .m ≥21- 【难度】★★ 【答案】B 5.过圆52 2 =+y x 内点??? ? ??23,25P 有n 条弦,这n 条弦的长度成等差数列{}n a ,如果过P 点的圆 的最短的弦长为1a ,最长的弦长为n a ,且公差)3 1 ,61(∈d ,那么n 的取值集合为 . 【难度】★★ 【答案】{}7,6,5 热身练习 双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y 解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离22 2 d a b = +, 双曲线 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 2222 1x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 (1) 虚轴长为12,离心率为 54 ; (2) 焦距为26,且经过点M (0,12); (3) 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线,且经过点(3,A -。 解:(1)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2b=12,c e a ==54 。 ∴b=6,c=10,a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 (2)∵双曲线经过点M (0,12), ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y 轴上,且a=12。 又2c=26,∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 (3)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= ( 3,A -在双曲线上 ∴(2 2 3 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路:解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是e 、a 、b 、c 四者的关系,构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且 点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=,级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式,且a >1,得到点(1,0)到直线l 的距离 1d = , 同理得到点(-1,0)到直线l 的距离 2d = 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由高中数学双曲线经典例题
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