离散数学试题(A 卷及答案）
一、证明题（10分）
1)(?P ∧(?Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)?R
证明: 左端?(?P ∧?Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)?((?P ∧?Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)
?(?(P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)?(?(P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ?(?(P ∨Q)∨(P ∨Q))∧R ?T ∧R(置换)?R
2)?x(A(x)→B(x))? ?xA(x)→?xB(x)
证明 ：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x ?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）
证明：(P ∨(Q ∧R))→(P ∧Q ∧R)??(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))
?（?P ∧(?Q ∨?R)）∨(P ∧Q ∧R) ?(?P ∧?Q)∨(?P ∧?R))∨(P ∧Q ∧R)
?(?P ∧?Q ∧R)∨(?P ∧?Q ∧?R)∨(?P ∧Q ∧?R))∨(?P ∧?Q ∧?R))∨(P ∧Q ∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6
三、推理证明题（10分）
1） C ∨D, (C ∨D)→ ?E, ?E →(A ∧?B), (A ∧?B)→(R ∨
S)?R ∨S
证明：(1) (C ∨D)→?E
(2) ?E →(A ∧?B)
(3) (C ∨D)→(A ∧?B) (4) (A ∧?B)→(R ∨S) (5) (C ∨D)→(R ∨S)
(6) C ∨D
(7) R ∨S
2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
证明（1）?xP(x) (2)P(a)
(3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))
四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍
证明 设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，
1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整
数倍。
五、已知A 、B 、C 是三个集合，证明A-(B ∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）
证明 ∵x ∈ A-（B ∪C ）? x ∈ A ∧x ?（B ∪C ）? x ∈ A ∧（x ?B ∧x ?C ）? （x ∈ A ∧x ?B ）∧（x ∈ A ∧x ?C ）? x ∈（A-B ）∧x ∈（A-C ）? x ∈（A-B ）∩（A-C ）∴A-（B ∪C ）=（A-B ）∩（A-C ）
六、已知R 、S 是N 上的关系，其定义如下：R={
}，S={
、R*S 、S*R 、
R {1,2}、S[{1,2}]（10分）
解：R -1
={
}，R*S={
+1}，S*R={
}， 七、若f:A →B 和g:B →C 是双射，则（gf ）-1
=f -1g -1
（10分）。
证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。同理可推f-1g-1：C→A是双射。
因为
R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。
八、（15分）设
(1)对A中每个元a，有a*a＝a。
(2)对A中任意元a和b，有a*b*a＝a。
(3)对A中任意元a、b和c，有a*b*c＝a*c。
证明由题意可知，若a*b＝b*a，则必有a＝b。
(1)由(a*a)*a＝a*(a*a)，所以a*a＝a。
(2)由a*(a*b*a)＝(a*a)*(b*a)＝a*b*(a*a)＝(a*b*a)*a，所以有a*b*a＝a。
(3)由(a*c)*(a*b*c)＝(a*c*a)*(b*c)＝a*(b*c)＝(a*b)*c＝(a*b)*(c*a*c)＝(a*b*c)*(a*c)，所以有a*b*c＝a*c。
九、给定简单无向图G＝
C＋2，则G是哈密尔顿图
证明若n≥21-m
C＋2，则2n≥m2－3m＋6 （1）。
若存在两个不相邻结点u、v使得d(u)＋d(v)＜m，则有2n＝∑
∈V
w
w
d)
(＜m＋(m－2)(m－3)＋m＝m2－3m＋6，与（1）矛
盾。所以，对于G中任意两个不相邻结点u、v都有d(u)＋d(v)≥m，所以G是哈密尔顿图。
离散数学试题(B卷及答案）
一、证明题（10分）
1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T
证明左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ? ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ? ((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ?T (代入)
2)?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x(P(x)∧Q(x))
证明?x(P(x)→Q(x))∧?xP(x)??x((P(x)→Q(x)∧P(x))??x((?P(x)∨Q(x)∧P(x))??x(P(x)∧Q(x))??xP(x)∧?xQ(x)??x(P(x)∧Q(x))
二、求命题公式(?P→Q)→(P∨?Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）
解：(?P→Q)→(P∨?Q)??(?P→Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q) ?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3
三、推理证明题（10分）
1)(P→(Q→S))∧(?R∨P)∧Q?R→S
证明：（1）R 附加前提
(2)?R∨P P
(3)P T(1)(2),I
(4)P→(Q→S) P
(5)Q→S T(3)(4),I
(6)Q P
(7)S T(5)(6),I
(8)R→S CP
2) ?x(P(x)∨Q(x))，?x?P(x)??x Q(x)
证明：(1)?x?P(x) P
(2)?P(c) T(1),US
(3)?x(P(x)∨Q(x)) P
(4)P(c)∨Q(c) T(3),US
(5)Q(c) T(2)(4),I
(6)?x Q(x) T(5),EG
四、例5在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超
过1/8（10分）。
证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）
面积不超过小正方形的一半，即1/8。
五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）
证明：∵x∈ A∩（B∪C）? x∈ A∧x∈（B∪C）? x∈ A∧（x∈B∨x∈C）?（ x∈ A∧x∈B）∨（x∈ A∧x∈C）? x∈（A∩B）
∨x∈ A∩C? x∈（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
六、π={A1，A2，…，A n}是集合A的一个划分，定义R={
证明：?a∈A必有i使得a∈A i，由定义知aRa，故R自反。
?a,b∈A，若aRb ，则a,b∈A i，即b,a∈A i，所以bRa，故R对称。
?a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈A i及b,c∈A j。因为i≠j时A i∩A j=Φ，故i=j，即a,b,c∈A i，所以aRc，故R传递。
总之R是A上的等价关系。
七、若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射（15分）。
证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使
对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得
以，f-1是单射。因此f-1是双射。
八、设
证明假设A≠G且B≠G，则存在a∈A，a?B，且存在b∈B，b?A（否则对任意的a∈A，a∈B，从而A?B，即A∪B＝B，得B＝G，
矛盾。）
对于元素a*b∈G，若a*b∈A，因A是子群，a-1∈A，从而a-1 * (a*b)＝b∈A，所以矛盾，故a*b?A。同理可证a*b?B，综合
有a*b?A∪B＝G。
综上所述，假设不成立，得证A＝G或B＝G。
九、若无向图G是不连通的，证明G的补图G是连通的（10分）。
证明设无向图G是不连通的，其k个连通分支为1G、2
G、…、k G。任取结点u、v∈G，若u和v不在图G的同一个连通分
支中，则[u，v]不是图G的边，因而[u，v]是图G的边；若u和v在图G的同一个连通分支中，不妨设其在连通分支i G（1
≤i≤k）中，在不同于i G的另一连通分支上取一结点w，则[u，w]和[w，v]都不是图G的边，，因而[u，w]和[w，v]
都是G的边。综上可知，不管那种情况，u和v都是可达的。由u和v的任意性可知，G是连通的。
一、选择题.(每小题2分，总计30)
1.给定语句如下：
（1）15是素数（质数）
（2）10能被2整除，3是偶数。
（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！
（4）2x+3>0.
（5）只有4是偶数，3才能被2整除。
(6)明年5月1日是晴天。
以上6个语句中，是简单命题的为（A）,是复合命题的为（B）,是真命题的为（C）,是假命题的是（D）,真值待定的命题是（E）
A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)（6） B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5)
C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题③（5） D: ①(1)(2) ②无假命题③(1)(2)(4)(5)
E: ①(4)(6) ②（6）③无真值待定的命题
2.将下列语句符号化：
（1）4是偶数或是奇数。（A）设p：4是偶数，q：4是奇数
（2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。（B ）设p ：王荣努力学习，q ：王荣取得好成绩 （3）每列火车都比某些汽车快。（C ）设F(x):x 是火车，G(y):y 是汽车，H(x,y):x 比y 快。 A: ① p ∨q ② p ∧q ③ p →q B: ① p →q ② q →p ③ p ∧q
C: ①?x ?y ((F(x) ∧G(y)) → (H(x,y))②?x (F(x) →?y (G(y)∧H(x,y)))③?x (F(x) ∧?y (G(y)∧H(x,y))) 3. 设S={1,2,3},下图给出了S 上的5个关系,则它们只具有以下性质:R 1是（A ）,R 2是(B),R 3是(C)。
A B C:①自反的，对称的，传递的 ②反自反的，对称的 ③自反的
④ 反对称的 ⑤对称的 ⑥自反的，对称的，反对称的，传递的
4. 设S={Ф，{1}，{1，2}}，则有
（1）（A ）∈S （2） (B) ?S
（3） P(S)有（C ）个元数。 （4）（D ）既是S 的元素，又是S 的子集 A: ① {1,2} ② 1 B: ③{{1,2}} ④{1} C: ⑤ 3 ⑥ 6 ⑦ 7 ⑧ 8 D: ⑨ {1} ⑩Ф
二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分） 1、用等值演算算法证明等值式 (p ∧q)∨(p ∧?q)?p 2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分， 总计30分） 1、设()(){}212,，，个体域为为，整除为 ，求公式： ()()()()()x Q y x P y x →??,的真值。 2、设集合{}A A ,4,3,2,1=上的关系 {}4,3,3,2,1,2,2,1,1,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。 3、设{},24,12,8,4,2,1= A 上的整除关系{}2 1212 1,,,a a A a a a a R 整除∈=，R 是否为A 上的偏序关系？若是，则： 1、画出R 的哈斯图；（10分） 2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。（5分） 四、用推导法求公式()()p q p →→的主析取范式和主合取范式。（本大题10分） 答案： 一、 选择题 1. A:③ B: ③ C:③ D:① E:② 2.A:① B: ② C:② 3.A:③ B: ④ C:⑥ 4.A:① B: ③ C:⑧ D:⑩ 二、证明题 1. 证明 左边?（(p ∧q)∨p ）∧（(p ∧q)∨?q)） （分配律） ? p ∧（(p ∧q)∨?q)） (吸收律) ? p ∧（(p ∨?q) ∧ (q ∨?q)） （分配律） ? p ∧（(p ∨?q)∧1） （排中律） ? p ∧ (p ∨?q) （同一律） ? p （吸收律） 2.解：p ：今天是星期三。 q ：我有一次英语测验。 r ：我有一次数学测验。 s ：数学老师有事。 前提：p →(q ∨r) , s →?r , p ∧s 结论：q 证明：①p ∧s 前提引入 ②p ①化简 ③p →(q ∨r) 前提引入 ④q ∨r ②③假言推理 ⑤s ①化简 ⑥s →?r 前提引入 ⑦?r ⑤⑥假言推理 ⑧q ④⑦析取三段论 推理正确。 三、计算 1. ()()()()() ()()()()()()()() ()()()()()()()()()()()()()() ,1,12,21,112,121,212,22x y P x y Q x y P y Q P y Q P Q P Q P Q P Q ??→??→Λ→? →Λ→∨→Λ→ ()()()()()()()()()()()()1,11,1,21,2,10,2,21,11,20110011101 P P P P Q Q ======∴?→Λ→∨→Λ→? 该公式的真值是1，真命题。 或者()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()T T T F T T T F T F F T T T T Q P Q P Q P Q P x Q x P x Q x P x x Q y x P y x ?∧?∨∧∨?→∨→∧→∨→?→∨→∧→∨→?→∨→??→??22,221,212,111,12,1,, 2、{}4,4,3,3,2,2,4,3,3,2,1,2,2,1,1,1) (=R r {}3,4,2,3,4,3,3,2,1,2,2,1,1,1)(=R s {}4,1,4,2,2,2,3,1,4,3,3,2,1,2,2,1,1,1)(=R t 3、（1） R 是 A 上的偏序关系。 （2）极小元、最小元是1,极大元、 最大元是24。 四、 ()()()() ()() ()()()()() 2301p q p p q p p q p p p q q p q p q →→???∨∨?∧?∨??∧∨??∧?∨∧?∴∑ ∏， 主合取范式， 一、单项选择 1 在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ） B. },max {*b a b a = 2 下列代数系统 3 若 n H =，m G =，则有（ ）。A. n 整除m 4 下面哪个集合关于指定的运算构成环？（ ）C. },|2{Z b a b a ∈+，关于数的加法和乘法 5 在代数系统中，整环和域的关系为（ ）。A. 域一定是整环 6 N 是自然数集，≤是小于等于关系，则),(≤N 是（ ）。 C. 分配格 7 图1-1给出的哈斯图表示的格中哪个元素无补元？（ ） B. c 图1-1 8 给定下列序列，可构成无向简单图的结点度数序列的是（ ）。 D.（1，1，2，2，2） 9 欧拉回路是（ ）。 B.简单回路 10 哈密尔顿回路是（ ）。C.既是基本回路也是简单回路 1 设S 是非空有限集，代数系统） ,),((S P 中，)(S P 对 运算的单位元是＿＿＿＿，零元是＿＿＿＿，)(S P 对 运算的单位元是＿＿＿＿。 1 Φ，S ，S ； 2 在运算表2-1中空白处填入适当符号，使)},,,({ c b a 成为群。 ①＿＿＿＿，②＿＿＿＿，③＿＿＿＿，④＿＿＿＿。 2 c ，b ，b ，a ； 3 设}8,4,0{=H ，>+<12,H 是群>+<1212,N 的子群，其中 }11,,2,1,0{12???=N ，12+是模12加法，则>+<1212,N 有＿＿＿＿ 个真子群，H 的左陪集=H 3＿＿＿＿，=H 4＿＿＿＿。 3 5，}11,7,3{，}0,8,4{； 4设>-∧∨< ,,,A 是一个布尔代数，如果在A 上定义二元运算⊕为： )()(b a b a b a ∧∨∧=⊕，则>⊕<,A 是一个＿＿＿＿。 4 交换群 5 任何一个具有n 2个元素的有限布尔代数都是＿＿＿＿。5 同构； 6 若连通平面图G 有4个结点，3个面，则G 有＿5＿条边。 7 一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，它有＿9＿个度数为1的结点。 8 无向图G 是由k （2≥k ）棵数组成的森林，至少要添加＿＿＿＿条边才能使G 成为一棵树。8 1-k 。 1 试写出>+<66,N 中每个子群及其相应的左陪集。 （6分） 1 解：子群有：>+<6 },0{，>+<6},3,0{，>+<6},4,2,0{。 >+<6},0{的左陪集为：}0{，}1{，}2{，}3{，}4{，}5{ >+<6},3,0{的左陪集为：}3,0{，}4,1{，}5,2{ a b c a ① a ② b a b c c ③ c ④ >+<6},4,2,0{的左陪集为：}4,2,0{，}5,3,1{ 2 若一个有向图G 是欧拉图，它是否一定是强连通的？若一个有向图G 是强连通的，它是否一定是欧拉图？说明理由。 （6分） 答：（1）一个有向欧拉图一定是强连通图。因为G 是欧拉图，存在欧拉回路C ，G 中的每个结点至少在C 中出现一次。因而G 中任意两点u ，v 都在C 中，相互可达，故G 是强连通的。（2）一个强连通图不一定是有向欧拉图。因为强连通图中每个结点的入度不一定等于其出度。 3 有向图G 如图3-1所示。 （1）求G 的邻接矩阵 A ； （2分） （2）G 中1v 到4v 长度为4的路径有几条？ （2分） （3）G 中1v 到自身长度为3的回路有几条？ （2分） （4）G 是哪类连通图？ （2分） 解： （1）????????? ???=0100 10000100 0121A ??????? ?? ???=10000100 10001321 2A ??????? ?? ???=01001000 01003421 3A ? ? ?? ? ? ? ?? ???=10000100 10004621 4A （2）由 4A 中44 14 =a 可知，1v 到4v 长度为4的路径有条（6411e e e e ，6764e e e e ，6521e e e e ，6531e e e e ）。 （3）由 3A 中13 11 =a 可知，1v 到自身长度为3的回路有1条（111e e e ）。 （4）G 是单向连通图。 四、证明题（30分） 1 设><,*G 是一群，G x ∈。定义：b x a b a **= ，G b a ∈?,。证明>< ,G 也是一群。 2 证明：（1）证明在格中成立：)(*)()*()*(d b c a d c b a ⊕⊕≤⊕。 （5分） （2）证明布尔恒等式：)*()*()*()*()*(b a c a c b b a c a '⊕=⊕'⊕。 （5分） 3 证明：（1）在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面由3条边围成。 （5分） （2）证明当每个结点的度数大于等于3时，不存在有7条边的简单连通平面图。 四、证明题 1 证明：显然 是G 上的二元运算（即满足封闭性），要证G 是群，需证结合律成立，同时有单位元，每个元素有逆元。 G c b a ∈?,,，有 )()**(****)**()(c b a c x b x a c x b x a c b a === 运算是可结合的。 其次，1 -x 是>< ,G 的单位元。事实上，G a ∈?，有 a x x a x a ==--11** ；a a x x a x ==--**11 最后证明，G a ∈?，111 **---x a x 是a 在>< ,G 中的逆元。事实上， 1111111****)**(-------==x x a x x a x a x a e 2 e 7 v 4 e 4 v 1 v 2 v 3 e 1 e 3 e 6 e 5 1111111****)**(-------==x a x x a x a x a x 由以上证明，>< ,G 是群。 2 证明：（1）))*((*))*(()*()*(d b a c b a d c b a ⊕⊕≤⊕ （公式(13)分配不等式） 又因为a b a ≤*，b b a ≤*，所以)(*)()*()*(d b c a d c b a ⊕⊕≤⊕。 （2）因为1='⊕a a ，)*()*(*1c b c b =，所以有， ))*(*)(()*()*()*()*()*(c b a a b a c a c b b a c a '⊕⊕'⊕=⊕'⊕ ))**()**(()*()*(c b a c b a b a c a '⊕⊕'⊕= ))**()*(())**()*((c b a b a b c a c a '⊕'⊕⊕= （吸收律） )*()*(b a c a '⊕= 即等式成立。 3 证明：（1）因图中结点数和边数分别为 6 =n ， 12 =m ，根据欧拉公式 2 =+-k m n ，得 8=k 。又 ∑==242)deg(m v i ，而简单连通平面图的每个面至少由3条边围成，所以在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个 面由3条边围成。 （2）设),(m n 图为简单连通平面图，有k 个面。（反证法） 若7=m ，由欧拉公式知92=+=+m k n ，而每个面至少由3条边围成，有m k 23≤，则3 14 32=≤ m k ，且k 是整数，所以4≤k ；又对任结点V v ∈，3)deg(≥v ，有m n 23≤，故3 14 32=≤ m n ，且n 是整数，所以4≤n 。这样就有844=+≤+k n ，与9=+k n 矛盾，所以结论正确。 安徽大学2007— 2008学年第 2 学期 《离散数学（下）》考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1. 下列集合关于数的加法和乘法运算不能构成环的是（ ） A.自然数集合； B.整数集合； C.有理数集合； D.实数集合。 2. 设I 为整数集合，则下列集合关于数的加法运算不能构成独异点的是（ ） A.I ； B.{2|}k k I ∈； C.{21|}k k I +∈； D.{35|,}m n m n I +∈。 3. 设6{0,1,,5}N = ，6+为模6加法，则下列元素是66,N <+>的生成元的是（ ） A.2； B.3； C.4； D.5。 4. 设>?+< ,,F 是整环，则>?+<,,F 不一定是（ ） A.可交换环； B.无零因子环； C.含么环； D.域。 5. 格不一定具有（ ） A.交换律； B.结合律； C.分配律； D.吸收律。 6. 设{1,2,4,8}S =， 和*分别表示求最小公倍数和最大公约数运算，则,,S <*> 是（ ） A.有补格； B.分配格； C.有补分配格； D.布尔代数。 7. 一个含4个结点的无向图中有3个结点的度数分别为1,2,3，则第4个结点的度数不可能是（ ） A.0； B.1； C.2； D.4。 8. 设连通的简单平面图G 中有10条边和5个面，则G 的结点数为（ ） A.6； B.7； C.8； D.9。 9. 设无向树T 中有1个结点度数为2，2个结点度数为3，3个结点度数为4，则T 中的树叶数为（ ） A.10； B.11； C.12； D.13。 10.设G 为连通的无向图，若G 仅有2个结点的度数是奇数，则G 一定具有（ ） A 、欧拉路径； B 、欧拉回路； C 、哈密尔顿路径； D 、哈密尔顿回路。 二、填空题（每小空2分，共20分） 1. 设R 为实数集合，{|01}S x x R x =∈∧≤≤，则在代数,max S <>中， S 关于max 运算的么元是＿ ＿＿，零元是＿ ＿＿。 2. 设10+为模10加法，则在10 {0,1,,9},<+> 中，元素5的阶为 ，6的阶为＿ ＿＿。 3. 设110 {1,2,5,10,11,22,55,110}S =，gcd 和lcm 分别为求最大公约数和最小公倍数运算， 则在布尔代数110,gcd,lcm S < >中，原子的个数为＿ ＿＿，元素22的补元为＿ ＿＿。 4. 在格,,L <*⊕>中，,a b L ?∈，a b ≤当且仅当a b *=＿ ＿＿当且仅当a b ⊕=＿ ＿＿。 5. 一个具有n 个结点的简单连通无向图的边数至少为＿ ＿＿，至多为＿ ＿＿。 三、解答题（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1. 设图G 如图1所示， (1) 求G 的邻接矩阵A ； (2) 求(2) (3)(4),,A A A ，说明从1v 到4v 的长为2,3,4的路径各有几条； (3) 求G 的可达矩阵P ； (4) 求G 的强连通分图。 2. 求群88,N < +>的所有子群及由元素5确定的各子群的左陪集，其中8{0,1,,7}N =???，8+是模8加法。 四、证明题（每小题10分，共40分） 1. 证明布尔恒等式：()()()()a b a c b c a b c ''*⊕*⊕*=*⊕。 2. 设R 为实数集合，+和?为数的加法和乘法运算，对,a b R ?∈，b a b a b a ?++=*， 证明：,R < *>为独异点。 3. 证明：若),(m n 简单无向图G 满足)2)(1(2 1 --> n n m ，则图G 是连通图。 4. 设,G <*>是一个群，a G ∈；定义一个映射 :f G G →，使得对于x G ?∈有1()f x a x a -=**； 证明： f 是,G <*> 安徽大学2007— 2008学年第 2 学期 《离散数学（下）》考试试卷（A 卷） 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1.A ； 2.C ； 3.D ； 4.D ； 5.C ； 6.B ； 7.B ； 8.B ； 9.A ； 10.A 。 二、填空题（每小空2分，共20分） 1.0，1； 2.2，5； 3.3，5； 4.a ，b ； 5.1n -，(1)/2n n -。 三、解答题（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1. (1) G 的邻接矩阵0 1110 010********A ?? ? ? = ? ? ?? ； 2分 (2) (2) 0121010100200101A ?? ? ?= ? ???；(3) 02 22002002020020A ?? ? ?= ? ???；(4) 02 42020200400202A ?? ? ? = ? ??? ； 5分 从1v 到4v 的长为2,3,4的路径的条数分别为1,2,2； 8分 (3) G 的可达矩阵为01110 11101110111P ?? ? ? = ? ? ?? ； 10分 (4) 因0000011101110 111T P P ?? ? ? ∧= ? ? ?? ，故G 的强连通分图的结点集为1{}v ，234{,,}v v v 。 12分 2. 88,N < +>的子群为：8{0},<+>，8{0,2,4,6},<+>，8{0,4},<+>，88,N <+>； 4分 元素5确定的各子群的左陪集对应为：{5}，{1,3,5,7}，{1,5}，8N 。 8分 四、证明题（每小题10分，共40分） 1. ()()()()(())a b a c b c a b a b c ''''*⊕*⊕*=*⊕⊕* 2分 ()(())(()())(())a b a b c a b a b a b c ''=*⊕**=*⊕***⊕ 6分 1(())()a b c a b c =**⊕=*⊕。 10分 2. 因R 对+和?运算封闭，故R 对*运算封闭；对,,x y z R ?∈， 2分 xyz yz xz xy z y x z xy y x z xy y x z y x y x z y x ++++++=++++++=?++=)(*)(*)*(, xyz yz xz xy z y x yz z y x yz z y x z y z y x z y x ++++++=++++++=?++=)()(*)*(* 故()()x y z x y z **=**，从而R 上的*运算满足结合律； 6分 因对x R ?∈，x x x x =?++=00*0，x x x x =?++=000*，故0为*运算的么元； 综合以上，*为R 上的可结合的二元运算，且R 关于*运算有么元，所以,R <*>为独异点。 10分 3. 假设G 有(2)k k ≥个连通分图，则因G 为简单无向图，故12()(1)m n k n k ≤--+， 4分 因为2k ≥，所以02n k n ≤-≤-，011n k n ≤-+≤-， 8分 所以1 12 2()(1)(1)(2)m n k n k n n ≤ --+≤--，这与1 2(1)(2)m n n >--矛盾！ 所以图G 是连通图。 10分 4. 对12,x x G ?∈，若 12()()f x f x =，则1112a x a a x a --**=**，故12x x =，从而f 为单射； 3分 y G ?∈，1a y a G -**∈且1()f a y a y -**=，因此x G ?∈，使()f x y =，所以f 为满射； 6分 ,x y G ?∈，111()()()()()()f x y a x y a a x a a y a f x f y ---*=***=*****=*，故f 为同态； 9分 所以 f 是,G <*>的群自同构。 10分 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 《离散数学J》考试试卷（期中） 课程代码143140320命题单位学院：计算机学院信息教研室 学院:_______________班级:_____________姓名:_______________学号:____________ 1．将下列命题将其符号化。（4分） ①.李平不是不聪明，而是不用功。 假设p:李平聪明，q:李平用功 ②.如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 假设p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图 2．在一阶逻辑中将下列命题符号化。（9分） ①.整数都是有理数，并不是每个有理数一定是整数，有些有理数不是整数。 假设I(x)：x是整数，Q(x)：x是有理数。 ②.某些汽车比所有的火车慢。 假设F(x)：x是火车。G(x)：y是汽车。H(x,y)：x比y快 ③.谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。 假设：M(x)表示“x是人”，K(x)表示“x游戏人生”，L(x)表示“x 一事无成”，H(x,y)表示“x主宰y”，N(x)表示“x是奴隶”。 3．试证明： (┐P∧(┐Q∧R))∨((Q∧R)∨(P∧R))=R(10分) 4．求公式G＝(P→Q)∧R的主析取范式和主合取范式。(12分) 5．先将些列论断符号化，再证明论断的正确性。（15分） 所有的大一学生都要学习英语；并非所有的大一学生都要学习离散数学；故有些学习英语的不学习离散数学。 假设谓词如下：P(x)：x是大一学生；Q(x)：x要学习英语； R(x)：x要学习离散数学。 6．某班学生50人，会排球的有40人，会篮球的35人，会足球的10人，以上三种运动都会的5人，都不会的没有，问只会两种运动的有几人？ 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ). 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 系 专业 年级 班级 学号 姓名 ……………………装……………………订……………………线…………………… 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 题 序 一 二 三 四 五 总分 成 绩 签 名 一、单项选择题:（20%，每空2分） 1．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ）。 A ．{a}P(A) B ．{a}P(A) C ．{{a}}P(A) D ．{{a}}P(A) 2、假定全集E ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5}，B ＝{2,3,4,7,8,9}，则A ∪B 的位串是（ D ）。 A ．01 B ．0011100000 C ．00 D ．00 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4．设p ：你主修计算机科学，q ：你是新生， r ：你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生，你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A ．r →p ∨q B ．r →p ∧q C ．r →p ∨q D ．r →p ∨q 5．下列是两个命题变元p ，q 的极小项是（ A ） A ．┐p ∧q B ．┐p ∨q C ．p ∧┐p ∧q D ．┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是（ C ） A ．┐(x)A(x)┐A B ．(x)(B →A(x))B →(x)A(x) C ．(x)(A(x)∧B(x))(x)A(x)∧(x)B(x) D ．(x)(y)(A(x)→B(y))( x)A(x)→(y)B(y) 7、若s={1,2,3,4}，S 上关系R 的关系图为： 则R 具有（ B ）性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={ 《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( ) 2010-2011学年第一学期离散数学期中考试试卷答案 一、（本题满分12分）在命题逻辑中将下列命题符号化。 （1）小王边走路边听音乐。（2）除非a能被2整除，a才能被4整除。 （3）派小张、小李中的一人去开会。（4）小张和小李是同学。 （5）今天是星期一仅当明天是星期二。（6）若2+2≠4，则3+3≠6；反之亦然。 解：（1）令p：小王走路；q：小王听音乐。符号化为p∧q （2）令p：a能被2整除；q：a能被4。符号化为q→p （3）令p：派小张去开会；q：派小李去开会。符号化为（p∧┐q）∨（┐p∧q） （4）令p：小张和小李是同学。符号化为p （5）令p：今天是星期一；q：明天是星期二。符号化为p→q （6）令p：2+2=4；q：3+3=6。符号化为┐p?┐q 二、（本题满分12分）在一阶逻辑中将下列命题符号化。 （1）有的有理数能被2整除。（2）没有不犯错误的人。 （3）人都不一样高。（4）说火车比汽车跑的快是不对的。 （5）4>2与3≥1互为充要条件。（6）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。解：（1）令F(x)：x为有理数；G(x)：x能被2整除。符号化为?x(F(x)∧G(x)) （2）令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误，则命题符号化为：?x（F（x）→G(x)） （3）令F(x)：x是人；H(x,y)：x与y一样高。符号化为?x?y（F（x）∧F（y）→┐H（x，y））（4）令F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快，┐?x?y（F（x）∧G（y）→H（x，y））（5）令F(x,y)：x>y，G(x,y):x≥y，a:4，b:2，c:3，d:1。符号化为F(a,b)?G(c,d) （6）令F(x)：x是东北人，G(x)：x怕冷，a：李键，符号化为┐G（a）→F（a） 三、（本题满分8分）给出公式(q →r) ∧ ( p→p)的真值表并求出成真赋值和成假赋值。解：真值表如下 成真赋值：000、001、011、100、101、111；成假赋值：010、110 四、（本题满分10分）设p:2能整除5，q:太阳从西方升起，r:一年分四季。求下列复合命题的真值： （1）((p ∨q) → r)∧(r→ (p ∧q)) （2）((┐q ?p) → (r ∨p)) ∨ ((┐p ∧┐q) ∧r) 解：由题意，p、q、r的真值分别为0、0、1。（1）的真值为0；（2）的真值为1。 五、（本题满分12分）使用等值演算法判断公式下列公式的类型。 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 离散数学期末测验试题（有几套带答案1) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） １)(?P∧(?Q∧Ｒ)）∨(Q∧R）∨(P∧R）?Ｒ 证明：左端?(?P∧?Q∧R)∨（(Q∨Ｐ)∧R)?（(?P∧?Q)∧R))∨((Ｑ∨Ｐ)∧R） ?(?(P∨Q）∧R)∨((Q∨P)∧Ｒ)?(?(P∨Q)∨(Ｑ∨Ｐ))∧R ?(?(P∨Q)∨(Ｐ∨Ｑ))∧R?T∧R(置换）?R 2）?x(Ａ（ｘ)→B(x)）??xＡ(x）→?xB(x) 证明:?x(A(x)→Ｂ(x））??x（?A（x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA（x)∨?xB(x)??xA(x)→?xＢ(ｘ） 二、求命题公式(P∨(Q∧Ｒ))→(Ｐ∧Q∧R）的主析取范式和主合取范式(１０分) 证明:(P∨（Ｑ∧Ｒ））→(P∧Q∧R)??(P∨(Ｑ∧Ｒ）)∨（P∧Q∧R)) ?（?P∧（?Q∨?R)）∨(Ｐ∧Q∧Ｒ） ?(?P∧?Ｑ)∨(?P∧?R)）∨(Ｐ∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Ｑ∧?R）∨(?Ｐ∧Q∧?R)）∨(?P∧?Q∧?R)）∨(Ｐ∧Ｑ∧R) ?m0∨ｍ1∨m2∨ｍ７ ?Ｍ3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题(10分) 1）Ｃ∨D， (C∨D)→?E, ?Ｅ→(A∧?B), (A∧?B)→(R ∨S)?R∨S 证明:(1) (C∨D）→?E (２) ?E→（A∧?Ｂ) ?? (3）（C∨D）→（A∧?Ｂ) （４) （Ａ∧?B)→(R∨Ｓ) ?? (5) （C∨D）→（R∨Ｓ) ? (6) C∨Ｄ?? (7) R∨S 2) ?x(P(ｘ)→Q(ｙ）∧R(x)），?xP(x)?Q(y）∧?x（P(x)∧R(x)) 证明（1)?xP(ｘ) (2）P(a) （3)?ｘ(P(x)→Q(y）∧R(x)) (4）P（a)→Q(y)∧R(a) (５)Q(y)∧Ｒ(a) (6)Q(y) （７)R(a） (8)P(a) (9)P(ａ)∧R(a) （10)?x(Ｐ(x)∧R(ｘ)) (11)Q（ｙ)∧?x(P（x）∧R(x)） 五、已知Ａ、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （１5分) 证明∵x∈A-（Ｂ∪C)?x∈A∧x?（Ｂ∪C)?x∈A∧(x?Ｂ∧ｘ?C）?(x∈A∧x?B)∧（x∈A∧x?C）?x∈（Ａ-B)∧ｘ∈(A－C）?x∈(A－B）∩（A-Ｃ)∴A-(B∪Ｃ）=（A-B)∩(A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：Ｒ=｛＜x，ｙ>| x，y∈N∧y=x2｝，Ｓ={ 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 精品文档院术师范学广东技模拟试题 科目：离散数学 120 分钟考试时间: 考试形式：闭卷 姓名：学号：系别、班级： 2分，共10分）一．填空题（每小题__________。?x?y?P(x)∨Q(y) 1. 谓词公式的前束范式是 __)xxQ(?xP(x)????????____，，2. 设全集A?_{4,5}B =__则A∩ {2}__,,?E?1,2,3,4,55,A?21,,32,B_____ __ {1,3,4,5}??BA????b,c}} __________，则3. 设__ ， b?,c,b,a,A?Ba???B(A)?)(_____Φ_______。???)(AB()?4. 在代数系统（N，+）中，其单位元是0，仅有_1___ 有逆元。 ne条边，则G有___e+2-n____个面。5．如果连通平面图G有个顶点，二．选择题（每小题2分，共10分） P?(Q?R)等价的公式是（1. 与命题公式） （A）（B）（C）（D）R?P?Q)()?R)R?(QPP?(Q?R?Q)(P??????b?b,?a,aA??a,b,cR?,不具备关系( 2. 设集合上的二元关系,A)性质 （A）(A)传递性(B)反对称性(C)对称性(D)自反性 G??V,E?中,结点总度数与边数的关系是3. 在图( ) ??E?Edeg(v)deg(v)?2deg(v)?Evdeg()?2E(A)(C)(B) (D) iiiiVv?Vv?4. 设D是有n个结点的有向完全图,则图D的边数为( ) n(n?1)n(n?1)n(n?1)/2n(n?1)/2(A)(B)(D)(C) 5. 无向图G是欧拉图,当且仅当( ) (A)G的所有结点的度数都是偶数(B)G的所有结点的度数都是奇数 精品文档． 精品文档 (C)G连通且所有结点的度数都是偶数(D) G连通且G的所有结点度数都是奇数。 三．计算题（共43分） p?q?r的主合取范式与主析取范式。（1. 求命题公式6分） 解：主合取方式：p∧q∨r?(p∨q∨r)∧(p∨?q∨r)∧(?p∨q∨r)= ∏0.2.4 主析取范式：p∧q∨r?(p∧q∧r) ∨(p∧q∧?r)∨(?p∧q∧r) ∨(?p∧?q∧r) ∨(p∧?q∧r)=∑1.3.5.6.7 1000????0111?????Md,A?a,b,c,的上的二元关集2. 设合系R关系矩阵为求 ??R0000????1000??)tR(),(RsRr()(),(),(rRsRtR),的关系图。R的关系矩阵，并画出分）10（， 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 泉州师院2009-2010学年度第一学期 2008级计算机《离散数学》期中试卷 一、单项选择题:（20%，每空2分） 1．设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ B ）。 A ．{a}∈P(A) B ．{a}?P(A) C ．{{a}}∈P(A) D ．{{a}}?P(A) 2、假定全集E ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={3,4,5}，B ＝{2,3,4,7,8,9}，则A ∪B 的位串是（ D ）。 A ．1000000001 B ．0011100000 C ．0111001110 D ．0111101110 3、下列文氏图阴影部分所表示的集合是( A )。 A. (A-(B ∪C))∪((B ∪C)-A) B. (A-(B ∩C))∪((B ∩C)-A) C. (A-(B ∩C))∪((B ∪C)-A) D. (A-(B ∪C))∪((B ∩C)-A) 4．设p ：你主修计算机科学，q ：你是新生， r ： 你可以从校园网访问因特网。只有你主修计算机科学或不是新生，你才可以从校园网访问因特网。可符号化为( C )。 A ．r →p ∨q B ．r →p ∧q C ．r →p ∨?q D ．r →p ∨?q 5．下列是两个命题变元p ，q 的极小项是（ A ） A ．┐p ∧q B ．┐p ∨q C ．p ∧┐p ∧q D ．┐p ∨p ∨q 6、下列等值式不正确的是（ C ） A ．┐(?x)A ?(?x)┐A B ．(?x)(B →A(x))?B →(?x)A(x) C ．(?x)(A(x)∧B(x))?(?x)A(x)∧(?x)B(x) D ．(?x)(?y)(A(x)→B(y))?( ?x)A(x)→(?y)B(y) 7、若s={1,2,3,4}，S 上关系R 的关系图为： 则R 具有（ B ）性质。 A 、自反性 B 、自反性、对称性 C 、反自反性、反对称性 D 、自反性、对称性、传递性 8．设A={a,b,c,d}，A 上的等价关系R={ 离散数学-期末考试卷-A卷 东莞理工学院城市学院（本科）试卷（A卷） 2013-2014学年第一学期 开课单位：计算机与信息科学系，考试形式：闭卷，允许带入场 科目：离散数学，班级：软工本2012-1、2、3 姓名：学号： 题序一二三四总分 得分 A评 卷人 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1. 下述不是命题的是( ) A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 2. 命题公式P→(P∨Q∨R)是( ) A. 永假的 B. 永真的 C. 可满足的 D. 析取范式 3. 命题公式﹁B→﹁A等价于( ) A. ﹁A∨﹁ B B. ﹁(A∨B) C. ﹁A∧﹁ B D. A→B 4．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A．?P∧Q B．P∧?Q C．P→?Q D．P∨?Q 5．设A（x）:x是人，B（x）：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）A．?x(A(x))∧B(x) B．??x( A(x)→?B(x) ) C．??x( A(x)∧B(X)) D．??x( A(x)∧?B(x) ) 6. 设有A={a,b,c}上的关系R={ 7. 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射函数( ) A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>} B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>} C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>} D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>} 8．设简单图G所有结点的度数之和为10，则G一定有（） A．3条边B．4条边C．5条边 D．6条边 9．下列不．一定是树的是（） A．每对结点之间都有通路的图 B．有n个结点，n-1条边的连通图 C．无回路的连通图D．连通但删去一条边则不连通的图 10．下列各图中既是欧拉图，又是哈密顿图的是（） 离散数学期中考试试卷 班级————姓名————学号———— 一、单项选择题（每题４分，共３２分。） 1、前提┐P∨Q, ┐Q∨R, ┐R的结论是（）。 A. Q B. ┐P C. P∨Q D. ┐P→R 2、下列语句为命题的是（）。 Ａ．暮春三月，江南草长。 Ｂ．这是多么可爱的风景啊！ Ｃ．大家想做什么，就做什么，行吗？ Ｄ．请勿践踏草坪！ 3、下列复合命题为真命题的是（）。 A．如果３＋３≠６，则３是奇数。 B．３是有理数当且仅当加拿大在亚洲。 C．只要乌鸦是黑色的，就有中国是世界上面积最大的国家。 D．２是偶素数是不对的。 ４、下列关于谓词公式的论述不正确的是（）。 A．闭式在任何解释下都是命题。 B．可满足式是指存在一个解释使得在该解释下对任一赋值公式都为真。 C．命题公式中的重言式的代换实例是永真式。 D．命题公式中的矛盾式的代换实例是矛盾式。 ，Ｂ＝P(P(A))，以下不正确的是（）。 Ａ．｛｝∈Ｂ Ｂ．｛｝∈Ｂ Ｃ．｛｝包含于Ｂ Ｄ．｛｛｛｝｝｝包含于Ｂ ６、设集合｛１，２，３｝，下列关系Ｒ中不是等价关系的是（）。 Ａ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）｝ Ｂ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）,（３,２），（２,３）｝ Ｃ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（３,３）, （1, 4）｝ Ｄ．Ｒ＝｛（１,１），（２,２），（１,２）,（２,１），（１,３），（３,１）,（３,３），（３,２）,（２,３）｝ ７、对于如下某个偏序集的哈斯图，其中集合{a,b,c,e}的最大元是（）。 A．c B．d C．e D．无 ８、命题公式A和B是等值的，是指（）。 A．A和B有相同的命题变项。 B．A和B都是可满足的。 C．当A对某一赋值为真时，B对该赋值也为真。 D．A和B有相同的真值表。 二、填空题（每题３分，共15 分。） 1、设R为非空集合A上的二元关系，如果R满足（）、（）、（），则称R为A上的一个偏序关系。 ２、若集合A={1, 2, 3}上的二元关系R1和R2的关系图如下所示， 则R1o R2 =（），R2o R1=（）。 ３、用P和P∧Q同时代入合式公式P→┐(P∨Q)中的P和Q,所得代换实例为（）。 4、设F(x):x是人，H(x,y):x与y一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为_________________。 ５、P({Φ,1}) = _____________________________________。 三、计算题（每题8分，共16分） 1．求下面公式的主析取范式和主合取范式。 ( →) r p→ q 2．求集合A={a，b，c}的所有划分和他们相应的等价关系。中，哪个是群？（ ） D. }9,5,4,3,1{=S ，*是模11乘法离散数学期末试题
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