试卷设计说明
2015年高考模拟试卷数学卷（文）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.选择题部分每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上
3. 本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写到答题纸上
选择题部分
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1、（根据2014年浙江省高考试题改编）
设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为矩形”是“AC=BD ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 2、（根据2014汕头质检改编）设不重合的直线m ，n 和平面βα ，则下列命题正确的是（ ）A.若α∥β，α//m ，则m∥β B.若m⊥α，n ⊥β，若α∥β,则m ∥n
C.若α⊥β，m∥α，m ⊥β
D.若α∥β，m∥n ，若α//m 则n ∥β
3、（原创）=-+112i
i
i 是虚数单位，则 （ ）
A.1
B.-1
C. i
D.-i
4、（根据温州市十校联合体2014届高三10月测试改编） 在ABC ?中，(
)(
)
,29cos 2,61cos 2,74cos ,16cos 0
00
0==BC AB 则ABC ?面积为( ) A ．
4
2
B.
2 C ．2
3 D ．2
2
5、（根据内蒙古巴彦淖尔市一中2014届高三第六次模拟改编）已知双曲线22
2
1(0)9
y x a a -=>的两条渐近线与圆()2
2
21645x y ??++= ???
相切，则双曲线的离心率为 ( )
A ．
5
3
B ．54
C ．43
D ．
6
5
6、（根据陕西省西安市高新一中2014届下学期第十一次练习改编）若实数x 、y 满足
20,,9,4
x y y x y x ?
?-≥?≥???≥-+? 则2z x y =+的最小值为 ( ) A.4 B.
92 C.9
4
D. 3 7、（根据温州市温州中学2014—2015学年高三上数学2月月考改编）已知1a >， 则函数
||log x a y a x -=-的零点的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
8、（根据陕西省西安市高新一中2014届下学期第十一次练习改编）已知()f x 、()g x 都是定义在
R 上的函数，'()()()f x g x f x g
x +>，()()x
f x
g x a =，
5(1)(1)(1)(1)2
f g f g +--=
．在区间[0,3]上随机取一个数x ，()()f x g x 的值介于4到8之间的概率是 ( )
A. 1
3
B. 38
C.
23
D.
12
非选择题部分
二、填空题（本大题共7小题，9-12每题6分，13-15每题4分，共36分。）
9、（原创）设U=R,集合S ＝{2|680x x x -+< }，T ＝{|3x x > }，则S ∩T ＝___ __， S ∪T ＝__ __，()U C S T ?＝__ ___， 10、（根据考试说明参考样卷改编）函数3sin(3)33
y x π
=+
-的最小正周期为_ __，振幅
为 ，单调递减区间为 11、（原创）一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为____表面积为________
12、(根据2015甘肃省部分普通高中高三第一次联考改编)已知在平面直角坐标系xoy 中，圆
俯视图
侧视图
第11题图
C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线0x y k -+=垂直.若直线l 与圆C
交于A B 、两点，若OAB ?的面积为1，则k=________，椭圆D 以圆心C 为一个焦点，且过
点（
2
，则椭圆D 的方程为
13、（根据2014年浙大附中诊断改编）
设函数()[]=??
???
>≤=-20152000,22000
,3
sin 2)(2010f f x x x x f x ，则π_________________ 14、(根据四川省达州市大竹县2015届高三下学期开学调研改编)若在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量(,2)m b a c =-，(cos 2cos ,cos )n A C B =-，且m n ⊥.，则sin sin C c A a
++=___
15、给出定义：，则m 叫做实数x 的“亲密函数”，记作{}x m =，在此基础上给出下列函数
{}()f x x x =-的四个命题：
①函数()y f x =在(0,1)x ∈上是增函数；②函数()y f x =是周期函数，最小正周期为1；
③函数()y f x =的图像关于直线()2
k
x k Z =
∈对称； ④当(]0,2x ∈时，函数()()ln g x f x x =-有两个零点.
其中正确命题的序号是
三、解答题：（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16、(根据2014-2015慈溪余姚联考改编) （本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知
24sin 4sin sin 22A B A B -+=（I ）求角C 的大小； （2
）若c =
ABC ?面积的最大值
17、（本题满分15分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，
将ADE ?沿直线DE 翻折成DE A '?，使得平面⊥'DE A 平面BCDE ，F 为线段C A '的中点．
(Ⅰ)求证：BF ∥平面DE A '；
(Ⅱ)求直线B A '与平面DE A '所成角的正切值．
18、（根据2014年云南省第二次高中毕业生复习统一检测改编）（本小题满分15分） 已知抛物线C 的顶点是原点，焦点在y 轴正半轴上，经过点(0,4)P 作直线l ，如果直线l 与抛物线C 相交于两点，设为A 、B ，那么以AB 为直径的圆经过原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 与直线3620x y ++=垂直，l 与抛物线C 交于点D 、E 两点，求以DE 为直径的圆的方程.
19、（根据浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试改编）（本小题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-． (Ⅰ)证明：数列2n n a ??
?
???
是等差数列； （Ⅱ）数列{}n b 满足n n n a n n
b ??+=
-1
22)1(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式
1
2
)1(-+
<-n n n n T λ对一切*
N n ∈恒成立，求λ的取值范围.
20、（根据丽水市2015年高考第一次模拟测试改编）（本小题满分15分）
A
B
C D E
A ′ A
E B
C
D F
（第17题）
M
P
N
已知函数c bx mx x f ++=2)()0(≠m 满足
,对于任意R 都有,且
,
令.
(Ⅰ)求函数
的表达式；
(Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数ax ax ax f y ---=|1)(| )0( 2015年高考模拟试卷数学卷答卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 二、填空题：本大题共7小题，9-12每题6分，13-15每题4分，共36分。 9． 10． 11 12． 13． 14． 15． 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知 2 4sin 4sin sin 22A B A B -+= （I ）求角C 的大小； （2）若c =ABC ?面积的最大值 17、（本题满分15分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为线段AB 的中点， 将ADE ?沿直线DE 翻折成DE A '?，使得平面⊥'DE A 平面BCDE ，F 为线段C A '的中点． (Ⅰ)求证：BF ∥平面DE A '； (Ⅱ)求直线B A '与平面DE A '所成角的正切值． 18、（本小题满分15分） 已知抛物线C 的顶点是原点，焦点在y 轴正半轴上，经过点(0,4)P 作直线l ，如果直线l 与抛物线C 相交于两点，设为A 、B ，那么以AB 为直径的圆经过原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与直线3620x y ++=垂直，l 与抛物线C 交于点D 、E 两点，求以DE 为直径的圆的方程. A B C D E A ′ A E B C D F （第17题） M P N 19、本小题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-． (Ⅰ)证明：数列2n n a ?? ? ??? 是等差数列； （Ⅱ）数列{}n b 满足n n n a n n b ??+= -1 22)1(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式 1 2 )1(-+ <-n n n n T λ对一切* N n ∈恒成立，求λ的取值范围. 20、（本小题满分15分） 已知函数c bx mx x f ++=2 )()0(≠m 满足 ,对于任意R 都有,且 , 令. (Ⅰ)求函数 的表达式； (Ⅱ)当[]1,1-∈x 时，求函数ax ax ax f y ---=|1)(| )0( 2015年高考模拟试卷数学卷（文）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 二、填空题：本大题共7小题，9-12每题6分，13-15每题4分，共36分。 9．()3,4, ()2,+∞ , ()(,2]3,-∞?+∞ 10． 23π, 3 ,272[,],183183 k k k Z ππππ + +∈ 11． 76 112． 1 ，22143y x += 13．． 2 15． ②③④ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16、解：（1）()()241cos 4sin 21cos 22A B A B A B --??-????==--?? ????? ………2分 所以左边=2-2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB ……………………4分 =2-2cosAcosB+2sinAsinB=2-2(cosAcosB-sinAsinB)=2-2cos(A+B) 于是2-2cos(A+B)=2+ , 所以-cos(A+B)= 2 ……………6分 -cos(A+B)=cos 【π-(A+B)】=cosC 所以C=45°…………………………………8分 (2)由余弦定理得到：2 2 2 2cos c a b ab C =+-?， 所 以2 2 2a b ==+……………………………10分 所 以2 2 22a b ab =+≥ 即2ab ≤+ 当且仅当a b =时“=”成立 ……………12分 而1sin 2ABC S ab C ?= =，所以⊿ABC 面积的最大值 为 … 14分 17、（Ⅰ）取D A '的中点M ，连接 FM ，EM . C A F '为 中点，FM ∴∥C D 且CD FM 2 1 = ……2分 ∴BE ∥FM 且FM BE = ∴四边形BFME 为平行四边形. ……………4分 ∴BF ∥EM ,又DE A EM '?平面，DE A BF '?平面 ∴BF ∥DE A '平面 ……………6分 （Ⅱ）在平面BCDE 内作DE BN ⊥，交DE 的延长线于点N ， 平面⊥'DE A 平面BCDE ，平面?'DE A 平面DE BCDE = ⊥∴BN 平面DE A '，连接N A '， 则N A B '∠为B A '与平面DE A '所成的角， ……………8分 BNE ?∽DAE ? 1=BE ， 2 1 ==BN EN AD AE ∴552= BN ，5 5 =EN ……………10分 在DE A '?中作DE P A ⊥' 垂足为P 1='E A ,2='D A 552= '∴P A ,5 5 =EP A B C D A ′ A E B C D F （第17题） M P ∴在直角PN A '?中，552= ∴PN 又55 2='P A ∴5102='N A …13分 ∴在直角BN A '?中，2 2 tan ='= '∠N A BN N A B ∴直线B A '与平面DE A '所成角的正切值为 2 2 。 ……………15分 18、解：（Ⅰ）设抛物线C 的方程为x 2 =2py(p>0)，直线y=4经过点P(0,4)，与抛物线C 交于两点，设为A 、B ，且A(x 1,4)，B(x 2,4)，根据已知，以AB 为直径的圆经过原点. ∵OA =(x 1,4)，OB =(x 2,4)， ∴OA OB ?= x 1 x 2+16=0……………………………………………4分 由 { 24 2y x py ==，得x 2 -8P=0 ∴x 1 x 2= - 8P.∴x 1 x 2+16= - 8P +16=0，∴P=2 ∴抛物线C 的方程为x 2 =4y …………………………………………………………8分 （Ⅱ）∵直线L 与直线3x+6y+2=0垂直， ∴直线l 的斜率等于2. ∴直线l 的方程为y=2x+4，…………………………………………………………10分 设D(x 1,, x 2+4), E(x 2 ,x 2+4)，则DE 的中点为3434,42x x M x x +?? ++ ??? ， DE ={ 224 4y x x y =+=得x 2 -8x-16=0. ∴ { 34348 16x x x x +==-，∴M(4,12) ，DE = 13分 ∴以DE 为直径的圆的方程为(x-4)2 +(y-12)2 =160……………………………15分 19、解：（1）2111122=4n S a a ==-当时，，得， 当-1-1222n n n n S a ≥=-时，，两式相减得 11222,2+2n n n n n n n a a a a a --=--=即………………………3分 所以11111 1111 2211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ---------+-= -=+-=………………5分 又 1122a =，所以数列{}2n n a 是以2为首项，1为公差的等差数列…………7分 （2）由（1）知 ()1.=n+122 n n n n a n a =+?即………………………8分 1 2n n n b -= ，0122111111123(1)22222n n n T n n --=? +?+?++-?+? 2 n T = 121111112(1)2222n n n n -?+?++-?+? 两式相减得0121111112 22222222n n n n T n n -+=++++-?=- 所以12 42 n n n T -+=-…………………12分 若n 为偶数，则12 4,32n λλ-<-∴< 若n 为奇数，则-12 4,2,22 n λλλ-<-∴-<>- 23λ∴-<<………………………………………………………………15分 20、(1) 解：∵ ，∴ . ∵对于任意 R 都有 , ∴函数的对称轴为 即2 1 2-=- m b ，得 b m =. ……2分 又 ，即0)1(2≥-+x b mx 对于任意 R 都成立， ∴0>m ,且．………………4分 ∵ ， ∴1,1==m b ． ∴ ．………………6分 （2）设ax ax ax f x g ---=|1)(|)( )0( 2ax x a ax x a a x a x 11 ->- ≤ (8) 分 ∴)(x g 在??? ??∞-a 1,， ??????-a a 1,21上单调递减，在??????a a 21,1，??????+∞-,1a 上单调递增 （1）当121-≤a ，即时2 1 -≥a )(x g 在[]1,1-上单调递减 ∴此时1)1()(2 +--=-=a a g a M ……10分 （2）当a a 2111<-≤，即时211<≤-a )(x g 在?? ???? a 21,1-上单调递增 )(x g 在?? ? ???1,21a 上单调递减 ∴此时4 5 )21( )(==a g a M ……12分 （3）当a 11<-，即时1- ? ???-a a 1,21上单调递减 )(x g 在??????a a 21,1，?? ? ???-1,1a 上单调递增 ∴此时??? ???-=)1(),21(),1(max )(g a g g a M ? ?????-+--=1,45,1max 22a a a a =??????--=45,1max 2a a ?????--4 512a a )1210 1()210 1(-<<--≤a a ……13分 综上所述：????? ??--+--=14 5 1)(22a a a a a M ) 2 101()212101() 021(-≤-<<-<≤-a a a ． ……15分
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