北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案

习 题

1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。 (a) f(t)

(b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2)

2. 设 f(t) 是某一函数,a, t 0, T 为实常数,证明:

(a)

)

()()(

)(0

00

t

t t

t f a a

t t f -=-δδ

(b)

)

()(

1)()(0

0a

t a

f a

at t f t

t

t -

=

-

δδ

(c) )

()()(

)(0

00

nT t nT f T

T

t comb t f t

t t

n --+=-∑

-∞

3.

(a) 如 f(t) F(Ω),证明:

e

e

e t

j t

y j t

j t f dy y F F Ω-∞

--Ω-Ω-==

*

Ω?)(2)()()(π

(b) 用 (a ) 的结果,证明频域卷积定理

)

()(21)()

(2

1

2

1

Ω*

Ω?

F

F

f

f

t t π

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4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。

5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ

(b) )

()()(00Ω+Ω

=

Ω+Ω

*

Ω∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=n H n H n n δ

6. 设

e

t

a t f -=

)(,证明脉冲序列)

()(nT t nT f n -∑

-∞

=δ的傅氏变换等于

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aT

aT

aT

e

T e

e

22cos 211---+Ω--

7.

(a) 证明

T

n n n jnT e

πδ2),(1000=

ΩΩ+Ω

=

Ω

∑∑∞

-∞

=∞

-∞=Ω

-

(b) 若f(t) F(Ω),证明

)

()(0Ω+Ω=

-∞

=∞

-∞

-n F nT f T

n n jnT e

习 题

1. 下列系统中,y(n) 表示输出,x(n) 表示输入,试确定输入输出关系是否线性?是否非移变?

(a) y(n) = 2x(n) +3

(b) y(n) = x 2

(n)

(c) ∑

-∞==

n

m m x n y )

()(

2. 确定下列系统是否因果的?是否稳定的? (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界

(b) ∑

-

==

n

k n k x n y 0

)

()( n>n 0

(c) y(n) = x(n-n 0)

(d) x(n) = a n

u(n), h(n) = u(n)

(e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) n

u(n)

3. x(n) 为输入序列, h(n) 为系统的单位取样响应序列,确定输出序列 y(n), (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示

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?????=0)(a n n h

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?????=-0)(0βn n x n 的卷积 y(n) = x(n) * h(n)

5. 讨论具有下列单位取样响应的线性时域离散非移变系统。

u

n

n

n h ??? ??=21)( 其中 1-=j

确定其对如下输入序列的稳态响应(n 足够大时的响应)。 x(n) = n{cosn π}u(n)

6. 试确定下列序列的傅氏变换。

(a) x(n) =0.5δ(n+1) + 0.5δ(n-1)

(b) x(n) = a n

u(n) 0

7. 令 x(n) 和 X(e jw

) 表示一个序列及其变换,又假设 x(n) 为实函数和 n<0 时,x(n) = 0,

利用 X(e jw )

求下面各序列的变换。 (a) kx(n) k 为任意常数 (b) x(n-n 0) n 0 为实整数 (c) g(n) = x(2n)

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(d) ??

???=

)(x n g 8. 试确定 LSI 系统的频率响应 H(e jw ) 及此系统函数倒数 1/ H(e jw

) 的单位取样响应 h ′

(n),若此系统的单位取样响应

)

()(21n u n h n

?

?? ??=

并证明, h(n)* h ′(n) = δ(n)

9. 研究如图 P2.2 所示方框图组成的系统,其中 g(x) = e j πax2

称为线性调频信号,试证明:输出是输入函数的傅氏变换(标尺有变化),当输入为门函数时,输出是 SinC 函数。

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图 P2.2

10. 画出下列 z 变换的零极点图,指出收敛域。

(a)

)

()(21n u n n

??

? ??+

δ

(b) )

(31n u n

??

? ??

F(ax) g*(x)

(c) )

(31)(21n u n

n u n

??? ??+??? ?

?

11. 求下列 z 变换的所有可能收敛区间的反变换。

()2)()1(2

-=

-z z

z X z

12. 若

X z z ()=

-1

1 (a) 若 |z|>1,求 X(n)。 (b) 若 |z|<1,求 X(n)。

13. 有一离散系统如图 P2.3 所示,若

?????????

<≥=???

????? ??-0n 0n n X n

n

2131)(

???????<≥=??? ??0n 0n n h n 0)(21

求 y(n)。

图 P2.3

14. (a) 试证明,若 |a| < 1 及 x(n) = a |n|

,则

a

z a

z z X a z a -++--

=

)1()

1()(2

2

2

(b) 若 x a (t) = e -a|t| 及 x(n) = x a (nT) X(z),求 X(e j ΩT

)。

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15. 若 x(t) 的傅氏变换为 X(j Ω),且 x(t) 在 |Ω| < π/T 内频带受限,试证明:

Ω

-

Ω=

?

-Ω∞

=-d z z

j X nT X e z

T

j n n

)

(21)

(0

π

16. 设兔子的寿命为 10 年且雌雄均等,若初始有两只兔子,每年新生兔子是前一年的两倍,求第 n 年兔子的总数。

17. 已知 X(z) = e z + e 1/2

(z ≠0),求 x(n)。

18. 试确定 F(z) = Z *

是否代表某个序列的 z 变换,阐述理由。

19. 令 x(n) 是一因果序列,即 n<0 时,x(n) =0,又设 x(n) ≠ 0,试证明在 z = ∞ 处 X(z) 没有极点和零点。

20.研究一线性非移变系统,该系统的输入和输出满足差分方程

)

1(21

)()(--

=n y n x n y

从下列各项中选取二个满足上系统的单位取样函数。

(a) )

(21n u n

??? ??- (b) ())

(2n u n

(c) )

(2

1

n u n

(d) )(21n u n

??

? ??- (e) )

1(21-?

?

?

??n u n

(f)

())1(2---n u n

(g)

)(21n u n

??

? ?? (h) )

1(21--?

?

?

??-n u n

(i) )

1(2

1

211

--??

? ??--n u n (j)

()

)

1(2

21

----n u n

21. 试利用 x(n) 的 z 变换求 n 2

x(n) 的 z 变换。

习 题

1、 计算下列有限长序列 x(n) 的 DFT ,假设长度为 N, (a) x(n) = δ(n)

(b) x(n)= δ(n-n 0) 0 < n 0 < N (c) x(n) = a n 0《 n 《 N-1 2、 画出 x 1(n) 和 x 2(n) 的波形

x 1(n)= x((n-2))4R 4(n) x 2(n)= x((-2))4R 4(n)

x(n) 的波形如图 P3.1 所示。

x(n)

3、 画出如图 P3.2 所示的两个序列的 6 点圆周卷积。

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图 P3.2

4、 如果 )(~n x 是一个周期为 N 的周期序列,则它也是周期为 2N 的周期序列。把 )(~

n x

看作周期为 N 的周期序列,令 )(~1k x 表示其 DFS ,再把 )(~

n x 看作为 2N 的周期序列,

再令 )(~2k x 表示其 DFS ,试利用 )(~1k x 确定 )(~

2k x 。 5、 若 [])()(k X n x DFT =,求证:

[]))

(()(k x N

N

n X DFT -=

6、 已知序列 1a 0 n u n x a

n

<<=),()(,对其 Z 变换在单位园上 N 等分取样,采样值

W

z X k X K N

z -=

=)

()(,求有限序列 IDFT[X(k)]。

7、 设 )(~n X 是周期为 N 的周期序列,通过系统 H(z) 以后,求证输出序列 )(~n y 为

W W nK N N K K N k X H N n y --=-∑=)(~)(1)(~1

8、 研究两个周期序列 )(~n x 和 )(~n y 。)(~n x 的周期为 N ,)(~n y 的周期为 M 。序列 )(~

n w

定义为

)()(~)(~n y n x n w +=

(a ) 试证明 )(~n w 是周期性的,周期为 NM 。

(b )令 )(~n x 的 DFS 为 )(~k X ,)(~n y 的 DFS 为 )(~k Y ,试用)(~k X 和 )(~k Y 求 )(~

k W 。

9、 x (n) 表示长度为 N 的有限长序列,试证明

))(())((n N x n x N N --=

10、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT ,试证明 (a) 如果 x(n) 满足关系式

x(n) = -x(N-1-n), 则 X(0) = 0

(b) 当 N 为偶数时,如果 x(n) = x(N-1-n),则 0

)2(

=N

x

11、令 X(k) 表示 N 点序列 x(n) 的 N 点 DFT ,X(k) 本身也是一个 N 点序列。如果计算 X(k) 的 DFT 得到一序列 x 1(n),试用 x(n) 求 x 1(n)。

0 1 2 3 4 5 n x 1(n)

12、长度为 8 的有限序列的 8 点 DFT 为 X(k),如图 P3.3 所示。长度为 16 的一个新

序列定义为

?????=为奇数为偶数

n n n

x n y 0)2

()(

试从图 P3.3( b) 的几个图中选出相当于 y(n) 的 16 点 DFT 的略图。

图 P3.3

13、令有一序列 x(n),其长度有限,Z 变换为 X(z)。而 x 1(n) 表示长为 N 的有限长序列,其 N 点 DFT 为 X 1(k),如果 X(z) 和 X 1(k) 有

1

N 0,1,k W

z X k k N

z X

-==-=

,)

()(1

式中 e W k

N

k

N

π

2=

-,试求 x(n) 和 x 1(n) 之间的关系。

14、研究两个 n<0 时等于 0 的有限长序列 x(n) 和 y(n),且 x(n) = 0 n 》8 时

y(n) = 0 n 》20 时

将每一序列的 20 点 DFT 相乘,然后计算 IDFT y(n),试指出 Y(n) 的哪些点相当于 x(n) 与 y(n) 线性卷积中的点。

15、如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需 100us ,每次复加 20us ,今用来计算 N = 1024 点的 DFT ,问用直接运算需要多少时间?用 FFT 运算需要多少时间?

16、设一序列 x(n) 的长度 N 是 2 的整数方,它的 FFT 算法,还可通过下面另一种时间

抽选法表述来实现。 (1) 将 x(n) 分解成两个 N/2 点的序列计算 X(k),其一是由 x(n) 的偶数点组成,另一是

由 x(n) 的奇数点组成。

)

()()12()2()(1

2

2

1

20

2

k H k G r x r x k X W

W

W

W

k N

N

r rk N k N

N r rk N +=++=

-=-=

其中

1

2

,

,1,0)2()(1

2

2

-==

-=N k ,r x k G N r rk N W

1

2

,,1,0)12()(1

2

02

-=+=

∑-=N k ,r x k H N r rk N

W

G(k) 和 H(k) 分别是 x(n) 的偶数点和奇数点的 DFT 。

(2)G(k) 和 H(k) 是周期为 N/2 的周期序列,它满足下列关系

)

())()2

(k H 2

N H (k ,k G N k G =+

=+

(3)X(k) 可表达为前后两部分

2N ,

0,1,k ,k H k G k X W

k N

=+=)()()(

2N

,

0,1,k ,k H k G k N

X W

k N

=-=+)()()2(

证明上述结论的正确性,并据此画出 8 点 FFT 时间抽选法流图。

17、画出一个 N=16 点的时间抽选法 FFT 信号流图。设输入序列为 x(n),其为倒序,输出

序列为 X(k),其为正序。

18、证明 x(n) 的IDFT 有以下算法

)]}

([{*

1

)]([)(*

k X DFT N k X IDFT n x =

=

19、设 x(n) 是一个 M 点 0《 n 《 M-1 的有限长序列,其 Z 变换为

-=-=

1

)

()(M n n

Z

n x z X

今欲令 X(Z) 在单位圆上 N 个等距离点上的采样 X(Z k ) 为

1

N ,0,1,k z z X X e

z Z k

N

k z k k

-====

π

2)

()( 问在 (a )N 《 M (b ) N>M

两种情况下,如何用一个 N 点 FFT 算出全部 X(Z k ) 值来。

20、计算实序列的 DFT ,讨论几种减少计算量的途径。

(a )令 x(n) 是 N 点实序列,令 X(k)表示其离散傅氏变换,它的实部和虚部分别以 X R (k) X I (k) 表示,因此,

X(k) = X R (k) + X I (k) 试证明如果 x(n) 为实序列,则 X R (k) 为偶序列,X I (k) 为奇序列。即 X R (k) = X R ((N-k))N R N (k) 以及X I (k) = -X I ((N-k))N R N (k)

(b )研究两个分别具有 DFT 变换 X 1(k) 和 X 2(k) 的实序列 x 1(n) 和 x 2(n),令 g(n) 是一个复序列,定义 g(n) = x 1(n) + jx 2(n),G(k) 为其 DFT 变换,令 G OR (k)、G ER (k)、G OI (k)、 G BI (k) 分别表示 G(k) 的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分。试利用G OR (k)、G ER (k)、G OI (k)、 G BI (k) 来表示 X 1(k) 和 X 2(k)。 (c )假设 x(n) 是一个 N 点的实序列,且 N 可以被 2 整除。令 x 1(n) 和 x 2(n) 为两个 N/2 点序列,其定义为

1

)12()(1)2()(21-=+=-==2N

,

0,1,2,n n x n 2N ,0,1,2,n n x n x x

试利用 X 1(k) 和 X 2(k) 求 X(k)。

21、Chirp-Z 变换算法的一个用途是使频谱的谐振峰变尖。一般来说,如果我们在 Z 平面内靠近极点的一条周线上计算序列的 Z 变幻,则可指望观察到谐振。在应用 Chirp-Z 变换算法时,或在计算 DFT 时,被分析的序列必须是有限时宽的。否则必须将序列截断。截断序列的 Z 变换只有零点(除 z=0,z=∞ 外),而原始变换的序列却有极点。试证明,在有限时宽序列的变换中仍可以看到谐振型响应。 (a ) 令 x(n) = u(n),画出它的 Z 变幻的零极点略图。 (b )令

???-≤<=others 1

N n 0 n x

01)(? 即 )(?n x 等于从 N 点以后截断的 x(n),画出 )(?n x 的 Z 变换 )(?z X 的极点零点略图。

(c )画出 )

(?e

jw

X 随 ω 变化的略图,并在图中画出 N 增加时对 )

(?e

jw

X 的影响。

22、在下列说法中选择正确的结论。Chirp-Z 变换可以用来计算一个有限时宽序列 h(n) 在 Z 平面实 Z 轴上诸点 {Z k } 的 Z 变换 H(z),使 (a )1

a ,a 1,N ,0,1,k a

z k

k ±≠-==

为实数 ,

(b )0

,≠-==a ,a 1,N ,0,1,k ak z k

为实数

(c )(a )和 (b )两者都行。 (d )(a )和 (b ) 两者都不行,即 Chirp-Z 变换不能计算 H(z) 在 z 为实数时的取样。 23、我们希望利用一个单位取样响应长度为 50 个取样的有限冲击响应滤波器来过滤一串很长的数据。要求利用重叠保留法通过 DFT 来实现这种滤波器。为做到这一点,(1)输入各段必须重叠 v 个样值;(2)必须从每一段产生的输出中取出 M 个样值,使这些从每一段得到的样值连接在一起时,得到的序列就是所要求的滤波输出。设输入的各段长度为 100 个样值,而 DFT 的长度为 128 个点,且设循环卷积的输出序列标号从 0 到 127 点。 (a) 求 v (b) 求 M

(b) 求取出的 M 个点之起点与终点标号,即从循环卷积的 128 点中取出哪些点去和前一段

的点衔接起来。

24、给定序列 {h(nT), n=-3,-2,…..,4,5, T = 0.15秒},如何用 FFT 计算其频普,要求分辨力大于 2 弧度/秒。

25、计算 },)({1.0 0t t f e

t

≥=

-当 的频谱,比较计算 {e

nT

1.0-中 T = 0.75 秒和

n=0,1,2,….} 的频谱,是否有明显的混叠失真吗?

26、求 {e nT

1.0-中 T = 0.75 秒和 n=0,1,2,….7} 的 DFT ,它是上题结果的最佳近似吗?

习 题

1、 求模拟系统

)

1(2

)(e

H

j a

Ω

-=

Ω+σ 对

C π

σ2=

的限带输入的数字仿真器。

2、 模拟一个微分器,其系统函数为 Ω

=Ωj H a )(,求数字仿真器的 h(n) 及 H(z)。 3、 一个采样数字处理低通滤波器如图 P4.1 所示。H(z) 的截止频率为 w c = 0.2π,整个系

统相当于一个模拟低通滤波器,今采样频率为 f s = 1KHz ,问等效模拟低通滤波器的截止频率f c 为多少?

北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案

若采样频率分别该为 fs = 5KHz ,200Hz ,而 H(z) 不变,问这时等效低通滤波器的截止频率又为多少?

4、

)3)(1(3

)(++=s s s H

a

,试用脉冲响应不变法及双线性交换法将以上模拟系统函数变为数字系统函数 H(z),采样周期为 T = 0.5。

y a (t)

5、

1

32

23)(2

+++=s s s s

H

a

,采样周期 T = 0.1,重复第 4题。

6、

11

)(2

++=s s s H

a

,采样周期 T = 2,重复第 4 题。 7、用脉冲不变法将以下 H a (s) 转换为 H(z),采样周期为 T 0。

(1)

b

a s H

a

s s a

2

2

)

()(+

+=+

(2)

)

(0)(2

s s H

A

s a

-=

(3)

)(0)(s s H

m

a

A

s -= m 为任意正整数。

8、设采样频率为 f s = 6.28318KHz ,用脉冲响应不变法设计一个三阶 Butterworth 数字低通滤波器,截止频率为 f 0 = 1KHz ,并画出该低通滤波器并联结构图。

9、用双线性变换法设计一个三阶 Butterworth 数字低通滤波器,采样频率为 f s = 1.2KHz ,截止频率为 f c = 400Hz 。

10、用双线性变换法设计一个三阶 Butterworth 数字低通滤波器,采样频率为 f s = 6KHz ,截止频率为 f c = 1.5kHz (不计 3KHz 以上的频率分量)。

11、用双线性变换法设计一个三阶 Butterworth 数字低通滤波器,采样频率为 f s = 720Hz ,上下边带截止频率分别为 f 1 = 60Hz ,f 2 = 300Hz 。

12、若 u a (t)是模拟网络 H a (s) 的阶跃响应,u d (n) 是数字网络 H(z) 的阶跃响应。如果已知 H a (s) 及 u a (t);令 u d (n) = u a (nt),这样来设计 H(z) 就称为阶跃不变法。试用阶跃不变法确定 H(z) 与 H a (s) 的关系,并与脉冲不变法比较。

13、命 h a (t)、u a (t) 和 H a (s) 分别表示一个时域连续非移变滤波器的冲激响应、阶跃响应和系统函数。令 h(n)、u d (n) 和 H(z) 分别表示一个时域离散线性非移变数字滤波器的单位取样响应、阶跃响应和系统函数。

(1) 如果 h(n) = h a (nT),是否

∑-∞==

n

k a

d

kT n h

u

)

()( ?

(2) 如果 u d (n) = u a (nT),是否 h(n) = h a (nT) ?

14、假设某时域连续滤波器是一个低通滤波器,又知

)

11

()(-+=

z z z H H

a

,于是数字滤波

器的通带中心位于 (1)w = 0 (低通)

(2)w = π(高通) (3) 除 0 或 π 以外某一频率(带通) 请选择正确答案。

习 题

1、 用矩形窗设计一个线性相移高通滤波器

???

??-≤≤≤≤-=--w w e e

H

c c a

w j w

d

w 0 w n πππ0)()(

(a ) 求 h(n) 的表达试,确定 a 和 N 的关系。

(b )问有几种类型分别属于哪一种线性相移滤波器。 (c )若该用升余弦窗设计,求出 h(n) 的表达式。 2、 线性相移高通滤波器的特性为

??

???≤<+-

<≤+<<≤≤--=----πππππππππw w 0 w j w j w w w e w e e H

c c c

a

w j c a

w j w d

,0)()()( 重复上题 (a )(b )(c )三个问题。

3、用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器

?????≤<+-<≤≤-≤-=-πw w 0 w w w w w w w w e e

H

c c 0c c jwa

w

d

00,0)(

(a ) 设计 N 为奇数时的 h(n)。 (b )设计 N 为偶数时的 h(n)。

(c )若改用改进的升余弦窗设计,求以上两种形式的 h(n) 表达式。

4、如果一个线性相位带通滤波器的频响为

e

H e

H w j B jw

B w )

()()(?=

试证明

(a )一个线性相位带阻滤波器的构成如,

[]π

?≤≤=-w 0 w e H e

H

w j B

jw

r )

()()(1

(b )试用 h B (n) 表示 h r (n)。

5、用矩形窗设计一个线性相位正交变换网络

π

<<-=-w 0 j e

e H jwa

w

d )(

(a )求 h(n) 表达式。

(b )N 为奇数好?还是 N 为偶数好?还是性能一样好?为什么? (c )若用 Kaiser 窗设计,求 h(n) 表达式。

6、用矩形窗设计一个线性相位数字微分器

π

<<-=-w 0 jw

e e H jwa

w d

)(

重复上述 (a )(b )(c )三个问题。

7、一 FIR 低通滤波器的频率幅度响应为

??

?≤≤≤=πw w w w w H

c c

d

01)(

其中 w c = 2π×500Hz ,设取样率为 2KHz ,单位取样响应长度为 30ms ,用矩形窗设计一数字滤波器,并画出其机构图。

8、用频率采用法设计一低通滤波器, N = 15,幅度取样值为

???

??====132,3,k 1,14k 0k H

k

,05.01

(a )设计取样值的相位 φ(k),并求 h(n) 及 H(e jw ) 的表达试。 (b )用横截型及采样型两种结构实现这一滤波器,画出结构图。 (c )比较两种结构所用的乘法与加法数。

9、试证明用窗函数法设计 FIR 滤波器时,对于所求的频率响应,矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。

10、试证明在求解 FIR 滤波器时,)(?

e

jw

H 的极值数 N0 约束条件为

20

N

N ≤

N 为偶数,偶对称时。 210

-≤

N N N 为奇数,奇对称时。

20

N

N

N 为奇数,偶对称时。

习 题

1、 用直接型以及正准型结构实现以下传递函数,即

(1)

2

34622

3

8

.0)(2

3

2

3

++++++=z z z H z

z

z z

(2)

z

z z z

z

z H 3

2

1

21

3315

.02

5)(-----+++-+-=

北京邮电大学《数字信号处理》习题及答案

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(3)

328

2

)(2

--+-=

z z z H z 2、 用级联型结构实现以下传递函数,即

)

81

.02728.11)(5.01()

4142

.11)(1(5)(2

1

1

2

1

1z

z

z z

z

z z H ------+--+

--

=

问一共能构成几种级联型网络。 3、 用级联型及并联型实现以下传递函数:

(1)

)

5.0)(1(5.25

.33

)(2

2

3

-+-

+-=

z z z

z H z z

z

(2) )

7071.0)(14142.1(8284

.24

)(2

2

3

++-+-=

z z z

z H z z

z

4、设滤波器的差分方程为

)

2(81

)1(43

)1(31

)()(--

-+

-+

=n y n y n x n x n y

试用直接型、正准型及全部一阶节的级联型、并联型结构实现。

5、求图 P6.1 所示结构的差分方程及传递函数。

图 6、图 P6.2 画出的几个网络,试求每一个网络的转置网络,且证明在每一种情况下原网络与转置网络的传递函数相同。

(a)

rcos θ

x(n) (b)

(a)

图 P6.2

7、 已知滤波器单位取样响应为

???≤≤= others 5

n 0 n h n

0)(2

.0 求横截型结构。

8、用横截型和级联型网络实现下面传递函数。 )1)(4142

.11()(1

2

1

z

z

z

z H ---+

+

-=

9、试问用什么结构可以实现以下单位取样响应: )7(5)3(3)()(-+--=n n n n h δδδ 10、FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周偶对称的,即 N = 6 h(0) = h(5) = 1.5 h(1) = h(4) = 2 h(2) = h(3) = 3 求滤波器的卷积结构。

11、FIR 数字滤波器的 h(n) 是圆周奇对称的,即 N = 7 h(0) = -h(6) = 3 h(1) = -h(5) = -2 h(2) = -h(4) = 3 h(3) = 0

求滤波器的卷积结构,试问这两题结构能否少用乘法器?

12、用频率采样结构实现传递函数

z z

z

z H 1

6

3

13

2

5)(------=

采样点 N = 6,修正半径 r = 0.9。

13、FIR 数字滤波器 N = 5

)4()1()()(-+--=n n n n h δδδ

计算一个 N = 5 的频率采样结构,修正半径 r = 0.9。

习 题

1、(a )将下列十进制数分别用 8 位(其中数据 7 位符号 1 位)的原码、补码、反码定点表示。

x 1 = 0.4375, x 2 = -0.4375, x 3 = 0.8515625, x 4 = -0.8515625

(b )若以下二进制数分别是原码、补码、反码时,请算出其所表示的十进制数 x 1 = 0△1001, x 2 = 0△1101, x 3 = 1△1000, x 4 = 1△1011

2、负分数的补码可表示为 (x)2 = 1△b 1b 2 …… b L (a )证明

∑=-+

-=L

n n

n

b x 110

2

)

(1

(b )证明负分数的补码代表的十进制数 (x)10 的动态范围为:-1 到(1-2-L )。 3、(a )十进制数 143 和 –143,应用 2 的补 16 位(包括符号位)定点数表示。 (b )16位(包括符号位) 2 补定点数所能代表的十进制数的范围是多少?

4、用 32 位浮点制表示数,其中 16 位存储指数,24 位存储尾数,尾数和指数的符号位分别用 1 位表示。若尾数和指数分别用原码、补码、反码表示,它们能代表的十进制数的范围是多少?

5、一个十进制数 x ,若 |x|<1 经下列处理

??

?<-≥=0x x 1x x x

20

并用 (L+1)位(其中 L 位表数据)原码表 x 0,就可得到 x 的补码表示,补码加法按如下步骤进行: (1) 所有的数都当作 (L+1) 位不带符号位的二进制数看待。 (2) 加法只是简单的二进制加法。 (3) 符号位的进位丢掉,即若和值大于 2,丢掉进行。因此它是按模 2 加法作加法的。 (a )试利用上面的方法,写出两个数 x 1 和 x 2 作补码加法的完整表示式,这里 |x 1|<1, |x 2|<1。研究所有可能的情况,即 x 1 和 x 2 各都可正可负,|x 1| 可比 |x 2| 大,也可比 |x 2| 小。 (b )试证明 x 1 和 x 2 作补码加法,等价于函数 f[x 1 + x 2]。f[ ] 如图 P7.1 所示。 (c )假设 x1 = 5/8,x2 = 3/4 和 x3 = -1/2,求各个数的补码表示,按 (x1+x2)+x3

的顺序将它们的补码数加起来。注意加法(x1+x2)中出现溢出,但最后结果仍是正确的。试证明,一般说来三个或三个以上的补码数累加求和过程中,可能多次出现益处,但如果正确和值的绝对值小于 1,最后的结果就是对的。

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6、(a )对问题1.(a) 中的定点数用 4 位数据截尾和舍入表示。 (b )计算它们相应的截尾和舍入误差。

7、设输入序列 x(n) 通过一量化器 Q[.] 的输入输出关系如图 P7.2 所示,设量化器输出

)(?n x

的形式为 )()(

)(?n e n x n x +=

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式中 e(n) 是一平稳随机过程,它在 ??

22 之间有均匀分布的一阶概率密度,它的各取样间互不相关,它与 x(n) 也独立无关。

令 x(n) 是均值为零,方差为 σ2

x 的平稳白色噪声过程。

(a )求 e(n) 的平均值、方差和自相关序列。

(b )求信号量化噪声比

σ

σ

22e

x

(c )把量化的信号 )(?n x

,用一个单位取样响应 ())(2

1)(n u n h a a n

n

??????+=

- 的数字滤

波器滤波,试确定输出端上量化噪声产生的噪声方差,和输出端的信噪比。

8、一输入序列 {x(k)},对于一切 k|x(k)| < 1,被编码为 4 位(其中一位为符号位)补码。此已量化序列经过下列传输函数表示的数字滤波器

z z z

z H 2

1

1

18

.09

.014.01)(---+--=

(a )求输入量化产生的稳态输出噪声功率。

(b )若在 (a )间中需要减少输出功率 50%,求必要的量化位数。 (c )若量化用 16 位,计算输出噪声功率。

9、研究下列传输函数

z z z

z H 2

1

1

18

.09

.014.01)(---+--=

(a )画出 H(z) 的幅频特性。

(b )若系数舍入成 4 位的定点表示,计算传输函数系数量化后的极点和它的幅频特性。

10、一个二阶 IIR 网络的传输函数

)7

.01)(9

.01(34.04.0)(1

1

1

z z z

z H ------=

用 6 位字长的定点制运算,尾数作舍入处理。

(a )分别计算直接型、级联型、和并联型结构的输出舍入噪声。 (b )比较以上不同结构,哪一种运算精度高,哪一种最差?

11、一个数字滤波器其传输函数如下

2

1

2

2

12)(b

z b z z H z z ++++=

其中 r 2

2b ,r

b =

-=21 (a )用典型的级联型结构实现,试求灵敏度 S b1(z) 和 S b2(z)。

(b )假设它是用定点运算实现,而且系数采用舍入量化方式。试计算量化台阶为 0.05, 0.7《r 《0.95 时的统计字长 L(w),假定 △M max (w) = 0.02zx 1 = 2。

12、设有一数字均衡器的传输函数为

8

1

012

12

01

)(=++++=

i i

i

i

i a a z a z a z z z H

其中 a 0i 和 a 1i 给在下表中

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