深圳市南山外国语学校2012—2013学年度第一学期
高二年级期中考试数学试卷
命题人：郭建华 审题人：韩国勤 张国明
（说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题5分，共50分） 1、设a < b < 0，则下列不等式中不成立的是（ ） A .
11a b > B .11a b a
>- C .a b >- D
> 2、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式是（ ） A .21n - B .()()121n
n -- C .()()112n n -- D .()()121n
n -+
3、
1111122334910++++=????（ ） A .110 B .310 C .35 D .910
4、ABC 为钝角三角形，a = 3，b = 4，c = x ，C 为钝角，则x 的取值范围是（ ）
A .5 < x < 7
B . x < 5
C .1 < x < 5
D .
1 < x < 7 5、在
ABC 中，
已知A = 30°，a = 5，b =解此三角形，得到三角形的个数为（ ） A .0 B .1 C .2 D .3 6、已知等差数列{}n a 中，592a a +=，则13S =（ ）
A .11
B .12
C .13
D .不确定 7、已知在
ABC 中，
cos cos c C
b B
=，则此三角形的形状是（ ） A .直角三角形 B .等腰直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰或直角三角形 8、在R 上定义运算?：()1x y x y ?=-，若不等式()()1x a x a -?+<对任意实数x 成、 立，则实数a 的取值范围是（ ）
A .11a -<<
B .02a <<
C .1322a -
<< D .31
22
a -<< 9、设n S 、n T 分别为等差数列{}n a 、{}n
b 的前n 项和，若
4225n n S n T n +=-，则1111
a
b =（ ） A .
2337 B .8437 C .4617 D .86
37
10、若实数x 、y 满足10
02
x y x y -+??
>???
≤≤，则y x 的取值范围是（ ）
A .()0,2
B .(]0,2
C .()2,+∞
D .[)2,+∞
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11、已知54x <
，则函数14245
y x x =-+-的最大值为_______. 12、若数列{}n a 为正项递增等比数列，n T 表示其前n 项的积，且84T T =，当n T 取最小值时， n 的值等于_______.
13、已知数列{}n a 中11a =，13
n
n n a a a +=
+，则n a =____________. 14、若不等式2
0ax bx c ++>的解集为1123x x ??
-
<
，则20cx bx a ++>的解集是 __________________.
三、解答题（本大题共6个小题，共60分） 15、（本小题满分12分）在ABC 中，A = 120°，c > b
，a =3ABC
S
=，求b,c .
16、（本小题满分14分）已知数列(){}2log 1n a -，()
*n ∈N 为等差数列，且13a =，39a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和.
17、（本小题满分12分）深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出
问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？ 18、（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠所对的
边，向量()
2
2
2
u a c b =+-，()cos ,sin v B B =，且//u v .
（1）求角B ；（6分） （2）求sinA + sinC 的最大值.（8分）
19、（本小题满分14分）已知函数()2
1
ax f x ax =-.
（1）当a = 1时，解关于x 的不等式()f x x >； （2）当a ∈R 时，解关于x 的不等式()f x x >.
20、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22,1,2,3,n n S a n =-=，
数列{}n b 中，11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设n n n c a b =?，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求满足167n T <的最大正整数n .
答 案
一、选择题 1—5 BCDAA 6—10CCCDD 二、填空题 11、1 12、12 13、
231
n - 14、{}
23x x -<< 三、解答题 15
、11sin sin1204224
ABC
S
bc A bc bc ?====?= 由余弦定理有的推论有： ()()2
2
2222
2291
cos 52282
b c bc a b c b c a A b c bc
bc +--+-+-=
=
==-?+=
又c > b ， ∴b = 1，c = 4
16、（1）等差数列(){}
2log 1n a -的公差为 ()()232122log 1log 1log 8log 2
1312
a a d ----=
==-
∴()()()221log 1log 1121n n n a a n d n a -=-+-=?=+
（2）由（1）知21n
n a =+
∴()()()()()1212212121222111n n n S =++++
++=++++++
+
()12122212
n n n n +-=
+=+--
17、设空调和冰箱的月供应量分别为x 台、y 台时，总利润最大，则有
03020300510110
x y x y x y ?
???+??+?≥≥≤≤
作出可行域，如图中阴影部分所示 总利润为68z x y =+，
作直线l ：6x + 8y = 0，平移直线l ， 当平移到l ’位置时，
z 取得最大值.
解方程组3020300510110
x y x y +=??
+=?得4
9x y =??=? ∴max 648996z =?+?=，即 空调4台、冰箱9台时，总利润最大. 18、（1）(
)
222//sin cos 0u v B a c b B ??+--=，变形整理如下
222222cos cos sin sin 233B a c b B B B B ac ac π
+-===?=?=
（2）∵
ABC 为锐角三角形
∴0202A C ππ?<
?<
022032A A πππ
?
<
?<-
故,62A ππ??∈ ??? ∴sin sin sin sin sin sin 33A C A A A A π
ππ???
?+=+-
-
=++ ? ??
??
? 13sin sin sin 2
2A A A A
A =+
+=
1cos 26A A A π???=+=+? ?????
∵,62
A ππ??
∈
???
∴2,
633A πππ??+∈ ??? 3
62A π???+∈ ? ??? 即 3sin sin 2A C ?+∈ ? 19、（1）当x = 1时
()()2221000101111
x x x x x x
x x x x x x x x -->?->?>?>?->---- 解得x < 0或x > 1，故不等式的解集为{}
01x x x <>或 （2）当x = 1时
()()2221000101111
ax x ax ax ax x
x x x ax ax ax ax ax -->?->?>?>?->---- ①当a < 0时，不等式的解集为10x
x a ??
<
②当a = 0时，不等式的解集为{}
0x x < ③当a < 0时，不等式的解集为10x x x a ??<>
????
或 20、（1）当2n ≥时，由22n n S a =-有：1122n n S a --=-，两式相减得 ()111222222n n n n n n S S a a a a ----=---=-
即()112232n n n n n a a a a a n --=-?=≥ ∴()12222n n n a n -=?=≥
对22n n S a =-，令n = 1，可求得1
122a == ∴()
1*222n n n a n -=?=∈N
点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，则有11202n n n n b b b b ++-+=?-= 即数列{}n b 是公差为2的等差数列 ∴()12121n b n n =+-=- （2）()212n n n n c a b n =?=-? ∴()123123252212n n T n =?+?+?++-?
()()23121232232212n n n T n n +=
?+?+
+-?+-?
两式相减得：(
)()()2311222222123226n n n n T n n ++-=++++--?=-?-
∴()12326n n T n +=-?+
∵()2120n n c n =-?> ∴n T 随着n 的增大而增大
而4166T =，5167T >，∴满足167n T <的最大正整数n 是4.
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