[考试标准]
知识内容
必考要求
加试要求
圆周运动、向心加速度、向心力
d d 生活中的圆周运动
c
考点一 圆周运动中的基本概念
1.线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量. v ＝Δs Δt ＝2πr T
.
2.角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量. ω＝ΔθΔt ＝2πT
.
3.周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量. T ＝2πr v ，T ＝1f
.
4.向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量. a n ＝v 2r ＝rω2
＝ωv ＝4π2
T
2r .
5.相互关系：(1)v ＝ωr ＝2π
T r ＝2πrf .
(2)a n ＝v 2r ＝rω2＝ωv ＝4π2
T 2r ＝4π2f 2r . [思维深化]
1.匀速圆周运动和匀速直线运动中的两个“匀速”的含义相同吗？有什么区别？ 答案 不同.前者指线速度的大小不变，后者指速度的大小和方向都不变.
2.判断下列说法是否正确.
(1)匀速圆周运动是匀变速曲线运动.( × )
(2)做匀速圆周运动的物体所受合外力大小、方向都保持不变.( × ) (3)做匀速圆周运动的物体角速度与转速成正比.( √ )
1.[链条传动]图1是自行车传动装置的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s ，则自行车前进的速度为( )
图1
A.πnr 1r 3r 2
B.πnr 2r 3r 1
C.2πnr 2r 3r 1
D.2πnr 1r 3r 2
答案 D
解析 因为要计算自行车前进的速度，即车轮Ⅲ边缘上的线速度的大小，根据题意知：轮Ⅰ和轮Ⅱ边缘上的线速度的大小相等，据v ＝rω可知：r 1ω1＝r 2ω2，已知ω1＝ω，则轮Ⅱ的角速度ω2＝r 1
r 2ω，因为轮Ⅱ和轮Ⅲ共轴，所以转动的角速度相等即ω3＝ω2，根据v ＝rω可知，
v 3＝r 3ω3＝ωr 1r 3r 2＝2πnr 1r 3
r 2
.
2.[皮带传动](多选)如图2所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A
2
，若在传动过程中，皮带不打滑.则( )
图2
A.A 点与C 点的角速度大小相等
B.A 点与C 点的线速度大小相等
C.B 点与C 点的角速度大小之比为2∶1
D.B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4 答案 BD
解析 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等.对于本题，显然v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，选项B 正确；根据v A ＝v C 及关系
式v ＝ωR ，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R C ＝R A 2，所以ωA ＝ωC
2，选项A 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA
＝ωC 2，可得ωB ＝ωC 2，即B 点与C 点的角速度大小之比为1∶2，选项C 错误；根据ωB ＝ωC
2及关系式a ＝ω2R ，可得a B ＝a C
4，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D 正
确.
3.[摩擦传动]如图3所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来.a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在运动过程中的( )
图3
A.线速度大小之比为3∶2∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.向心加速度大小之比为9∶6∶4 答案 D
解析 A 、B 轮摩擦传动，故v a ＝v b ，ωa R A ＝ωb R B ，ωa ∶ωb ＝3∶2；B 、C 同轴，故ωb ＝ωc ，v b R B ＝v c
R C ，v b ∶v c
＝3∶2，因此v a ∶v b ∶v c ＝3∶3∶2，ωa ∶ωb ∶ωc ＝3∶2∶2，故A 、B 错误.转速之比等于角速度之比，故C 错误.由a ＝ωv 得：a a ∶a b ∶a c ＝9∶6∶4，D 正确.
传动问题的类型及特点
1.传动的类型
(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等). 2.传动装置的特点
(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等.
考点二 圆周运动中的动力学分析
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力. 2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力，就是向心力. 3.向心力的公式
F n ＝ma n ＝m v 2r ＝mω2
r ＝mr 4π2
T 2＝4π2mrf 2.
4.匀速圆周运动的条件
当物体所受的合外力(大小恒定)始终与速度方向垂直时，物体做匀速圆周运动，此时向心力由物体所受合外力提供. 5.合力与向心力的关系 (1)若F 合＝mω2r 或F 合＝m v 2
r
，物体做匀速圆周运动，即“提供”恰好满足“需要”.
(2)若F 合
>mω2r
或F 合>m v 2
r
，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”
大于“需要”. (3)若F 合
或F 合 r ，则物体做半径变大的离心运动，即“需要”大于“提供”或“提 供不足”. (4)若F 合＝0，则物体由于惯性沿切线方向做匀速直线运动. [思维深化] 判断下列说法是否正确. (1)做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力时，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用.( × ) (2)做圆周运动的物体所受到的合外力不一定等于向心力.( √ ) (3)做圆周运动的物体所受合外力突然消失，物体将沿圆周的半径方向飞出.( × ) (4)在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯.( × ) (5)火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大.( √ ) (6)飞机在空中沿半径为R 的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态.( √ ) 4.[圆周运动的动力学问题]如图4所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为() 图4 A.μgr B.μg C.g r D. g μr 答案 D 解析对物块受力分析知F f＝mg，F n＝F N＝mω2r，又由于F f≤μF N，所以解这 三个方程得角速度ω至少为g μr ，D选项正确. 5.[圆周运动的动力学问题]在云南省某些地方到现在还要依靠滑铁索过江，若把这滑铁索过江简化成如图5所示的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，A、B间的距离为L ＝80 m，铁索的最低点离A、B连线的垂直距离为H＝8 m，若把铁索看做是圆弧，已知一质量m＝52 kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点时的速度为10 m/s，那么() 图5 A.人在整个铁索上的运动可看成是匀速圆周运动 B.可求得铁索的圆弧半径为100 m C.人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为570 N D.人在滑到最低点时，滑轮对铁索的压力为50 N 答案 C 解析人借助滑轮下滑过程中，其速度是逐渐增大的，因此人在整个铁索上的运动不能看成 匀速圆周运动；设圆弧的半径为r，由几何关系，有：(r－H)2＋(L 2) 2＝r2，解得r＝104 m； 人在滑到最低点时，根据牛顿第二定律得：F N－mg＝m v2 r ，解得F N＝570 N，选项C正确. 6.[交通工具的转弯问题](多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图6，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v c时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处() 图6 A.路面外侧高内侧低 B.车速只要低于v c，车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于v c，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v c的值变小 答案AC 解析当汽车行驶的速度为v c时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确.当速度稍大于v c时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确.同样，速度稍小于v c时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误.v c 的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误. 7.[相对滑动的临界问题](多选)如图7所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是() 图7 A.b一定比a先开始滑动 B.a、b所受的摩擦力始终相等 C.ω＝kg 2l是b开始滑动的临界角速度 D.当ω＝2kg 3l时，a所受摩擦力的大小为kmg 答案AC 解析小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2R.当角速度增加时， 静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：f a＝mω2a l，当f a＝kmg 时，kmg＝mω2a l，ωa＝kg l ；对木块b：f b＝mω2b·2l，当f b＝kmg时，kmg＝mω2b·2l，ωb ＝kg 2l ，所以b先达到最大静摩擦力，选项A正确；两木块滑动前转动的角速度相同， 则f a＝mω2l，f b＝mω2·2l，f a 2l 时b刚开始滑动，选项C正确； 当ω＝2kg 3l 时，a没有滑动，则f a＝mω2l＝2 3kmg，选项D错误. 圆周运动中动力学问题的分析技巧 1.解决圆周运动问题的主要步骤 (1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度是否变化、轨道平面、圆心位置、半径大小等； (3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程. 2.常见的三种临界情况 (1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0. (2)两物体相接触相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值. (3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是：F T＝0. 考点三竖直面内圆周运动的临界问题 1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”. 2.绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型杆模型 常见 类型 均是没有支撑的小球均是有支撑的小球 过最高 点的临 界条件 由mg＝m v2 r 得v临＝gr 由小球恰能做圆周运动得v临＝0 讨论 分析 (1)过最高点时，v≥gr， F N＋mg＝m v2 r，绳、圆轨 道对球产生弹力F N (2)不能过最高点时， v 小球已经脱离了圆轨道 (1)当v＝0时，F N＝mg，F N为支持力，沿半径背离圆心 (2)当0 v2 r，F N背离圆心，随v 的增大而减小 (3)当v＝gr时，F N＝0 (4)当v>gr时，F N＋mg＝m v2 r，F N指向圆心并随v的增 大而增大 8.[过山车的分析](多选)如图8所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是() 图8 A.甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力 B.乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力 C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力 D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR 答案BC 解析在甲图中，当速度比较小时，根据牛顿第二定律得，mg－F N＝m v2 R ，即座椅给人施加 向上的力，当速度比较大时，根据牛顿第二定律得，mg＋F N＝m v2 R ，即座椅给人施加向下的 力，故A 错误；在乙图中，因为合力指向圆心，重力竖直向下，所以安全带一定给人向上的力，故B 正确；在丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，合力方向向上，重力竖直向下，则座椅给人的作用力一定竖直向上，故C 正确；在丁图中，由于轨道车有安全锁，可知轨道车在最高点的最小速度为零，故D 错误. 9.[杆模型的分析]长度为1 m 的轻杆OA 的A 端有一质量为2 kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，小球通过最高点时的速度为3 m /s ，g 取10 m/s 2，则此时小球将( ) 图9 A.受到18 N 的拉力 B.受到38 N 的支持力 C.受到2 N 的拉力 D.受到2 N 的支持力 答案 D 解析 设此时轻杆拉力大小为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2 r ，代入数值可得F ＝－2 N ， 表示受到2 N 的支持力，选项D 正确. 10.[绳模型分析](多选)如图10所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r ＝0.4 m ，最低点处有一小球(半径比r 小很多)，现给小球一水平向右的初速度v 0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v 0应当满足(取g ＝10 m/s 2)( ) 图10 A.v 0≥0 B.v 0≥4 m/s C.v 0≥2 5 m/s D.v 0≤2 2 m/s 答案 CD 解析 当v 0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg ≤m v 2 r ， 又根据机械能守恒定律有12m v 2＋2mgr ＝12m v 2 ，得v 0≥2 5 m/s ，C 正确.当v 0较小时，小球 不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr ＝12 m v 2 0，得v 0≤2 2 m/s ，D 正确. 11.[拱桥分析]如图11所示，质量为1 t 的汽车驶上一个半径为50 m 的圆形拱桥，当它到达桥顶(A 点)时的速度为5 m /s ，此时车对桥面的压力为________N.此时汽车处于________(填“超重”或“失重”)状态.(g ＝10 m/s 2) 图11 若汽车接下去行驶遇到一段水平路面和凹形桥面，则在A 、B 、C 三点中，司机为防止爆胎，需要在到达________(填“A ”或“B ”或“C ”)点前提前减速；为了防止汽车腾空离地，需要在到达________(填“A ”或“B ”或“C ”)点前提前减速. 答案 9 500 失重 C A 解析 在A 点时汽车受重力和支持力，二者的合力提供向心力，mg －F N ＝m v 2 R ， 代入数据得：F N ＝9 500 N 由牛顿第三定律，车对桥的压力F N ′＝F N ＝9 500 N 因为A 点加速度向下，故处于失重状态，在C 点处于超重状态，故更容易爆胎. 12.[凹形桥分析]某物理小组的同学设计了一个粗糙玩具小车通过凹形桥最低点时的速度的实验.所用器材有：玩具小车、压力式托盘秤、凹形桥模拟器(圆弧部分的半径为R ＝0.20 m). 图12 完成下列填空： (1)将凹形桥模拟器静置于托盘秤上，如图12(a)所示，托盘秤的示数为1.00 kg ； (2)将玩具小车静置于凹形桥模拟器最低点时，托盘秤的示数如图(b)所示，该示数为___ kg ； (3)将小车从凹形桥模拟器某一位置释放，小车经过最低点后滑向另一侧，此过程中托盘秤的最大示数为m ；多次从同一位置释放小车，记录各次的m 值如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 m (kg) 1.80 1.75 1.85 1.75 1.90 (4)根据以上数据，可求出小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为________ N ；小车通过最低点时的速度大小为________ m /s.(重力加速度大小取9.80 m/s 2，计算结果保留2位有效数字) 答案 (2)1.40 (4)7.9 1.4 解析 (2)由题图(b)可知托盘秤量程为10 kg ，指针所指的示数为1.40 kg. (4)由多次测出的m 值，利用平均值可求m ＝1.81 kg.而模拟器的重力为G ＝m 0g ＝9.8 N ，所以小车经过凹形桥最低点时对桥的压力为F N ＝mg －m 0g ≈7.9 N ；根据径向合力提供向心力，即7.9 N －(1.40－1.00)×9.8 N ＝(1.40－1.00)v 2R ，解得v ≈1.4 m/s. 竖直面内圆周运动类问题的解题技巧 1.定模型：首先判断是绳模型还是杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. 2.确定临界点：抓住绳模型中最高点v ≥gR 及杆模型中v ≥0这两个临界条件. 3.研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. 4.受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F 合 ＝F 向. 5.过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程. 练出高分 基础巩固题组 1.当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应( ) A.以尽可能小的速度通过桥顶 B.增大速度通过桥顶 C.以任何速度匀速通过桥顶 D.使通过桥顶的向心加速度尽可能小 答案 B 解析 设质量为m 的车以速度v 经过半径为R 的桥顶，则车受到的支持力F N ＝mg －m v 2 R ， 故车的速度v 越大，压力越小.而a ＝v 2 R ，即F N ＝mg －ma ，向心加速度越大，压力越小，综 上所述，选项B 符合题意. 2.如图1所示，杂技演员在表演“水流星”的节目时，盛水的杯子经过最高点杯口向下时， 水也不洒出来.关于杯子经过最高点时水的受力情况，下列说法正确的是( ) 图1 A.水处于失重状态，不受重力的作用 B.水受一对平衡力的作用，合力为零 C.由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用 D.杯底对水的作用力可能为零 答案 D 3.如图2所示，一偏心轮绕垂直纸面的轴O 匀速转动，a 和b 是轮上质量相等的两个质点，则偏心轮转动过程中a 、b 两质点( ) 图2 A.角速度大小相同 B.线速度大小相同 C.向心加速度大小相同 D.向心力大小相同 答案 A 解析 同轴转动角速度相等，A 正确；由于两者半径不同，根据公式v ＝ωr 可得两点的线速度不同，B 错误；根据公式a ＝ω2r ，角速度相同，半径不同，所以向心加速度不同，C 错误；根据公式F ＝ma ，质量相同，但是加速度不同，所以向心力大小不同，D 错误. 4.(多选)如图3所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑.下列说法正确的是( ) 图3 A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 C.从动轮的转速为r 1 r 2 n D.从动轮的转速为r 2 r 1 n 答案 BC 解析 主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A 项错误，B 项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v ＝2πrn ，可得两轮转速与半径成反比，所以C 项正确，D 项错误. 5.冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为( ) A.v ＝k Rg B.v ≤kRg C.v ≤2kRg D.v ≤ Rg k 答案 B 解析 水平冰面对运动员的摩擦力提供他做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v 满足：kmg ≥m v 2 R ，解得v ≤kRg . 6.质量为m 的小球在竖直平面内的圆管中运动，小球的直径略小于圆管的口径，如图4所示.已知小球以速度v 通过圆管的最高点时对圆管的外壁的压力恰好为mg ，则小球以速度v 2通过 圆管的最高点时( ) 图4 A.对圆管的内、外壁均无压力 B.对圆管外壁的压力等于mg 2 C.对圆管内壁的压力等于mg 2 D.对圆管内壁的压力等于mg 答案 C 解析 小球以速度v 通过圆管的最高点时，由牛顿第二定律得2mg ＝m v 2R ，假设小球以速度 v 2通过圆管的最高点时受到的压力向下，其大小为F N ，则有mg ＋F N ＝m (v 2 )2R ，联立解得F N ＝ －mg 2 ，上式表明，小球受到的压力向上，由牛顿第三定律知，小球对圆管内壁有向下的压 力，大小为mg 2 ，选项C 正确. 7.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图5所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m /s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( ) 图5 A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B 解析 “水流星”在最高点的临界速度v ＝gR ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B. 8.如图6所示，一内壁光滑、质量为m 、半径为r 的环形细圆管，用硬杆竖直固定在天花板上.有一质量为m 的小球(可看做质点)在圆管中运动.小球以速率v 0经过圆管最低点时，杆对圆管的作用力大小为( ) 图6 A.m v 20r B.mg ＋m v 2 0r C.2mg ＋m v 2 0r D.2mg －m v 2 0r 答案 C 解析 以球为研究对象，根据牛顿第二定律得，F N －mg ＝m v 20r ，解得F N ＝mg ＋m v 2 0r ，由牛 顿第三定律知：球对圆管的作用力大小F N ′＝F N ＝mg ＋m v 2 0r ，方向向下.再以圆管为研究对象， 由平衡条件可得：杆对圆管的作用力大小F ＝mg ＋F N ′＝2mg ＋m v 20 r . 9.(多选)摩天轮顺时针匀速转动时，重为G 的游客经过图7中a 、b 、c 、d 四处时，座椅对其竖直方向的支持力大小分别为F N a 、F N b 、F N c 、F N d ，则( ) 图7 A.F N a B.F N b >G C.F N c >G D.F N d 答案 AC 能力提升题组 10.如图8甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F －v 2图象如图乙所示.则下列说法错误的是( ) 图8 A.小球的质量为aR b B.当地的重力加速度大小为R b C.v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D.v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 B 解析 当弹力F 方向向下时，F ＋mg ＝m v 2R ，解得F ＝m R v 2－mg ，当弹力F 方向向上时，mg －F ＝m v 2R ，解得F ＝mg －m v 2R ，对比F －v 2图象可知，b ＝gR ，a ＝mg ，联立解得g ＝b R ，m ＝aR b ，选项A 正确，B 错误；v 2＝ c 时，小球对杆的弹力方向向上，选项C 正确；v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，选项D 正确. 11.如图9所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m 1、m 2的小球A 和B ，让B 球悬挂，A 球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周 运动，角速度为ω，半径为r ，则关于r 和ω关系的图象正确的是( ) 图9 答案 B 解析 根据m 2g ＝m 1rω2得：r ＝m 2g m 1·1ω2，可知r 与1 ω2成正比，与ω2成反比.故A 错误，B 正 确.因为1r ＝m 1m 2g ω2，则1 r 与ω2成正比.故C 、D 错误. 12.(多选)如图10所示，质量为m 的物体，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v ，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( ) 图10 A.受到的向心力为mg ＋m v 2 R B.受到的摩擦力为μm v 2 R C.受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2 R ) D.受到的合力方向斜向左上方 答案 CD 解析 物体在最低点做圆周运动，则有F N －mg ＝m v 2R ，解得F N ＝mg ＋m v 2 R ，故物体受到的 滑动摩擦力F f ＝μF N ＝μ(mg ＋m v 2 R )，A 、B 错误，C 正确.物体受到竖直向下的重力、水平向 左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D 正确. 13.(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图11所示，已知绳长为l ，重力加速度为g ，则( ) 图11 A.小球运动到最低点Q 时，处于失重状态 B.小球初速度v 0越大，则在P 、Q 两点绳对小球的拉力差越大 C.当v 0>6gl 时，小球一定能通过最高点P D.当v 0 解析 小球在最低点时，重力与拉力的合力提供向心力，所以小球受到的拉力一定大于重力，小球处于超重状态.故A 错误；设小球在最高点的速度为v 1，最低点的速度为v 2.由动能定理得： mg ·2l ＝12m v 22－12 m v 21① 小球经过最高点P ：mg ＋F 1＝m v 2 1l ② 小球经过最低点Q 时，受重力和绳子的拉力，如图 根据牛顿第二定律得到， F 2－mg ＝m v 2 2l ③ 联立①②③解得：F 2－F 1＝6mg ，与小球的速度无关.故B 错误；小球恰好 经过最高点P ，速度取最小值，故只受重力，重力提供向心力：mg ＝m v 23 l ，得：v 3＝gl ④ 小球以v 0向上运动到最高点时，由动能定理得：mg ·2l ＝12m v 20－12 m v 2 4⑤ 得：当v 0>6gl 时，v 4>2gl >gl ＝v 3，所以小球一定能够过最高点P .故C 正确；若v 0 2.小球上升 的最高点尚达不到与O 水平的高度，所以细绳始终处于绷紧状态.故D 正确. 14.如图12，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动.现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ， 物块平抛落地过程水平位移的大小x ＝0.4 m.设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取10 m/s 2.求： 图12 (1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案 (1)1 m/s (2)0.2 解析 (1)物块做平抛运动，竖直方向有H ＝1 2gt 2① 水平方向有x ＝v 0t ② 联立①②两式得v 0＝x g 2H ＝1 m/s ③ (2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有 μmg ＝m v 2 0R ④ 联立③④得μ＝v 2 0gR ＝0.2 15.如图13所示，竖直平面内的3 4圆弧形不光滑管道半径R ＝0.8 m ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点为管道的最高点且在O 的正上方.一个小球质量m ＝0.5 kg ，在A 点正上方高h ＝2.0 m 处的P 点由静止释放，自由下落至A 点进入管道并通过B 点，过B 点时小球的速度v B 为4 m /s ，小球最后落到AD 面上的C 点处.不计空气阻力，g 取10 m/s 2.求： 图13 (1)小球过A 点时的速度v A 的大小； (2)小球过B 点时对管壁的压力； (3)落点C 到A 点的距离. 答案 (1)210 m/s (2)5 N ，方向竖直向上 (3)0.8 m 解析 (1)对小球由自由落体运动规律可得 2gh ＝v 2A 解得v A ＝210 m/s. (2)小球过B 点时，设管壁对其压力为F ，方向竖直向下，由向心力公式有F ＋mg ＝m v 2B R 解得F ＝5 N ，方向竖直向下 由牛顿第三定律可知小球对管壁的压力为5 N ，方向竖直向上. (3)从B 到C 的过程中，由平抛运动规律可得 x ＝v B t R ＝12 gt 2 x AC ＝x －R ＝0.8 m.
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