江苏省上冈高级中学2011～2012学年度第一学期期末考试
高二数学试卷（理科）
（考试时间：120分钟 总分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.抛物线24y x =的准线方程是 . 2.命题“01,2>+∈?x R x ”的否定是 ．
3.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2
221x y a
-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：
210x y -+=垂直，则实数=a .
4.在等差数列}{n a 中，已知13,2321=+=a a a ,则=++654a a a ．
5.若△ABC 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,满足4)(2
2=-+c b a ，且角C=60°，则ab 的值为 ．
6.原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2
”则它的逆命题的真假为 ．
7．若方程
22
171
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 8.在数列}{n a 中，Bn An a a a n a n n +=+++-
=221,2
5
4 ，*N n ∈，其中B A ,为常数，则B A ,的积AB 等于 ．
9.在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60o，则向量的长=||AM ．
10.已知023:)(2
>++x ax x P ，若)(,x P R x ∈?是真命题，则实数a 的取值范围是___． 11.椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足
线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．
12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．
13.给出下列四个命题：①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b ；②若a ＞b ＞0，则a －1a ＞b －1
b ；③若 a ＞b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④若a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1
b 的最小值为9.
其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)
14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (n ∈N *)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数. 那么n 的最大值是 ．
二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写出．．．．．必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分）
已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n a
n ∈=，且11=a ，
（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若1
1
+=
n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和
16．(本题满分14分）
已知△ABC 中，D 在边BC 上，且60,1,2=∠==B DC BD o ，150=∠ADC o
．
（1）求AC 的长；
（2）求△ABC 的面积．
17．(本题满分14分）
如图，正三棱锥ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a
，M 是A 1B 1的中点．
（I ）求证：1MC 是平面ABB 1A 1的一个法向量； （II ）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．
18．(本题满分16分）
已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3
2 )。
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M 。问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点? (3)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值。
19．(本题满分16分）
设实数y x ,满足不等式组??
?-≥+≤+≤.
|32|2,
41x y y x
A
A 1
C
B 1
C 1
B
M
(1)画出点),(y x 所在的平面区域，并在区域中标出边界所在直线的方程； (2)设1->a ，在(1)所求的区域内，求函ax y -的最大值和最小值．
20．(本题满分16分）
已知数列{}n a 满足：1n
a ≠±，112
a =，2213(1)2(1)n n a a +-=-，记数列2
1n n
b a =-，22
1n n n c a a +=-（n N *∈）.
（1）证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式；
（3）是否存在数列{}n c 的不同项,,i j k c c c （i j k <<）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项,,i j k c c c （i j k <<）；若不存在，请说明理由．
2011～2012学年度第一学期高二年级期末考试
数 学 答 案（理科）
（考试时间：120分钟 总分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．
. 1. 1-=x 2. 01,2
≤+∈?x R x 3. 2 4. 42 5.
3
4
6.真 7． 74< 2 11 10.89>a 11. [1 2，1) 12. 15 13. ②④ 14. 14 二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写出．．．．．必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分） 15. 解：1）1 111333,13n n n n a a a n n n a n b a a b ++-++===∴-=，……………………… 6分 即 {}n a 为等差数列. …………………………………………… 7分 （2）11111111111,11 n n n n n n n n n C S n a a a a a a a ++++= =-∴=-=-=+.………… 14分 16．(本题满分14分） 16. 解：在△ABC 中，∠BAD ＝150o －60o ＝90o ，∴AD ＝2sin60o ＝3．……… 4分 在△ACD 中，AD 2＝(3)2＋12－2×3×1×cos150o ＝7，∴AC ＝7．…… 10分 ∴AB＝2cos60o ＝1．S △ABC ＝21×1×3×sin60o ＝34 3． ………… 14分 17．(本题满分14分） 17（1）如图，以点 A 为坐标原点，平面ABC 为xOy 平面， AB 方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则A （０，０，０），B （a ，０，０），B 1（a ）， M （ 2a ），C 1（2a ）。 所以AB ),0,0,(a = 1 BB 1),,0 MC ??== ? ?。……5分 因为,10=?AB MC ,110=?BB MC 所以1MC AB ⊥，11MC BB ⊥， 从而1MC ⊥平面ABB 1A 1. 故1MC 是平面11A ABB 的一个法向量. ……9（II ）1AC ,22a ?? = ? ??? 。 因为11AC MC ?23,0,24 a a ????=?= ? ? ? ????? 又因为1MC a 2 3 = ,13AC a =， 所以111 cos ,2 MC AC <>= ，即11,60MC AC <>=. ……… 13分 故1AC 与侧面11A ABB 所成的角为30. ……………………14分 18．(本题满分16分） 【解】：(1)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3 2 )， ∴?????a 2-b 2 a =1 2 1 a 2 +9 4b 2 =1 ，即 ?????3a 2-4b 2=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ???? ?a 2=4b 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 2 4 +y 2 3 =1。 …………………………… 5分 (2)易求得F (1，0)。设M (x 0，y 0)，则 x 02 4 + y 0 2 3 =1， 圆M 的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=(1-x 0)2+y 02， 令x =0，化简得y 2-2y 0y +2x 0-1=0，⊿=4y 02-4(2x 0-1)2＞0……①。 将y 02 =3(1- x 0 2 4 )代入①，得3x 02+8x 0-16＜0， 解出 -4＜x 0＜4 3 。 …………………………… 10分 (3)设D (0，y 1)，E (0，y 2)，其中y 1＜y 2。由(2)，得 DE = y 2- y 1=4y 02-4(2x 0-1) =-3x 02-8x 0+16 =-3(x 0+4 3 )2+64 3 ， …………………………… 15分 当x 0=-4 3 时，DE 的最大值为83 2 。…………………………… 16分 19．(本题满分16分） 19. 解析：(1)已知的不等式组等价于 ????? 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，2x －3≥0，或???? ? 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，2x －3＜0. …………………………… 2分 解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1. ……………………… ……… 4分 …………………………………… 8分 (2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． ∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大．