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初中数学竞赛中的构造法

初中数学竞赛中的构造法
初中数学竞赛中的构造法

初中数学面积法

F G E 图 2 A C B D 面积法 1、常见规则图形的面积公式; 2、等积定理; 3、面积比定理。 A 卷 1、如图1,凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、1 2、13,?=∠90ABC ,则四边形ABCD 的面积为 . 答案:36 考点:勾股定理;勾股定理的逆定理。 分析:连接AC ,在ABC Rt ?中,已知AB 、BC 根据勾股定理可以求得5=AC ,在ACD ?中,222AD CD AC =+,根据勾股定理的逆定理确定ACD ?为直角三角形,四边形ABCD 的面积为 ACD ?和ABC Rt ?面积之和。 解答:连接AC ,在ABC Rt ?中,3=AB ,4=BC ,则 522=+=BC AB AC 又∵222AD CD AC =+ ∴ACD ?为直角三角形 ∴ABC Rt ?的面积为64321=??,ACD Rt ?的面积为3012521 =?? ∴四边形ABCD 的面积为ACD ?和ABC Rt ?面积之和,36630=+=S 故答案为 36. 点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了直角三角形面积的计算,本题中判定ACD ?为直角三角形是解题的关键。 2、如图2,已知ABC ?中,D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点,且CG BD =,BD GF DE 2 1 = =, DE EF 3=,若1=?ABC S ,则图中所有三角形的面积之和为 . 答案:7 考点:三角形面积与底的正比关系。 分析:如图所示的所有三角形都具有相等的高,于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题。 解答:因为所有线段长之和是BC 的n 倍 ∴图中所有三角形面积之和就是ABC S ?的n 倍 设1==GF DE ,则2==CG BD ,3=EF ,9=BC ∴图中共有1554321=++++个三角形 则它们在线段BC 上的底边之和为: 图 1 A C B D

初中数学竞赛专题:几何不等式与极值问题

初中数学竞赛专题:几何不等式与极值问题 17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值. 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90?≥,故有()490360n -??,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证:AB AC PB PC -<-. P C D B A 解析 易知AB AC PB PC +>+, 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-, 故有AB AC PB PC -<-. 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况. 17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值. C B O D A 解析 易知 ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +△△≥, 且当ABO CDO S S =△△(此时四边形ABCD 为一梯形)时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 17.1.4★ 已知:直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =. (1)求证:BC h AB AC +>+;

(2)求()()2 2BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?, 由条件,知242ABC BC h S AB AC ?==?△,且222AB AC BC +=, 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意:这同时解决了(1)和(2). 17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面 积的最小值. B F C E D A 解析设 BF x =,()4DE y x ==-,则()()()1 1 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2 144 xy x y +=≤。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥. 当2BF ED ==时达到最小值. 17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点,过P 作动直线交两边于M 、N ,求证:AMN △面积最小时,P 为MN 的中点. 解析 如图,连结AP ,设MAP α∠=,NAP β∠=,θαβ=+,由 AMP ANP MAN S S S +=△△△,得 sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ??+??=?。 又 左式2AP ≥,

初中教师数学教学方法1

初中教师数学教学方法1 初中教师数学教学方法1 结合初中数学大纲 就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究,要通过对教材完整的分析和研究,理清和把握教材的体系和脉络,统揽教材全局,高屋建瓴。然后,建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系,归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。例如,在“因式分解”这一章中,我们接触到许多数学方法—提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点,只要我们学会了这些方法,按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法,就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。又如:结合初中代数的消元、降次、配方、换元方法,以及分类、变换、归纳、抽象和数形结合等方法性思想,进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点,建立一整套丰富的教学范例或模型,最终形成一个活动的知识与思想互联网络。 初中教师数学教学方法2 以数学知识为载体 将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教案内容之中教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑,要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学教案则要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计。要求通过目标设计、

创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节,在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法,形成数学知识、方法和思想的一体化。 应充分利用数学的现实原型作为反映数学思想方法的基础。数学思想方法是对数学问题解决或构建所做的整体性考虑,它来源于现实原型又高于现实原型,往往借助现实原型使数学思想方法得以生动地表现,有利于对其深人理解和把握。例如:分类讨论的思想方法始终贯穿于整个数学教学中。在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级),然后逐类讨论(即对各类问题详细讨论、逐步解决),最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则,形成分类思想。 数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想,如方程思想、相似思想、已知与未知互相转化的思想、特殊与一般互相转化的思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段,要强调和灌输思维方法,如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化、判定两个三角形相似有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分,要选配结构型的数学思想,如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化,分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。在所有数学建构及问题的处理方面,注意体现其根本思想,如运用同解原理解一元一次方程,应注意为简便而采取的移项法则。 初中教师数学教学方法3 重视课堂教学实践

数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷

数学竞赛专题讲座---面积问题与面积方法-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验 题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载 面积问题与面积方法 姓名: 例1 已知△ABC中三边长分别为a,b,c,对应边上的高分别为ha=4,hb=5,hc=3.求a△b△c. 例2 如图1-51,ABCD的面积为64平方厘米(cm2),E,F分别为AB,AD的中点,求△CEF的面积. 例4 用面积方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边. 例5 如图1-54.在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD△DC=2△3,BD与CE交于F,S△ABC=40,求SAEFD. 例6 如图1-55所示.E,F分别是ABCD的边AD,AB上的点,且BE=DF,BE与DF交于O.求证:C点到BE的距离等于它到DF的距离.

练习: 1.如图1-56所示.在△ABC中,EF△BC,且AE△EB=m,求证:AF△FC=m. 2.如图1-57所示.在梯形ABCD中,AB△CD.若△DCE的面积是△DCB的面积的四分之一,问:△DCE的面积是△ABD的面积的几分之几? 3.如图1-58所示.已知P为△ABC内一点,AP,BP,CP分别与对边交于D,E,F,把△ABC 分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积. 4.如图1-59所示.P为△ABC内任意一点,三边a,b,c的高分别为ha,hb,hc,且P到a,b,c的距离分别为ta,tb,tc. 5.如图1-60所示.在梯形ABCD中,两腰BA,CD的延长线相交于O,OE△DB,OF△AC且分别交直线BC于E,F.求证:BE=CF.

不等式数学归纳法

1. 设实数122018,,..,x x x 满足任意的12018i j ≤<≤,均有(1)i j i j x x ++≥-,求2018 1 i i ix =∑ 求2018 1i i ix =∑最小值. 2. 设正实数12,,..,n x x x 满足12..1n x x x =,求证:{}{}{}1221 ...2 n n x x x -+++≤ ,其中 {}x 表示x 的小数部分.

3. 设互不相等正整数12,,..,(2)n x x x n ≥,求证: (1)2221212231.......23n n x x x x x x x x x n +++≥++++-, (2) 222121221 ...(...)3 n n n x x x x x x ++++≥+++ 4.设[]2,(1),0,1i n i i n x ≥?≤≤∈,求证: 11 13n k l k k l n k n kx x kx ≤<≤=-≤∑∑,

5.设1233,...n n x x x x ≥<<<<,证明:111 (1) ()(1)2n n i j i j i j n i j n n x x n i x j x ≤<≤==->--∑∑∑ 6. 求证:12 n i π =

7.设函数211 ()1.....2!n n f x x x x n =++++,证明: (1) 当0x >,(),x n e f x n N +>∈; (2)当0x >,存在实数y,使得11 ()(1)! x n y n e f x x e n +=++,证明:0y x << 8.设()f n n =+,定义数列{}n a ,11,,()n n a m m N a f a ++=∈=,证明:对于每一个正整数m,数列{}n a 必有无穷多个完全平方数. ,

新型的初中数学教学模式

新型的初中数学教学模式—— “课前预习—巩固预习—自学讨论—拓展延伸—当堂训练” 薛秋萍 摘要数学教师的任务是在传授数学知识的过程中培养学生的学习能力、持续学习和创造的能力,以适应时代的要求。“课前预习—巩固预习—自学讨论—拓展延伸—当堂训练”课堂教学模式使学生带着明确的学习任务目标,主动地进行学习,在执行任务过程中,通过独立思考、实践、讨论、交流与合作,培养学生良好的学习习惯和学习方法,充分发挥学生在学习中的积极性和主动性,提高自身的学习能力,这充分体现了以学生发展为本的新的教学理念。具体操作步骤:一、课前预习,发现疑难。二、巩固预习,再现疑难。 三、自学讨论,合作交流。四、拓展延伸,教师点拨。五、当堂训练,及时反馈。 关键词新型教学模式课前预习巩固预习自学讨论拓展延伸当堂训练 布鲁纳说过:“学习者不应是信息的被动接受者,而应该是知识获取过程中的主动参与者。”因此,数学教师的任务是在传授数学知识的过程中培养学生的学习能力、持续学习和创造的能力,以适应时代的要求。“先学后教”教学模式就是以优化数学教学过程、

提高数学教学质量、培养学生创新精神与实践能力为目标而设计的。这种教学模式使学生带着明确的学习任务目标,主动地进行学习,在执行任务过程中,通过独立思考、实践、讨论、交流与合作,培养学生良好的学习习惯和学习方法,充分发挥学生在学习中的积极性和主动性,提高自身的学习能力,这充分体现了以学生发展为本的新的教学理念。因此,近几年来,我大胆地进行了“课前预习—巩固预习—自学讨论—拓展延伸—当堂训练”课堂教学模式的尝试,卓有成效。 一、课前预习,发现疑难。 教师积极地引导学生主动地进行课前预习,这是“课前预习—巩固预习—自学讨论—拓展延伸—当堂训练”教学模式的基础,有助于更好地培养学生自学能力。对于相当一部分学生来说,在刚开始预习时有一定的盲目性,不能准确地找出预习内容的重点和关键,教师可以在课前为学生准备一份预习提纲和预习作业,并设置不同难度的问题。在预习提纲中,有的问题学生可能回答出来,有的问题可能还不太明白;同时在预习作业中,有些类型的题目学生会解决,有些类型的题目学生无法解决,要求学生在不懂之处做上标记,有待课上解决。 例如:在学习《有理数乘方》的一节时,我是这样指导学生预习的:在上课的前一天,给学生们留下如下预习任务:

初二数学面积法几何专题

初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【重点、难点】: 重点:证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点:灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 (一)证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。 同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 (二)证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法:通常把一个复杂的图形,分解成几个三角形。 2. 作平行线法:通过平行线找出同高(或等高)的三角形。 3. 利用有关性质法:比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 (一)怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF,各与对边或延长线交于D、E、F,求证:△DEF的面积=2△ABC的面积。 分析:从图形上观察,△DEF可分为三部分,其中①是△ADE,它与△ADB同底等

③三是△AEF,只要再证出它与△ABC的面积相等即可 由S△CFE=S△CFB 故可得出S△AEF=S△ABC 证明:∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB=S△ADE 同理可证:S△ADC=S△ADF ∴S△ABC=S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF=S△CBF ∴S△ABC=S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF=2S△ABC ∴S△DEF=2S△ABC 2. 作平行线法 例2. 已知:在梯形ABCD中,DC//AB,M为腰BC上的中点 分析:由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN,则MN为其中位线,再利用平行线间的距离相等,设梯形的高为h 证明:过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h (二)用面积法解几何问题 有些几何问题,往往可以用面积法来解决,用面积法解几何问题常用到下列性质:性质1:等底等高的三角形面积相等 性质2:同底等高的三角形面积相等 性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4:等高的两个三角形的面积比等于底之比

历年初中数学竞赛真题库(含答案)

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是 两两不同的实数,则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )3 5 . 答( ) 2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( ) 3. 方程012=--x x 的解是 (A ) 251±; (B )25 1±-; (C ) 251±或251±-; (D )2 5 1±-±. 答( ) 4. 已知:)19911991(2 11 1 n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是 (A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5. 若M n 1210099321=?????Λ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M (A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.

答( ) 6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S , 32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( ) 8. 在锐角ΔABC 中, 1= AC ,c AB =,ο60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则 (A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤2 1 ; 答( ) (C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题 1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 . 2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a c b 32 . 3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,q p n m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( . 4.四边形ABCD 中,∠ ABC ο135=,∠BCD ο120=,AB 6=,BC 35-=, CD = 6,则AD = . 第二试 1 1=S 3S =1 32=S

初中数学教学方法之10大环节教学法

初中数学教学方法之10大环节教学法 教学有法,但无定法。“无定法”是说数学教学没有永恒的一成不变的教学方法,即使人们公认的某种行之有效的教学法,教师在实践中也必须因校因人(指教师)、因时、因学生、因教材而异,这就是所谓“无定法”。下面是我在教学中常采用的环节教学法。不过并不是说在每一节数学课中每个环节都要用到。一节课抓住几个环节也就够了。所有环节中每一环节所占时间,哪一环节需强化或减弱,则须因内容、因学生而定,不可强求一律。 数学教学的环节是预、题、读、听、思、问、记、议、练、结。 1.预 即预习。在有些同学中,有忽视预习的现象。他们说,光复习已学过的东西时间就不够,哪来的时间预习。其实,如果课前预习好,准备充分,增加了不听课的效率,课后复习时间大大减少了。预习有什么作用?其一,课前准备充分,为课堂专心听讲奠定基础。其二,熟悉将要学习的内容,找出新内容的重点、难点、趣点,及不理解的内容。明确了这些之后,听课的目的就更清楚了。由于找出了“趣点”,对听课的兴趣也就更浓厚了。明确了重点难点,可避免“45分钟”平均使用注意力,以免过早产生疲劳。课堂上,大脑处于高度兴奋状态,思维敏捷、记忆力强学习效劳就高。其三,预习可以在新旧知识间架立桥梁。因为新旧知识之间联系越紧,学习起来就更容易。常说的“温故而知新”就是这个道理。 2.题 题有两层意思,即解题,有些题目需教师引导学生梳理、细解。题另一层含义是教师课前向学生出几个自学题或思考题,目的是为学生学习新课指路。 3.读 数学教学中常常是重讲轻读,重练轻读。其实“读”也是数学教学中特别重要的一环节,一个题目读通了,读懂了,自然也就理解了,会做了。常有学生在做题时,漏掉关键字而做错了,如就有板有眼30%的同学拿着这样一道题来问我:“-1×2×(-3)×4×(-5)×6×(-7)×......×(-2003)=?”我咋一看,这题目确实太难了,特别又是七年级的习题,我糊涂了。细一看题目,只需判断这题的符号,学生和我都把题目的前半句甩了,没读。 4.听 现代数学课堂重练,重讨论,重交流,重探索,而淡化了讲,即要求精讲。精讲不等于不讲,既有讲便有听。当然有时学生不爱听,教师也得进行一点反省。如由于教师备课不充分,讲得缺乏条理性、艺术性,一类问题重复啰嗦,激不起学生听课的兴趣。 怎样听课呢?一是会神专心(即不分心、不打花杂,专心致志的听课)。二是连绵思活,即保证思路的连绵而不间断。思路,包括教材内容的思路和教师讲课的思路。三是抓住关键,即讲课时要抓住所讲内容的重点、难点、趣点,让学生听得轻松,学得愉快。

初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法

初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型,求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的,在解此类问题时,要注意观察和分析图形,会分解和组合图形。介绍几种常用的方法。 1.转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形,再利用规则图形的面积公式,计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1,点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点,AB=12,则图 中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。 2.和差法 有一些图形结构复杂,通过观察,分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的,再利用这些规则图形的面积的和或差来求,从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案,AB=2BC=8,为圆,求阴影部分面积。 3.重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构,理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内作半圆,求所围成阴影部分图形的面积。

4.补形法 将不规则图形补成特殊图形,利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。 例4. 如图5,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,,求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 5.拼接法 例5. 如图6,在一块长为a、宽为b的矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽都是c个单位),求阴影部分草地的面积。 6.特殊位置法 例6. 如图8,已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行,且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于__________。 7.代数法 将图形按形状、大小分类,并设其面积为未知数,通过 建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10,正方形的边长为a,分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧,求图中阴影部分的面积。 需要说明的是,在求阴影部分图形的面积问题时,要具体问题具体分析,从而选取一种合理、简捷的方法。 跟踪练习: 1.如图11,正方形的边长为1,以CD为直径在正方形内画半圆,再以点C 为圆心、1为半径画弧BD,则图中阴影部分的面积为___________。

数学初中竞赛大题训练:几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练:几何专题 1.阅读理解: 如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为“四点共圆”.证明“四点共圆”判定定理有:1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆;2、若平面上四点连成的四边形对角互补,那么这四点共圆.例:如图1,若∠ADB=∠ACB,则A,B,C,D四点共圆;或若∠ADC+∠ABC=180°,则A,B,C,D四点共圆. (1)如图1,已知∠ADB=∠ACB=60°,∠BAD=65°,则∠ACD=55°; (2)如图2,若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点,且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 的长; (3)如图3,正方形ABCD的边长为4,等边△EFG内接于此正方形,且E,F,G分别在边AB,AD,BC上,若AE=3,求EF的长. 解:(1)∵∠ADB=∠ACB=60°, ∴A,B,C,D四点共圆, ∴∠ACD=∠ABD=180°﹣∠ADB﹣∠BAD=180°﹣60°﹣65°=55°, 故答案为:55°; (2)在线段CA取一点F,使得CF=CD,如图2所示: ∵∠C=90°,CF=CD,AC=CB, ∴AF=DB,∠CFD=∠CDF=45°, ∴∠AFD=135°, ∵BE⊥AB,∠ABC=45°, ∴∠ABE=90°,∠DBE=135°, ∴∠AFD=∠DBE, ∵AD⊥DE,

∴∠ADE=90°, ∵∠FAD+∠ADC=90°,∠ADC+∠BDE=90°, ∴∠FAD=∠BDE, 在△ADF和△DEB中,, ∴△ADF≌△DEB(ASA), ∴AD=DE, ∵∠ADE=90°, ∴△ADE是等腰直角三角形, ∴AE=AD=2; (3)作EK⊥FG于K,则K是FG的中点,连接AK,BK,如图3所示:∴∠EKG=∠EBG=∠EKF=∠EAF=90°, ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆, ∴∠KBE=∠EGK=60°,∠EAK=∠EFK=60°, ∴△ABK是等边三角形, ∴AB=AK=KB=4,作KM⊥AB,则M为AB的中点, ∴KM=AK?sin60°=2, ∵AE=3,AM=AB=2, ∴ME=3﹣2=1, ∴EK===, ∴EF===.

初中数学竞赛专题培训(22):面积问题与面积方法 (1)

初中数学竞赛专题培训第二十二讲面积问题与面积方法 几何学的产生,源于人们测量土地面积的需要.面积不仅是几何学研究的一个重要内容,而且也是用来研究几何学的一个有力工具. 下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下. (1)三角形的面积 (i)三角形的面积公式 b+c)是半周长,r是△ABC的内切圆半径. (ii)等底等高的两个三角形面积相等. (iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比. (iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方. (2)梯形的面积 梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半. (3)扇形面积 其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数. 1.有关图形面积的计算和证明 解因为CD⊥AB,AC=CB,且△ABD内接于半圆,由此可得 所以,阴影部分AEFBDA的面积是 例2已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为S1=5,S2=10,S3=6.求△ABO 的面积(图2-128). 解首先,我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比.过B,D分别作AC的垂线,垂足为E,F.于是Rt△ BEO 由题设

设S△AOB=S,则 所以 例3 如图2-129,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积. 分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△ABC 的面积即可得知.根据例1,这两个面积是不难求出的. 解设未知的两个小三角形的面积为x和y,则 即 又 即 ①÷②得 再由②得x=56.因此 S△ABC=84+70+56+35+40+30=315. 例4 如图2-130,通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为S1,S2,S3,求△ABC的面积. 解为方便起见,设 S△QDG=S′1,S△QIE=S′2,S△QFH=S′3,则 所以 同理可得 从①,②,③中可以解得 所以

初中数学不等式知识点

初中数学不等式知识点 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

不等式 性质 ①如果x>y,那么yy;() ②如果x>y,y>z,那么x>z;() ③如果x>y,而z为任意实数或,那么x+z>y+z;(,或叫同向不等式可加性) ④如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xzy,m>n,那么x+m>y+n;() ⑥如果x>y>0,m>n>0,那么xm>yn; ⑦如果x>y>0,那么x的n次幂>y的n次幂(n为正数),x的n 次幂

不等式两边相加或相减同一个数或式子,不等号的方向不变。(移项要变号) 不等式两边相乘或相除同一个正数,不等号的方向不变。 不等式两边乘或除以同一个负数,不等号的方向改变。(×÷负数要变号) 解集 确定: ①比两个值都大,就比大的还大(同大取大); ②比两个值都小,就比小的还小(同小取小); ③比大的大,比小的小,无解(大大小小取不了); ④比小的大,比大的小,有解在中间(小大大小取中间)。 三个或三个以上成的不等式组,可以类推。 数轴法 把每个不等式的解集在上表示出来,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集。有几个就要几个。注意实点与空点的区别。 在确定一元二次不等式时,a>0,Δ=b2-4ac>0时,不等式解集可用"大于取两边,小于取中间"求出。 证明方法 比较法 1.作差比较法:根据a-b>0a>b,欲证a>b,只需证a-b>0;

初中几何反证法专题(编辑)

初中几何反证法专题 学习要求 了解反证法的意义,懂得什么是反证法。 理解反证法的基本思路,并掌握反证法的一般证题步骤。 知识讲解 对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间接证法,它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法,对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 1.反证法的概念: 不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法。 2.反证法的基本思路: 首先假设所要证明的结论不成立,然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理,直至得出一个矛盾的结论来,并据此否定原先的假设,从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾,或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾,还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。 3.反证法的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立;

(2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾; (3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正 确 简而言之就是“反设-归谬-结论”三步曲。 例题: 例1.已知:AB、CD是⊙O内非直径的两弦(如图1),求证AB与CD不能互相平分。证明: 假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径,可判定M不是圆心O,连结OA、OB、OM。 ∵OA=OB,M是AB中点 (1) ∴OM⊥AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边) 同理可得: OM⊥CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2.已知:在四边形ABCD中,M、N分别是AB、DC的 中点,且MN=(AD+BC)。 求证:AD∥BC

初中数学之求阴影面积方法总结完整版

初中数学之求阴影面积 方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法 这属于最简单的方法,阴影面积是一个常规的几何图形,例如三角形、正方形等等。简单举出2个例子: 二、和差法 攻略一直接和差法 这类题目也比较简单,属于一目了然的题目。只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。 攻略二构造和差法 从这里开始,学生就要构建自己的数学图形转化思维了,学会通过添加辅助线进行求解。 三、割补法 割补法,是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的,否则学生看到这样的题目还是会无从下手。尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时,通过对图形的平移、旋转、割补等,为利用公式法或和差法求解创造条件。 攻略一全等法 攻略二对称法 攻略三平移法 攻略四旋转法 小结:(一)解决面积问题常用的理论依据 1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4、同底(等底)的两个三角形面积的比等于高的比。同高(或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。 5、基本几何图形面积公式:三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。 6、相似三角形面积之比等于相似比的平方 7、反比例函数中k的几何含义 8、在直角坐标系中函数图像构成的图形面积常常利用图形顶点的坐标构造高去求面积 (二)证明面积问题常用的证题思路和方法 1、分解法:通常把一个复杂的图形,分解成几个三角形。

2、补全法:通过平移、旋转、翻折变换把分散的图形拼成一个规则的几何基本图形 3、作平行线法:通过平行线找出同高(或等高)的三角形。

初中数学竞赛复杂图形的比例与面积

复杂图形的比例与面积 基础知识: 1.三角形面积由两个因素决定:底和高 两个三角形,底相等,面积比等于高的比; 两个三角形,高相等,面积比等于底的比。 2.在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O, (1); (2); (3)。 3.如图,在梯形ABCD中,存在以下关系: (1)左、右部分的面积相等,即S3=S4; (2)S1︰S2︰S3︰S4= 4.燕尾定理: 在三角形中,AD,,相交于同一点,那么. 例1.图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF的

长是BF长的3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米? [答疑编号505721470101] 【答案】22.5 【解答】△ABD, ABC等高,所以面积的比为底的比, 有,所以180=90(平方厘米). 同理有(平方厘米), ×30=22.5(平方厘米). 即三角形AEF的面积是22.5平方厘米. 例2.如图1,5个正方形拼在一起,图中三角形ABC部分的面积是60,则正方形的边长是. [答疑编号505721470102] 【答案】10 【解答】比较有相同底边的两个三角形ABC和BCD,它们的高的比是3:2,因此 三角形BCD 的面积是.于是三角形ACD的面积是60+40=100. 注意ACD的底边是小正方形边长的2倍,而高就是小正方形的边长,所以它的面积与一个小正方形的面积是相等的,应该都是100,所以小正方形的边长 就是10(因为10×10=100).

例3.如图2,在15个小正方形拼成的长方形中,三角形ABC的面积是120(其中C是大长方形的对角线与B所在竖线的交点).那么小正方形的边长是. [答疑编号505721470103] 【答案】10 【解答】如下图,三角形ABC与三角形BCD的底边都是BC,而高的比是3∶2, 所以三角形BCD 的面积是,那么三角形ABD的面积就是 120+80=200。 三角形ABD的面积是大三角形ADG的面积减去三角形ABE、长方形BEGF、 三角形BDF的面积,也就是等于个小正方形的面积,因 此每个小正方形的面积是200÷2=100,那么边长为10。 例4.如图,四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么4个小三角形中最大的一个三角形的面积是多少公顷? [答疑编号505721470104] 【答案】21 【解答】 ,所以,三角形ABO的面积是18公顷,三角形BOC的面积是21公顷.所以,最大的三角形的面积为21公顷.

浙教版八年级数学下册反证法作业练习

4.6 反证法 ◆基础练习 1.“ab C.a=b D.a=b或a>b 2.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设() A.a不垂直于c B.a,b都不垂直于c C.a⊥b D.a与b相交 3.用反证法证明命题“在一个三角形中,如果两条边不相等,那么它们所对的角也不相等” 时,应假设___________. 4.用反证法证明“若│a│<2,则a<4”时,应假设__________. 5.请说出下列结论的反面:(1)d是正数; (2)a≥0; (3)a<5. 6.如下左图,直线AB,CD相交,求证:AB,CD只有一个交点. 证明:假设AB,CD相交于两个交点O与O′,那么过O,O′两点就有_____条直线,这与“过两点_______”矛盾,所以假设不成立,则________. 7.完成下列证明. 如上右图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角. 证明:假设结论不成立,则∠B是______或______. 当∠B是____时,则_________,这与________矛盾; 当∠B是____时,则_________,这与________矛盾. 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.

8.如图,已知AB∥CD,求证:∠B+∠D+∠E=360°. 9.请举一个在日常生活中应用反证法的实际例子. ◆综合提高 10.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,?应先假设这个三角形中( ) A .有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60° C .有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60° 11.若用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45 °”时,应假设______________. 12.用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补. 132是一个无理数.(说明:任何一个有理数均可表示成 b a 的形式,且a ,b 互质) 14、试写出下列命题的反面: (1)a 大于2 _____________;(2)a⊥b _______________. 15、用反证法证明“若22a b ≠,则a b ≠”的第一步是______________. 16、填空:在△ABC 中,若∠C 是直角,那么∠B 一定是锐角. 证明:假设结论不成立的,则∠B 是__________或_________. ①当∠B 是_______时,则__________,这与____________________矛盾; ②当∠B 是_______时,则__________,这与____________________矛盾.

全国初中数学竞赛辅导 第四十三讲《面积问题与面积方法》 北师大版

第四十三讲面积问题与面积方法 几何学的产生,源于人们测量土地面积的需要.面积不仅是几何学研究的一个重要内容,而且也是用来研究几何学的一个有力工具. 下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下. (1)三角形的面积 (i)三角形的面积公式 b+c)是半周长,r是△ABC的内切圆半径. (ii)等底等高的两个三角形面积相等. (iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比. (iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方. (2)梯形的面积 梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半. (3)扇形面积 其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数. 1.有关图形面积的计算和证明

解因为CD⊥AB,AC=CB,且△ABD内接于半圆,由此可得 所以,阴影部分AEFBDA的面积是 例2已知凸四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且△ABC,△ACD,△ABD 的面积分别为S1=5,S2=10,S3=6.求△ABO的面积(图2-128). 解首先,我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比.过B,D分别作AC的垂线,垂足为E,F.于是Rt△BEO

由题设 设S△AOB=S,则 所以 例3 如图2-129,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△ABC的面积. 分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的面积即可得知.根据例1,这两个面积是不难求出的.

解设未知的两个小三角形的面积为x和y,则 即 又 即 ①÷②得 再由②得x=56.因此 S△ABC=84+70+56+35+40+30=315. 例4 如图2-130,通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为S1,S2,S3,求△ABC的面积. 解为方便起见,设

(六)数学归纳法

(六)数学归纳法 一、知识要点 1.一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数0n 的所有正整数n 都成立时,可以用数学归纳法。 2.数学归纳法的证明步骤: (1)证明0n n =时命题成立; (2)假设),(0n k N k k n ≥∈=+时命题成立,证明1+=k n 时命题也成立。 由(1)、(2)两步可得,所证命题成立。 二、例题解析 例1.用数学归纳法证明: ))(12()2()12(4321222222+∈+-=--++-+-N n n n n n . 例2.如果x 是实数,且n x x ,0,1≠->为大于1的自然数,证明:nx x n +>+1)1(.

例3.平面上有n 条直线,其中任意两条都相交,任意三条不共点,这些直线把平面分成多少 个区域?证明你的结论。 例4.证明:当)1(3221+++?+?=n n a n (n 是正整数)时,不等式 2 )1(2)1(2 +<<+n a n n n . 【点评】 利用数学归纳法证明不等式的关键是由k n =到1+=k n 的变形,为了达到目标,往往要采用“放缩”等手段。 知识检测

1.用数学归纳法证明不等式),2)((1 2131211+∈≥<-++++N n n n f n 的过程中,由k n =到1+=k n 时,左边增加了( ) A.1 项 B.k 项 C.12+k 项 D.k 2 项 2.某个命题与正整数n 有关,如果当)(+∈=N k k n 时命题成立,那么可推得当1+=k n 时,命题也成立。现已知当5=n 时命题不成立,那么可推得( ) A.当6=n 时该命题不成立 B.当6=n 时该命题成立 C.当4=n 时该命题不成立 D.当4=n 时该命题成立 3.证明不等式θθsin sin n n ≤(+∈N n ) 4.证明:1131211)321(2-+≥??? ??++++ ++++n n n n (2,>∈n N n ). 5.证明: n n n 113121222-<+++ (1,>∈n N n ).

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