一、函数、极限与连续
（一） 本章的重点内容与常见的典型题型
１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即
()1
011lim 1lim 1lim 1,sin lim 1;n
x
x n x x x x e n x x x
→∞→∞→→????
+=+=+= ? ?????= （3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；
（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用
关系式求出极限；
（7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；
（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。
这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。
２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。
３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。 通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：
１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数； ２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型； ３．无穷小的比较；
４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；
５．求分段函数的复合函数。
（二） 知识网络图
转
换
初等函数的连续性
分段函数连续性判定
闭区间上连续函数的性质
第一类——左右极限都存在
第二类——左右极限中至少有一个不存在连续的概念
间断点的分类
可去
跳跃
最值定理
介值定理
极限
连续性
（三）典型题型分析及解题方法与技巧
题型一 求复合函数
［例1.1］设()()()2
,0,
1(),()()().2,0,
x e x f x x x g x f g x g f x x x -?
题型二 利用函数概念求函数的表达式
［例1.2］已知[]2
(),()1(x)0,(x)x f x e f x x ???==-≥且求并写出它的定义域．
题型三 判断函数的性质
［例1.3］设2
()tan ,()x f x x xe f x =则是（ ） （A ） 偶函数 （B ）无界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数.
题型四 求极限的方法
［例1.4]］填空题 2352
l i m
s i n ____
53x x x x
→∞+=+.
［例1.5］求下列极限
()
1x →
(
)2lim
x
()()()
2013sin cos
3lim
.1cos ln 1x x x x x x →+++
［例1.6］ 求下列极限
()220
111lim ;sin x x x →??
- ?
??
()312lim sin ln 1sin ln 1;x x x →∞??????????+-+?? ? ? ?
???????
????
()213lim sin cos .x x x →∞?
?+ ??
?
［例1.7］ 选择题
当1x →时，函数
1
2111
x x e x ---的极限是（ ）.
（A ）2; （B ）0；
（C ）∞； （D ）不存在但不为∞.
［例1.8］ 设()()
()()
3
20sin ,0,12sin sin ,0,
x a x x x x f x x t dt x x
-?>??=??-
lim x f x →存在.
［例1.9］求()2
22010
cos lim
.sin x
x x t dt
x
→-?
［例1.10］ 选择题 设函数()()()56
1cos 2
sin ,56
x x x f x t dt g x -=
=+?
，则当0x →时，()f x
是()g x 的（ ）
（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小
（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小
［例1.11］求()22
201lim 1x t x x t e
dt x
-→∞+?.
［例1.12］确定a ，b ，c 值，使()()3
sin lim
0ln 1x x
b
ax x
C C t dt
t
→-=≠+?
.
［例1.13］填空题
设0
2lim 8,____x
x x a a x a →+??== ?-??
则.
［例1.14 ］ 选择题
0x →时，()21x e ax bx -++是比2x 高阶无穷小，则（ ）
（A ）1
2a = （B ）1,1a b == （C ）1
,12
a b =-= （D ）1,1a b =-=
［例1.15］设0x →时，(
)
1
23
11ax +-与cos 1x -是等价无穷小，求常数a 之值.
［例1.16］填空题
设()()2
cos ,0,
,0,
x x x f x a x -?≠?=?=??在0x =连续，则___a =.
［例1.17］当0x →时，下列无穷小：(
)6
1
ln 1,sin ,tan ln x x x x x x
+-中，（ ）是x 的低阶无穷小；（ ）是x 的一阶无穷小；（ ）是x 的二阶无穷小；（ ）是2
x 的高阶无穷小．
［例1.18］选择题
当0x +
→
的无穷小量2
2
30
cos ,,x
x t dt t dt αβγ=
==?
?排列起来，使排在
后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）． （Ａ）,,αβγ （Ｂ）,,αγβ （Ｃ）,,βαγ （Ｄ）,,βγα
［例1.19
］求1lim ,1n
n n n i x x →+∞
=?=
???
∑．
［例1.20］求2sin sin sin lim ...12n n n n n n n πππ→∞??
??+++??+??
++?
?.
［例1.21］设a >0,数列{}n a 满足010,0,1,2,...1,2n n n a n a
a a a
+>??
=???=+ ????
?
lim n a 求.
［例1.22］填空题
1
1lim _____1n n n e →+∞?? ?-= ?
-?
?．
［例1.23］设()1
220,0lim x x x x ααα
αββ→+∞
??>≠+-=????
且,则(),____αβ=.
［例1.24］设()f x 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数,
()()1
1
n
n
n k a f k f x dx ==-∑?,（ｎ＝1,2,…）,证明数列{}n a 的极限存在.
题型五 讨论函数的连续性与间断点的关系
［例1.25］设()()()2
,2,
,1,21,25,1,1,3, 5.
x x x x f x g x x x x x x x ≤??≤?
==-<≤?
?->??+>?
讨论()()y f g x =的连续性，若有间断点并指出类型．
［例1.26］选择题
设(
)()20,,0,x f x x g x x >=≤?
其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ ）. （A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续； （C ）连续，但不可导； （D ）可导. ［例1.27］选择题
设()()()3
220
11ln 1sin ,0,0,0,1sin ,0,x
x x x x f x x t dt x x ?+
==???>??则()f x 在0x =处（ ）.
（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续； （C ）连续，但不可导； （D ）可导. ［例1.28］选择题
设()1arctan ,0,0,0,x x x f x x ?
≠?=??=?
则()f x 在0x =处（ ） （A ）不连续； （B ）连续，但不可导； （C ）可导但()'f x 在0x =处不连续； （D ）可导且()'f x 在0x =处连续.
［例1.29］求函数()()tan 41x x f x x π??- ???
=+在区间()0,2π内的间断点，并判断其类型.
［例1.30］设()f x 在(),-∞+∞内有定义，且()lim ,x f x a →∞
=
()1,0,0,0,f x g x x x ???≠? ?=??
??=?
，则（ ）
． （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点； （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点； （C ）0x =必是()g x 的连续点；
（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关。
［例1.31］设()f x 在[)0,+∞连续，()lim 0x f x A →+∞
=>，求证：
（1）()0
lim
;x
z f t dt →+∞=+∞? （2）()1
lim n f nx dx A →+∞=?.
［例1.32］设()f x 在[],a b 上连续()()f a f b =，证明： 至少存在[]0,x a b ∈，使()002b a f x f x -??
=+ ???
.
［例1.33］填空题
2lim tan ______4n n n π→∞
??
+= ???
.
［例1.34］填空题
在区间[]0,1上函数()()1n
f x nx x =-的最大值记为()M n .则
()lim _____n M n →∞
=.
［例1.35］填空题
设()()ln 1,0,2,0,sin ,0x x
x x f x a x bx cx x x
+?+>?
??
=???+
___,____,____.
［例1.36］以[]x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使
[]2
0ln 1lim 1ln 1x x e a x e x →????+??
?????+???
?+??
???????
存在，并求出此极限.
［例1.37］选择题
设常数()12301,2,3,i a i λλλ>=<<.则方程312213
a a a
x x x λλλ++=--- 0 （ ）. （A ）没有根； （B ）正好有一个根； （C ）正好有两个根； （D ）正好有三个根.
二、一元函数微分学
（一）本章的重点内容与常见的典型题型
一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.
本章内容归纳起来，有四大部分.
1. 概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；
2. 运算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式；
3. 理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；
4. 应用部分：利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面的应用.
常见题型有：
1. 求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导.
2. 利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证明在开区间至少存在一点满足……”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等．
3. 利用洛必达法则求七种未定型的极限.
4. 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
5. 利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。
（二）知识网络图
导数的定义 导数的几何意义 切线方程的求法 基本初等函数的导数 导数的四则运算 反函数的导数 隐函数的导数 复合函数的导数 高阶导数 罗尔定理
拉格朗日中值定理 柯西中值定理
洛必达法则求极限 研究函数性质 及几何应用
经济应用
函数的单调区间 函数的极值、最值 曲线的凹凸性及拐点 渐近线、函数作图 微分概念 微分的计算
一阶微分形式不变性
微分
导数
导数的概念
导数的计算
中值定理
应用
边际、弹性
经济中的最大值和最小值应用
（三）典型题型分析及解题方法与技巧
题型一 有关一元函数的导数与微分概念的命题
［例2.1］选择题
设()()000,f x f x x x ≠=在连续，则()f x 在0x 可导是()f x 在0x 可导的（ ）条件.
（A ）充分非必要； （B ）充要； （C ）必要非充分； （D ）非充分非必要. ［例2.２］填空题 设()f x 在0x 处可导，则 （1）()()
000
3lim
______;h f x h f x h →--=
（2）()()
000
lim
______;h f x h f x h h
→+--=
（4）0011lim _____;2n f x f x n n →∞?????
?+
--= ? ??????
???
（5）()()
00lim
_____;x x
f x f x x →=-+
（6）当n →∞时，n n x y 与为等价无穷小，则()()
00lim n n n n
f x x f x y x →∞+--
_______.=
［例2.3］选择题
设()f x 在x a =处的某个定义域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（ ）.
（A ）()1lim h h f a f a h →+∞
????+
- ???????
存在；
（B ）()()
2lim
h f a h f a h h →+-+存在；
（C ）()()
lim
2h f a h f a h h →+--存在；
（D ）()()
lim
h f a f a h h
→--存在.
［例2.4］已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式：
()()()1sin 31sin 8f x f x x x α+--=+，其中()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，
且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在()()
6,6f 处的切线方程。
［例2.5］求下列函数在指定点处的导数
（1）()(arcsin f x x =()'0f ；
（2）设()()()f x a bx a bx ??=+--，其中()x ?在x a =处可导，求()'0f ；
（3）设函数()f x 在0x =处可导，且()1
'03
f =，又对任意的x ，有()()33f x f x +=，求()'3f .
题型二 利用导数定义函数方程
［例2.6］设()f x 在(),-∞+∞上定义，且()()'00f a a =≠，又,x ?
(),y ∈-∞+∞有()()()
()()
1f x f y f x y f x f y ++=
-，求()f x .
类似题：设()f x 在()0,+∞上有定义，且()()'10f a a =≠，又对,x ?
()0,y ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，求()f x .
题型三 可导函数与不可导函数乘积的可导性的讨论
［例 2.7］设()()()F x g x x ?=，()x ?在x a =处连续，但又不可导，又()'g a 存在，则()0g a =是()F x 在x a =处可导的（ ）条件. （A ）充要； （B ）充分非必要； （C ）必要非充分； （D ）非充分非必要
［例2.8］函数()()
23
2f x x x x x =---有（ ）个不可导点.
（A ）3； （B ）2； （C ）1； （D ）0.
题型四 求函数导数与微分
［例2.9］求下列函数的导数与微分 （1）设1tan 1
sin
x
y e x
=?，dy ；
（2）设()(
)2221
cos ,
cos t x t y t t udu ?=?
?=-??
?求22d y dx ，22d y dx
在t =的值；
（3）设()()()1
2
2
sin sin dF F x x f t x dt dx
=?，求；
（4）设()
222
sin 0x x y e xy ++-=，求
dy dx
；
（5）已知()()2
32,'arctan 32x y f f x x x -??== ?
+??
，则0
______;x dy dx ==
（6）由方程组2
22,
sin 1,
x t t t y a y ?=+??-+=??()01a <<确定y 与x 的函数，求22d y dx .
［例2.10］求2tan 0030sin lim .x
y x t dt dy t I x
→??
???=??
［例 2.11］设()()(
)c o s ,0,0x x x f x x
a x ?-?≠?
=??=?
其中()x ?具有二阶导数，且
()()01,'00??==.
（1）确定a 的值，使()f x 在0x =处连续； （2）求()'f x ；
（3）讨论()'f x 在0x =处的连续性.
类似题：设()f x 连续且()
()()100lim
2,x f x x f xt dt x
?→==?，求()'x ?并讨论()'x ?的连续性.
题型五 利用导数研究函数变化的命题
［例2.12］选择题
若()()f x f x =--，在()0,+∞内()()'0,''0f x f x >>，则()f x 在(),0-∞内（ ）.
（A ）()()'0,''0f x f x <<； （B ）()()'0,''0f x f x <>； （C ）
()()'0,''0f x f x ><； （D ）()()'0,''0f x f x >>.
［例2.13］设函数()f x ，()g x 是大于零的可导函数，且()()'f x g x -
()()'0f x g x <，则当a x b <<时，有（ ）.
（A ）()()()()f x g b f b g x >； （B ）()()()()f x g a f a g x >； （C ）
()()()()f x g x f b g b >； （D ）()()()()f x g x f a g a >.
［例2.14］选择题
已知函数()f x 在0x =的某个邻域内连续，且()00f =，()
0lim
1cos x f x x
→-
2=，则在点0x =处()f x （ ）.
（A ）不可导； （B ）可导，且()'00f ≠； （C ）取得极大值； （D ）取得极小值. ［例2.15］选择题 若()30sin 6lim 0x x xf x x →+??
=
???
，则()206lim x f x x →+为（ ）. （A ）0； （B ）6； （C ）36； （D ）∞. ［例2.16］选择题
设()f x 在二阶连续导数且()'00f =，()
''lim
1x f x x
→=，则（ ）成立. （A ）()0f 不是()f x 的极值，()()
0,0f 也不是曲线()y f x =的拐点； （B ）()0f 是()f x 的极小值； （C ）()()
0,0f 是曲线的拐点； （D ）()0f 是()f x 的极大值. ［例2.17］选择题
设函数()y f x =是微分方程"2'40y y y -+=的一个解且()00f x >，()0'0f x =，则
()f x 在点0x 处（ ）.
（A ）有极大值； （B ）有极小值；
（C ）在某邻域内单调增加； （D ）在某邻域内单调减少.
［例2.18］设2
e a b e <<<，证明：()2
2
2
4
ln ln b a b a e ->
-.
［例2.19］证明：当01x <<
()ln 1arcsin x x
+<
.
［例2.20］设()()()122
231arctan x
x x e
y f x x
x
+-==-，求渐近线.
［例2.21
］求证：方程0
ln x x e π=-?在()0,+∞内只有两个不同的实根.
题型六 杂例与中值定理证明题
［例2.22］设()f x 在[]0,π上连续，且
()0
0,
f x dx π
=?
()0
cos f x xdx π
?
0=.试证明：在()0,π内至少存在两个不同的点1,2,ξξ()()120f f ξξ==.
［例2.23］设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且满足：
()()()1
10
11x k f k xe f x dx k -=>?，
证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()
()1
'1f f ξξ
ξ-=-.
［例2.24］设()f x 在区间[](),0a a a ->上具有二阶连续导数，()0f =0 （1）写出()f x 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; （2）证明在[],a a -上至少存在一点η，使：()()3
"3
a
a
a f f x dx η-=?
［例2.25］设函数()f x 和()g x 在[],a b 上存在二阶导数，并且()"g x
0,≠()()()()0f a f b g a g b ====，试证：
（1）在开区间(),a b 内()0g x ≠； （2）在开区间(),a b 内至少存在一点ξ，使()()()
()
""f f g g ξξξξ=
.
［例 2.26］设()f x 在区间[]0,1上连续，试证明存在
()0,1ξ∈，使
()
f t d t ξ
?()()1f ξξ=-；
若又设()0f x >且单调减少，则这种ξ是唯一的.
［例2.27］设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()0f
()110,12f f ??
=== ???
.试证：
（1）存在1,12η??
∈
???
，使()f ηη=； （2）对任意实数λ，必存在()0,ξη∈，使得()()1f f ξλξξ--=????.