2018年九年级学生学能抽测
理科能力测试试题卷(2018.4)
考生须知．．．．
： 1.理科能力测试卷分数学和科学两部分，满分为180分（数学部分有三大题10小题, 共
80分，科学部分有三大题16小题，共100分)，考试时间150分钟。
2.将学校、姓名、准考证号、座位号分别填写在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上。
3.请用蓝黑墨水的钢笔或圆珠笔答题，答案分别做在数学部分和科学部分答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效。
数学部分（满分80分）
一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1
．已知点(13)P a -+，则点P 所在象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．如果不等式组0
2100x a x -??-?
≥＜只有一个整数解，那么a 的范围是
A ．3a ＜≤4
B ．3a ≤＜4
C ．a 4≤＜5
D ．a 4＜≤5
3
．如图，已知AB AE ==1BC DE ==，∠B =∠E =90°，∠A =120°，
五边形ABCDE 的面积是 A ．4 B
． C ．8 D
．
二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）
4．若m ，n 是一元二次方程2120x x +-=的两根，则22m m n ++= ▲ ．
5．已知一列数1x ，2x ，3x ，4x ，又3
12234
x x x x x x ==，且81=x ，4216x =，那么3x 的值是 ▲ .
A
B
E
6．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P（不包
括端点A），作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，
当PA CQ
=时，连结PQ交AC边于D，则DE的长
为▲ .
7. 在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数
2
(0)
k
y k
x
=>，若该反比例函数的图象与直线y x k
=-+有交点，设交点为P，则OP的长度至少为▲．
三、解答题(本题有3小题，共38分）
8．（满分12分）
已知x，y，z为实数，且满足257
x y z
+-=-，2
x y z
-+=，试比较22
x y
-与2z 的大小关系．
9．（满分12分）
半径为2的圆的圆心在坐标原点，两条互相垂直的弦AC
和BD相交于点M（1，若记AC、BD的弦心距
分别为
1
d、
2
d．
（1）求22
12
d d
+的值；
（2）求四边形ABCD面积的最大值和最小值．
10．（满分14分）
已知抛物线
1
C：22
21
y x mx m m
=-+++（1
m>）的顶点为A，抛物线
2
C的对称
轴是直线1
x=-，顶点为点B，且抛物线
1
C和
2
C关于Q（1，
1
2
）成中心对称．
（1）求抛物线
1
C的顶点坐标（用m的代数式表示）；
（2）求m的值和抛物线2C的解析式；
（3）过点A、B分别作AC⊥x轴，BD⊥x轴，点C、D为垂足，如果P是x轴上
的点，且连结PA、PB后它们与AC、BD及x轴所围成的两个三角形（△PAC
和△PBD）相似，求所有符合上述条件的点P的坐标．
A
B C
D
E
P
Q
2018年九年级学生学能抽测
理科能力测试参考答案及评分标准（2018.4）
数学部分
一、选择题（本题有3小题，每小题6分，共18分） 1.D 2.A 3.B 二、填空题（本题有4小题，每小题6分，共24分）
4.11
5.72
6.2
7.三、解答题（本题有3小题，共38分） 8．（满分12分） 解：由2572x y z x y z +-=-??
-+=? 解得：1
23
x z y z =-??=-?． ……（6分）
则222222(1)(23)x y z z z z --=----=2
4108z z -+-=2
5
7
4()04
4
z ---
<． ∴222x y z -<． ……（6分） 9．（满分12分）
解：（1
）22221213d d +=+=．
（2）方法一：
2
22
1442d d S ABCD -?-=四边形． 记x d =2
1，则x AC -=42，BD =其中30≤≤x ，则142+?-=x x S ∴当30或=x 时，S 有最小值4； ……（2分） 当2
3
=
x 时，S 有最大值5． ……（2分） 方法二：
2
221442d d S ABCD -?-=四边形 ……（2分）
)4()4(22
22
1d d -?-=2
22
12
22
1)(4162d d d d ++-=．
∴32221=+d d ，∴2
22142d d S +=． ……（2分） ∵02
22
1≥d d ，∴4≥S ，即S 有最小值为4． ……（2分） ∵212
22
12d d d d ≥+，
(
)
5)(84)4(4422
2212
22
12221=+-=-+-≤-?-=d d d d d d S ABCD 四边形．
即S 有最大值5． ……（2分）
10．（满分14分）
解：（1）由于抛物线1C ：22221()1y x mx m m x m m =-+++=-++．
故抛物线1C 的顶点(,1)A m m +． ……（2分） （2）分别过A 、B 作直线1x =的垂线段，设垂足为F 、E ．
∵A 、B 关于点Q 中心对称，
∴AF BE =；即11(1)m -=--，∴3m =． ……（2分） ∴点(3,4)A ，点(1,3)B --．
抛物线2C ：2
2
(1)324y x x x =-+-=---． ……（3分） （3）设)0,(x P ．
①当点P 在CD 上时，则1)1(+=--=x x PD ，3PC x =-． ∴
4331=-+x x ，解得75=x ．或x x -=+3341，即0922
=+-x x ，此方程无实根． ∴P 1)0,7
5(． ……（3分） ②当点P 在点C 右侧时，
3
4
)1(3=---x x ，解得13-=x （舍去）．
或
)
1(433--=-x x 即：2
2150x x --=，∴31-=x （舍去）52=x ． ∴)0,5(2P ． ……（2分） ③当点P 在点D 左侧时，
x
x
---=1334，解得13-=x ． 或
3
314x x -=--， 即：01522
=--x x ，解得5=x （舍去）或3x =-．
∴P 3)0,13(-或P 4)0,3(-． ……（2分）
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 高二数学竞赛模拟试题 考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器； ⒊考试用时120分钟，全卷满分150分． 一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =， N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） (A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16 2．函数2 54()2x x f x x -+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ） (A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6 (π 平移后，它的一条对称轴是4 π = x ，则θ的一个 可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6 π (D)12π 4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有 ()200823f x f x x ?? ? ?? +=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012. 5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα β=?=?，则αβ?等于( ) ﹙A ﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C ﹚ ﹙D ﹚2008. 6.直线20ax y a -+=与圆22 9x y +=的位置关系是（ ） （A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定 7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） (A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201 8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） 广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专) 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）. (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数 2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim x f x x →存在，则0() lim x f x x →=（ C ）. (A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D) 1 (0)2 f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）. (A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）. (A) ()d ()F x x f x =? (B) ()d ()F x x f x C =+? (C) ()d ()f x x F x =? (D) ()d ()f x x F x C =+? 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．极限201lim 1→?? -= ??? x x x 1 . 2．已知函数1 sin sin 33 y a x x =+（其中a 为常数），在3 x π =处取得极值，则a = 2 . 3．设1 ()ln ln 2f x x =-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 . 5．4 1 -=? 62 5 . 三、(10分）设函数1sin , 0()e , x x x f x x x α β?>?=??+≤?，根据α和β的不同情况， 讨论()f x 在0x =处的连续性. 10 10 110 1 lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim ααα αββαβαα--+ +++-++++ →→→→→→→→→→→=+=+=>≤==== 2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得： lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界； 最新全国2010高中数学精选联赛模拟试题一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 1、函数的最大值是（） A、2 B、 C、 D、3 2. 已知，定义，则 （） A． B．C． D． 3. 已知正三棱锥P－ABC的外接球O的半径为1，且满足＋＋＝，则正三棱锥P－ABC的体积为（） A．B．C．D． 4. 已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任意一点，当取得最小值时，该双曲线离心率的最大值为（） A、B、3 C、D、2 5. 已知（R），且 则a的值有（） （A）个（B）个（C）个（D）无数个 6.平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点。 若使则称（）为一个好点对。那么这样的好点对（） A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 不等式的解集为，那么的值等于__________. 8. 定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则的值为_________. 9. 等差数列有如下性质：若是等差数列，则通项为的数列也是等 差数列．类比上述性质，相应地，若是正项等比数列，则通项为 _______________的数列也是等比数列． 10. 在正三棱锥S—ABC中M、N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 11. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）． 12.已知点A(0，2)和抛物线y2＝x＋4上两点B、C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围 三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分） 13. 在外接圆直径为1的△ABC中角A、B、C的对边分别为设向量 (1) 求的取值范围; （2）若试确定实数的取值范围. 14. 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）。（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线AM 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，? =10 d )()(t xt f x g ， 且A x x f x =→) (lim 0 ，A 为常数， 求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n ,且n e u n =)1(,求函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时,与 ∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 2019-2020年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题6分，共30分） 1．方程1) 1(3 2=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为 43，则EA CE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）5 1 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 8．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且 198=+q p ，则p ＝ ． 9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． A B F C E D · D C O B A 2018年度六年级数学才艺展示题 一、填空：（ 前7题每题5分，后3题每题6分，共53分 ） 1、如果x ÷y=z （x 、y 、z 均为整数，且y 不等于0），那么x 和y 的最大公因数是（ y ），最小公倍数是（ x ）。 2、已知x+20142013=y+20132012=z+2015 2014，( z )＜( x ) ＜( y ) 3、☆、○、◎各代表一个数，已知:☆+◎=46, ☆+○=91, ○+◎=63 , ☆=(37 ),○=( 54 )◎= （ 9 ）。 4、学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少（ 7 ）个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。 5、李伟和王刚两人大学毕业后合伙创业，李伟出资1.6万元，王刚出资1.2万元，一年后盈利 1.4万，如果按照出资多少来分配利润，李伟分得（ 8000 ）元，王刚分得（ 6000 ）元。 6、某商场由于节日效应一月份的营业额是150万元，二月份的营业额延续节日需求，比一月份增长了10%，三月份和一月份相比增长率为－9%，一季度营业额（ 451.5 ）万元。 7、庆“六一”，学校决定进行现场绘画比赛吗，按照如下摆放桌子和椅子，如果每个椅子坐一位同学，1张桌子可以坐6人，2张桌子可以10人，……，n 张桌子可以做（ 4n+2 ）人。如果像这样摆20张桌子，最多可以坐（ 82 ）人。 8、数学小组的同学在一次数学比赛中成绩统计如左下图。如果得优良和及格的同学都算达标。达标同学的平均成绩是80分，而全体同学的平均成绩是70分，则不及格同学的平均成绩（ 40 ）分。 9、如右上图，已知长方形的面积是282cm ,阴影部分的面积（9.44 2cm ）。 10、“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年（ 90 ）岁。 二、用自己喜欢的方法计算：（每题5分，共15分） 1、0.78×7－ 5039＋4×5039 2、12.5×8÷12.5×8 （75 4） （64） 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 全国初中数学竞赛初赛模拟试卷 （本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月22日8:30——10:30） 一、选择题（本大题满分50分，每小题5分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号下的方格内 1. 方程 020091 1=-x 的根是 A. 20091 - B. 20091 C. -2009 D. 2009 2. 如果0<+b a ，且0>b ，那么2a 与2b 的关系是 A ．2a ≥2b B ．2a ＞2b C ．2a ≤2b D ．2a ＜2b 3. 如图所示，图1是图2中正方体的平面展开图（两图中的箭头位置和方向是一致的），那么，图1中的线段AB 在图2中的对应线段是 A ．k B ．h C ．e D ．d 4. 如图，A 、B 、C 是☉O 上的三点，OC 是☉O 的半径，∠ABC=15°，那么∠OCA 的度数是 A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 图2 （第3题图） （第4题图） 5. 已知a 2=3，b 2=6，c 2=12，则下列关系正确的是 A ．c b a +=2 B ．c a b +=2 C ．b a c +=2 D. b a c +=2 6. 若实数n 满足 (n-2009 )2 + ( 2008-n )2=1，则代数式(n-2009 ) ( 2008-n )的值是 A ．1 B ．21 C ．0 D. -1 7. 已知△ABC 是锐角三角形，且∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是 A ．∠A ＞ 60° B ．∠C ＜60° C ．∠B ＞45° D ．∠B ＋∠C ＜90° 8. 有2009个数排成一行，其中任意相邻的三个数中，中间的数总等于前后两数的和，若第一个数是1，第二个数是-1，则这2009个数的和是 A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2 9. ⊙0的半径为15，在⊙0内有一点 P 到圆心0的距离为9，则通过P 点且长度是整数值的弦的条数是 A ．5 B ．7 C ．10 D ．12 10. 已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，记b a p +=2，a b q -=，则下列 结论正确的是 A ．p ＞q ＞0 B ．q ＞p ＞0 C ．p ＞0＞q D ．q ＞0＞p 二、填空题（本大题满分40分，每小题5分） 11. 已知 |x |=3，2y =2，且y x +＜0，则y x = . 12. 如果实数b a ,互为倒数，那么=+++221111 b a . 13. 口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个， 绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52 ，那么，随机从中摸出一个黄球的概 率为 . 14. 如图，在直线3+-=x y 上取一点P ，作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ， 若矩形OAPB 的面积为4，则这样的点P 的坐标是 . 15. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°, E, F 分别在AC 、AB 上，且AE=AF ，∠CDE= ∠BAC ，那么，图中长度一定与DE 相等的线段共有 条. （第10题图） D F B A E C C 提高卷一一、填空题： 1.计算：111111 6246012021084 +++++=________； 2.小凤在计算一道求七个自然数的平均数（得数保留两位小数）时，将得数最后一位算错了，他的错误答案是 21.83，正确的答案应是_______； 3.已知a=11661267136814691570 11651266136714681569 ?+?+?+?+? ?+?+?+?+? ?100，问a的整数部分是________； 4.一只乌鸦从其巢飞出，飞向其巢北10千米东7千米的一点，在该点它发现有一个稻草人，所以就转向再北4 千米东5千米的地方飞去，在那里它吃了一些谷物后立即返巢，乌鸦所飞的途 径构成了一个三角形（假设乌鸦总是沿直线飞行的），这个三角形的面积是 ________； 5.把1，2，3，?，9填入图中9个圈内，不同圈内填不同数字，三角形每边上 四个数之和相等，右图中阴影部分的六个圆圈内所填数之和的最小值是 ________； 6.从1，2，?，16中，最多能选出_______个数，使得被选出的数中，任意三个 数都不是两两互质的； 7.将所有自然数，自1开始依次写下去：123456789?，试确定在第206788个位置所出现的数字是_______； 8.某一出租车的车费起价是2千米5元钱，往后每增加1千米车费增加2元。现在从甲地到乙地乘出租车共支出 车费35元。如果从甲地到乙到先步行800米，然后乘车也是35元。从甲、乙两地中点到乙地需支付_______车费； 二、解答题： 9.如图有五个圆，它们相交后相互分成9个区域，现在两个区域里 已分别填上数10与6，请在另外七个区域里分别填进2，3，4，5，6，7，9七个数，使每个圆内的和等于15； 10.一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一 半再落下，当它第10次着地时，共经过了多少米；（得数保留到个位） 11.有4个蜂鸣器A，B，C，D，这4个蜂鸣器连续响的时间长短是以1:2:3:4的比例而定的，它们分别响完后再过 8秒又开始响。4个蜂鸣器第一次同时开始响，28分钟之后又同时响起来。此时，是C蜂鸣器的第121次开始。 问C和D两个蜂鸣器第一次同时开始响，是在从4个蜂鸣器首次开始响算起几分之几秒后；A和B两个蜂鸣器响完是几秒之后； 12.一个直角三角形，各边都是整数，若周长与面积的数值相同，这样的直角三角形有______个； 13.已知511 24a b =-，那么a、b共有______组，分别是_______； 14.如图所示，将半径为2厘米的圆沿圆形的内侧滚动一圈： （1）求出圆心所经过路线的长度； （2）求出图形内圆未经过部分的面积； 提高卷二一、填空题： 1.计算： 1 1234 ??? + 1 2345 ??? + 1 17181920 + ??? L=________； 2.规定x△y=1 xy + 1 () y A x + ，而且1△1=1 1 3 ，求998△999的值是________； 3.甲、乙两队比赛羽毛球，双方各出4名队员按事先排好的顺序出场比赛。双方先由1号队员比赛，负者被淘汰， 胜者继续与对方2号队员比赛??，直到一方队员全部被淘汰为止，另一方获胜，这样形成一个比赛过程，那 10 6 10月16日 1:求极限3 0sin arctan lim x x x x -→. 2:已知 ,0)0(,1)0(=='f f 求)2 (lim n nf n ∞ →. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<< +n x x x n n π求: (1) 证明n n x ∞ →lim 存在, (2)计算1 1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知 )(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1) (lim ,0)0(0 =-=→x x f f x 则在点0 =x 处 )(x f (A) 不可导 (B) 可导,且 ,0)0(≠'f (C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设 ,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 . 6：求对数螺线θ ρe =在点)2,(2 π πe 处得切线的直角方程. 7：计算dx e e x x )(0 cos cos ? --π . 8：计算dx x x ? ++4 2 ) 2() 1ln(. 9: 计算 dx x x ? -π 53sin sin . 10: 化三重积分 ???Ω ) ,,(z y x f 为累次积分,其中 Ω 为六个平面 2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域.. 11：求2 2 2 a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>== b b y m my x x 截下部分 面积. 12计算,)(22dxdydz y x I ???Ω +=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而 成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体. 2018年初中数学竞赛模拟试题 一、选择题（每小题5分，共30分） 1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且 3 1 =AB AD ．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为43，则EA CE 的值为（ ） （A ） 21 （B ）31 （C ）4 1 （D ）51 3．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定 4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个 5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q(p ≠q)，构成函数y=px-2和y=x+q ，若两个函数图象的交点在直线x=2的左侧，则这样的有序数组(p ，q)共有( ) (A)12组 (B)10组 (C)6组 (D)15组 二、填空题（每小题5分，共30分） 7．当x 分别等于 20051，20041，20031，20021，20011，2000 1 ，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式2 2 1x x +的值，将所得的结果相加，其和等于 ． 8．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜ 2 5 ，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ． 9．方程02 =++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ． 10．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ． · D C O B A高二数学竞赛模拟试题及答案
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