揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试
数学(文科)
本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则A B =
(A) {12}，
(B) {012}，， (C) {1} (D) {123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --
(B) 1
2
i -
+ (C) 12
i --
(D)
1
2i -
3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=- ，则()a b a -?=
(A) 8 (B)5 (C) 4 (D) 4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是
5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为
(A)
31 (B)3 (C) 1
2
(D) 16 6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是
(A)
12
(B)
23
(C)
3
1 (D)
14
7．抛物线2
8y x =的焦点到双曲线2
2
13
y x -=的渐近线的距离是 (A) 12 (B)3
2 (C) 1 (D) 3
8．函数22()cos ()cos ()44
f x x x ππ
=-
-+的最大值和最小正周期分别为
(A)1,2π (B) 1,π (C) 1,22π (D)1,2
π
9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧， 图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.9152 10．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底
面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为
(A) (B) (C) (D)
11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交
点，若20FP FQ +=
，则||QF =
(A)3 (B)4 (C)6 (D)8
12．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围
为
(A) 4m >或4m <- (B)45m << (C)48m << (D)5m >或4m =
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题 第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题 第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．
13． 已知12
1(),(,1);4
()log ,[1,).x
x f x x x ?∈-∞??=??∈+∞??，则((2))f f -= ．
14．设变量x ，y 满足约束条件222y x
x y x ≥??
+≤??≥-?
，则3z x y =-的最小值为 ．
15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被 截去部分的几何体的表面积为 ．
16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n n n a n n π=-?+?， 其前n 项和为n S ，则10S 等于 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C
sin cos A a C =. （I ）求C 的值；
（II
）若c =
，b =ABC ?的面积．
18．（本小题满分12分）
某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),
[40,60),[60,80),[80,100].
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；
（Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的时间，且已知
,[40,60)[80,
m n ∈?，求事件“||20m n ->”的概率.
19．（本小题满分12分）
如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点． (Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；
(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且1A D =
求多面体11CAC BD 的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于2
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线
PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数(1)
()ln ,b x f x a x x
+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1
x x
f x x +>-
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图5，四边形ABCD 内接于
，过点A 作
的切线EP 交CB 的延长线于P ，已知
025PAB ∠=．
（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小； (II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =?．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin
3x t y t ππ?
=???
?=+??
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值.
24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-.
（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤； （Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥
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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一、选择题：BCADAC DBCACD
解析：
9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)x
S =-，结合程序 框图易得当4n =时，4
15(120%) 6.144S =-=．
10. 设半球的半径为r ，依题意可得
2222r +=
，解得r =
所以此半球的体积为3
23
r π=.
11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：
|'|||2
|'|||3
FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ?=.
12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10
x m x -+=
在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2
()410f u u mu =-+=
在(0,1]上有唯一解2160,0.8
m m ??=-=?
??>??或(1)50f m =-<，
解得4m =或5m >.[或方程2
()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数1
4y u u
=+
，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得． x=-2
y 2=8x
y
x
O F 'Q 'F (2,0)
Q
P
二、填空题：13.4-；14. -8；15.54+16.687．
解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为
2236542?+=+16.21010(2)(2)(2)S =-+-++- cos 2cos 210cos10πππ
++++ 102[1(2)]5687.1(2)
---=+=--
三、解答题：
17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ?的内角，
sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：
sin sin a A
c C
==
------------------------------------------------------------3分
?tan C =
-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6
C π
=
.--------------------------------------------------------5分
（II ）解法1：∵c ，b =
由余弦定理得：2
2
712a a =+-----------------------------------------7分 整理得： 2
20a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分
∴1a =，由1
sin 2
ABC S ab C ?=
得
ABC ?的面积11122ABC S ?=??=--------------------------------------12分
【解法2：由c =结合正弦定理得：sin
A C =
=，---------------------6分
E
B 1
C 1
A 1
D
C
B
A
∵a c <， ∴A C <,
∴cos 14
A ==,-----------------------------7分 ∴sin sin[()]sin()
B A
C A C π=-+=+
sin cos cos sin A C A C =+
=
11421427
+=----------------------------9分 由正弦定理得：sin 1sin b A
a B
=
=，-------------------------------------------------10分 ∴ABC ?
的面积111222
ABC S ?=??=
．------------------------------------12分】
18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ?+?++=得0.017x =；-------------------2分 （Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1?+=，--------------------3分 不少于1小时的频数为12000.1120?=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分 （Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033??=人，设为,,A B C ；------6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022??=人，设为,x y .---------------------------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；
若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分 若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=
63
.105
=----------------------------------------------------12分
19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分
D 1
B 1
C 1A 1
D
C
B
A
E
H B 1
C 1
A 1
D
C
B A
∵BC 1?平面A 1CD ，DE ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ?平面1ACD ，1BD ?平面1
ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1
ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1
ACD //平面11BD C 又∵1BC ?平面11BD C
∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】
(Ⅱ) 222115
AD +A A =A D = 1,A A A D \^-------------------------------------7分
又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^，
又AD BC B = 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分 （法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分
1111111
33ABC ACD A B C AA S AA S BB S ???=?-??-??
112ABC AA S ?=?
?2
112222=??=即所求多面体11CAC BD
----------------12分 【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，
∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =
∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分 ∴所求多面体的体积V =1111
A ACD A ACC V V --+1111
133
BCD BCC S AA S A H ??=?+?
11114243232
=??+??=------------------------------------------12分】
20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22
221(0)y x a b a b
+=>>--------------------------------1分
由题意222242a b c a c a
?
?=+??
=??
?=??
，解得2,a b =-----------------------------------------4分
所以，椭圆的方程为22
142y x +=．-------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22
142
y x +=
，得(1P ．-------------------------------------6分
由题意知，两直线P A 、PB 的斜率必存在，设P A 的斜率为k ，
则P A
的直线方程为(1)y k x =-．--------------------------------------------7分
由22(1)
124
y k x x y ?-=-??+=??
得：222
(2)2))40k x k k x k +++-=．-------------8分 设A (x A , y A )，B (x B , y B )
，则1A A x x =?=-------------------------------9分
同理可得B x =10分
则2
2B A x x k -=
+，28(1)(1)2B A B A
k y y k x k x k -=----=+．
所以直线AB
的斜率A B
AB A B
y y k x x -==-为定值．----------------------------------12分
21.解：（Ⅰ）∵2
(),a b
f x x x '=
-----------------------------------------------------1分
(1)ln ()1
x x f x x +>
-由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)
得(1)2,
1(1),2
f f =??
?'=??即1,0,b a b =??
-=?------------------------------------------------------3分 解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分 （Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1
()2ln 0.1x x f x x x x x
+>
?-->---------------------------6分
当01x <<时，不等式(1)ln 1
()2ln 0.1x x f x x x x x
+>?--<------------------------------7分
令222
11221
()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x
-+'=--=+-= ∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分
当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1
x x
f x x +>-成立------------------------------10分
当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x x
f x x +>-也成立-------------------------11分
所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分
22.解：（I ） EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分 又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分
四边形ABCD 内接一于⊙O ，0180ABC D ∴∠+∠=
0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分
（II ）025,DAE ∠= ,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠
.ADC PBA ∴?? ---------------------------------------------------------------7分
.DA DC
BP BA
∴
=-------------------------------------------------------------------8分 又,DA BA =2.DA DC BP ∴=?--------------------------------------------------10分
23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分 曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分
（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离
2,d =
=------------------------------------------------------------6分
∴121
cos
,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠<
1,23AOB π∴∠=故23
AOB π∠=．-----------------------------------------------10分
24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，
因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤ ---------------------------------------------1分 当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即
1
12
x ≤≤；------------------------------------2分 当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分 当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即5
22
x <≤.--------------------------------------4分 综上,原不等式的解集为15|
22x x ??
≤≤????
. -------------------------------------------5 分 （II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分 =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分
22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分
所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分