线段的垂直平分线
一、选择题（共8小题）
1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1/2AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）
A、7
B、14
C、17
D、20
2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（）
A、6
B、4
C、6
D、4
3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（）
A、6
B、5
C、4
D、3
4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连
接BE，则∠CBE等于（）
A、80°
B、70°
C、60°
D、50°
5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、
E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：
（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
A、两人都正确
B、两人都错误
C、甲正确，乙错误
D、甲错误，乙正确
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，
则下列结论不正确的是（）
A、AE=BE
B、AC=BE
C、CE=DE
D、∠CAE=∠B
7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边
的距离相等，凉亭的位置应选在（）
A、△ABC的三条中线的交点
B、△ABC三边的中垂线的交点
C、△ABC三条角平分线的交点
D、△ABC三条高所在直线的交点
8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（）
A、AB垂直平分CD
B、CD垂直平分AB
C、AB与CD互相垂直平分
D、CD平分∠ACB
二、填空题（共12小题）
9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．
10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=____度．
11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD
的度数为_________°．
12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的
周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________．13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接
CP，则∠CPB=_________度．
14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．
15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，
则∠AEC的度数是_________度．
16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，
得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．
17、已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE
的周长等于_________．
18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）
19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD 的周长为_________cm．
20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_°．
三、解答题（共6小题）
21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE=5，求BC长．
22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
23、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
24、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
25.如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.
26.如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点.
（1）当AE=13cm时，BE= cm；（2）当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm；（3）当BC=15cm，则△BEC的周长是cm.
《线段垂直平分线》中一道习题的变式 例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线 交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长. 点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变. 变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A= . 点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B. 变式2： 如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。 点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。 图1 图2 图3
[变式练习1] 如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长. 图4 例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求∠EAN的度数. (2) 求△AEN的周长. (3) 判断△AEN的形状. 图5 [变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N. (1) 求△AEN的周长. (2) 求∠EAN的度数. (3) 判断△AEN的形状. 图6
线段的垂直平分线练习及答案 一、选择题（共8小题） 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段A．6B．5C．4D．3 第1题图第2题图第5题图 2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分AB C．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB 3．下列说法中错误的是（） A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线 B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等 C．线段有且只有一条垂直平分线 D．线段的垂直平分线是一条直线 4．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点 5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（） A．100°B．105°C．115°D．120° 6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（） A．48 B．24 C．12 D．6 7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC 于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算 8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( ) A．28°B．25°C．22.5°D．20° 第6题图第7题图第8题图 二、填空题（共10小题） 9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ． D
16.2线段的垂直平分线Array导学案 单位：迁安市第三初级中学编者：王爱新审核领导：日期：2019年11月
证明： 线段垂直平分线性质: 几何语言：∵ ∴ 辩图识图：1、判断：如图，直线EF垂直平分线段AB，C，D为直线EF上两点，则AC=AD 2、如图，AC垂直平分BD，则___=____；若BD 垂直平分AC，则___=____ 活动三：（应用）性质运用 1、如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm，BD=2.3cm，则四边形ACBD 的周长为cm D C B A 2.如下图，A村和B村之间有一条河l，要在l上选一点P修一个水泵站向两村送水，P点应该选在哪个位置会使使用的管道之和P A+PB最短？请你画出来。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
3.如果A，B两村如下图所示，水泵站P又该选在哪个位置会使使用的管道和P A+PB 最短呢？请你画出来。 课堂小结：谈一谈你本节课的收获有哪些? 课堂小测： 1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．AC=AD C．AD=BD D．AC=AB 2.如下图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D， 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长． 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这
典型例题 例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余） 又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。 求证：BF CF 2=。 分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）
∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角） 又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。 求证：CAF B ∠=∠。 分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，
13.1.2线段的垂直平分线的性质（一） 知识点： 1.线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 2.线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在线段的额垂直平分线上 3.尺规作图：做线段的垂直平分线 4.定理：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且它们到三角形三个顶点的距离相等． 同步练习： 预习效果检测 1．如图1-3-1，下列说法正确的是（ ） A ．若AC =BC ，则CD 是线段的垂直平分线; B ．若AD =DB ，则A C =BC C ．若C D ⊥AB ，则AC =BC ; D ．若CD 是线段AB 的垂直平分线，则AC =BC 2．如果三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上都有可能 3．如图1-3-2，Rt △ABC 中，∠C =90°，DE 是AB 的垂直平分线，AD 分∠CAD ：∠DAB =2：1，?则∠B 的度数为（ ） A ．20° B ．22.5° C ．25° D ．30° 4．如图1-3-3，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC =BD +AD ，则点D 在（ ）的垂直平分线上 A ．A B B ．A C C ．BC D ．不能确定 5.如图1-3-4所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB =AC =8，BC =6，求△BDC 周长． 6.已知：如图1-3-5，△ABC ． 求作：一点P ，使PA =PB =PC ． 图 1-3-1 图 1-3-2 图 1-3-3 图1-3-5 图1-3-4
《线段的垂直平分线》 线段的垂直平分线是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第三节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求了解勾股定理逆定理的证明方法结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原命题成立其。以本节的重点是进一步掌握演绎推理的方法。 【知识与能力目标】1．要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题。 2．能够证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理。3．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。【过程与方法目标】 ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。 ②经历实际操作，探索含有30。角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推 理能力和初步的演绎推理的能力； ③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的 能力。 【情感态度价值观目标】 ①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。 ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 【教学重点】 线段垂直平分线性质定理及其逆定理。 【教学难点】 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明。 教学过程 一、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等1．让学生把准备好的方方正正的纸拿出来， 按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的
折痕EB和E' B、FB和F' B的关系。 2?让学生说出他们观察猜测的结果是什么，肯定他们的发现，引导学生思考：这样一个结 论是比较直观和明显的，我们可以说出两组边分别是相等的，但是，我们可以用观察说服别 人吗？ 3?给学生留出时间和空间思考如何把猜想变成事实。学生可以讨论交流不同的方法。提示 学生在证明之前，要把文字语言变成数学语言，根据图形写出已知和求证。 4?选取证明完成地较好和较差的两位同学到黑板上板演自己的证明，其他同学在练习本上完成。 5?针对两位同学的板书讲解证法，规范学生的证明过程，培养学生的逻辑思维能力。 6?提升学生的几何认识：由证明过程可以看出，两组对应线段分别相等，那么这个事实的几何意义是什么呢？ 7?让学生总结出线段垂直平分线的性质定理，进而告诉学生：命题中说线段垂直平分线上 的任一点到线段两个端点的距离都相等，但是在证明过程中，我们只是随机地选了几种情况来证明，这并不影响命题的正确性，因为我们所选的点是任意的。借此向学生渗透等价类的性质与选取的代表无关的思想。 二、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 1引导学生回忆第二节课学过的关于互逆命题和互逆定理的知识，让学生说出自己收集的数学上的互逆命题和互逆定理。 2?把学生的答案分成两类：一类是“如果…那么…”形式的，一类是非“如果…那么…” 形式的。对于简单的情形，不予以过多阐释，对于非“如果…那么…”形式的命题，要求给 出这组互逆命题的学生跟同学们讲清楚他是怎么想的。
(第2题）E D C B A 线段的垂直平分线 一、基础知识： 1、线段垂直平分线的性质 因为 ，所以AB ＝AC. 理由： 2、线段垂直平分线的判定 因为 ，所以点A 在线段BC 的中垂线上. 理由： 1、 如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________. （第1题） （第3题） （第4题） 2、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）. A.4 B.2 C.3 D. 1 2 3、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm. A.3.9 B.7.8 C.4 D.4.6 4、如图，NM 是线段AB 的中垂线,下列说法正确的有： . ①AB ⊥MN,②AD=DB ， ③MN ⊥AB ， ④MD=DN ，⑤AB 是MN 的垂直平分线. 5、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，P A =PB ；②若P A =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若P A =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例1、已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。 例2、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ; （2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B (第1题 )
《线段的垂直平分线的性质》教学设计 教学目标： 1.经历探索线段垂直平分线性质的过程，理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理。 2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。 3. 体验解决问题策略，发展实践能力和创新精神。 教学重点、难点： 重点：理解线段的垂直平分线的性质，并能运用性质解决相关问题。难点：线段垂直平分线的实际应用。 教学过程： 一、创设问题情境 如图，两个小区分别为中建芙蓉嘉苑小区和丽发新城小区，为了便于两个小区的居民看病，政府计划在环保西路上修建湘雅五医院，使它到两个小区的距离相等，那么医院应建在什么位置？ 二、温故 我们上节课学习了线段的垂直平分线，那么线段的垂直平分线是怎样定义的呢？
线段的垂直平分线：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫做线段的中垂线）。 注意：1.线段的垂直平分线是直线。 2.这条直线经过线段的中点。 3.这条直线垂直于这条线段。 三、知新 我们知道了线段的垂直平分线的定义，现在请同学们根据定义，利用直尺和铅笔作图，画一条已知线段的垂直平分线。动动手，画一画。 下面我们来看一看这条线段的垂直平分线上的点有什么特点？ 右图中，直线L 垂直平分线段AB,在L 上任取点P 1、P 2、P 3，连接P 1A 、P 1B,P 2A 、P 2B,P 3A 、P 3B 的长，你发现了什么？你有什么猜想吗？ 猜想：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 那我们猜想出来以后，就可以直接运用了吗？嗯，我听到有同学说需要证明，很好，那我们看看应该怎样证明呢？如果证明的话，应该先怎样呢？（把文字语言转化成符号语言） A B l P P P
线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 图1 图2
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题： 1．在△ABC 中，∠C=90o，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______. 2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定
19.3.5《作已知线段的垂直平分线》学案 学习目标 1.掌握作已知线段的垂直平分线的方法及一般步骤，并熟练掌握基本作图语言。 2.通过动手操作、合作探究，培养学生的作图、语言表达、逻辑思维和推理能力。 3.激情投入，全力以赴，让学生认识到尺规作图与实际生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。 重点：掌握作已知线段的垂直平分线的作法。 难点：尺规作图的理论依据。 课堂研讨 一、复习导学 1.线段的垂直平分线的性质是： 。 2.如图19．3．9，对已知线段AB 的垂直平分线上 的任意两点C 、D ，总有CA ＝CB ， DA ＝DB.由此， 你能发现作垂直平分线的方法吗？ 二、研讨过程 问题1：作已知线段的垂直平分线 如图19．3．10，已知线段AB ，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段AB 的垂直平分线． 作法： 第一步： ． 第二步： ． 则直线CD 就是所要作的线段AB 的垂直平分线． 我们可以证明这样作出来的直线是符合要求的，即证明直线CD 垂直平分线段AB ． 如图19．3．11，连结CA 、CB 、DA 、DB ， ∵ AC ＝BC ， AD ＝BD ，CD ＝CD ， ∴ △ ≌△ （S ．S ．S ．）， ∴ ∠ACD ＝∠BCD （全等三角形的对应角相等）， ∴ CD 垂直平分线段AB （等腰三角形“三线合一”）． 由于直线CD 与线段AB 的交点就是AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段AB 的中点，从而也可以作出任一个 三角形的三条中线． 图 19.3.9 图 19.3.10 图19.3.11
三、练习 1．四等分已知线段AB． 2．如图，作△ABC边BC的垂直平分线． (第2题) 完成下列作图，并写出作法． 1．如图，已知线段AB和CD，求作一条线段，使它等于AB－2CD． （第1题）（第2题） 2．如图，已知∠A和∠B，求作一个角，使它等于∠A－2∠B． 3．如图，已知线段a和b，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于a，底边长等于b． （第3题）（第4题） 4.如图，已知线段a和b，求作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于线段a和b． 5.已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠A≠90°，在AC所在的直线上求作一点P，使PA＝PB． 四、小结与作业 课本第86页习题19.3第6题。 课后反思：
北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析
专训2线段垂直平分线与角平分线的应用类型名师点金：本章内容除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数，说明数量关系等，还可以解决实际生活中的问题． 利用线段垂直平分线的性质求线段的长 1．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． (第1题) 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE 交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数． (第2题)
利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ (第3题) 利用角平分线的性质解决面积问题 4．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积． (第4题)
利用角平分线的性质说明线段的数量关系 5．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.试说明：PC＝PD. (第5题)
答案 1．解：因为△ACD的周长是14 cm， 所以AD＋CD＋AC＝14 cm. 又因为DE是BC的垂直平分线， 所以BD＝CD.所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB. 所以AB＋AC＝14 cm. 因为AB－AC＝3 cm，所以AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm. 2．解：因为∠1∶∠2＝2∶5， 所以设∠1＝2x，则∠2＝5x. 因为DE是线段AB的垂直平分线， 所以AD＝BD. 所以∠B＝∠2＝5x. 所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x. 因为在△ADC中，2x＋10x＝90°， 解得x＝7.5°，所以∠ADC＝10x＝75°. (第3题) 3．解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．点拨：解决作图选点类问题，若要找到某两个点的距离相等的点，
线段的垂直平分线与角的平分线 一、选择题 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65?，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90?，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ； ②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90?，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD
吉昌中学八年数学（上）导学案 课题13.1.2 线段的垂直平分线的性质(1)课型预习展示课时间 /学习目标 1、掌握线段的垂直平分线的概念，并推导出轴对 称的性质。 2、会利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关 问题。 重点线段的垂直平分线的概念及性质。 【 难点 利用线段垂直平分线的性质及判定解决有关问题。 学习内容（资源） 学法 指导 一、知识回顾: 1、下面的图形是轴对称图形吗如果是，请画出它的对称轴。 ` 二、新知探究: 1、如图(1)，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系 （1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗 于是有PA＝，∠MPA＝＝度 ' （2）对于其他的对应点，如点B，B′；C，C′也有类似的情况吗 （3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关系呢 2、垂直平分线的定义： 经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 3、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的。 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 ! 4、线段垂直平分线的性质：。 5、请写出“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题。 。 6、你能证明这个结论吗请根据逆命题，写出已知和求证，并完成证明. 三、巩固新知： 例题：如图（3），在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm， 求△ABC的周长。 ！ 四、能力提升： 3、如图（4），AB=AC，MB=MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗 . 复习旧知识，为本节课学习做准备。 请认真阅读课本第59页内容，并填写第二大题第1、2、3小题。 · 请认真阅读课本第61页例题，模仿例题做一做。（按照步骤书写） 要善于总结自己这一节课的收获和疑问，问题也要及时找同学或者老师帮你解决，这样更有利于把所学的知识形成体系，对今后的学习很有益处。 (1) \ (3) 图（4）
线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6错误！未找到引用源。 B、4错误！未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）
6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题（共12小题） 9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________． 10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度． 11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°． 12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC
§1.3线段的垂直平分线（1）学案 教学目标：1、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力。 2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。 3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线。 重点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。 难点：能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理。 一、前置准备： 什么是线段的垂直平分线？你会画线段的垂直平分线吗？ 二、讲授新课 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？ 已知：如图，直线MN ⊥AB ，垂足是C ，且AC=BC ，P 是MN 上的任意一点。 求证：PA=PB 。 垂直平分线的性质定理： 三、合作交流； 想一想：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题 的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明。 逆命题： 已知： 求证： 证明： 垂直平分线的判定定理： 做一做：用尺规作出已知线段AB 的垂直平分线CD （不要求写作法） CD 为什么是线段AB 的垂直平分线？ 思考：用尺规作图能确定已知线段的中点吗？ 四、例题解析： M P A B C N M C A B D N A B
如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B 三、应用深化： 1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。 2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。 （题2） （题4） （题5） 3、△ABC 中，∠A=500，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。 4、△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠ BAC=1260，则∠EAG= 。 5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。 6、有特大城市A 及两个小城市B 、C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B 、C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。 课下训练： 1、 如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC=7cm,那么ED= cm ；如果∠ECD=600，那么∠EDC= ∠B=300 2、 如图，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，△BCD 的 周长等于50，求BC 的长。 中考真题：已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。 A E C D B
(第2题） E D C B A 八年级数学：线段的垂直平分线 练习 1、线段垂直平分线的性质 因为 ,所以AB ＝AC. 理由： 2、线段垂直平分线的判定 因为 ,所以点A 在线段BC 的中垂线上. 理由： 1、如图,△ABC 中,AD 垂直平分边BC ,AB ＝5,那么 AC ＝_________. （第1题） （第3题） （第4题） 2、如图,在△ABC 中,AB 的中垂线交BC 于点E,若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）. A.4 B.2 C.3 D.12 3、如图,AB 垂直平分CD,若AC=1.6cm,BC=2.3cm,则四边形ABCD 的周长是（ ）cm. A.3.9 B.7.8 C.4 D.4.6 4、如图,NM 是线段AB 的中垂线,下列说法正确的有： . ①AB ⊥MN,②AD=DB, ③MN ⊥AB, ④MD=DN,⑤AB 是MN 的垂直平分线. 5、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线,则EA =EB ,PA =PB ；②若PA =PB ,EA =EB ,则直 线PE 垂直平分线段AB ；③若PA =PB ,则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA =EB ,则 过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6、已知：如图,DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线,分别交AB 、BC 于D 、E,AE 平分∠BAC,若∠ (第1题) C D A
B=300,求∠C的度数。 7、如图,在△ABC中,AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ; （2）DF∥AC （3）∠EAC=∠B 8、有特大城市A及两个小城市B、C,这三个城市共建一个污 水处理厂,使得该厂到B、C两城市的距离相等,且使A市到厂 的管线最短,试确定污水处理厂的位置。 9.如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD. 10.如右图,△ABC中,AB=AC=16cm,AB的垂直平分线ED交AC于D点. （1）当AE=13cm时,BE= cm； （2）当△BEC的周长为26cm时,则BC= cm； （3）当BC=15cm,则△BEC的周长是 cm.
2.4 线段的垂直平分线 基础导练 1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于() A．80°B．70° C．60°D．50° 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有 () A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 3．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是________． 4．如图2－4－10，在△ABC中，AB＝5 cm，AC＝3 cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，连接DC，则△ACD的周长为________cm.
图2－4－10 5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC. (1)求∠ECD的度数； (2)若CE＝5，求BC长． 能力提升 6．如图，已知△ABC. (1)作BC边的垂直平分线交BC于D，连接AD(尺规作图，不写作法，保留作 图痕迹) (2)在(1)的基础上，若△ABC的面积为6，则△ABD的面积为________．
参考答案 1．C【解析】因为等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC＝180°－20° 2＝80°. 因为DE是线段AB的垂直平分线， 所以AE＝BE，∠A＝∠ABE＝20°， 所以∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝80°－20°＝60°. 故选C. 2．A【解析】因为AC＝AD，BC＝BD，所以点A，B在线段CD的垂直平分线上．所以AB垂直平分CD.故选A. 3．BD＝CD(答案不唯一)【解析】因为ED是BC的垂直平分线，所以BE＝CE，BD＝CD， 因为在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， 所以∠ECB＝∠B＝30°，∠A＝90°－∠B＝60°， 所以∠ACE＝90°－30°＝60°， 所以△AEC是等边三角形， 所以AE＝EC＝AC， 所以AE＝AC＝EC＝BE. 所以图中两条相等的线段是：BE＝CE＝AC＝AE或BD＝CD. 故答案为：此题答案不唯一，如BD＝CD等． 4．8【解析】因为DE为BC的垂直平分线，所以CD＝BD，所以△ACD的周长为AC＋CD＋AD＝AC＋AD＋BD＝AC＋AB， 又因为AC＝3 cm，AB＝5 cm，所以△ACD的周长为3＋5＝8 (cm)．5．解：(1)因为DE垂直平分AC，所以CE＝AE， 所以∠ECD＝∠A＝36°； (2)因为AB＝AC，∠A＝36°， 所以∠B＝∠ACB＝72°， 所以∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°， 所以∠BEC＝∠B，
线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下： （甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求； （乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB