8.7 空间向量在立体几何中的应用
五年高考
考点空闻向量及其应用 1．（2013江西．19,12分）如图，四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，
EA DCB DAB ,???,2
3
,1=
===PA AB EB 连结CE 并延长交AD 于F ． (1)求证：AD ⊥平面CFG;
(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．
2．（2013浙江．20，15分）如图，在四面体A- BCD 中，AD ⊥平面,2,,=⊥AD CD BC BCD M BD .22= 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且.3QC AQ = (1)证明：PQ//平面BCD;
(2)若二面角C-BM -D 的大小为,600
求∠BDC 的大小．
3．（2012北京．16,14分）如图1，在Rt△ABC 中，BC C ,90
=∠E D AC ,.6,3==分别是．AC ，AB 上的点，且.2,//=DE BC DE 将△ADE 沿DE 折起到DE A 1?的位置，使,1CD C A ⊥如图2． (1)求证：⊥C A 1平面BCDE ；
(2)若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；
(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面DP A 1与平面BE A 1垂直？说明理由．
4．（2012天津．17,13分）如图，在四棱锥P- ABCD 中，PA ⊥平面,,,A BC AB AD AC BCD ⊥⊥
.1,2,45====∠AC AD PA BAC
(1)证明PC ⊥AD ；
(2)求二面角A-PC -D 的正弦值；
(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为,03
求AE 的长，
智力背景
控制论的诞生（二) 第二次世界大战期间，他参加了美国研制防空火力自动控制系统的工作，为提 高炮火的命中率，许多数据必须迅速、准确地计算出来．让维纳兴奋的是，他发现自动防空炮火系统的运 转和生物体有着惊人的相似：在二者的内部都存在着对输A 信息的处理和反应，于是，他将大脑和神经 系统与计算机设备联系在一起.:1943年，维纳与人合写了《行为、目的和目的论》的论文，从反馈角度研究了目的性行为，找出神经系统和自动机之间的一致性，这是第一篇关于控制论的论文．
5．（2011辽宁，18，12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面.2
1
,//,PD AB QA QA PD ABCD == (1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)求二面角Q- BP -C 的余弦值．
6．（2010山东，19,12分）如图，在五棱锥P - ABCDE 中，PA ⊥平面,//,//,ED AC CD AB ABCDE
==AB ABC BC AE ,45/,// ,42,22==?AE C B 三角形PAB 是等腰三角形．
(1)求证：平面PCD ⊥平面PAC ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；
(3)
求四棱锥P-ACDE 的体积．
解读探究
知识清单
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有①____和②____的量叫做空间向量．
(2)相等向量：方向③____且模④ 的向量． (3)共线向量． (4)共面向量．
2．共线向量、共面向量定理和空闻向量基本定理 (1)共线向量定理
对空间任意两个向量a ，b （b≠0），a∥b 的充要条件是⑤ 推论；如图所示，点P 在L 上的充要条件是：,ta +=
其中a 叫直线L 的方向向量，,R t ∈在L 上取,a =则可化为⑥=0或=0.)1(t t +-
(2)共面向量定理的向量表达式：
p=⑦____，其中b a R y x ,,,∈为不共线向量，推论的表达式为+=x y 或对空间任意一点O 有⑧= 或y x +=.1,=+++z y x z 其中
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b,c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z}，使得p=⑨____，把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 (i)两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间内任取一点O ，作ω,a =,b =则⑩ 叫做向量a 与b 的夹角，记作 ，其范围是 ，若,2
,π
>=
智力背景
华罗庚的读书法-- “厚薄”法 华罗庚把读书过程归结为“由厚到薄”“由薄到厚”两个阶段，当你对书的内容真正有了透彻的了解，抓住了全书的要点，掌握了全书的精神实质后，读书就由厚变薄了，愈是懂得透彻，就愈有薄的感觉，如果在读书过程中，你对各章节又作深入的探讨，在每页上添加注解，补充参考资料，那么，书又会愈读愈厚． (ii)两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则 叫做向量a ，b 的数量积，记作 ，即
(2)空间向量数量积的运算律
(i)结合律：=?b a )(λ
(ii)交换律：=
?b a
(iii)分配律：=+?)(C b a 4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算
若),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==
则=?b a (2)共线与垂直的坐标表示
设),,,(),,,(
321321b b b b a a a a ==则?b a //
?⊥b a
（a ，b 均为非零向量）．
(3)模、夹角和距离公式
设),,,(),,,(321321b b b b a a a a ==
则=?=
a a a ||
=?>=
<
|
|||,cos b a b
a b a
若),,,(),,,(222111c b a B c b a A 则
==||d
AB
5．直线的方向向量及其应用 (1)直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量 （或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可能有
(2)直线方向向量的应用
利用直线的方向向量，可以确定空间中的直线和平面．
(i)若有直线L ，点A 是直线L 上一点，向量a 是L 的方向向量，在直线L 上取,a =则对于直线L 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得 ，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线L 的位置，还可以具体表示出L 上的任意一点．
(ii)空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定．设这两条直线相交于点0，它们的方向向量分别是a 和b ，P 为平面α上任意一点，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x ，y ），使得
= 这样，点0与方向向量a ，b 不仅可以确定平面α的位置，还可以具体表示出α内的任意
一点．
6．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的向量，显然—个平面的法向量也有 个，它们是 向量 (2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是 确定的． 7．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
直线1l 的方向向量为),,,(1111c b a u =直线2l 的方向向量为?=),,(2222c b a u 如果,//
21l l 那么?21//u u
如果,21l l ⊥那么?
⊥21u u
直线L 的方向向量为),,,(111c b a u =平面α的法向量为n ?=),,(222c b a
若,//αl 则?
=??⊥0n u n u
若L ⊥α，则?=?kn u n u //
平面1α的法向量为),,,(1111c b a u =平面2α的法向量为?=),,(2222c b a u
若,//21αα则?
=2121~//ku u u
若,
21αα⊥则?=??⊥02121u u U u
【知识拓展】
1．空间向量中数量积的性质：(1)可用来求角；(2)可证明线线垂直；(3)可用来求线段的长．
2．在计算和证明立体几何问题时，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形中有关问题可用向量表示，利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象．
3．对空间任意一点A 求其坐标的一般方法：过A 作z 轴的平行线交平面xOy 于B ，过B 分别作x 、y 轴的平行线，分别交x 、y 轴于C 、D ，则由O 0的长度和方向便可求得点A 的坐标．
知识清单答案
智力背景
英国数学家康威 康威喜欢小孩子的玩意.他常赤着脚，用纸和笔玩数学游戏，有时就捉着学生、 教授和他玩．康威的办公室以杂乱闻名，以致很难容两人坐下来.他结婚两次，生活相当清贫.他不开车也不买车，因为他常深入数学世界，忘记周围.他除了搞数学，唯一的乐趣就是每月买几本旧书.他认为大战发生就是世界末日．他试着计算地球毁于核意外的日子，为不久全世界毁于核爆炸而忧心忡忡.
突破方法
方法1异面直线所成角及点面距离
例1 （2012广东中山二模，19，14分）如图，已知两个正四棱锥P - ABCD 与Q- ABCD 的高分别为l ，2，AB =4.
(1)证明：PQ ⊥平面ABCD ；
(2)求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值； (3)求点P 到面QAD 的距离．
解题思路
解析 (1)证明：如图，设,0=BD AC
连结,,OQ OP .,BD AC
ABCD Q ABCD P --与 都是正四棱锥，
∴ PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD ，从而P 、0、Q 三点在一条直线上． ∵ PQ 上平面ABCD. （4分）
(2)由题设知，四边形ABCD 是正方形， ∴ AC ⊥BD ．
由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以CA ，DB ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O- xyz ，由条件得),0,0,22(),1,0,0(A P ),0,22,0(),2,0,0(B Q -
?-=--=∴)1,22,0(),2,0,22(P （6分）
于是?=
=
<9
3|
||AQ |,cos PB
从而异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值为?9
3
（9分） (3)由(2)得=-),0,22,0(D Q ),0,22,22
(P --),3,0,0(-=设),,(z y x n =是面QAD 的一个法
向量.
由????
?==0
D ,
0A n
n
得???=+=+.
0,02y x z x 不妨取x=l ，得).2,1,1(--=n （12分） ∴ 点P 到面QAD 的距离?=?=
22
3|
ln ||n P d （14分）
【方法点拨】异面直线所成角及点面距离的向量求法：
方法2 平行与垂直、直绒与平面所成角
例2（2012河南开封三模．19,12分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD= DE= 2AB ，F 为CD 的中点． (1)求证：AF//平面BCE ；
(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值，
解题思路
解析 设,22a AB DE AD ===建立如图所示的坐标系),0,0,0(,A xyz A 则-),,0,0(),0,0,2(a B a C
),0,3,(a a D ).2,3,(a a a E
∵ F 为CD 的中点，∴?)0,2
3
,
2
3(.a a F （3分） (1)证明：),,3,(),0,2
3
,
2
3(a a a BE a a AF == ??/+=
-=AF a a ),(2
1
),,0,2( 平面BCE ， ∴ AF∥平面BCE. （6分）
智力背景
不是洗澡堂 德国女数学家爱米·诺德，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，当时，著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能，他到处奔走，要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现了争论，一位教授说：“当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？”希尔伯特站起来，坚定地批驳道：“先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由，大学评议会毕竟不是洗澡堂！”
(2)证明：∴=-==?),0,3,(),0,2
3
,
2
3(E a a C a a ),2,0,0(a - （7分） ,,,0.,0.E A A E C ⊥⊥∴==?∴ ⊥∴平面CDE ，又AF ／／平面BCE ，
∴ 平面CDE ⊥平面BCE. （9分）
(3)设平面BCE 的法向量为),,,(z y x n =由,0=?B n
0C =?B n 可得,02,03=-=++z x z y x
取),2,3,1(-=n （10分）
又),,23,23(
a a a -=设BF 和平面BCE 所成的角为θp ， 则,4
2
2
222sin =?=
=
a a θ ∴ 直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值为
?4
2
（12分） 【方法点拨】 直线与平面所成角的向量求法直线L 与平面α的夹角一是直线L 的方向向量L 与平面α的法向量n 的夹角β(锐角)的余角，故有??=
=|
|||cos sin n l n
l βθ
方法3 二面角
例3 （2012课标全国．19，12分）如图，直三棱柱-ABC 111C B A 中，D AA BC C ,2
1
A .1=
=是棱 1AA 的中点，.1BD DC ⊥
(1)证明：;1BC DC ⊥
(2)求二面角11C BD A --的大小，
解题思路
解析 (1)由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D 为1AA 的中点，故?=1DC DC 又?=
,2
1
1AA AC 可得,21221CC DC DC =+所以.1DC DC ⊥（2分） 而,,1D BD DC
BD DC =⊥ 所以⊥1
DC
平面BCD. （4分）
又?BC 平面BCD ，故.1BC DC ⊥ （6分）
(2)由(1)知,1DC BC ⊥且,1CC BC ⊥则BC ⊥平面,1ACC 所以1,,CC CB CA 两两相互垂直，
以C 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，C 的方向为y 轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C .xyz -
由题意知 ).2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),2,0,1(11C D B A
则?-=-=-=)1,0,1(),1,1,1(),1,0,0(11DC B A （8分） 设),,(z y x n =是平面BD B A 11的法向量，
则?????=?=?,0,01A n BD n 即?
??==+-.0,0z z y x 可取n=(l ，l ，0)．（9分）
同理，设m 是平面BD C 1的法向量，则?????=?=?.
0,
01DC m m
可取?=)1,2,1(m （10分）
从而?=?>=
<23
|
|.|ln ,cos m m n m n 故二面角11C BD A --的大小为.30o
（12分）
【方法点拨】 二面角的向量求法：
(1) 若AB 、CD 分别是二面角α-L-β的两个面内与棱L 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量
与的夹角（如图①
)．
(2)设21,n n 分别是二面角βα--l 的两个面βα,的法向量，则向量21n n 与的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③），即???=
|
n |n n cos 2121n θ
智力背景
东方第一几何学家——— 苏步青 1927年毕业于东北帝国大学,1931 年获该校理学博士学位.1948 年被选聘为中央研究院院士，复旦大学教授、名誉校长，中国数学会名誉理事长．主要从事微分几何学和 计算几何学等方面的研究，被誉为“东方第一几何学家”，在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面 取得出色成果；在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面 取得突出成就．1955年被选聘为院士．
三年模拟
A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试
时间：60分钟 分值：65分 一、远择题（共5分）
1．（2013辽宁大连一模，5）长方体1111D C B A ABCD -中，=AB E AD ,1,2AA 1==为1CC 的中点，
则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为( )
1010.
A 1030.
B 10152.
C 10
10
3.D 二、填空题（每题5分，共10分）
2．（2013上海普陀二模．12）正四棱锥S - ABCD 中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，
且SO = OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是 ． 3．（2012江苏苏州3月模拟．6）已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CC =2，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为 . 三、解答题（共50分）
4．（2013北京延庆一模）如图，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 为菱形，,60 =∠ABC 侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD.
(1)设AB 的中点为Q ，求证：PQ ⊥平面ABCD ； (2)求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；
(3)在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角M - BD -C 的大小为,600求
CP
CM
的值．
5．（2013天津南开4月．17）在直三棱柱中，,3AA 1===BC AB D AC ,2=是AC 中点．
(1)求证：//1C B 平面;1BD A (2)求点1B 到平面BD A 1的距离； (3)求二面角11B DB A --的余弦值．
6．（2013山东聊城二模．20）正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，
现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A -DC -B ．
(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E-DF-C 的余弦值； (3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出
BC
BP
的值；如果不存在，请说明理由． 7．（2012广东汕头4月模拟，18）如图所示的长方体-ABCD 1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的正
方形，0为AC 与BD 的交点，M BB ,21=是线段11D B 的中点．
(1)求证：BM∥平面;1AC D (2)求证：O D 1⊥平面;1C AB (3)求二面角C AB B --1的大小．
智力背景
数理统计学学科的奠基者---费谢尔歇（一）数理统计 一个进一步完善的数学学科，他的奠基者是英国人费歇尔（R ．A ．Fisher ，1890—1962）．费歇尔1909年入剑桥大学，攻读数学物理专业，三年后毕 业，毕业后，他曾去投资办工厂，又到加拿大农场管过杂务，也当过中学教员．1919年，他开始对生物统计学产生浓厚的兴趣，并参加了罗萨姆斯泰德试验站的工作 ，致力于数理统计在农业科学和遗传学中的应用研究，年轻的费歇尔主要的研究工作是用数学将样本的分布给以严格的确定．
B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试
时间：40分钟 分值：45分 一、选择题（每题5分，共10分）
1．（2013福建泉州二模．7）设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则点1D 到平面BD A 1的距离是( )
23.
A 2
2.B 332.C 33
2.D
2．（2011辽宁沈阳4月．8）如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别在AC D A 、1上，且
,3
1
,3211AC AF D A E A ==
则( ) A ．EF 至多与AC D A 、1之一垂直 B ．EF 是AC D A 、1的公垂线 C ．EF 与1BD 相交 D ．EF 与1BD 异面
二、填空题（每题5分，共10分）
3．（2013江苏南京一模．9）P 是二面角βα--AB 棱上的一点，分别在平面βα、上引射线,PN PM 、
如果=∠=∠BPN BPM ,60,45
=∠MPN 那么二面角βα--AB 的大小为
4．（2013湖南长沙一模．15）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为l ，E 、F 分别为CD BB 、1的中点，则
点F 到平面E D A 11的距离为
三、解答题（共25分） 5．（2013北京房山一模．19）如图，四棱锥P - ABCD 的底面为正方形，侧棱PA 上底面ABCD ，且PA= AD =2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点． (1)求证：PB∥平面EFH; (2)求证：PD ⊥平面AHF ；( 3)求二面角H- EF -A 的大小．
6．（2013河北衡水二模，19）如图，在四棱锥P - ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱2PD PA =
=,
,PD PA ⊥底面ABCD 为直角梯形，其中,,//AD AB AD BC ⊥0,1==BC AB 为AD 中点．
(1)求直线PB 与平面POC 所成角的余弦值；
(2)求B 点到平面PCD 的距离；
(3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q - AC -D 的余弦值为?36若存在，求出QD
PQ 的值；若不存在，请说明理由，
智力背景
数理统计学学科的奠基者 —一费歇尔（二） 费歇尔热衷于数理统计的研究工作，后来的理论研究
成果有：数据信息的测量、压缩数据而不减少信息、对一个模型的参数估计等．最使科学家称赞的工作则是试验设计，它将一切科学试验从某一个侧面“科学化”了，不知节省了多少人力和物力，提高了若干倍的工效．费歇尔培养了一个学派，其中有专长纯数学的，有专长应用数学的．在30—50年代，费歇尔是统计学的中心人物．1959年费歇尔退体后在淡失利亚度遭了最后三年．
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
空间向量在立体几何中的应用 【知识网络】 空间向量的定义与运算 空间向量运 算几何意义 空间向量的坐标表示及运算 应用空间向量的运算解决立几问题 证明平行、垂直 求空间角与距离 【考点梳理】 要点一、空间向量 1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。要点诠释： ⑴空间的一个平移就是一个向量。 ⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.共线向量 （1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共 线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb 。 3.向量的数量积 （1）定义：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ??<> 叫做,a b 的数量积，记作a b ? ，即a b ?= ||||cos ,a b a b ??<> 。 （2）空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<> ；②0a b a b ⊥??= ；③2||a a a =? ． （3）空间向量数量积运算律： ①()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；②a b b a ?=? （交换律）；③()a b c a b a c ?+=?+? （分配律）。
4.空间向量基本定理 如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++ 。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 5.空间直角坐标系： （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角 坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 6.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++ ，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记 作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 7.空间向量的直角坐标运算律： （1）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （2）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ，112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ，112233a b a b a b a b ?=++ ，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ ，1122330a b a b a b a b ⊥?++= ； ||a == ||b == ． 夹角公式：cos ||||a b a b a b ??==? ．
(三)立体几何与空间向量 1.如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，M是PC上一点，且BM⊥PC. (1)求证：PC⊥平面MBD； (2)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值. (1)证明连接AC，由P A⊥平面ABCD， BD?平面ABCD，得BD⊥P A， 又BD⊥AC，P A∩AC＝A， P A，AC?平面P AC， ∴BD⊥平面P AC，又PC?平面P AC，∴PC⊥BD. 又PC⊥BM，BD∩BM＝B， BD，BM?平面MBD， ∴PC⊥平面MBD. (2)解方法一由(1)知PC⊥平面MBD， 即∠PBM是直线PB与平面MBD所成的角. 不妨设P A＝1，则BC＝1，PC＝3，PB＝ 2. ∴PC2＝PB2＋BC2，∴PB⊥BC，又BM⊥PC， ∴sin∠PBM＝cos∠BPC＝PB PC＝2 3 ＝ 6 3， 故直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 6 3. 方法二以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz(如图所示)，
不妨设P A ＝AB ＝1， 则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (1,1,0). 由(1)知平面MBD 的一个法向量为PC → ＝(1,1，－1)， 而PB → ＝(1,0，－1). ∴cos 〈PB →，PC → 〉＝(1，0，－1)·(1，1，－1)2×3＝63， 故直线PB 与平面MBD 所成角的正弦值为 63 . 2.如图，已知△DEF 与△ABC 分别是边长为1与2的正三角形，AC ∥DF ，四边形BCDE 为直角梯形，且DE ∥BC ，BC ⊥CD ，点G 为△ABC 的重心，N 为AB 的中点，AG ⊥平面BCDE ，M 为线段AF 上靠近点F 的三等分点. (1)求证：GM ∥平面DFN ； (2)若二面角M －BC －D 的余弦值为 7 4 ，试求异面直线MN 与CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长AG 交BC 于点O ，连接ON ，OF . 因为点G 为△ABC 的重心， 所以AG AO ＝2 3，且O 为BC 的中点. 又由题意知，AM →＝23AF → ， 所以AG AO ＝AM AF ＝23， 所以GM ∥OF . 因为点N 为AB 的中点，
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
10 第七部分 立体几何与空间向量 一、知识梳理 （一）基本知识梳理：见《步步高》文科P123—124 ;理科P135—137 . （二）要点梳理： 1。平面的基本性质是高考中立体几何的重点容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形. ［例］已知线段AB 长为3，A 、B 两点到平面α的距离分别为1与2，则AB 所在直线与平面α所成角的大小为＿＿＿＿＿； 解析：要注意到点A 、B 是平面α同侧还是在平面α的两侧的情况.当A 、B 在平面α的同侧时，AB 所在直线与平面α所成角大小为31arcsin ；当A 、B 在平面α的两侧时，AB 所在直线与平面α所成角为 2 π. 2。线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行；线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直. ［例］已知平面βα,，直线b a ,.有下列命题：（1） βαβα////a a ?????；（2）αββα//a a ?? ?? ⊥⊥ （3）βαβα////??????⊥⊥b a b a ；（4）βαβα////??? ? ?? ??b a b a .其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿. 解析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a 可能在平面α.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 3。直线与平面所成角的围是]2, 0[π ；两异面直线所成角的围是]2 ,0(π .一般情况下，求二面角往往是指定 的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可. ［例］设A 、B 、C 、D 分别表示下列角的取值围：（1）A 是直线倾斜角的取值围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值围；（4）D 是两异面直线所成角的取值围.用“?”把集合A 、B 、C 、D 连接起来得到＿＿＿. （答案：A C D B ???） 4。立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的围.当求出的余弦值为a 时，其所成角的大小应为||arccos a . ［例］正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 中点，则异面直线DE 与BD 1所成角的大小为＿＿＿＿＿. （答案：515 arccos ） 特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是 不一样的.本题中的向量1BD 与所成的角大小是两异面直线DE 与BD 1所成角的补角. 5。直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化. C A 1 B 1 C 1 E
已知两异面直线 b a,，,,, A B a C D b ∈∈，则异面直线所成的角θ为：cos AB CD AB CD θ? = u u u r u u u r u u u r u u u r 例题 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值； （2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。
点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。 （2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即 或 （3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例4.长方体ABCD —中，AB=4，AD=6，，M 是A 1C 1的中点，P 在线段BC 上，且|CP|=2，Q 是DD 1的中点， 求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M 到直线PQ 的距离； （3）M 到平面AB 1P 的距离。 本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。 （1）平面的法向量的求法：设，利用n 与平面内的两个向量a ，b 垂直，其数量积为零，列出两个三元 一次方程，联立后取其一组解。 （2）线面角的求法：设n 是平面的一个法向量，AB 是平面 的斜线l 的一个方向向量，则直线与平面 所成 角为n AB n AB ??= θθsin 则 （3）二面角的求法：①AB，CD 分别是二面角 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小为
高中数学必背公式——立体几何与空间向量 知识点复习： 1. 空间几何体的三视图“长对正、高平齐、宽相等”的规律。 2. 在计算空间几何体体积时注意割补法的应用。 3. 空间平行与垂直关系的关系的证明要注意转化： 线线平行 线面平行 面面平行，线线垂直 线面垂直 面面垂直。 4．求角：（1）异面直线所成的角： 可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>= 1212122 222 2 2 1 1 1 222 |||||| a b a b x y z x y z ?= ?++?++（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）。 （2）直线与平面所成的角： 在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin |||| AB m AB m β?= (m 为平面α的法向量). （3）二面角： 方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：二面角l αβ--的平面角cos |||| m n arc m n θ?=或cos ||||m n arc m n π?- （m ，n 为平面α，β 的法向量）. 5. 求空间距离： （1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”； （2）两条异面直线的距离：|| || AB n d n ?= （n 同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： || || AB n d n ?= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。 题型一：空间几何体的三视图、体积与表面积 例1：已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VADL底面ABC (1)证明AB丄平面VAD (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA丄底面ABCD AB骑, BC=1 , PA=2, E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N使NE!平面PAC并求出N点到AB和AP的距 离.(易错点，建系后，关于N点的坐标的设法，也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体 ABCD-ABCD 中，AD=AA=1, AB=2,点E 在棱 AB 上移动. 证明：DE 丄AD; 当E 为AB 的中点时，求点 A 到面ECD 的距离; 7T AE 等于何值时，二面角 D — EC- D 的大小为-(易错点：在找平面DEC 的法向量的时候，本 来法向量就己经存在了 ，就不必要再去找，但是我认为去找应该没有错吧 ，但法向量找出来了 ， 和 那个己经存在的法向量有很大的差别 ，而且，计算结果很得杂，到底问题出在哪里?) 4. 如图，直四棱柱 ABCD — A I B I C I D I 中，底面ABCD 是等腰梯形，AB // CD , AB = 2DC =2, E 为BD i 的中点，F 为AB 的中点，/ DAB = 60° (1)求证：EF //平面 ADD 1A 1; ⑵若BB 1 ~2-，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值. N ： 5 题到 11 题都是运用基底思想解题 5. 空间四边形 ABCD 中, AB=BC=CD AB 丄BC, BC 丄CD , AB 与CD 成60度角，求AD 与BC 所 成角的大小。 (1) (2) (3) A B
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
中档大题规范练2 立体几何与空间向量 1．如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD ＝2，P A ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AB ＝BC ＝1，O 为AD 的中点． (1)求证：PO ⊥平面ABCD ； (2)求B 点到平面PCD 的距离； (3)线段PD 上是否存在一点Q ，使得二面角Q —AC —D 的余弦值为 63？若存在，求出PQ QD 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 因为P A ＝PD ＝2，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD . (2)解 以O 为原点，OC ，OD ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则B (1，－1,0)，C (1,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． PB →＝(1，－1，－1)，设平面PDC 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，CP →＝(－1,0,1)，PD →＝(0,1，－ 1)． 则????? u · CP →＝－x ＋z ＝0，u · PD →＝y －z ＝0，取z ＝1，得u ＝(1,1,1)， B 点到平面PDC 的距离d ＝|BP →·u ||u |＝33 . (3)解 假设存在，则设PQ →＝λPD → (0<λ<1)， 因为PD →＝(0,1，－1)，所以Q (0，λ，1－λ)， 设平面CAQ 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，
则????? m ·AC →＝0，m ·AQ →＝0，即????? a ＋ b ＝0， (λ＋1)b ＋(1－λ)c ＝0， 所以取m ＝(1－λ，λ－1，λ＋1)， 平面CAD 的法向量n ＝(0,0,1)， 因为二面角Q —AC —D 的余弦值为 63 ， 所以|m·n||m||n |＝63 ， 所以3λ2－10λ＋3＝0， 所以λ＝13或λ＝3(舍去)，所以PQ QD ＝12 . 2．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE . (1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ； (2)求二面角A —DF —C 的大小． (1)证明 以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，D 1(0,0,2)． ∵E 为AB 的中点， ∴E 点坐标为(1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ， ∴D 1F →＝23D 1E →＝23 (1,1，－2) ＝(23，23，－43 )， DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋(23，23，－43 )
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处
理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当 我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与a 同向， 当λ<0时与a 反向的所有向量。 （3）若直线l ∥a ，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
空间向量在立体几何中的应用 【重要知识】 一、求平面法向量的方法与步骤: 1、选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如, 2、设坐标:设平面法向量的坐标为),,(z y x = 3、解方程:联立方程组?????=?=?0 0,并解方程组 4、定结论:求出的法向量中三个坐标不就是具体的数值,而就是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其她坐标 二、利用向量求空间角: 1、求异面直线所成的角: 设b a ,为异面直线,点C A ,为a 上任意两点,点D B ,为b 上任意两点,b a ,所成的角为θ, 则=θcos 【注】由于异面直线所成的角θ的范围就是:?≤=<21,n n θ或><-21,n n π, 其中21,cos n n < 三、利用向量求空间距离: 1、求点到平面的距离 设平面α的法向量为,,α?A α∈B ,则点A 到平面α 2、求两条异面直线的距离
设21,l l 就是两条异面直线,n 就是公垂线段AB 的方向向量,D C ,分别为21,l l 上的任意两点,则21l l 与的距离为n n CD AB ?= 【重要题型】 1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为矩形,ABCD PA 平面⊥,点E 在线段PC 上,BDE PC 平面⊥ (1)证明:PAC BD 平面⊥ (2)若2,1==AD PA ,求二面角A PC B --的正切值 2、(2013广东,理)如图①,在等腰三角形ABC 中,?=∠90A ,6=BC ,E D ,分别就是AB AC ,上的 点,2==BE CD ,O 为BC 的中点。将ADE ?沿 DE 折起,得到如图②所示的四棱锥BCDE A -',其中 3='O A 。 (1)证明:BCDE O A 平面⊥' (2)求二面角B CD A --'的平面角的余弦值 3、(2009广东,理)如图,已知正方体 1111D C B A ABCD -的棱长为2,点 E 就是正方形11B BCC 的中心,点 G F ,分别就是棱11D C 、1AA 的中 点,设,1E 1G 分别就是点G E ,在平面11D DCC 内的正投影。 (1)求以E 为顶点,以四边形FGAE 在平面11D DCC 内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线11FEE FG 平面⊥; (3)求异面直线11G E 与EA 所成角的正弦值。
立体几何空间向量练习 1．在边长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求EF的长 （2）证明：EF∥平面AA1D1D； （3）证明：EF⊥平面A1CD． 2．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A 1B与C1D所成角的余弦值； （2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的 角）的余弦值．
3．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设P A＝1，AD＝2． （1）求平面BPC的法向量； （2）求二面角B﹣PC﹣A的正切值． 4．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知 BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5． （1）求直线A1C和平面ABCD的夹角； （2）求点A到平面A1MC的距离．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，E是PB的中点． （1）求证：平面EAC⊥平面PBC； （2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为， 求直线P A与平面EAC所成角的正弦值． 6．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点． （1）证明：AB1∥平面BC1D； （2）证明：BD⊥平面AA1C1C； （3）若AA1＝AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值．
7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面P AD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝， 求PB与平面QCD所成角的正弦值． 8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点． （Ⅰ）求证：BC1∥平面AD1E； （Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等 的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ? ??ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ? ???ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ? ???λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向 量也叫做共线向量或平行向量，a ρ 平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ （b ρ≠0ρ）， a ρ b ρa ρb ρλ=)1(=++=y x y x 其中 a ± 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件 是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量 p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。 若三向量,,a b c r r r 不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫 做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三 个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐 标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z) （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底，用{,,}i j k r r r 表示。空间中任一向量k z j y i x a ++==（x,y,z ） （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r ，
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
y k i A(x,y,z) O j x z 辅导科目：数学 授课教师： 全国章 年级： 高二 上课时间： 教材版本：人教版 总课时： 已上课时： 课时 学生签名： 课 题 名 称 教 学 目 标 重点、难点、考点 教学步骤及内容 空间向量与立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k （单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量>
相关主题
文本预览