第十章 双线性函数与辛空间
§1 线性函数
定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足
1）)()()(βαβαf f f +=+;
2）)()(ααkf k f =,
式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.
从定义可推出线性函数的以下简单性质：
1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.
2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：
s s k k k αααβ+++= 2211
那么
)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=
例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数
n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)
就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.
实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.
令
n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.
第i 个
n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成
n n x x x X εεε+++= 2211.
设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε
令
,21,)(n i f a i i ，，， ==ε
则
n n x a x a x a X f +++= 2211)(
就是上述形式.
例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设
??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211, 则A 的迹
nn a a a A Tr +++= 2211)(
是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数.
例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为
][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,
即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.
如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：
n n x x x εεεα+++= 2211
都有
∑∑====n
i i i n i i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)
因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.
这是一个线性函数，并且
n i a f i i ,,2,1,)( ==ε
因此有
定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使
n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.
§2 对偶空间
设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.
设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：
V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.
g f +也是线性函数：
,
))(())(()()()()()
()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++
))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.
g f +称为f 与g 的和.
还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：
V f k kf ∈=ααα,))(())((,
kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.
容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.
取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得
.,,2,1,,
,0;,1)(n j i i j i j f j i =???≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==n
i i i x 1εα，有
i i x f =)(α, (2)
即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.
引理 对V 中任意向量α，有
∑==n
i i i f 1)(εαα, (3)
而对),(P V L 中任意向量f ，有
∑==n
i i i f f f 1)(ε. (4)
定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.
以后简单地把V 的对偶空间记作*V .
例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式
.,,2,1,)
())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=
+=+- 它们满足 .,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =???≠==
)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由
0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n
用i a 代入，即得
n i c a p c a p c
i i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.
又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.
设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：
.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=
则线性函数i L 满足
.,,2,1,,,
,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =???≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.
下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.
设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设
A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =
B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =
其中
??????? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ??????
? ??=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设
n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,
n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.
因此
n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ni
nj i j i j n ni i i n
k k kj i j ,,2,1,,,0;,1)
()(221122111 =???≠==+++=+++=∑=εεεη
由矩阵乘法定义，即得
E A B ='
即
1-='A B
定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .
设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*
V 的一个函数**x 如下：
***∈=V f x f f x ,)()(.
根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.
定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射
**→x x
是一个同构映射.
这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.
§3 双线性函数
定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：
1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;
2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,
其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，
则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.
这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.
例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.
例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则
V f f f ∈=βαβαβα,,
)()(),(21
是V 上的一个双线性函数. 例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令
AY X Y X f '=),(, (1)
则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.
如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设
??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 则
∑∑===n i n
j j i ij y x a Y X f 11),(. (2)
（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的
一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设
X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =??????
? ??=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =??????
? ??=, 则
∑∑∑∑======n i n
j j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)
令
n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,
??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 则（3）就成为（1）或（2）.
定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵
??????
? ??=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.
上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.
反之，任给数域P 上一个n 级矩阵
??????
? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用
∑∑==='=n i n
j j i ij y x a AY X f 11),(βα
定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.
在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：
C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =
βα,是V 中两个向量
12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,
12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==
那么
11,CY Y CX X ==
如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有
1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.
又
11),(BY X f '=βα.
因此
AC C B '=
这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果
0),(=βαf
对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.
可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有
AY X f '=),(βα
如果向量α满足
V f ∈?=ββα,0),(,
那么对任意Y 都有
0='A Y X
因此
0='A X
而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.
对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.
定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有
),(),(αββαf f =,
则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有
),(),(αββαf f -=
则称),(βαf 为反对称双线性函数.
设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于
),(),(i j j i f f εεεε=
故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有
),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.
因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.
同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.
我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.
定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====n
i i i n i i i y x 11,εβεα,
),(βαf 有表示式
n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.
这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.
推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====n
i i i n i i i y x 11,εβεα，有
)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.
推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====n
i i i n i i i y x 11,εβεα，有
)0(),(1111n r p y x y x y x y x f r
r p p p p ≤≤≤---++=++ βα.
对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的. 定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.
给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()n n ij
a A ?=.对V 中任
意向量∑==n i i i x 1εα有
∑∑===n i n
j j i ij x x a f 11),(αα. (5)
式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为
()n n ij a A ?= 及()n n ij b B ?=
只要
n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,
那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.
定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使
?????=∈=≠+===-.
,,1,,0),(;0,
0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足
???≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε
前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.
而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V
的一组基r r --εεεε,,,,11 使
???≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε
由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.
对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.
定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .
§4 辛空间
由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：
1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足
,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε
0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.
这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.
2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为
n
n O E E O J 22????? ??-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .
两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构?，它满足
),(),(21Kv Ku f v u f =,
则称?是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.
),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.
两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.
辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换?，在该基下的矩阵为K ，
???
? ??=D C B A K , 其中D C B A ,,,皆为n n ?方阵.则?是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：
E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,
且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.
设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的. W 是V 的子空间，令
{}W w w u f V u W ∈?=∈=⊥,0),(|. (2)
⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.
定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则
W V W dim dim dim -=⊥.
定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥?W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.
例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.
对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：
(1) W W =⊥⊥)(,
(2) ⊥⊥???U W W U ,
(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V
(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 2
1dim ≤
(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim = 定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.
推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.
对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .
定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..
定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .
辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构?若满足
V v W u Kv Ku f v u f ∈∈?=,,),(),(
则称?为V 与W 间的等距.
Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.
下面是辛变换的特征值的一些性质.
?是辛空间),(f V 上的辛变换，则?的行列式为1.
取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设?在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.
定理11 设?是n 2维辛空间中的辛变换，K 是?在某辛正交基下的矩阵.
则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λ
λλf f n =.若设 n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,
则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.
由定理11可知，辛变换?的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1
是同时出
现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.
定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换?在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设i V λ,j
V λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈?,，
有0),(=v u f ，即i V λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时i V λ是迷向子空间.
第十章 双线性函数与辛空间(小结)
一、基本概念
线性函数；对偶空间。对偶基；双线性函数及其在基下的度量矩阵；非退化的双线性函数，对称与反对称双线性函数，正交基；辛空间，辛正交基.
二、主要结论
1. 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使
n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.
2. 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .
3. ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基.
4. V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射
**→x x
是一个同构映射.
5. 在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.
6. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.
7. 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
8. 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数. 9. ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
多项式回归、非线性回归模型 关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型 一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验 1. 概念介绍 SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error ∑∑∑∑====--= --- =n i i i n i i i n i i i n i i i y y y y y y y y R 1 2 1 2 12 12 2)()?()()?(1 2. 例题1 存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。 2. 回归方程的显著性检验 ) 2/()2/()?()?(1 212 -= ---= ∑∑==n SSE SSA n y y y y F n i i i n i i i 例6（F 检验） 在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有： 表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表 这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。 3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析 二、一元多项式回归模型
模型如以下形式的称为一元多项式回归模型： 0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- 例1（多项式回归模型） 为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。试求： （1）给出y 与t 的二次回归模型。 （2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。 （3）预测16=t 时残留的细菌数。 （4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？ 表1 X 射线照射次数与残留细菌数 程序1 t=1:15; y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图 plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16; yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为： 8967.3471394.519897.121+-=t t y
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
双线性函数及其应用
本科生毕业论文(设计) 题目：双线性函数及其应用 专业：数学与应用数学 学号: 学生姓名：
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 前 言 (2) 1 常用的欧式空间 (1) 2 双线性函数 (2) 2.1 线性函数的简单性质 (2) 2.1.1 线性函数的定义 (2) 2.1.2 线性空间的性质 (3) 2.1.3 对偶基 (3) 2.2 双线性函数的内容及性质 (3) 2.2.1 双线性函数的性质 (3) 2.2.2 双线性函数的内容 (3)
3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4) 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4) 3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5) 4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6) 4.1双线性函数与辛空间 (7) 4.2双线性函数与对偶空间 (10) 5双线性函数的应用领域 (13) 6 结束语 (14) 参考文献 (14) 致谢 (1)
双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
非线性回归分析常见曲 线及方程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0
9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 关于t的回归方程2 ?ct =. + bt a s+ 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); 2．输入数据： x=2:16; y=[ 10 ];
第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹
Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有
而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0 9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 2 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/ e b x，建立M文件volum.m如下：
第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A
1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.
（声明：此程序为GreenSim团队的原创作品，我们删除了程序中的若干行，一般人是难以将其补充完整并正确运行的，如果有意购买此程序，请与我们联系，Email：greensim@https://www.doczj.com/doc/8b15984041.html,） function [Alpha1,Alpha2,Alpha,Flag,B]=SVMNR(X,Y,Epsilon,C,TKF) %% % SVMNR.m % Support Vector Machine for Nonlinear Regression % ChengAihua,PLA Information Engineering University,ZhengZhou,China % Email:aihuacheng@https://www.doczj.com/doc/8b15984041.html, % All rights reserved %% % 支持向量机非线性回归通用程序 % 程序功能： % 使用支持向量机进行非线性回归，得到非线性函数y=f(x1,x2,…,xn)的支持向量解析式，% 求解二次规划时调用了优化工具箱的quadprog函数。本函数在程序入口处对数据进行了% [-1,1]的归一化处理，所以计算得到的回归解析式的系数是针对归一化数据的，仿真测 % 试需使用与本函数配套的Regression函数。 % 主要参考文献: % 朱国强,刘士荣等.支持向量机及其在函数逼近中的应用.华东理工大学学报 % 输入参数列表 % X 输入样本原始数据，n×l的矩阵，n为变量个数，l为样本个数 % Y 输出样本原始数据，1×l的矩阵，l为样本个数 % Epsilon ε不敏感损失函数的参数，Epsilon越大，支持向量越少 % C 惩罚系数，C过大或过小，泛化能力变差 % TKF Type of Kernel Function 核函数类型 % TKF=1 线性核函数，注意：使用线性核函数，将进行支持向量机的线性回归 % TKF=2 多项式核函数 % TKF=3 径向基核函数 % TKF=4 指数核函数 % TKF=5 Sigmoid核函数 % TKF=任意其它值，自定义核函数 % 输出参数列表 % Alpha1 α系数 % Alpha2 α*系数 % Alpha 支持向量的加权系数（α－α*）向量 % Flag 1×l标记，0对应非支持向量，1对应边界支持向量，2对应标准支持向量 % B 回归方程中的常数项 %-------------------------------------------------------------------------- %% %-----------------------数据归一化处理-------------------------------------- nntwarn off X=premnmx(X); Y=premnmx(Y); %%
常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 εβα+=L AK y 其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y ΛΛ 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）εββ++=x e y 10 （2）εββββ+++++=p p x x x y Λ2210 （3）ε+=bx ae y (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y Λ22110 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。加性误差项模型认为t y 是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了t y 值大的项（近期数据）的作用，强化了t y 值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用加权最小二乘。
欧氏空间与双线性函数 基本概念 1. 欧几里得空间 设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质： （1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，); （3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，); （4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。 这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角 非零向量βα，的夹角 βα，规定为 βα，=arccos β αβα） ，（, 0≤ βα，≤π 5. 向量正交 如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵 ，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，， ???=2,1,,称
()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T =。 n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果 E A A T =。 10. 欧氏空间同构 实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足 （1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+ （2））；（）（ασασk k = （3 ）；，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。 酉空间V 的线性变换σ如果满足 ），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0 则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0 则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补 子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足 ))(())((βσαβασ，，=
251 第九章 双线性函数 本章从线性函数入手，推广欧氏空间的若干性质到一般数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数 定义1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，如果 1) ,,()()()V αβσαβσασβ?∈+=+， 2) ,,()()V k F k k ασασα?∈?∈=， 则说σ是V 上的一个线性函数， 由定义可以看出线性函数就是V 到F 的线性映射。因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立。 线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子． 例1 给定F 中的n 个元素12,,,n a a a , ?(12,n n x x F ∈,x ,)，规定 121 12 2(,, ,)n n n f x x x a x a x a x =+++ 容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是n F 上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵()ij n n A a ?=对应F 中的一个元素1n ii i a =∑,并且有 ()()()T r A B T r A T r B + =+，()()Tr kA kTr A = ． 所以矩阵的迹是()n M F 上的一个线性函数． 例3 定积分使每一个连续函数()f x 对应一个实数()b a f x dx ?,并 且满足 (()())()()(())()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx +=+=? ????，． 所以定积分是[,]C a b 上的一个线性函数．
第九章双线性函数与辛空间 1 本章的教学目标及基本要求 （1）理解线性函数及双线性函数，并会验证之 （2）理解和掌握对偶空间的定义，并能求对偶空间的对偶基 （3）掌握度量矩阵的定义、性质及求法 *（4）了解辛空间的定义及性质 2 本章教学内容及学时安排 §1 线性函数2学时 §2 对偶空间4学时 §3 双线性函数4学时 本章1次习题课，本章共计12学时 3 本章教学内容的重点及难点 本章的重点是线性函数和双线性函数的定义及证明。 在理解方面比较困难的是对偶空间及对偶基的求法。 4 本章的主要参考书目： [1]张禾瑞，郝鈵新编，高等代数（第四版），高等教育出版社，2001 [2]叶明训等编，线性空间引论（第二版），武汉大学出版社，2002 [3]蓝以中编，高等代数简明教程，北京大学出版社，1994 [4]姚慕生编，高等代数，复旦大学出版社，2002 第十章双线性函数与辛空间 在线性空间上定义线性函数，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上线性空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的辛空间的定义及性质。
§1 线性函数 一、 线性函数的定义 设V 是数域P 上的一个向量空间． def1 设f ∈Hom(V ，P)，即?α，β∈V ，?k ∈P ，都有 f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)， 则称f 为V 上的一个线性函数． 从定义不能推出以下简单性质： 1）设f 为V 上的一个线性函数，则 (0)0,()().f f f αα=-=- 2）线性性；如果1122s s c c c βααα=+++，那么 1122()()()().s s f c f c f c f βααα=++ + 线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子． 例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数?b a dx x f )(,并 且满足 ?????=+=+b a b a b a b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，． 所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数． 例2 矩阵的迹把数域P 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )n n 对应P 中的一个元素∑=n i ii a 1,并且有 Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ． 所以矩阵的迹是M n (P)上的一个线性函数． 例3 在数域F 上的一元多项式环P [x ]中，字母x 用P 中的一个c 代入，它把每一个多项式f (x )对应P 中的数()f c ．由于未定元x 用c 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用c 代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．见P400，例3 例4 设12,,,n a a a 是P 中任意数，12(,,,)n n X x x x P ?=∈，函数 121122()(,,,)n n n f X f x x x a x a x a x ==+++， (1) 就是P 上的一个线性函数． 注：1）当0,1,2,,i a i n ==时，()0f X =，称为零函数； 2）在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n b x a n n +的n 元函数g 称做线性函数．当b ≠0时， g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，因此g 不是定义1意义上的线性函数．故而“线性函数”这一术语在分析和代数里是有不同的含义，此时高等代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．