围图形
漫画释义
满分晋级阶梯
1
一元二次方程的
基本解法
方程10级 判别式与求根公式
方程9级
一元二次方程的基本解法 方程8级
分式方程
题型切片（四个） 对应题目
题型目标
一元二次方程的概念
例1；例2；练1； 直接开平方法解一元二次方程 例3；例4；练2； 配方解一元二次方程 例5；例6；练3；练4； 因式分解法解一元二次方程
例7；练5．
本讲内容的思路非常简单，主要学习一元二次方程的概念及三种解法，公式法
则放到了下一讲，因为学完公式法就可以和判别式联系在一起学习。这一讲共分为四个模块，模块一主要讲解一元二次方程的基本概念，首先要先会判断一个方程是不是一元二次方程以及一元二次方程的项数组成，所以例1给出了这样的练习，这
编写思路
知识互联网
题型切片
里面有一些易错点，希望老师给同学们强调到位。接下来例2是针对一元二次方程的概念经常遇到的几种出题的形式，继续加强概念的理解。
下面三个模块就是针对一元二次方程的不同解法进行练习，这些例题中都有不同的题型，
希望通过这部分的练习让同学们见到不同形式的方程，才能达到练一抵百的效果。
定 义
示例剖析
一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．
⑵方程中只含有一个未知数．
⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．
⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=
此方程满足： 整式方程；
只含有一个未知数x ；
x 的最高次数是2，系数是2
所以这个方程是一个一元二次方程．
一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根：
如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程
20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．
1满足2110-=，则1是方程
20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20
x x -=的另一个根．∴0,1是方程
知识导航
模块一 一元二次方程的概念
20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x
一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）
． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、
b 、
c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．
建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认
识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．
【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵
4
13
x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2
2
33x x +=-；
【例4】 ⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()
()2212150a x a x a ++-+-=（a
为常数）．
【解析】 ⑴⑶⑷⑻易错点：二次项前面的系数不为0，和一次项前面系数及常数项无
关；⑵是分式方程；⑸是二元方程；⑹整理后是一元一次方程；⑺当0m =时，是一元一次方程；⑻因为210a +≠永远成立，所以无论a 为何值，方程⑻都是一元二次方程．⑴，⑶，⑷，⑻是一元二次方程．判断一个方程是什么方程，必须化简成最简形式再判断.
【解析】
2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-；
⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．
【解析】 ⑴ 22610x x --=；261--，，；⑵ 2310x +=；301，，；
⑶ 2120x x -=；1120-，，
⑷ ()
2231330x x +++-=；123133+-，，
夯实基础
【例5】 ⑴关于x 的方程()
()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程
为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程．
⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；
⑶已知a 是2
2009+1=0x x -的根，求22+120082009
a a a --的值．
【解析】 ⑴3m ≠±；3；
易错点：容易忽略当其是一次方程时一次项系数不为零 ⑵∵m 是方程210x x --=的一个根，∴210m m --=
()225520085120132013m m m m -+=--+=．
⑶1-．结合一元二次方程根的定义，采用整体思想求解
a 是2-2009+1=0x x 的根，∴2-2009+1=0a a ，
∴22
+1
-2008-2009a a a 22009-2009+2009a
a a a =-
1
=-
定 义
示例剖析
直接开平方法：对于形如2x m =或()2
ax b m
+=()00a m ≠≥，
的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．
()
2
11x +=
11x +=或11x +=-
1202x x ==-，
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模块二 直接开平方法解一元二次方程
能力提升
【例6】 用直接开平方法解关于x 的方程： 【例7】 ⑴ ()()323212x x +-=； ⑵
()
2
2463x -=；
【例8】 ⑶ ()
2
x m n -=； ⑷ ()2
214x b c -=+
【解析】 ⑴ 1244
33
x x ==-，；⑵ 1217x x ==，；
【解析】 ⑶ 当0n ≥时，12x m n x m n =+=-，；当0n <时，无实数根． 【解析】 ⑷ 当40b c +≥时，214x b c -=±+，∴114b c x ++=，214b c
x -+=；
【解析】 当40b c +<时，无实数根． 【解析】
【解析】 注意：1.方程的两边应同时开方
【解析】 2.开方后，方程的一边应有正负号，即有相等和互为相反数两种情况。 【解析】 总结：直接开平方法：形如2()x a b +=（0b ≥）的方程可用直接开平方
法解，两边
直接开平方得x a b +=或x a b +=-，∴1x a b =-+，2x a b =--．
1．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件0b ≥．若0b <，
则方程2()x a b +=无实数根．
2．在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解．
夯实基础
【例9】 解关于x 的方程：
⑴ ()()222332x x +=+；⑵ ()()22
5293x x -=+； ⑶ ()()2
2
425931x x -=-．
【解析】 ⑴ 2332x x +=+或()2332x x +=-+，解得11x =，21x =-．
⑵ ()5233x x -=+或()5233x x -=-+，解得124
145
x x =-=-，．
⑶ ()()225331x x -=-或()()225331x x -=--，解得17
5
x =-，21x =．
【点评】 如果方程能化成2x p =或()()2
0mx n p p +=≥的形式，那么可得x p =±或
mx n p +=±.
定 义
实例剖析
配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如()2
ax b m +=的方程，再运用直接开平方的
方法求解．
⑴220x x += ⑵2+21x x =-
22101x x ++=+ 2+2+1=0x x
()211x += ()2
+1=0x 11x +=± 12=1x x =- 11x +=或11x +=- 1202x x ==-，
总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为
2()x m n +=的形式；
④求解：若0n ≥时，方程的解为x m n =-±，若0n <时，方程无实数解
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模块三 配方法解一元二次方程
能力提升
配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成2()x m n +=（0n ≥）的形式，再用直接开平方法求解，当0n <时，方程无实数解．．．
． （1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点． （2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．
【例10】 用配方法解方程：
⑴ 2420x x ++=； ⑵ 211
063
x x +-=； ⑶ 23123y y +=；
⑷ 221
233
x x += ⑸ 2++5=0x x
【解析】 ⑴24420x x ++-=，()2
22x +=，22x +=或22x +=-，即122x =-，
222x =--．
⑵ 2
1163x x +=，2221111612312x x ????++=+ ? ?????，即2
14912144x ?
?+= ??
?，所以
112x =，223
x =-．
⑶ 21233y y +=，222233133y y ????-+=-+ ? ? ? ?????，2
30y ??
-= ? ???
， ∴123
y y ==．
⑷ 2
132x x +=，2111321616x x ++=+，2
149416x ??+= ???，∴123
22
x x =-=，．
⑸ 无实根（或无实数根），注意：不能说无解！
【点评】要熟练掌握配方法的一般步骤，四个题都是配方法的思想，区分度在于出
现分数和根式的结合．
能力提升
夯实基础
【例11】 用配方法解关于x 的方程
⑴ 20x px q ++=（p q ，为已知常数）
； ⑵ 20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）
【解析】 ⑴22()024p p x q ++-=；224()24
p p q
x -+=
∴当240p q -≥时，242
p q
p
x -+=±
即221244p p q p p q
x x -+----==，；当240p q -<时，原方程无实
数根．
⑵ 因为0a ≠，方程两边同除以a ，得20b c
x x a a +
+= 移项，得2b c
x x a a
+=-，配方2
224()24b b ac x a a -+=
因为0a ≠，所以240a >，当240b ac -≥时，直接开平方得：
2224424b b ac b ac x a a --+=±=±， 又因为式子前面已有符号“±”，所以无论0a >还是0a <，最终结果总是
24b ac -±
即24b b ac x -±-=；当240b ac -<时，原方程无实数解．
【点评】由上面研究的结果，得到了一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式：
224(40)b b ac
x b ac -±-=
-≥
定 义
示例剖析 因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =； 解方程：20x x -= 解：()10x x -= 则0x =或10x -= ∴0x =或1x =
因式分解法的一般步骤：
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模块四 因式分解法解一元二次方程
⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式； ⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边
等于0；
⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根． 1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降
次”的思想．
2．将方程右边变形为0，左边化为()()0ax b cx d ++=的形式． 3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．． 注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式
2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案
【例12】 用因式分解法解方程：
⑴ 23x x =； ⑵ 22230x x -=；
⑶ ()()2
1210x x -+-=； ⑷ ()23242x x x -=- ⑸ ()()2
1211x x ---=- ⑹ ()()2
2
4320x x +--=
【解析】 ⑴ ()30x x -=，∴1203x x ==，．
⑵ (
)
2230x
x -=，∴1206x x ==，．
⑶ ()()110x x -+=，∴1211x x ==-，．
⑷ ()()3222x x x -=--，()()2320x x +-=，∴123
22
x x =-=，．
⑸ ()2
20x -=，∴122x x ==．
⑹ ()()()()2322320x x x x ++-?+--=????????，()()3480x x ++=，
∴124
83
x x =-=-，．
能力提升
训练1. 已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．
【解析】 当1
1
a b =??=?，方程化为240x x -++=；
当12a b =??=?，方程化为22240x x -++=； 当21a b =??=?，方程化为240x x -+=； 当22a b =??=?
，方程化为40=，故不符题意．
综上可得，11a b =??=?；12a b =??=?；2
1
a b =??=?．
训练2. 已知a 是一元二次方程2
310x
x -+=的一个根，
求代数式()3
211
1
a a a --+-的值．
【解析】 ∵a 是一元二次方程2310x x -+=的一个根，∴2310a a -+= ∴原式()(
)2
2111311
a a a a a a ??
----??=
=-=--．
训练3. 用配方法解下列方程：
训练4. ⑴ 2231x x +=；⑵ 2324x x -=；⑶ ()()368x x +-=- 【解析】⑴ 2
3122x x +=，2
317416x ?
?+= ??
?，∴12317317x x -+--==
，； ⑵ 2
4233x x -=，2
21039x ?
?-= ??
?，∴12210210x x +-==
，； ⑶ 2
310x x -=，2
34924x ?
?-= ??
?，∴1252x x ==-，．
训练5. 已知关于x 的方程22320x ax a +-=的一个根为1，求它的另一根． 【解析】由题意，2320a a +-=，即2230a a --=，∴3a =或1-．
当3a =时，方程化为23690x x +-=，即2230x x +-=，则另一根为3-；
当1a =-时，方程化为23210x x --=，则另一根为1
3-．
思维拓展训练（选讲）
知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练
【练习1】 ⑴ 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是
___________．
【练习2】 ⑵ 若方程2220kx x k k +-+=有一个根是0，则k 的值是____________．
【练习3】 ⑶ 如果
1
2
x =是关于x 的方程22320x ax a +-=的根，那么关于y 的方程
23y a -=的根是________________． 【练习4】 ⑷ 已知3-是关于x 的方程22310x x a --+=的一个根，则31a -的值是
_____________．
⑸ 已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则a b -的值是
_________________．
【解析】 ⑴3-； ⑵ 0或1； ⑶ 2± ⑷ 15
⑸ 将x a =-代入方程中得 20a ab a -+=，∵ 0a ≠，∴ 10a b -+=
∴1a b -=-
知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练
【练习5】 ⑴已知一元二次方程20ax bx c ++=的一个根为1，且a b 、满足等式
223b a a =-+--，求方程21
04
y c -=的根．
⑵用直接开平方法解方程：
① ()22340x +-= ② ()2
41x k += 【解析】⑴由题意可知0a b c ++=，23a b ==-，，∴1c =，
∴21
104
y -=，∴1222y y ==-，．
⑵ ① 122323x x =-=--，
②当0k >时，1211k k
x x =-+
=--
，； 当0k =时，121x x ==-； 当0k <时，方程无实数根.
知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练
实战演练
【练习6】 用配方法解方程：
【练习7】 ⑴ 2210x x --=； ⑵ 2660y y -+=； ⑶ 23610x x -+=；
⑷ 2568x x =+ 【练习8】
【解析】⑴ ()2
12x -=，∴1211x x ==，．
⑵ ()2
33y -=，∴1233y y ==
⑶ 2123x x -=-，()2
213
x -=，∴1211x x =+= ⑷ 2
6855x x -=，2
3985255x ??-=
+ ???，∴124
25
x x ==-，．
【练习9】 用配方法解关于x 的方程：220x x k -+= （四中期中）
【练习10】 【解析】 配方得 ()2
11x k -=-
【练习11】 当1k <时，1211x x ==； 【练习12】 当1k =时，121x x ==； 【练习13】 当1k >时，方程无实数根. 【练习14】
【练习15】
知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练
【练习16】 选择适当的方法解方程：
【练习17】 ⑴ ()190x x x +--=； ⑵ 22224x x -=； ⑶
()()222x x x -=-；
【练习18】 ⑷ (20x x -+=； ⑸ 2414x x +=； ⑹
()
()2
3230x x x -+-=；
【解析】⑴ 1233x x =-=，；
⑵ 121614x x ==-，； ⑶ 1222x x ==-，；
⑷ 12x x ==； ⑸ 121
2
x x ==； ⑹ 1213x x ==，；
第十六种品格：感恩
生活是什么？我们苦苦追寻。从平淡中寻找温暖，从失败中寻找成长，从失意中寻找真诚……也许生活就是这个寻寻觅觅的过程。我们在生活里搜寻到了太多的感动。当我们用最真挚的双手把它们怀抱胸前时，才发现：自己是世界上最富有的人。所以，我们真该认认真真地生活。怀着感恩的心来品味所有，才是真正在生活的人。
手术费＝一杯牛奶
一个生活贫困的男孩为了积攒学费，挨家挨户地推销商品。
傍晚时，他感到疲惫万分，饥饿难挨，而他推销的却很不顺利，以至他有些绝望。这时，他敲开一扇门，希望主人能给他一杯水。开门的是一位美丽的年轻女子，她却给了他一杯浓浓的热牛奶，令男孩感激万分。
许多年后，男孩成了一位著名的外科大夫。一位患病的妇女，因为病情严重，当地的大夫都束手无策，便被转到了那位著名的外科大夫所在的医院。外科大夫为妇女做完手术后，惊喜地发现那位妇女正是多年前，在他饥寒交迫时，热情地给过他帮助的年轻女子，当年正是那杯热奶使他又鼓足了信心。
结果，当那位妇女正在为昂贵的手术费发愁时，却在她的手术费单上看到一行字：手术费＝一杯牛奶。那位昔日的美丽的年轻女子没有看懂那几个字，她早已不再记得那个男孩和那杯热牛奶。然而，这又有什么关系？
今天我学到了