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16.1二次根式的化简 (2)

16.1二次根式的化简 (2)
16.1二次根式的化简 (2)

16.1 二次根式的化简教学设计

南宁市上林县三里中学韦荪飞

一、教学目标:

1.理解(a≥02=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简;

2.通过复习二次根式的概念,a≥0)是一个非负数;

3.2=a(a≥0),最后运用结论严

谨解题.

二、重点难点:

a≥0=a(a≥0)及其运用;

a≥0)是一个非负数;?用探究的方法导出

=a(a≥0)。

三、教学过程:

复习回顾:

请你回顾二次根式的知识,说说对二次根式a的认识!

形如a(a≥0)的式子叫做二次根式.

1.表示a的算术平方根.

2. a可以是数,也可以是式.

3. 形式上含有二次根号.

4. a≥0, a≥0 (双重非负性)

5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果,还可以表示二次根式.

设计意图:回顾二次根式的定义以及双重非负性。

导出课题:16.1二次根式的化简

(一)探究一:

根据算术平方根的意义填空:

请把上述计算结论推广到一般,并用字母表示:)0()(2≥=a a a 性质归纳:一般的)0()(2≥=a a a

设计意图:在二次根式定义的基础上完成题目,并从多个有共性的式子中归纳出二次根式的性质,既遵循知识的掌握规律,又使得学生在归纳过程中,提高了认知能力和总结能力,更深刻地体会到知识的形成过程。

例2:计算

练习1:

2

2

)53)(3()18)(1( 2)8

74)(4()0)(2(2 答案:(1)18, (2)0 (3)45 (4)8

74

设计意图:及时巩固对)0()(2≥=a a a 的理解和运用。

(二)探究二:

填空: ==22)3

2(2 ==

2201.0 问题:请把得到的结论推广到一般,并用含字母的二次根式表示:)0(2≥=a a a 性质归纳:一般的,)0(2≥=a a a

设计意图:学习的过程中,时刻不能忘记学生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,在这个环节中,要让学生通过自主填空,交流讨论归纳出二次根式的性质,这样才能更深刻的体会类比学习的益处。

)0(2)2(22==31

)31(

4

)4(22==2)5.1)(1(2

)52)(2(5

.1)5.1)(1(2=2054)5(2)52)(2(2

22=?=?=

活动组织方法:分小组讨论,探究。

例3:化简

16)1( 2)5()2(-

解:

练习2: 2

2

)()3(3.0)1(π-- 2210)4()71()2(-- 解:

ππ-=--2)()3( 10

110)4(2=-

练习3: 根据性质)0(2≥=a a a ,可得: 你认为,当a <0时,=2a -a

设计意图:以例题形式巩固学生对二次根式的理解并规范书写形式,练习2中a 的取值形式多样化,益于帮助学生从不同角度理解二次根式性质的运用,而练习3提升至对a<0时,公式的归纳,由浅入深,由易到难,层层递进。 探究3:

问题:

有什么区别和联系?

归纳: 1.从运算顺序来看, 先开方,后平方,

先平方,再开方; 2.从取值范围来看, a ≥0,

a 取任何实数; 3.从运算结果来看: =a (a ≥ 0), =a (a ≥ 0), =-a (a <0)。

归纳: 回顾我们学过的式子,如

a ≥0)这些式子有哪些共同特征?

用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式. 4

416)1(2==

55)5()2(22==-3.03.0)1(2= 71)71()71()2(22==-5

5)5(22==-22)(a a 和()2a 2a ()2a 2a ()

2a 2a 2a 52+a a b ,,,3s ab x t --,,

课堂小结:

(1)二次根式的性质有哪些?

(2)运用二次根式性质进行化简需要注意什么?

设计意图:回顾课堂使学生对这节课有整体,系统的认识,并进一步明确本节课的学习重点

巩固提升:

1.对于性质

(a ≥0),逆向思考可得:

(a ≥0), 请根据这一结论完成填空:

2)2(2)1(= 2)5.2(5.2)2(=

2.化简

(x>0) (x

设计意图:对本节课知识进行逆向考察,提升学生的思维层次,拓宽知识面。 2=a 2

=a ()()=--212x ()=

+-2223y xy x ()

()=-2211

二次根式的计算与化简练习题(提高篇)

二次根式的计算与化简练习题(提高篇) 1、已知m 2、化简(1(2)x x x x x 50 2232212 3-+ (30)a > 3、当2x =2(7(2x ++

4、先化简,再求值:221,39 a b ==。 6、已知1a =222214164821442 a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。 7、已知:3 21 +=a ,321 -=b ,求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ,化简9622+-+x x x

10、已知2a =-a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求:的值。 ②已知12+=x ,求1 12 --+x x x 的值. ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ -

12、计算及化简: ⑴. 22 - ⑵ ⑷ 13、已知:11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ,求 的值。

二次根式提高测试 一、判断题:(每小题1分,共5分) 1. ab 2 )2(-=-2ab .…………………( ) 2.3-2的倒数是3+2.( ) 3.2)1(-x =2 )1(-x .…( ) 4.ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式.…( ) 5.x 8,31 ,2 9x +都不是最简二次根式.( ) 二、填空题:(每小题2分,共20分) 6.当x__________时,式子31 -x 有意义. 7.化简-8 15 27102 ÷31225 a =_. 8.a - 12-a 的有理化因式是____________. 9.当1<x <4时,|x -4|+122 +-x x =________________. 10.方程2(x -1)=x +1的解是____________. 11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简 222 2d c ab d c ab +-=______. 12.比较大小:-721_________-341 . 13.化简:(7-52)2000·(-7-52)2001=______________. 14.若1+x + 3-y =0,则(x -1)2+(y +3)2=____________. 15.x ,y 分别为8-11的整数部分和小数部分,则2xy -y2=____________. 三、选择题:(每小题3分,共15分) 16.已知2 33x x +=-x 3+x ,则………………( ) (A )x ≤0 (B )x ≤-3 (C )x ≥-3 (D )-3≤x ≤0 17.若x <y <0,则222y xy x +-+2 22y xy x ++=………………………( )

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 4、,;5 745 屈4 422 1. . (5.48 6.27 4.15) , 3 yd时2,求代数式{FP緒匚的值 5.已知: 1 2 3( 1■10);7 . 10x . 10 1y .. 5 100z ?

的值. 17. 1 . 2 3、. 2 2 .5. x 3 .5 ab 0,b 4 .、、a 3b 6 ab a f 0,bf 0 1 3 5 ., 1 2 3 2 18.化简: 1 ..a 3b 5 a 0,b 0 19.. 把根号外的因式移到根号内: 2 .1 X 】1 20. 5; 2石 2.12 3 1

22. 7 4.3 7 4、. 3 35 23. .2 24. 2 1 "a 26.( 选 做) x. y 28.已知:x 3 /2 .3 2,y 2 1 . 3 2 25. —, Va a b /b 2 4 , 3xy2 3的值。 x y 2x y x y

29. 已知:a 1 .15,求a22的值。 a a 30. 已知:x, y为实数,且y p ?. x i ..^x 化简: y 3 ■, y2 8y 16。 31. v'x 3y 已知 x 3 x29 0,求 x-1 Y7! 的 值。 32 ( 1)—6 .45X(—4 48);(2) .(—64)X (—81); (3) ,1452—242; (4) 5b 2a 3能-3 33.化简: (1) 2700; (2) 202—162;

若最简二次根式3 4^1与1是同类二次根式,则 已知x ..2, y .2,则x3y 3 xy 已知x 则x2 2000 g .3 2 2001 已知:x, y为实数,且y p ,x 1 .1x3,化简: y2 8y 16。 已知A x29 的 值。 时, J 3x是二次根式. 时, ?、3 4x在实数范围内有意义. 比较大小: 3一 2 2.3 . ;.252242 计算: 3 . 5a 2 .10b 计算: 2 16b2c a2 当a= J3 时,贝U V15 a2__________ 若,;x :成立,则x满足-------------------------- 已知xy v 0,化简;比较大小: 1 2、7 1 4、3 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 【知识要点】 1.一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 (1) () ()02 ≥=a a a (2)()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a (3)()0,0≥≥?=? b a b a b a (4) ()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则: (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算: ()0,0>≥= b a b a b a 4.最简的二次根式: (1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 5.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定. ②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如 : a 与a - 【经典例题】 例1.判断下列各式,是否是二次根式: ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a

例2.计算下列各题: (1) () 2 7 (2)2 43??? ? ?? (3)() 2 23 (4)2 55??? ? ?? (5 (6 例4.把下列各式分母有理化 (1)12 1 (2) 2 33 (3) 12121 (4)50 3 51- 例5.化简 (1)121699?? (2)637? (3)221026- (4) ()()2512-?- 例6.计算 (1)??? ? ??-?32335 (2) ??? ? ??-?56215 (3)??? ? ??-?614123 (4)5433 1 12785??? -

二次根式的计算与化简练习题(提高篇)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 二次根式的计算与化简练习题(提高篇) 1、已知m 2、化简(1(2)x x x x x 50 2232212 3-+ (30)a >

3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简,再求值:221,39 a b ==。 6、已知1a =,222214164821442 a a a a a a a a a --++÷-+-+-,再求 值。 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王*

7、已知:3 21 +=a ,321 -=b ,求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ,化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求:的值。

②已知12+=x ,求1 12 --+x x x 的值. ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简: ⑴. 22 - ⑵ 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王*

⑷- 13、已知:11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ,求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题:(每小题1分,共5分) 1. ab 2 )2(-=-2ab .…………………( ) 2.3-2的倒数是3+2.( ) 3.2)1(-x =2 )1(-x .…( )

二次根式的运算知识讲解

二次根式的运算(提高)知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则,会合并同类二次根式,进行简单的二次根 式加减运算; 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘 除运算; 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式,即先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中. 要点诠释: (1)在进行二次根式的加减运算时,整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. (2)二次根式加减运算的步骤: 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式; 2)判断哪些二次根式是同类二次根式,把同类的二次根式结合为一组; 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则:(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,根指数不变, 只把被开方数相乘. 要点诠释: (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意:公式中a、b都必须是非负数;(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算: ≥0,≥0,…..≥0). (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式,则应化简,如. 2.积的算术平方根: (a≥0,b≥0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释: (1)在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a≥0,b≥0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了; (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数,把含有形式的a移到根号外面.

二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算

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二次根式 【知识要点】 1.一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 (1)()()02≥=a a a (2)() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3)()0,0≥≥?=?b a b a b a (4)()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则: (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算:()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移:2||a b a b = 内移:a b , 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4.最简的二次根式: (1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 5.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.

方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -,a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简:(1)3227a b = ; (2)32418a a ?= . 例题32 27= . 2 3649y x = ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点: ①都是二次根式,即根指数都是2; ②必须先化成最简二次根式; ③被开方数相同. 【重难点解析】 1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?= 32 25052=?= 52 2.根号里的数比较大时,使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?,24202553=?= 253? 3.根号内有字母或代数式,观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4.单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如:11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知: 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??; 7 z y x 10010101??-. 8. 521312321?÷; 9. )(b a b b a 1223÷?. (() 2 771+--

16. 已知:24 20-=x ,求221x x +的值. 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简: ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内: ()1.-()(2.1x -

20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做

28. 已知:x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知:11a a +=221 a a +的值。 30. 已知:,x y 为实数,且13y x -+ ,化简:3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ,求 =+-+-的值。 32(1)-645×(-448); (2)(-64)×(-81); (3)1452 -242 ; (4)3c 2ab 5c 2÷325b 2a

二次根式混合化简计算题

二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知: 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??; 7 z y x 10010101??-. 8. 521312321?÷; 9. )(b a b b a 1223÷?. (()2 771+--

16. 已知:2420-= x ,求221x x +的值. 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简: ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内: ()1.-()(2.1x - 20.

(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知:x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。

29. 已知:11a a + =221a a +的值。 30. 已知:,x y 为实数,且13y x -+ ,化简:3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ,求=+-+-的值。 32(1)-645×(-448); (2)(-64)×(-81); (3)1452-242; (4)3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简: (1)2700; (2)202-162; (3) 1681; (4)8a 2b c 2 .

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法: ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式(,) ③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析. 1.公式法 【例1】计算①;② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便. 2.观察特征法 【例2】计算: 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以,即得分子,于是可以简解如下:

【解】原式. 【例3】把下列各式的分母有理化. (1);(2)() 【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法: 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简.但是,不难发现②式分子中的系数若为“1”,那么原式的值就等于“1”了!因此,②可以解答如下: 【解】②原式 3.运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根,开方后必须是非负数,显然不能等于“” 4.平方法 【例5】化简 【解】∵ ∴. 【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题,一般用平方法都可以进行化简

最新二次根式的化简与计算

二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1.定义:一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数 3 式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 4 2.二次根式的性质 5 (1) () ()02 ≥=a a a 6 (2)() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 (3)()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 (4) ()0,0>≥=b a b a b a 9 3.运算法则: 10 (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a 11 (2)除法运算: ()0,0>≥= b a b a b a 12 4.最简的二次根式: 13 (1)被开方数因数是整数,因式是整式. 14 (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 15 5.分母有理化 16 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定. 18

②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 19 如: a b +与a b -,a b a b +-与, 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习: 22 1.判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2.下列各组二次根式中是同类二次根式的是( ) 25 A . B . C . D . 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式,则m=______. 27 28 4.若1<x <2,则的值为( ) 29 A .2x ﹣4 B .﹣2 C .4﹣2x D .2 30 5.实数a ,b 在数轴上对应点的位置如图所示,化简|a|+ 的结果是( ) 31 32 A .﹣2a+b B .2a ﹣b C .﹣b D .b 33 6.若式子有意义,则x 的取值范围为( ) 34 A .x ≥2 B .x ≠3 C .x ≥2或x ≠3 D .x ≥2且x ≠3 35

二次根式运算和化简超级经典

二次根式运算和化简(超级经典)

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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时,称a 为二次根式,显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质: (1)() ()02≥=a a a ; (2)?? ?<-≥==时;,当时,,当002a a a a a a (3)()00≥≥?=b a b a ab ,; (4)()00>≥=b a b a b a ,。 3、二次根式的运算法则如下: (1)()()0≥±=±c c b a c b c a ; (2)()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈,,,,,且m 不是完全平方数,则当且仅当d b c a ==,时, m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容,其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法,还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧,最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 (1)一个根式经过化简后满足: 被开方数的指数与根指数互质; 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数; 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 (2)几个根式化成最简根式后,如果被开方数都相同,根指数也都相同,那么这几个根式叫做同类根式。

【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ,则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ,为有理数,且42112=+-+-y x x ,则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ,则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253, 求m 的值。 【例2】当b a 2<时,化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。

二次根式化简与计算的方法和技巧

谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算,到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律,并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用,但二次根式有其独特的性质,在解题时仍需掌握一些技巧和方法,这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时,需要将分母“开出来”,从而化简。 例如:化简a 1- 解:a 1-=2a a -= a a -- 归纳:对于此类二次根式,首先要利用分式的性质,将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方,同时要挖掘题中的隐含条件,考虑到二次根式的意义,应有a<0.而当a<0时,a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去,同样可消除根号下的分母,从而达到化简的目的。 例如:化简a a 1- 解:a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳:对于此类问题,也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”,但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件,而当a<0时,2a a -= 。 再如:计算:()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析:此题除式中出现因式m n ,而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ,再将括号中的各项分别与m n b a 22相除,运算更简便。 解:原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=

二次根式的化简与计算(讲义及答案).

a 2 a b b x -1 a -a 二次根式的化简与计算(讲义) ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念,并完成下列各题. (1) 二次根式: ①定义:一般地,形如 的式子叫做二次根式. ②性质: ( a )2 = (a ≥0), = (a ≥0). = (a ≥0,b ≥0), = (a ≥0,b >0). ③乘除法则: a ? = (a ≥0,b ≥0), = (a ≥0,b >0). ④加减法则: 先化成最简二次根式,再合并 . (2) 实数混合运算顺序: 先算 ,再算 ,最后算 .同级运算, 从左向右进行.如果有括号,先算括号里面的. 2. 能使式子 + 成立的 x 的取值范围是( ) A .x ≥1 B .x ≥2 C .1≤x ≤2 D .x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性: 对于二次根式 ,有 a 0 且 0 . 2. 二次根式双重非负性的常见应用: (1) 若 + b + c 2 = 0 ,则 a = , b = ,c = . (2) 若 和 同时存在,则 a = . 3. 实数混合运算处理方法: ①观察 ,划 ; ②有序操作,依 ; ③每步推进一点点. 做运算时往往需要估.计.工.作.量.,观察式子结构,巧用公式, 可以大大简化运算. ab a b 2 - x a a a

x + 1 2 4 - x 2 3a - 6 2 - a 1 3 4. 二次根式与数形结合: 被开方数中出现平方形式,可通过 构.造.直.角.三.角.形.借.助.勾.股. 定.理. 解决问题. ? 精讲精练 1. 若 x ,y 为实数,且满足 x -1 + = 0 ,则 xy = . 2. 若 x ,y ,z 为实数,且满足 = ?. + ( y - 3)2 + 2x + z = 0 ,则 3. 若实数 x ,y 满足 + y 2 + 2 y + 1 = 0 ,则 x y = . 4. 若实数 a ,b 满足为 . 5. 若实数 x ,y 满足 y = - (b -1) + = 0 ,则 a 2+2b 的平方根 - 3 ,则 2xy = . 6. 若实数 x ,y 满足 y = + +1,则 = . 7. 已知 a ,b 为一等腰三角形的两边长,且 a ,b 满足等式 2 + 3 = b - 4,则此等腰三角形的周长为 . 8. 计算: 3 ? 2 ? ? 3 ?-2 (1) 4 12 ? 3 -1? - - 3 ? + 3 ; ? ? ? ? y + 2 x 3 + 8 x 2 + 3y - z 1+ a 1- b 2x - 5 5 - 2x x 2 - 4 x + 2 y

二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算(讲义) ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念,并完成下列各题. (1)二次根式: ①定义:一般地,形如___________的式子叫做二次根式. ②性质: 2=_______(a ≥0=_______(a ≥0). =_______(a ≥0,b ≥0=______(a ≥0,b >0). ③乘除法则: =_____(a ≥0,b ≥0=_____(a ≥0,b >0). ④加减法则: 先化成最简二次根式,再合并_______________. (2)实数混合运算顺序: 先算__________,再算______,最后算______.同级运算,从左向右进行.如果有括号,先算括号里面的. 2. 成立的x 的取值范围是( ) A .x ≥1 B .x ≥2 C .1≤x ≤2 D .x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性: a ____00. 2. 二次根式双重非负性的常见应用: (120b c +=,则a =______,b =______,c =_____. (2a =______. 3. 实数混合运算处理方法: ①观察________,划________; ②有序操作,依________; ③每步推进一点点.

做运算时往往需要估计工作量 .....,观察式子结构,巧用公式,可以大大简化运算.4.二次根式与数形结合: 被开方数中出现平方形式,可通过构造直角三角形借助勾股定理 .............解决问题. ?精讲精练 1.若x,y 为实数,且满足10 x-=,则xy=______. 2.若x,y,z 2 (3)20 y x z -++= ,则 =_______. 3.若实数x,y 2210 y y ++=,则x y=_______. 4.若实数a,b (0 b-=,则a2+2b的平方根为________. 5.若实数x,y 满足3 y=,则2xy=________. 6.若实数x,y 满足1 y= =____. 7.已知a,b为一等腰三角形的两边长,且a,b 满足等式4 b =-,则此等腰三角形的周长为______. 8.计算: (1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???

二次根式的计算与化简练习题

二次根式的计算与化简练习题(提高篇) 1、已知是的小数部分,求的值。 2、化简(1)(2) ~ (3) 3、当时,求的值。 ( 4、先化简,再求值:,其中。、

5、计算: 6、已知,先化简,再求值。。 7、已知:,,求的值。 8、已知:,,求代数式的值。 $ 9、已知,化简 ] 10、已知,化简求值

11、①已知的值。$ ②已知,求的值.③ 12、计算及化简: ⑴. ⑵. < ⑶. ⑷. ! 13、已知:,求的值。

~ 14、已知的值。 二次根式提高测试一、判断题:(每小题1分,共5分) 1.=-2.…………………() 2.-2的倒数是+2.() 3.=.…() 4.、、是同类二次根式.…() ; 5.,,都不是最简二次根式.() 二、填空题:(每小题2分,共20分) 6.当x__________时,式子有意义. 7.化简-÷=_. 8.a-的有理化因式是____________. 9.当1<x<4时,|x-4|+=________________.10.方程(x-1)=x+1的解是____________. 11.已知a、b、c为正数,d为负数,化简=______.

12.比较大小:-_________-. 13.化简:(7-5)2000·(-7-5)2001=______________. ` 14.若+=0,则(x-1)2+(y+3)2=____________. 15.x,y分别为8-的整数部分和小数部分,则2xy-y2=____________.三、选择题:(每小题3分,共15分) 16.已知=-x,则………………() (A)x≤0 (B)x≤-3 (C)x≥-3 (D)-3≤x≤0 17.若x<y<0,则+=………………………()(A)2x (B)2y (C)-2x (D)-2y 18.若0<x<1,则-等于………………………()(A)(B)-(C)-2x (D)2x 19.化简a<0得………………………………………………………………() ! (A)(B)-(C)-(D) 20.当a<0,b<0时,-a+2-b可变形为………………………………………() (A)(B)-(C)(D) 四、在实数范围内因式分解:(每小题3分,共6分) 21.9x2-5y2;22.4x4-4x2+1. & 五、计算题:(每小题6分,共24分) 23.()();

二次根式计算化简专题(2)

二次根式计算化简专题(2) 1.若a 、b 、c 分别是三角形的三边长,化简 2.先化简,再求值: 2111a a a --,其中1a =; 3. 已知 a b = =求22a b a b ++的值. 4.已知实数x 、y 、a 试问长度分别为x 、y 、a 的 三条线段能否组成一个三角形?如果能,请求出该三角形的面积;如果不能,请说明理由. 5.先化简,再求值:2221412211 m m m m m m --?÷+-+-,其中m . 6.先化简,再求值 22 2x y xy x y x y x y +++--,其中x =-y =. 7.先化简,再求值:2232()111 x x x x x x +÷---,其中1x =.

8.先化简,再求值:2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+,其中x = 11()b a b b a a b ++++,其中a b ==. 9.已知1x =,求2211( )21x x x x x x x +-÷--+的值. 10.已知12a =,12 b =,求代数式225a ab b -+的值. 11.已知a 、b 、c 0, ab a c ab ===a c - 12. 32x x +=+,求35(2)242x x x x -÷----

13.已知152 a b c +-=-,求a b c ++的值. 14. 的整数部分为m ,小数部分为n ,求2212m mn n ++的值. 15. 若0m >,0n >= 16. ()f x = ,求(1)(3)(2011)f f f +++的值 17. 先化简,后求值:当14,4x y ==时,求391441y x y x x ---的值 18. 已知22446100x y x y +--+=,求 253__________. 19. 已知,a b =a b +=___________

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算 、学习准备: 1平方根:如果x 2= a,那么x叫做a的平方根。若a _ 0,则a的平方根记为___________________ . 2、算术平方根:正数a的正的平方根,叫做a的算术平方根。若a 3 0,则a的算术平方根记为 __________ 3、填空:① J100表示100的_________ ,结果为 ______ ? ②49表示49的 __________ ,结果为 _____ ? ,64 64 ③0.81的算术平方根记为_____________ ,结果为 _________ ? ④计算:阿+736 = _____________ , T004 —T025 = _____________ ? 二、阅读理解 4、二次根式的概念: 对于形如100^,81,-、a 这样的式子,我们将符号“ja ”叫做二次根式,根号下的数叫做被开方数。 在实数范围内,负数没有平方根,所以被开方数只能是正数或零,即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 计算..= = . _______ .4 .9 x_= ______________ ,所以盲 一般地,-.晶“菱电(a_0,b_0)(注意:公式中a,b必须都是非负数) 积的算术平方根,等于 ___________________________________ ? 想一想:.、(《) (-9)= 二?一匚9成立吗?为什么?、.(-4) (-9)应该等于多少? 例1、化简:(1) .16 81 (2) 2000 (3)27 15 (4) . 16ab2 (a - 0,b - 0) 即时练习:计算(1) 49 121 (2) 18 ( 3) 3x3(4)、27m2n3

二次根式的化简与计算

二次根式 【知识要点】 1.一般地,式子()0≥a a 叫做二次根式,这里的a 可以是数,也可以是代数式,它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 (1) () ()02 ≥=a a a (2)() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a (3)()0,0≥≥?=?b a b a b a (4) ()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则: (1)乘法运算:()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算: ()0,0>≥= b a b a b a 【化简以及分母有理化】 |a = 内移:, 当0a > 时,=当0a < 时, 4.最简的二次根式: (1)被开方数因数是整数,因式是整式. (2)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数. 5.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.

方法:①单项a =来确定. ②两项二次根式:利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a +与a - 例题. 化简:(1= ; (2= . = . = ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点: ①都是二次根式,即根指数都是2; ②必须先化成最简二次根式; ③被开方数相同. 【重难点解析】 1.化简二次根式:尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:=== = 2.根号里的数比较大时,使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如==253? 3.根号内有字母或代数式,观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: x ==(1x x + 4.单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如: 3== 、233====?

二次根式计算乘除法化简

二次根式乘除法 1·一般地,对于二次根式的乘法有:=?b a 2·化简:(1 ;(2 = 3·计算:=?y xy 82 ,=?2712 = 2b a 2 ·a b 8= 4·对于b a b a ?= ?成立的条件是 5·下列计算正确的是( )A 、563224=? B 、653525=? 6C 、363332=? D 、15153553=? 7 =b,用含a,b ,则下列表示正确的是( ) (A )0.3ab. (B )3ab. (C)0.1ab 2 . (D)0.1a 2 b. 8·对于所有实数,a b ,下列等式总能成立的是( ) A . 2 a b =+ a b =+ C . 22 a b =+ a b =+ 9·计算 :(1 ( )2 ( )(() 30,0a b -≥≥ (4) 10·如果 )3(3-?=-?x x x x ,那么x 的取值范围是( ) A 、x 0≥ B 、3≥x C 、03≤≤x D、x 为一切实数

11·下列计算正确的是( ) A 、2122423=? B 、632)3(323 2=?-=- C 、 259)25()9(-?-=-?-)3(-=15)5(=-? D、 5)1213)(1213(12132 2=-+=- 12·若一个正方体的长为cm 62,宽为cm 3,高为cm 2,则它的体积为 3 cm 。 13·下列各式不是最简二次根式的是( ) C. 4 D. 14·化简: 7 7 7-= ;=>>÷)0,0(43 b a a b a 15·下列二次根式中属于最简二次根式的是( ) A .14 B .48 C.b a D.44+a 16 ( ) (C)3 1 面积为 (精确到0.01)。 1 8·计算: _____________ = 19·计算:=?÷182712 ; 20·计算 ÷= 21·已知: 1.69,x = 求2x +的值。

二次根式的化简及计算

二次根式的化简及计算 一、学习准备: 1、平方根:如果 x 2 = a ,那么x 叫做a 的平方根。 若0a ≥, 则a 的平方根记为 . 2、算术平方根:正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根。若0a ≥, 则a 的算术平方根记为_____. 3100的_______,结果为_______. ②表示4964的_______,结果为_____. ③ 0.81的算术平方根记为___________,结果为_________. __________,__________. 二、阅读理解 4、二次根式的概念: ”叫做二次根式,根号下的数叫做被开方数。在实数范围内,负数没有平方根,所以被开方数只能是正数或零,即被开方数只能是非负数。 5、积的算术平方根 = = . = × = ,所以 一般地b = (0,0)a b ≥≥(注意:公式中,a b 必须都是非负数) 积的算术平方根,等于 . =应该等于多少?

例1、化简:(1 (2 (3 (40,0)a b ≥≥ 即时练习:计算(1 (2 (3 (4 6、二次根式的乘法 = (0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥.即:二次根式相乘,根指数 不变,被开方数相乘.运用此公式,可以进行二次根式的乘法运算。 例2、计算 (1 (2) 即时练习:计算(1 (2 (3)(- 7、商的算术平方根 == ,23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根,等于 。 化简(1 (2 (3

即时练习:化简(1 (2 (3 课堂检测 1、计算:(1 (2 (3 (4 2、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c. (1)如果6,9,a b c ==求; (2)如果4,12,a c b ==求; (3)如果15,10,c b a ==求 3、计算:(1 (2) (3 (4 4、化简(1 (2 (3

二次根式的化简与计算的策略与方法

二次根式是初中数学教学的难点内容,读者在掌握二次根式有关的概念与性质后,进行二次根式的化简与运算时,一般遵循以下做法:①先将式中的二次根式适当化简 (,②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 )③对于二次根式的除法,通常是先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算. ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似,即在化简的基础上去括号与合并同类项. ⑤运算结果一般要化成最简二次根式. 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容,对于二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还要掌握一些特殊的方法和技巧,会收到事半功倍的效果,下面通过具体的实例进行分类解析..公式法1 ②;】计算①【例1 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”,从而使计算较为简便. .观察特征法2 】计算:2【例 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算,须要进行两次分母有理化,计算相当麻烦,观 ,即得分子,于是可以简解如下:察原式中的分子与分母,可以发现,分母中的各项都乘以

.【解】原式 把下列各式的分母有理化.3】【例 ))1();(2(【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等,计算将很繁,观察分母中的两个因式如果相加即得分子,这就启示我们可以用如下解法: 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母,再化简.但是,不难发现②式分子中的系 ”了!因此,②可以解答如下:1数若为“1”,那么原式的值就等于 “ 【解】②原式 .运用配方法3 】化简4【例 【解】原式

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