高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

高中立体几何典型500题附加题题库及解析(十二)(551~600题)

551. 已知：正三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AB ′⊥BC ′，BC ＝2，求：线段AB ′在侧面C C BB ''上的射影长.

解析：如图，取BC 的中点D.∵AD ⊥BC ，侧面''B BCC ⊥底面ABC ，∴AD ⊥侧面''B BCC D B '是斜线AB ′在侧面的射影.又∵AB ′⊥BC ′，∴D B '⊥BC ′. 设BB ′＝x ，在Rt ΔBD B '中，BE ∶BD ＝'BB ，D B '＝21x +. ∵E 是ΔBB ′C 的重心.∴BE ＝31BC ′＝3

124x +

∴x ＝

3

1

21x +·42+x ，解得：x ＝2.∴线段AB ′在侧面的射影长为2. 552.ΔABC 在平面α内的射影是ΔA ′B ′C ′，它们的面积分别是S 、S ′，若ΔABC 所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S ′＝S ·cos θ. 证法一 如图(1)，当BC 在平面α内，过A ′作A ′D ⊥BC ，垂足为D.

∵AA ′⊥平面α，AD 在平面α内的射影A ′D 垂直BC. ∴AD ⊥BC.∴∠ADA ′＝θ.又S ′＝

21A ′D ·BC ，S ＝2

1AD ·BC ，cos θ＝AD D A ',∴S ′＝S ·cos

θ.

证法二 如图(2)，当B 、C 两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S ′＝S ·cos θ.

553. 求证：端点分别在两条异面直线a 和b 上的动线段AB 的中点共面.

证明 如图，设异面直线a 、b 的公垂线段是PQ ，PQ 的中点是M ，过M 作平面α，使PQ ⊥平面α，且和AB 交于R ，连结AQ ，交平面α于N.连结MN 、NR.∵PQ ⊥平面α，MN ?α，∴PQ ⊥MN.在平面APQ 内，PQ ⊥a,PQ ⊥MN,∴MN ∥a,a ∥α，又∵PM ＝MQ ，∴AN ＝NQ ，同理可证NR ∥b,RA ＝RB.

即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.

554. 如图，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1

＝6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M.

解析：不难看出B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影.欲证A 1M ⊥AB 1，只要能证A 1M ⊥AC 1就可以了.

证：连AC 1，在直角ΔABC 中，BC ＝1，∠BAC ＝30°，∴ AC ＝A 1C 1＝3.

设∠AC 1A 1＝α，∠MA 1C 1＝β∴ tan α＝

111C A AA ＝3

6

＝2,

tg β＝111C A MC ＝3

26

＝22.∵cot(α+β)＝βαβαtan tan tan tan 1+-＝

2

2

211+

-＝0,

∴α+β＝90° 即AC 1⊥A 1M. ∵B 1C 1⊥C 1A 1，CC 1⊥B 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AA 1CC 1， AC 1是AB 1在平面AA 1C 1C 上的射影. ∵AC 1⊥A 1M ，∴由三垂线定理得A 1M ⊥AB 1.

评注：本题在证AC 1⊥A 1M 时，主要是利用三角函数，证α+β＝90°，与常见的其他题目不太相同.

555. 矩形ABCD ，AB ＝2，AD ＝3，沿BD 把ΔBCD 折起，使C 点在平面ABD 上的射影恰好落在AD 上.

(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求CD 与平面ABD 所成角的余弦值

.

(1)证明 如图所示，∵CM ⊥面ABD ，AD ⊥AB ， ∴CD ⊥AB

(2)解：∵CM ⊥面ABD

∴∠CDM 为CD 与平面ABD 所成的角， cos ∠CDM ＝

CD

DM

作CN ⊥BD 于N ，连接MN ，则MN ⊥BD.在折叠前的矩形ABCD 图上可得 DM ∶CD ＝CD ∶CA ＝AB ∶AD ＝2∶3. ∴CD 与平面ABD 所成角的余弦值为

3

2

556. 空间四边形PABC 中，PA 、PB 、PC 两两相互垂直，∠PBA ＝45°，∠PBC ＝60°，M 为AB 的中点.(1)求BC 与平面PAB 所成的角；(2)求证：AB ⊥平面

PMC.

解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA ⊥AB ，∴∠APB ＝90°

在Rt ΔAPB 中，∵∠ABP ＝45°，设PA ＝a ， 则PB ＝a,AB ＝2a,∵PB ⊥PC ，在Rt ΔPBC 中， ∵∠PBC ＝60°,PB ＝a.∴BC ＝2a,PC ＝3a.

∵AP ⊥PC ∴在Rt ΔAPC 中，AC ＝22PC PA +＝2

2

)3(a a +＝2a

(1)∵PC ⊥PA,PC ⊥PB,∴PC ⊥平面PAB ， ∴BC 在平面PBC 上的射影是BP. ∠CBP 是CB 与平面PAB 所成的角

∵∠PBC ＝60°，∴BC 与平面PBA 的角为60°. (2)由上知，PA ＝PB ＝a,AC ＝BC ＝2a. ∴M 为AB 的中点，则AB ⊥PM ，AB ⊥CM. ∴AB ⊥平面PCM.

说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.

557. 在空间四边形ABCP 中，PA ⊥PC ，PB ⊥BC ，AC ⊥BC.PA 、PB 与平面ABC 所成角分别为30°和45°。(1)直线PC 与AB 能否垂直?证明你的结论；(2)若点P 到平面ABC 的距离为h ，求点P 到直线AB 的距离.

解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.

解 (1)AB 与PC 不能垂直，证明如下：假设PC ⊥AB ，作PH ⊥平面ABC 于H ，则HC 是PC 在平面ABC 的射影，∴HC ⊥AB ，∵PA 、PB 在平面ABC 的射影分别为HB 、HA ，PB ⊥BC ，PA ⊥PC. ∴BH ⊥BC ，AH ⊥AC

∵AC ⊥BC ，∴平行四边形ACBH 为矩形. ∵HC ⊥AB ，∴ACBH 为正方形. ∴HB ＝HA

∵PH ⊥平面ACBH.∴ΔPHB ≌ΔPHA.

∴∠PBH ＝∠PAH ，且PB ，PA 与平面ABC 所成角分别为∠PBH ，∠PAH.由已知∠PBH ＝45°，∠PAH ＝30°，与∠PBH ＝∠PAH 矛盾. ∴PC 不垂直于AB.

(2)由已知有PH ＝h,∴∠PBH ＝45° ∴BH ＝PH ＝h.∵∠PAH ＝30°，∴HA ＝3h.

∴矩形ACBH 中，AB ＝22HA BH +＝2

2

)3(h h +＝2h.

作HE ⊥AB 于E ，∴HE ＝

AB HA HB ?＝h

h h 23?＝23

h. ∵PH ⊥平面ACBH ，HE ⊥AB ，

由三垂线定理有PE ⊥AB ，∴PE 是点P 到AB 的距离. 在Rt ΔPHE 中，PE ＝22HE PH +＝2

2)2

3(

h h +＝27h.

即点P 到AB 距离为

2

7h. 评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.

558. 如图，在棱长为a 的正方体AC 1中，M 是CC 1的中点，点E 在AD 上，且AE ＝3

1

AD ，F 在AB 上，且AF ＝

3

1

AB ，求点B 到平面MEF 的距离.

解法一：设AC 与BD 交于O 点，EF 与AC 交于R 点，由于EF ∥BD 所以将B 点到面MEF 的距离转化为O 点到面MEF 的距离，面MRC ⊥面MEF ，而MR 是交线，所以作OH ⊥MR ，即OH ⊥面MEF ，OH 即为所求. ∵OH ·MR ＝OR ·MC ， ∴OH ＝

59

118a

. 解法二：考察三棱锥B —MEF ，由V B-MEF ＝V M-BEF 可得h. 点评 求点面的距离一般有三种方法： ①利用垂直面；

②转化为线面距离再用垂直面；

③当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.

559． 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1C 1和平面AB 1C 间的距离. 解法1 如图所示，A 1C 1∥平面AB 1C ，又平面BB 1DD 1⊥平面AB 1C. 故若过O 1作O 1E ⊥OB 1于E ，则OE 1⊥平面AB 1C ，O 1E 为所求的距离 由O 1E ·OB 1＝O 1B 1·OO 1， 可得：O 1E ＝

3

3a

解法2：转化为求C 1到平面AB 1C 的距离，也就是求三棱锥C 1—AB 1C 的高h. 由 V C AB C 11-＝V 11CC B A -，可得h ＝

3

3a. 解法3 因平面AB 1C ∥平面C 1DA 1，它们间的距离即为所求，连BD 1，分别交B 1O 、DO 1与F 、G(图中未画出)。易证BD 1垂直于上述两个平面，故FG 长即为所求，易求得 FG ＝

3

3a . 点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.

560. 在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 上的点，

MB AM ＝NC AN ＝2

1

.沿MN 把ΔAMN 到ΔA ′MN 的位置，二面角A ′—MN —B 为60°，求证：平面A ′MN ⊥平面A ′BC.

解析：作AD ⊥BC 于D ，设AD ∩MN ＝P ，∠A ′PD ＝60°，可证A ′P ⊥平面A ′BC.

561. 四面体的四个顶点到平面M 的距离之比为1∶1∶1∶3，则平面M 的个数应有多少个? 解 这样的平面应分4种情况讨论：

(1)4个顶点都在平面M 的同侧，则有C 41

·1＝4个(平面)；

(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C 41

·1＝4个(平面)；

(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C 31·C 41

·1＝12个(平面)

(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C 32·C 41

·1＝12个(平面)； ∴ 一共应有4+4+12+12＝32个(平面)

562. 斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形

A 、 0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个

解析：C 。 只能相对的侧面均为矩形

563. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

解析：D 。 如图，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，则P —ABCD 的四个侧面均为直角三角形 564. 正四棱柱的一个侧面面积为S ，则它的对角面面积是__________。

解析：S 2 设正棱柱底面边长为a ，高为h ，则ah=S ，对角面面积为S 2ah 2= 565. 正n 棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为__________。

解析：0180n

2

n ?- 底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角，正n

边形内角度数为

0180n

2

n ?- 566. 正六棱柱的高为5cm ，最长对角线为13cm ，它的侧面积是__________。

解析： 180cm 2 设正六棱柱底面边长为a ，高为h ，则h 2+(2a)2=132

，h=5，∴a=6，∴侧面积=6ah=180

567. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是θ，底面积Q ，则它的侧面积是________。 解析： Qsec θ 正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理

568. 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与对角面A 1B 1CD 所成角为300

，

求证：此四棱柱为正方体。 解析：∵ A 1B 1⊥平面B 1C

∴ 平面A 1B 1CD ⊥平面BC 1，交线为B 1C

在平面B 1C 内作BO ⊥B 1C ，O 为垂足，连A 1O 则BO ⊥平面A 1B 1CD

∴ ∠BA 1O 为BA 1与平面A 1B 1CD 所成的角

∴ ∠BA 1O=300

设正四棱柱底面边长为a ，高为h

则2

211221h a ah

C B BC BB BO ,h a B A +=?=

+=

∵ sin ∠BA 1O=

B

A BO

1 ∴ 2222h

a ah h a 21+=+

∴ a 2+h 2

=2ah

∴ a=h

∴ 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体

569. 四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，A 1B=A 1D ，求证：（1）对角面AA 1C 1C ⊥截面A 1BD ；（2）对角面D 1DBB 1是矩形

解析：（1）∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC

设BD ∩AC=0，又A 1B=A 1D ， ∴ BD ⊥A 1O ∵ A 1O ∩AC=O

∴ BD ⊥平面AA 1C 1C

∴ 平面A 1BD ⊥对角面AA 1C 1C

（1） 由（1），BD ⊥平面AC 1

∴ BD ⊥AA 1 又DD 1∥AA 1 ∴ BD ⊥DD 1

570. 正四棱锥棱长均为a ，（1）求侧面与底面所成角α；（2）若相邻两侧面所成角为β，求证：β=2α。

解析：如图，正四棱锥S —ABCD ，SO 、SF 分别为高、斜高，∠SFO 为二面角S —AB —O 平面角，∠SFO=α，在△SBC 中，作BE ⊥SC ，E 为垂足，连DE ∵ △BCE ≌△DCE ∴ DE ⊥SC

∴∠BED 为侧面B —SC —D 平面角，∠BED=β

（1）2

a

F B ,2a OF ==

∴ a 22F O F S SO ,a 23BF SB SF 2222=-==-= ∴ 3

6

SF SO sin ==

α

∴ 3

6arcsin

=α （2）连EO ∵ a 2

2OB ,a 23BE == ∴ 36OE OB 2sin

==β ∵ )2,0(2,π

∈βα

∴ 由α=βsin 2sin 得：α=β

2

∴ β=2α

571. 正三棱锥的侧棱等于10cm ，侧面积等于144cm 2

，求棱锥的底面边长和斜高。 解析：设底面边长为a ，斜高为h ’

则 ???????=??=+222

212'h a 32

110)2a ('h

∴ ???==8'h 12a 或???==6'h 16a

572. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。 解析：∵A 1A=A 1B=A 1C

∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC

∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1

∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB

∴ 12)2

AB (

AA E A 2

2

11=-= ∴ 20S S B B A A C

C A A 1111==

∴ S 侧=396

573. 四棱锥V —ABCD 底面是边长为4的菱形，∠BAD=1200

，VA ⊥底面ABCD ，VA=3，AC 与BD 交于O ，（1）求点V 到CD 的距离；（2）求点V 到BD 的距离；（3）作OF ⊥VC ，垂足为F ，证明OF 是BD 与VC 的公垂线段；（4）求异面直线BD 与VC 间的距离。 解析：用三垂线定理作点到线的垂线 在平面ABCD 内作AE ⊥CD ，E 为垂足 ∵ VA ⊥平面ABCD

∴ AE 为VE 在平面ABCD 上的射影 ∴ VE ⊥

CD

∴ 线段VE 长为点V 到直线CD 的距离

∵ ∠BAD=1200

∴ ∠ADC=600

∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为CD 中点，AE=

3242

3

=? ∴ VE=21AE V A 22=+ （2）∵ AO ⊥BD

∴ 由三垂线定理VO ⊥BD

∴ VO 长度为V 到直线BD 距离 VO=13AO V A 22=+

（3）只需证OF ⊥BD ∵ BD ⊥HC ，BD ⊥VA ∴ BD ⊥平面VAC ∴ BD ⊥OF

∴ OF 为异面直线BD 与VC 的公垂线 （4）求出OF 长度即可 在Rt △VAC 中

OC=2

1

AC=2，VC=5AC V A 22=+

∴ OF=OC ·sin ∠ACF=OC ·5

6

532VC VA =?=

574. 空间四边形DABC 中，P 、Q 为边CD 上两个不同的点，M 、N 为AB 上两个不同的点，连PM 、QN ，如图，问图中共有多少对异面直线？

解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。

首先考虑空间四边形DABC 的四条边DA 、AB 、BC 、CD 连同对角线AC 、BD ，这六条线段可形成三对异面直线DA 与BC ，AB 与CD ，AC 与BD 。

其次添加线段PM ，则除去与PM 相交的CD 、AB ，又可新形成4对异面直线，即PM 与DA 、BC 、AC 、BD 。

因QN 与PM 位置等同，当添上QN 时，也同样新增4对异面直线。 最后注意到，PM 与QN 也是异面直线。 ∴ 图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线

575. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=a ，BC=b ，AA 1=c ，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值。 解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD 1和B 1C 所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEF —D 1C 1E 1F 1。具体作法是：延长A 1D 1，使A 1D 1=D 1F 1，延长B 1C 1至E 1，使B 1C 1=C 1E 1，连E 1F 1，分别

过E 1、F 1，作E 1E //==C 1C ，F 1F //

==D 1D ，连EF ，则长方体C 1D 1F 1E —CDFE 为所作长方体。 ∵ BC //==D 1F 1

∴ BD 1//==CF 1

∴ ∠B 1CF 1就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角。

∵ BD 2=a 2+b 2

∴ Rt △BDD 1中，BD 12=BD 2+DD 12=a 2+b 2+c 2

∴ CF 12=BD 12=a 2+b 2+c 2

∵ B 1C 2

=b 2

+c 2

，B 1F 12

=a 2

+4b 2

∴ △B 1CF 1中

cos ∠B 1CF 1=222222

2112112121c

b c b a b c C B CF 2F B C B CF +?++-=

?-+ （1） 当c>b 时， cos ∠B 1CF 1>0

∴ ∠B 1CF 1为锐角，∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角

（2） 当c

∴ ∠B 1CF 1是钝角

∴ π-∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角

（3） 当c=b 时，∠B 1CF 1=900

∴ BD 1⊥B 1C

法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。

如图，分别取BC 、BB 1、B 1D 1的中点P 、M 、Q ，连PM 、MQ 、PQ 则 MP ∥B 1C ，MQ ∥BD 1

∴ ∠PMQ （或其补角）就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角

△ PMQ 中，MP=21B 1C=22c b 2

1

+

△

MQ 21=BD 1=2

22c b a 2

1++，PQ=4a c 22+

利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果

576. M 、N 分别是空间四边形ABCD 中AB 、CD 中点，求证：MN<2

1

（AD+BC ）。 证明：取AC 中点P ，则MP=21BC ，NP=2

1AD ∴ MN

2

1

（BC+AD ） 577. 长方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中，AB=2，BC=BB ’=1，M 、N 分别是AD 和BC 中点，求异面直线MN 和BC ’所成角的大小

解析：∵MN ∥AC ，AC ∥A ’C ’，∴MN ∥A ’C ’ ∴ ∠BC ’A ’就是MN 与BC ’所成的角

△

BA ’C 中，BC ’=2，BA ’=A ’C ’=5

∴ cos ∠BC ’A ’=10

10

'C 'A 'BC 2'B 'A 'C 'A 'BC 222=?-+

578. 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若E 、M 、N 分别是棱AB 、BC 及B 1D 1的中点，求异面直线DN 与

MC 1所成的角。

解析：连NG 、EM 、EN 、DE

∵ EM //==21AC ，NC 1//==2

1AC ∴ NC 1//

==EM ∴ NE ∥MC 1

∴ ∠DNE 为异面直线DN 与MC 1所成的角

设AB=a ，则DE=EN=GM=

a 2

5，DN=a 26N D DD 222

1=+

△

DNE 中，cos ∠DNE=10

30

NE DE 2dE EN DN 222=?-+

∴ 异面直线DN 与MC 1所成的角为arccos

10

30

. 579. 如图，在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：

（1）AB 与CC 1；（2）A 1B 1与DC ； （3）A 1C 与D 1B ；（4）DC 与BD 1； （5）D 1E 与CF

解析：（1）∵C ∈平面ABCD ，AB ?平面ABCD 又C ?AB ，C 1?平面ABCD ∴AB 与CC 1异面

（2）∵A 1B 1∥AB ，AB ∥DC ，∴A 1B 1∥DC （3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC ，∴A 1D 1∥

则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内

∴A 1C 与D 1B 相交 （4）∵B ∈平面ABCD ，DC ?平面ABCD

又B ?DC ，D 1?平面ABCD ∴DC 与BD 1异面 （5）如图，CF 与DA 的延长线交于G ∵AF ∥DC ，F 为AB 中点， ∴A 为DG 的中点，又AE ∥DD 1，

∴GD 1过AA 1的中点E ， ∴直线D 1E 与DF 相交

580. 证明：如图，假设空间四边形ABCD 则AC 、BD 共面于α，则A 、B 、C 、D 顶点不在同一平面内）”相矛盾。

故假设错误，因此AC 、BD 常用到。

581. 已知空间四边形ABCD 中，E 、H 别是BC 、CD 的中点，求证：四边形上的点，G 是DC 上的点，且==GD CG CB CF AC 共点。

证明：（1）如图（甲），连结BD 。 ∵EH 是的△ABD 中位线，

∴EH //21BD ，同理FG //21

BD

根据公理4，EH //FG

∴四边形EFGH 是平行四边形。

12-5-1-1=5

则共有12×5×2

1

587. 四面体ABCD 解析：180°

588. 在四面体出线段SD 与过点解析：图中，SD 面ASD （平面CSD 解：连接AS 交BC ∵M ∈AD ，AD ?∴M ∈平面AED ∵F ∈ED ，ED ?∴F ∈平面AED

又M ∈平面MNP ，F ∴平面AED ∩平面∵O ∈SD ，SD ?∴O ∈平面AED 则O ∈MF 即O 为MF 与SD 589. 已知直线a 证明：∵a ∥b

∴经过a 、 ∵c ∩a=A ∴A ∈α 则AB ?α ∴a 、b 、c 点评：利用a ∥b ，α590. 空间四边形证：四边形PQRS 证明：∵PQ 为 又PQ ?平面 又平面PQR ∵R 为DC 中点,行四边形

评述:线面平行”是证平行关系的常用方法。 变式题：如图，在四面体ABCD 中，截面EFGH 是平行四边形．求证：AB ∥平面EFG ．

证明 ∵面EFGH 是截面．∴点E ，F ，G ，H 分别在BC ，BD ，DA ，AC 上．∴EH

面

ABC，GF 面ABD，由已知，EH∥GF．∴

EH∥面ABD．又∵EH 面BAC，面ABC

∩面ABD=AB∴EH∥AB．

∴AB∥面EFG．

591.两个惟一性定理．

(1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直

(2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直

过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A，且垂直于直线a的平面内，试证之．

已知：A∈α，a⊥α于点O，AB⊥a．求证：ABα

?

证明：假AB不在平面α内，连结AO．

∵a⊥α∴a⊥AO．又a⊥AB，且AO∩AB=A．

∴

a垂直于相交直AO、AB所确定的平面β．

说明：关于直线和平面垂直的问题中，有两个基本作图：

(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．这两个基本作图可作为公理直接使用．

592.直线l上有两点到平面α的距离相等，这条直线和平面α的位置如何？

解析：(1)若直线l上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线l在平面α内(如图)

(2)若直线l上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等,这时直线l 与平面α相交(如图)．

解析：过C 作CE ∥AB 交β于E ，取CE 中点P 则 AB ∥CE AC ∥BE MP ∥AC BP ∥α

(1)MP ∥β；(2)PN ∥ED PN ∥β.∴面MN ∥面

β∴MN ∥面α，MN ∥α

598. 平面α∥平面β，A 、B ∈α，C ∈β，AA ′⊥β于A ′，BB ′⊥β于B ′，若AC ⊥AB ，AC 与β成60°的角，AC=8cm,B ′C=6cm,求异面直线AC 与BB ′间的距离. 解析：∵BB ′⊥α∴BB ′⊥AB 又∵AC ⊥AB ∴AB 为AC 与BB ′的公垂线 又∵AB=A ′B ′ AB ∥A ′B ′ AC ⊥A ′B ′

∴A ′C ′⊥A ′B ′

A ′

B ′=522046)60cos 9(6

C B 22223

2==-=?-=

''-''C A

599. 某人买了一罐容积为V 升、高为a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底面高度分别为b 、c 的地方(单位：米).为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜罐口的方式拿回家.试问罐内液油最理想的估计能剩多少?

解析：如图所示，建立模型，设直三棱柱为ABC —A ′B ′C ′，破损处为D 、E.并且AD ＝b,EC ＝c,BB ′＝a.则罐内所剩液油的最大值即为几何体ABC —DB ′E 的体积. 连结BD 、CD

∵B BCE D V '-＝B BCE A V '-'， 而

B C BC A B BCE D V V '

'-''-＝a c

a 2+,B C BC A V ''-'＝32V,

∴B BCE D V '-＝a

V

c a 3)(+. 又∵

ABC A ABC D V V -'-＝a

b ，∴V D-ABC ＝a b ·3V ＝a bV

3.

故 E B D ABC V '-＝B BCE D V '-+V D-ABC ＝

a V c

b a 3)(++，即最理想的估计是剩下a

V

c b a 3)(++升.

600. 要修建一座底面是正方形且四壁与底面垂直的水池，在四壁与底面面积之和一定的前

提下，为使水池容积最大，求水池底面边长与高的比值.

解析：为了建立体积V 的函数，我们选底面边长和高为自变量.

设水池底面边长为a ，水池的高为h ，水池容积为v ，依题意，有a 2

+4ah ＝k(k 为定值).

∴v ＝a 2h ＝a 2

a 4a k 2

-＝4

)a k (a 2-(v ＞0), ∴v 2

＝

16

1a 2(k-a 2)2＝321·2a 2(k-a 2)(k-a 2

)

≤321(3

2222a k a k a -+-+)3＝321·2783k ＝1083k (当且仅当2a 2＝k-a 2时，即k ＝3a 2

时等号成立)， 故 a 2+4ah ＝3a 2

,

即a ∶h ＝2∶1时，水池容积最大为3

6k

k .

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立 体几何试题 一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB 0300300150空间，下列命题正确的个数为（ ） （1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形 （3）平行于同一条直线的两条直线平行 ;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（ ） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（ ） A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ） A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题 1. 在正方体1111D C B A ABCD -中，求二面角111C BD A --的大小． 解析：如图9-43，在平面B C D 11内作11BD E C ⊥，交1BD 于E ．连结E A 1，设正方体棱长为a ，在△11BD A 和△11BD C 中，a D C D A ==1111，a B C B A 211==，11 BD BD = a 3=，∴ △11BD A ≌△11BD C ，∵ 11BD E C ⊥，∴ 11BD E A ⊥，∴ 11EC A ∠ 二面角111C BD A --的平面角．在Rt△11D BC 中，?=∠9011B C D ，∴ 111112121BD E C BC D C ?=?，∴ a a a a E C 32321=?=,在△11EC A 中，= =E C E A 11 a 32，a C A 211=，213 2322)2(3232cos 22211-=?-???? ??+???? ??=∠a a a a a EC A ，110 EC A ∠?＜ ?180＜，?=∠∴120 11EC A 2. 如图9-50，点A 在锐二面角??-MN -??的棱MN 上，在面??内引射线AP ，使AP 与MN 所成的∠PAM 为45°，与面??所成的角为30°，求二面角??-MN -??的大小．

解析：如图答9-44，取AP 上一点B ，作BH ⊥??于H ，连结AH ，则∠BAH 为射线AP 与平面??所成的角，∴ ∠BAH =30°，再作BQ ⊥MN ，交MN 于Q ，连结HQ ，则HQ 为BQ 在平面??内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ ⊥MN ，∴ ∠BQH 为二面角??-MN -??的平面角． 图答9-44 设BQ =a ，在Rt△BAQ 中，∠BQA =90°，∠BAM =45°，∴ a AB 2=，在Rt△BAH 中∠BHA =90°，∠BAH =30°，∴ a BH 22= ．在Rt△BHQ 中，∠BHQ =90°，BQ =a ，a BH 2 2=，∵ ∠BQH 是锐角，∴ ∠BQH =45 即二面角??-MN -??等于45°． 3. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB ＝2 1CD ，侧棱PB⊥底面ABCD ，PC ＝5，BC ＝3，ΔPAB 的面积等于6，若平面DPA 与平面CPB 所成的二面角为α，求α. 解析：平面DPA 与平面CPB 有一公共点P ，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA 和CB 的延长线的交点E 是它们的另一公共点.由公理二，PE 就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根. 解 延长DA 交CB 的延长线于E ，连PE ，则PE 就是平面DPA 和平面CPB 的交线. ∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD. ∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE. 作CF⊥PE 于F ，连DF 由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α. ∵AB＝ 2 1CD ，PC ＝5，BC ＝3，∴PB＝4. S ΔPAB ＝6，∴AB＝3，CD ＝6，DC AB ＝EC EB ＝21.

立体几何复习测试题及答案

立体几何复习测试题及答案

高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

必修 立体几何单元测试题及答案

M D' D C B A 立体几何单元测验题 一、选择题：把每小题的正确答案填在第二页的答题卡中，每小题4分，共60分 1．一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为 A ． 152 π B ．10π C ．15π D ．20π 2．C B A ,,表示不同的点，l a ,表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是 A ．ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．,,,AB l l AB l αβαβαβ=⊥?⊥?⊥I C ．,l A l A αα?∈?? D ．βαβα与不共线，，且?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,重合 3．直线c b a ,,相交于一点，经过这3条直线的平面有 A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．0个或1个 4．下列说法正确的是 A ．平面α和平面β只有一个公共点 B ．两两相交的三条直线共面 C ．不共面的四点中，任何三点不共线 D ．有三个公共点的两平面必重合 5． 直线b a 与是一对异面直线，a B A 是直线,上的两点，b D C 是直线,上的两点，N M ，分别是BD AC 和的中点，则a MN 和的位置关系为 A ．异面直线 B ．平行直线 C ．相交直线 D ．平行直线或异面直线 6．已知正方形ABCD ，沿对角线ABC AC ?将折起，设AD 与平面ABC 所成的角为α，当α最大时，二面角D AC B --等于（ ） A ．090 B ．060 C ．045 D ．030 7．已知异面直线b a ,分别在平面βα,内，且βαI c =，直线c A ．同时与b a ,相交 B ．至少与b a ,中的一条相交 C ．至多与b a ,中的一条相交 D ．只能与b a ,中的一条相交 8．一个平面多边形的斜二侧图形的面积是S ，则这个多边形的面积是 A 2S B ．2S C ．22S D ．4S 9．直线l 在平面α外，则 A ．α//l B ．α与l 相交 C ．α与l 至少有一个公共点 D ．α与l 至多有一个公共点 10．如图，BD AB BD M AC M AB BD AC AB ，，平面，平面，⊥⊥?===1与平面M 成030角，则 D C 、间的距离为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 11．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系

必修二立体几何复习+经典例题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线 就和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平 行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成90 角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5 、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角, 则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为90

立体几何练习题

数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C

高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与 点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CF底面EGF,可得CFEG，即EG面CFG所以平面DEG⊥ 平面CFG. （2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为 1112 S正方形GO5520 DECF 335 Word资料

2012，山东(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD， 又已知CEBD，所以BD平面OCE. 所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线， 所以BEDE. (II)取AB中点N，连接MN,DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB. 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC， 所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC. Word资料

BC2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD A D FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B1C1E与直线AA1的交点。A1 B1 D1 (第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i）E F//A 1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求B C与平面 1 B CEF所成的角的正弦值。 11 解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。 （Ⅰ）（i）因为C1B1//A1D1,C1D1平面ADD1A1,所以C1B1//平面A1D1DA. 又因为平面B1C1EFI平面A1D1DAEF,所以C1B1//EF, 所以A1D1//EF. （ii）因为BB1平面A1B1C1D1,所以BB1B1C1. 又因为B1C1B1A1,所以B1C1平面ABB1A1,所以B1C1BA1. 2 在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点，tanA1B1FtanAA1B, 2 即A1B1FAA1BBA1B1F. 所以BA1平面B1C1EF. A B C D （Ⅱ）设BA1与B1F交点为H，连接C1H, 由（Ⅰ）知BA1平面B1C1EF. F E H B1 A1 D1 C1

空间几何体测试题及答案.doc

第一章《空间几何体》单元测试题 （时间：60分钟，满分：100分）班别座号姓名成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、图（1）是由哪个平面图形旋转得到的（） A B C D 2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分 的面积之比为（） A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9 3、棱长都是1的三棱锥的表面积为（） A. 3 B. 23 C. 33 D. 43 4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1：V2= A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 5、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为( ) A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 6 A.24πcm2，12πcm3 B.15πcm2，12πcm3 C.24πcm2，36πcm3 D.以上都不正确 7、一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为（） A.3 3 4 cm π B. 3 8 6 cm π C. 3 6 1 cm π D. 3 6 6 cm π 8、一个体积为3 8cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A．2 8cm π B．2 12cm π C．2 16cm π D．2 20cm π 9、一个正方体的顶点都在球面上，此球与正方体的表面积之比是（） A. 3 π B. 4 π C. 2 π D. π 10、如右图为一个几何体的 三视图，其中府视图为 正三角形，A1B1=2， AA1=4，则该几何体的表面积为 (A)6+3 (B)24+3 (C)24+23 (D)32 A B 1 C 正视图侧视图府视图

(完整版)高一必修二经典立体几何专项练习题

高一必修二经典立体几何专项练习题 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内——有无数个公共点 （2）直线与平面相交——有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行——没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： aβ bβ a∩b =pβ∥α a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ=a a∥b β∩γ=b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

高中立体几何练习题(根据历年高考题改编)

立体几何复习精选 一．选择 10 1模 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 三．大题 18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长； （2）若11PC R =，求三棱锥P ABC -的体积． C P A B 图5 D

09 1模 如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==． （1）求证：BC ⊥平面AC A 1； （2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．

18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为 403 。 （1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长; （3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。 10 1模 17．（本小题满分14分） 如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积． A B C D E 图5

高中立体几何经典题型练习题(含答案)

高中数学立体几何练习题精选试卷 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（每题2分，共40分） 1．设直线l，m和平面α，β，下列条件能得到α∥β的有（） ①l?α，m?α，且l∥β，m∥β； ②l?α，m?α且l∥m； ③l∥α，m∥β且l∥m． A．1个B．2个C．3个D．0个 2．一个四面体中如果有三条棱两两垂直，且垂足不是同一点，这三条棱就象中国武术中的兵器--三节棍，所以，我们常把这类四面体称为“三节棍体”，三节棍体ABCD四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（0，0，0）、B（0，4，0）、C（4，4，0）、D（0，0，2），则此三节棍体外接球的表面积是（） A．36πB．24πC．18πD．12π

3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为（）A．B．C．D． 4、如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为4的正方形，则此三棱柱的侧视图的面积为（） A．16B．2C．4D． 5．三棱锥P-ABC的侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P-ABC的外接球的体积是（） A．2πB．4πC．πD．8π 6．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，过对角线BD‘的一个平面交AA′于点E，交CC′于点F．则下列结论正确的是（） ①四边形BFD′E一定是平行四边形 ②四边形BFD′E有可能是正方形 ③四边形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形 ④四边形BFD′E有可能垂于于平面BB′D． A．①②③④B．①③④C．①②④D．②③④ 7．如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=1，则AD=（）

立体几何小题练习进步

立体几何小题练习 1．某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的 是（ ） A ．（1），（3） B ．（1），（4） C ．（2），（4） D ．（1），（2），（3），（4） 2．一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A. 322+π B. 324+π C. 33 22+π D. 33 24+π 3．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的 圆，那么这个几何体的体积为 ( )

A.4π B ．2π C. 43π D.23π 4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为cm ），则该棱锥的体积是 A ．43 B ．8 C ．4 D ．83 5．已知集合{}{}{}5 1 2 1 3 4A B C ===， ，，，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（ ） A.6 B.32 C.33 D.34 6．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 12,O O ，这两个球相外切，且球 1O 与正方体共顶点A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切,则两球在正方体的面 11AAC C 上 的正投影是（ ）

7．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．． 的是（ ）． A ．若a b ⊥，a α⊥，b α?，则//b α B ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ C ．若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α? D ．若//a α，αβ⊥，则a β⊥ 8．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1的中点，点O 为底面ABCD 的中心，P 为棱A 1B 1 上任一点，则异面直线OP 与AM 所成的角的大小为（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 9．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为π84，则圆台较小 底面的半径为（ ） .A 7 B . 6 C . 5 .D 3 10．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC=60O ，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD=1，则三 棱锥B-ACD 的体积为为 （ ） A.122 B.121 C.62 D.42 11．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A ．3 B ． 38 C ．6226++ D ．2 26+ 12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是( ).

-2017立体几何全国卷高考真题

2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=320 9 ，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图