第14讲-导数在研究函数中的应用
一、考情分析
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；
2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
二、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.函数的极值与导数
f′(x0)＝0
条件
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象
形如山峰形如山谷
极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值
极值点x0为极大值点x0为极小值点
3.函数的最值与导数
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
(3)求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
[微点提醒]
1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.
3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
三、 经典例题
考点一 求函数的单调区间
【例1】 已知函数f (x )＝ax 3
＋x 2
(a ∈R )在x ＝－4
3处取得极值.
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，
因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′? ????
－43＝0，
即3a ·? ????－432
＋2·? ????－43＝16a 3－8
3＝0，解得a ＝
12. (2)由(1)得g (x )＝? ??
??
12x 3＋x 2e x ，
故g ′(x )＝1
2x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1 所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 考点二 讨论函数的单调性 【例2】（2020·青海省高三一模）设函数2()ln 2(,).f x x mx n m n R =--∈ （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有最大值-ln2，求m+n 的最小值. 【解析】（1）函数()f x 定义域为()0,+∞，()2 114'4mx f x mx x x -=-= 当0m ≤时，()'0f x >，∴()f x 在()0,+∞上单调递增； 当0m >时，()'0f x >得0 x << ， ∴()f x 在? ??上单调递增；在?+∞???? 上单调递减. (2)由（1）知，当0m >时，()f x 在0,2m ? ??上单调递增；在2m ??+∞ ? ???上单调递减. ∴()max 111 ln 2ln2ln ln222422f x f m n m n m m m ?==-?-=----=- ?? ∴1ln 2n m =--， ∴1ln 2 m n m m +=-- 令()1ln 2h m m m =-- 则()121 '122m h m m m -=-= ∴()h m 在10,2?? ???上单调递减，在1,2?? +∞ ???上单调递增， ∴()min 11 ln222 h m h ??== ???. 规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f ′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数. 考点三 函数单调性的简单应用 【例3－1】已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈? ? ???0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x ) 是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ? ????π3 ?? π4 B.2f ? ????π3>f ? ?? ??π4 C.2f ? ????π6>3f ? ?? ?? π4 D.3f ? ????π3>f ? ?? ?? π6 【例3－2】已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1 e ，对任意实数都有 f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1 e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e) D.(e ，＋∞) 解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由????? 0 2；由 ?????0 解得0 又π3>π4，所以g ? ????π3>g ? ?? ?? π4，所以 f ? ????π3cos π3>f ? ???? π4cos π4， 即2f ? ????π3>f ? ?? ??π4. (2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x ) e x ， 又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减. 由F (x )<1 e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1 e 2的解集为(1，＋∞). 规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 考点四 利用导数解决函数的极值问题 【例4－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 解析由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2 规律方法由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 【例4－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解(1)当a＝1 2时，f(x)＝ln x－ 1 2x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝ 1 x－ 1 2＝ 2－x 2x， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2)2(2，＋∞) f′(x)＋0－ f(x)ln 2－1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x) 极大值 ＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1 x－a＝ 1－ax x(x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈? ? ? ??0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数在x ＝1 a 处有极大值. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1 a . 规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 【例4－3】已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程； (2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋m x 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1 x . 设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1 x 0x ＋ln x 0－1. 把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋m x (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－m x 2＝－mx 2－x ＋m x 2， 令h (x )＝mx 2－x ＋m ， 要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2， 则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2. 故只需满足?????h (0)>0， 12m >0，h ? ????12m <0 即可，解得0 2. 规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 考点五 利用导数求函数的最值 【例5】已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值； (2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0 ∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1. ∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈???? ?? 1e ，＋∞. ①若a ≥－1 e ，则 f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意. ②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0 a ； 令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1 a 从而f (x )在? ????0，－1a 上为增函数，在? ???? －1a ，e 上为减函数， ∴f (x )max ＝f ? ????－1a ＝－1＋ln ? ???? －1a . 令－1＋ln ? ????－1a ＝－3，得ln ? ???? －1a ＝－2， 即a ＝－e 2. ∵－e 2<－1 e ，∴a ＝－e 2为所求. 故实数a 的值为－e 2. 规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 考点六 利用导数求解最优化问题 【例6】在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为? ???? v 103 ＋1(升)，在水底作 业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v 2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式； (2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少. 解 (1)由题意，下潜用时60 v (单位时间)，用氧量为??????? ????v 103 ＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的 用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2 ＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180 v (升)， 因此总用氧量y ＝3v 250＋240 v ＋9(v >0). (2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2 ，令y ′＝0得v ＝1032， 当0 2时，y ′<0，函数单调递减； 当v >103 2时，y ′>0，函数单调递增. 若c <103 2 ，函数在(c ，103 2)上单调递减，在(103 2，15)上单调递增， ∴当v ＝103 2时，总用氧量最少. 若c ≥103 2，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少. 规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤： (1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0； (3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答. 2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点. [方法技巧] 1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域. 2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性. 3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决. 4.求单调区间应遵循定义域优先的原则. 5.注意两种表述“函数f (x )在(a ，b )上为减函数”与“函数f (x )的减区间为(a ，b )”的区别. 6.在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 7.可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：对?x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零. 8.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究. 9.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点. 10.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值. 11.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域. 12.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验. 13.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解. 四、 课时作业 1．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示．则函数()f x 在(),a b 内有几个极小值点（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））函数32 ()27f x x x mx =+++是R 上的单调函数．．．． ，则m 的取值范围是（ ） A ．4 ,3??+∞???? B ．4,3 ??-∞ ?? ? C ．1,3??+∞???? D ．1,3 ??-∞ ?? ? 3．（2020·林芝市第二高级中学高二月考（理））已知函数()f x 的导函数()f x ' 的图象如图所示，则下列叙述 正确的是( ) A ．函数()f x 在(,4)-∞上单调递减 B ．函数()f x 在1x =-处取得极大值 C ．函数()f x 在4x =-处取得极值 D ．函数()f x 只有一个极值点 4．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））函数32()23125f x x x x =--+在[0,3]上的最大值和最小值分别 是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-16 5．（2019·山西省高二月考（文））已知函数()3 2 2 7f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则a b 的值为（ ） A ．－ 23 B ．－2 C ．－2或－ 23 D ．2或－ 23 6．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二月考（理））函数()2 2ln f x x x =-的部分图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设e a =，πln πb =，3 ln3 c =，则,,a b c 大小关系是( ) A ．a c b << B ．b c a << C ．c b a << D ．c a b << 8．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））函数2 ()ln f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．20, ?? ??? B ．2,?? +∞?? ??? C ．2,?? -∞- ? ??? D ．22,0,0,???? -? ??? ???? 9．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））已知函数()3 f x x ax =-在[ )1,+∞是单调增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．3a ≥或0a ≤ C ．3a ≤ D ．3a >或0a ≤ 10．（2020·四川省高三三模（文））设函数()2 4x x f x e =，则函数()f x 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．（2020·甘肃省兰州一中高二期中（文））函数f （x ）的定义域为R ，()13f -=，对任意x ∈R ，()3f x '<，则()36f x x >+的解集为（ ） A ．{} 11x x -<< B ．{} 1x x >- C ．{} 1x x <- D ．R 12．（2019·佛山市顺德区容山中学高二开学考试）已知a 为函数()3 6f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A ．-2 B C ．2 D ． 13．（2018·河南省高三三模（理））已知函数ln ()x f x a x =-，3(ln ) ()ln x ax g x x -=，若方程()()f x g x =有2不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,e)-∞ B ．10, e ? ? ??? C ．(,0)(e,)-∞+∞ D ．(e,)+∞ 14．（2020·湖南省高三三模（理））已知函数1 ()||3f x x x =- -，()f x '是()f x 的导函数.①()f x 在区间(0,)+∞是增函数；②当(,0)x ∈-∞时，函数()f x 的最大值为1-；③()()y f x f x '=-有2个零点；④()()2f x f x ''--=.则上述判断正确的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．③④ D ．①② 15．（2020·山东省滕州市第一中学新校高二月考）已知方程2mx e x =在(]0,8上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1ln 2, 84?? ??? B ．1ln 2,164?? ?? ?? C ．3ln 22,4e ?? ?? ? ? D ．122,4n e ?? ?? ? ? 16．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））函数1 ()e ax f x x x -=-在()0,∞+上有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．2, e ??-∞ ??? B ．20,e ?? ??? C ． ()1,e D ．12, e e ?? ??? 17．（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，2x （12x x <），则（ ） A ．1()0>f x ，21 ()2f x >- B ．1()0f x <，2()12f x <- C ．1()0f x <，21()2 f x >- D ．1()0>f x ，2()12 f x <- 18．（多选）（2020·山东省滕州市第一中学新校高二月考）已知函数()()2 3 2 11 x x f x x ++= +，下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象的对称中心是（0，1） B ．函数()f x 在R 上是增函数 C ．函数()f x 是奇函数 D ．方程()()2122f x f x -+=的解为14 x = 19．（多选）（2020·山东省青州实验中学高二期中）已知函数()2 ln f x x x =+，则以下结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的单调减区间是(0,2) B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立 D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =则124x x +> 20．（多选）（2020·扬州大学附属中学高二月考）设函数()ln x e f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 定义域是（0，+∞） B ．x ∈（0，1）时，()f x 图象位于x 轴下方 C ．()f x 存在单调递增区间 D ．()f x 有且仅有两个极值点 21．（2020·河南省高三其他（理））已知函数()3 136 f x x mx = -+，()54ln g x x x =-+，若函数()f x 的导函数()f x '与()g x （[]1,9x ∈）的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的最大值为______． 22．（2020·四川省棠湖中学高二月考（文））如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像，给出下列命题： ①-2是函数()y f x =的极值点； ②函数()y f x =在1x =处取最小值； ③函数()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④函数()y f x =在区间(2,2)-上单调递增. 则正确命题的序号是__________． 23．（2020·盐城市第一中学高三二模）函数()2sin f x x ax =-在0,2π?? ???? 上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 24．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））已知函数()()3 1()13 f x x ax a R f x '=-+∈，是()f x 的导函数， 且()2 0f '=. (I)求a 的值; (II)求函数()f x 在区间[33]-， 上的最值. 25．（2020·山东省山东师范大学附中高二月考）已知函数32 ()3()f x x x a a R =-++∈ （1）求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在[]2,3-上的最小值为2，求它在该区间上的最大值． 26．（2020·林芝市第二高级中学高二月考（理））已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2)若函数f (x )在(－1，1)上单调递增，求a 的取值范围． 27．（2018·平遥县综合职业技术学校高三期中）设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值． 28．（2020·宁波市北仑中学高二月考）已知函数()ln ()m f x x m R x =-∈. （1）当2m =-时，求函数()f x 的单调区间和极值； （2）若函数()f x 在区间[1,]e 上取得最小值4，求m 的值. 导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值 《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力， 第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0 导数在研究函数中得应用(1) 一、教学目标 1、理解函数得单调性与导数得关系；会利用导数研究函数得单调性。 2、会用导数求不超过三次得多项式函数得极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次得多项式函数最大值、最小值。 3、理解函数在某点取得极值得条件； 二、知识梳理 １、给出下列命题： ①若在区间上就是增函数,都有 ②若在区间上可导,则必为上得单调函数 ③若对任意,都有，则在上就是增函数 ④若可导函数在区间上有，则区间上有 其中真命题得序号就是 2、下列结论中正确得就是 ①若，则就是函数得极值 ②若在内有极值，则在内不就是单调函数 ③函数得极小值一定小于它得极大值 ④在定义域上最多只能有一个极大值与一个极小值 3、求函数在最值得一般步骤为：(1）；（2）；（3）。 三、诊断练习 题1:函数得单调减区间就是__________． 题2。函数有极 ___值_____. 题3.函数得最大值就是________、 题４。函数在处取得极小值. 要点归纳 （1）要熟悉求函数单调区间、求极值得一般步骤方法，如诊断练习题１、题2 （２)分析原函数、导函数得图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数得正负决定原函数得增减”。遵循此规律，函数得增减性、极值情况一目了然. 四、范例导析 例1、已知函数、（1）判断函数得奇偶性;（2）求函数得单调区间、 【变式】：已知函数，求函数得单调区间。 例2：设函数,已知就是奇函数。 (１）求、得值。 (2）求得单调区间与极值。 例3：已知函数，其中ｅ就是自然对数得底数、 （1)证明:就是Ｒ上得偶函数； （2)若关于得不等式≤在上恒成立,求实数得取值范围； 注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理得范围。 变式：已知函数。 （１）若函数在上就是增函数,求得取值范围; （2)若在时取得极值，且时，恒成立，求得取值范围。 五、解题反思 1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时,具有一般性与有效性。运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数得单调区间、最值问题。牢记求导公式就是根本,同时一定要熟练掌握求单调区间,求极值、最值得解题基本步骤.如例1 导数在研究函数中的应用（基础篇） 知识点：1.函数的单调性与导数 2.函数的极值与导数 3.函数的最值与导数 课前练习： 1.设y=8x 2-lnx ，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（ ） A ．单调递增，单调递减 B 、单调递增，单调递增 C 、单调递减，单调递增 D 、单调递减，单调递减 2.函数y =x ln x 在区间(0，1)上是（ ） A.单调增函数 B.在(0， e 1)上是减函数，在(e 1,1)上是增函数 C.单调减函数 D.在(0，e 1)上是增函数，在(e 1,1)上是减函数 3.函数 224y x x =-+的递增区间是 ;递减区间是 . 4.函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是 ;最小值是 5.a ax x y ++=3为R 上为增函数,则a 的取值范围为_________ 6.函数 )0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是单调增函数，则下列式中成立的是（ ） （A ） 03,02≥+>ac b a （B ） 03,02≤->ac b a （C ） 03,02≥+ 1.3 导数在研究函数中的应用 【课题】：1.3.1函数的单调性与导数(特色班) 【教学目标】： （1）知识与技能：正确理解利用导数研究函数的单调性的原理；理解并掌握用导数判断函数的单调区间及增减性的方法；会利用导数与函数单调性的关系求不超过三次的多项式函数的单调区间，并能用以上知识解决一些实际问题． （2）过程与方法：在解决问题中，通过结合导函数研究原函数图象增减性的关系，加深对导函数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观：依据导数在某区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性。 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性的方法,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【教学难点】： 利用导数研究函数的单调性； 导函数图象与函数单调性的关系． 【课前准备】：Powerpoint 【教学过程设计】： 解：各函数的图象大概如下： 若函数32 11(1)11432 f x x ax a x = -+-+（）在区间（，）上为减函数，数，求实数a 的取值范围。在6+∞区间（， ）为增函解： ，令()'21f x x ax a =-+-()'0,11 f x x x a ===-得或[] ''112141*********;604165757a a a a a a x f x x f x a a a -≤≤->>-∞-+∞-∈<∈+∞>≤-≤≤≤当，即时，函数在（，）为减函数，不符合题意；当，即时，函数在（，）和（，）为增函数，在（，）为减函数。 依题意得，当（，）时，（）当（，）时，（）。所以，，得，即实数的取值范围为，五 、小结 五．回顾总结1.讨论导数的符号来判断函数的单调区间。在某个区间(a ,b )内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 , 那么函数 在这个区间内单调递减.2. 或 只是函数f(x)在该区间为增(减)函数的充分不必要条件. 3.利用导数的符号来判断函数的单调区间充分体现了数形结合的思想。小结知识，加深认识 六、作业 1．习题1.3 A 组 1 2．习题1.3 B 组2、3 设计反思 对于特色班的教学，要适当在基础练习完成，加深对知识点拓展练习和知识的掌握。 ()'0f x >()'0f x <()'0f x >()'0f x <()y f x =()y f x = 导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我査验】 一、自主归纳 1.利用导函数判断函数单调性问题 函数沧)在某个区间(a, b)的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____________________ ，则刃力在这个区间上是增加的. (2)若____________________ ,则心)在这个区间上是减少的. (3)若____________________ ,则兀丫)在这个区间是常数. 2.利用导数判断函数单调性的一般步骤 ⑴求/(x). (2)在立义域解不等式/(x)>0或/(x)<0. (3)根据结果确定心)的单调区间? 3.函数的极大值 在包含“的一个区间(a，b\函数y=Ax)在任何一点的函数值都_____ 卞点的函数值，称点x()为函数y=J(x)的极大值点,英函数值夬旺)为函数的极大值. 4.函数的极小值 在包含xo的一个区间(a, b),函数y=j(X)在任何一点的函数值都____ %点的函数值，称点x°xo为函数y=J(x)的极小值点，英函数值久比)为函数的极小值.极大值与极小值统称为 ______ ，极大值点与极小值点统称为极值点. 5.函数的最值与导数 1■函数y 在0, b］上的杲大值点心指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _______ v0)- 2.函数严金)在0,甸上的杲小值点儿指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都 _______ ?")- 二、自我查验 1 -函数Ax)=x±elnx的单调递增区间为() A . (0,十 8) B . (一 8 0) C . (一8, 0)和(0,十 8) D . R 2?若函数Ax)=x3 +W十MT十1是R上的单调增函数则加的取值围是____ ? .-导数在研究函数中的应用 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第2讲 导数在研究函数中的应用 ★ 知 识 梳理 ★ 1. 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 解析：极大值点；极小值. 3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根. (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法 2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题 3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题 （1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。 问题1. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； 点拨:根据求导法则有2ln 2()10x a f x x x x '=- +>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22 ()10x F x x x x -'=-=>，， 第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用(对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P28例1改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，由(x－11)(x＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函 数，则b 的取值范围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在[2， ＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，0 导数在研究函数中嘚应用单元测试 一、选择题 1．下列函数在() -+ ， ∞∞内为单调函数嘚是（） Ａ．2 y x x =-Ｂ．y x = Ｃ．x y e- =Ｄ．sin y x = 答案：Ｃ 2．函数ln y x x =在区间(01)，上是（） Ａ．单调增函数 Ｂ．单调减函数 Ｃ．在 1 e ?? ? ?? ，上是单调减函数，在 1 1 e ?? ? ?? ，上是单调增函数 Ｄ．在 1 e ?? ? ?? ，上是单调增函数，在 1 1 e ?? ? ?? ，上是单调减函数 答案：Ｃ 3．函数23 ()(2)(1) f x x x =+-嘚极大值点是（） Ａ． 4 5 x=-Ｂ．1 x=Ｃ．1 x=-Ｄ．2 x=- 答案：Ｄ 4．已知函数32()f x x px qx =--嘚图象与x 轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（ ） Ａ．极大值为427 ，极小值为0 Ｂ．极大值为0，极小值为427 - Ｃ．极大值为0，极小值为527- Ｄ．极大值为 527 ，极小值为0 答案：Ａ 5．函数2cos y x x =+在π02?????? ，上取最大值时，x 嘚值为（ ） Ａ．0 Ｂ．π6 Ｃ．π3 Ｄ．π2 答案：Ｂ 6．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =嘚图象如图1所示，则导函数()y f x '=嘚图象可能为（ ） 答案：Ｂ 二、填空题 7．函数2 2ln(0) y x x x =->嘚单调增区间为． 答案： 1 2 ?? + ??? ，∞ 8．函数2 ()ln3 f x a x bx x =++嘚极值点为 11 x=， 22 x=，则a=，b=． 答案： 1 2 2 --， 9．函数42 ()25 f x x x =-+在[22] -，上单调递增，则实数a嘚取值范围是． 答案：4 10．函数32 ()5 f x ax x x =-+-在() -+ ， ∞∞上单调递增，则实数a嘚取值范围是． 答案： 1 3 ?? + ??? ，∞ 11．函数543 ()551 f x x x x =-++在[12] -，上嘚值域为． 1.3 导数在研究函数中的应用导学案 1.3.1 单调性 一、学习要求 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调性 二、学习重点与难点 利用导数判定函数的单调性；求函数的单调区间；已知单调性求参数的范围 三、学习过程 1.导数与函数的单调性 问题1 函数2 ()43f x x x =-+的单调增区间为 [2,)+∞ ,单调减区间为(,2)-∞ ； ()f x '=24x -，由()0f x '>得x ∈(2,)+∞ , 由()0f x '<得x ∈(,2)-∞ 问题2 导数的符号与函数的单调性有怎样的关系 在某个区间上，若导数大于0，则该区间为增区间；若导数小于0，则该区间为减区间 问题3 如果()f x 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有()0f x '>吗？ 不一定，也可能在一些孤立的点处导数等于0，如函数3 ()f x x =在(,)-∞+∞上为增函数，而 (0)0f '= 问题4 用导数判定函数的单调性或求函数的单调区间的步骤是什么？ （1）确定定义域，求导函数 （2）令导数大于0，解得增区间 令导数小于0，解得减区间 （3）得结论，注意单调区间之间不可用并 问题5 已知函数在某个区间上是单调的，那么它的导数符号怎样？ 如果已知某函数在某区间上为增函数，则其导数肯定是大于或等于0；如果是减函数，则其导数肯定小于或等于0 2.例题改编 例2 求函数3 2 ()267f x x x =-++的单调减区间 (,0),(2,)-∞+∞ 例3 求函数()sin ((0,2))f x x x π=∈的单调增区间 3(0,),(,2)22 ππ π 3.拓展探究 (1)求函数()x f x x e =-单调减区间 (0,)+∞ (2)求函数2ln y x x =-的单调增区间 1 (,)2 +∞ (3) 求函数1 ()f x x =的单调区间 增区间(1,)+∞ 减区间(0,1) (4)求证：当1x > 时，有13x >- (略) (5)判断函数()a f x x x =+的单调性 （略） (6)若3 ()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间 0a <,略 (7)函数2 1y x ax =-+在(0,)+∞上单调递增，则 a 的取值范围是_____________ (,0]-∞ (8)若函数3 2 ()5f x ax x x =-+-在R 上单调递增，求实数a 的取值范围. 13 a ≥ 四、巩固提高 1.求函数()ln f x x x =的递增区间 导数在研究函数中的应用（一） ____班 姓名______ 1、（09广东文）函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ） A ．)2,(-∞ B ．(0,3) C ．(1,4) D ．),2(+∞ 2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ） 3、若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a = C ．1a ≤ D ．01a << 4、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________． 5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． A B C D 6、（09北京理）设函数()(0)kx f x xe k =≠． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围． 选作题 7、（09嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数1)1(31)(223+-++=x a ax x x f （a R ∈且0a ≠）的导数)(x f ' 的图像，则=-)1(f （ ） A ． 31 B ．31- C ．73 D ．31-或35 参考答案： 1．D 2．D 3．A 4．0a ≤ 5．增区间1(,2)+∞，减区间1(0,)2 6．y x =；0k >时，增区间()1 ,k -+∞，减区间(1,)k -∞- 0k <时，增区间(1,)k -∞-，减区间()1,k -+∞；[1,0)(0,1]- 7．B 导数在函数中的应用1 学习目标 学会用导数来研究函数的单调性（求函数的单调区间） 1. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数()x f 在()b a ,内单调递增，那么一定有()0'＞x f .( ) (2)如果函数()x f 在某个区间内恒有()0'=x f ，则()x f 在此区间内没有单调性.( ) 2.()236x x x f -=的单调递减区间为______. 3.函数()x x x f sin 2-=在()π,0上的单调递增区间为____________. 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，运用导数解决实际问题是函数应用的延伸。 【知识梳理】 函数的单调性 在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减. 1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 2.可导函数f(x)在(a ，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a ，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a ，b)上的任何子区间内都不恒为零. 考点一：不含参数的函数的单调性 例1.(1)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为______. (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x ＋cos x ，则f(x)的单调递增区间是________________. 方法总结：确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数()x f 的定义域； (2)求()x f '； (3)解不等式()0'＞x f ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式()0'＜x f ，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 考点二：含参数的函数的单调性 例1.已知函数f(x)＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12(t≠0)，求f(x)的单调区间. 1．设点P 是曲线y ＝x 3 P 点处切线倾斜角α的取值范围为( ) A. B. C. D. 2．下面四个图象中，有一个是函数f(x)3＋ax 2＋(a 2 －1)x ＋1(a∈R)的导函数y ＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( ) A. B. C. D. 3．若函数y ＝f(x)在x ＝a 处的导数为A ，则 ()() lim x f a x f a x x ?→+?--??为( ) A. A B. 2A C. 2 A D. 0 4在()()1,1f 处的切线方程为()21y e x =+，则ab =（ ） A. 1 B. 3 C. e D. 3e 5．设函数()()()2 2 2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >， R a ∈，存在0x 使得 成立，则实数a 的值是 C. D. 1 6．若，则（ ） A. B. C. D. 7．设P 为曲线2 :2C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A. B. []1,0- C. []0,1 D. 8．已知质点的运动方程为2s t t =+，则其在第2秒的瞬时速度为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9．定 义 ： 如 果 函 数()f x 在[] ,a b 上 存 在1x 、212()x a x x b <<<, 满 足 则称函数()f x 是[] ,a b 上的“双中值函数”。是[]0,a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围( ) A. (1,3) B. C. D. 10．函数()()f x x g x =-的图象在点2x =处的切线方程是1y x =--， ，则()()22g g +'= A. 7 B. 4 11，若()2 f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是 A. [)1,-+∞ B. [ )1,1- C. ()1,-+∞ D. ()1,1- 12．已知函数()()1y x f x =-'的图象如图所示，其中()f x '为函数()f x 的导函数，则()y f x =的大致图象是（ ） A. B.导数在研究函数中的应用(含标准答案)
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