立体几何
1、如图，在四棱锥P ABCD
-中，PD⊥平面ABCD，
AD CD
⊥，DB平分A D C
∠，E为的PC中点
，
1,
AD CD DB
===
（1）证明：//
PA平面BDE
（2）证明：AC⊥平面PBD
（3）求直线BC与平面PBD所成角的正切值
2、（本题满分15分）如图，平面PAC⊥平面
ABC，ABC
?
是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,
E F O
分别为PA，
PB，AC的中点，16
AC=，
10
PA PC
==．
（I）设G是OC的中点，证明：//
FG平面
BOE；
（II）证明：在ABO
?内存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．
3、如图，在五面体ABCDEF中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE，AB⊥AD，M为EC的中点，
AF=AB=BC=FE=1
2
AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 求平面AMD与平面CDE所成角的大小；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。
B
C
4.如图，在正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）111ABC A B C -
中，1AB =，
D 是11A B 的中点，点
E 在11AC 上，且
DE AE ⊥。 （I ） 证明平面ADE ⊥平面11ACC A
（II ） 求直线AD 和平面1ABC 所成角的正弦值。
5在四棱锥P －ABCD 中， 底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．
(1) 在侧面PAB 内找一点N ，使NE⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和
AP 的距离；
(2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离．
6、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。
（Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正切值
为
（Ⅱ）、在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
B
C
C1
P
B
7、如图所示，等腰ABC △
的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使
PE AE ⊥，记B E x =，()V x 表示四棱锥P ACFE
-的体积．
（1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．
8、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都
P 为侧棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC SD ⊥；
（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值； 若不存在，试说明理由。
C
B
答案：
立体几何与空间向量解答题(理科)
1、【解】 证明：设H BD AC =?，连结EH ，在ADC ?中，因为AD=CD ，且DB 平分
ADC ∠，所以H 为AC 的中点，又有题设，E 为PC 的中点，故PA EH //,又
BDE PA BDE HE 平面平面??,,所以BDE PA 平面//.
（2）证明：因为ABCD PD 平面⊥，ABCD AC 平面?，
所以AC PD ⊥
由（1）知，AC BD ⊥,,D BD PD =?故PBD AC 平面⊥ (3)解：由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的角。
由
CD AD ⊥,2
2
3,22,22,1=
=
====BH CH DH DB CD AD 可得 在BHC Rt ?中，3
1
tan ==
∠BH CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为3
1。
2、证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴，y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，. 则
()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),
O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得，
()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==-
，
因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n = ，(4,4,3FG =--
得0n FG ?=
，又直线FG 不在平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE
（II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =--
，因为FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有0094,4x y ==-，即点M 的坐标为94,,04?
?- ??
?，在平面直角坐标系xoy
B
中，AOB ?的内部区域满足不等式组008x y x y >??
，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，
所以在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为94,
4
． 3、分析：本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用
空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。 【解】方法一：（Ⅰ）解：由题设知，BF//CE ，所以∠CED （或其补角）为异面直线BF 与DE 所成的角。设P 为AD 的中点，连结EP ，PC 。因为FE //AP ，所以FA //EP ，同理AB //PC 。又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD 。而PC ，AD 都在平面ABCD 内,故EP ⊥PC ，EP ⊥AD 。由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD 设FA=a ，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a 2，故∠CED=60?。所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°。
（II ）因为.CE MP MP .CE DM CE M ⊥⊥=，则连结的中点，所以
为且DE DC .
CDE AMD CDE CE .
AMD CE M DM MP 平面，所以平面平面而平面，故又⊥?⊥=
故平面AMD 与平面CDE 所成角的大小为
2
π
. （III ）因为，所以因为，的中点，连结为解：设.CD EQ DE CE .EQ PQ CD Q ⊥=
.E CD A EQP CD PQ PD PC 的平面角为二面角，故，所以--∠⊥=
由（I ）可得，.2
2
26EQ a PQ a PQ EP ==
⊥，， ，
中，于是在3
3
cos EPQ Rt ==
∠?EQ PQ EQP 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，
点A 为坐标原点。设，1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E
()，，，100F .21121M ???
?
?，，
（I ）()，，，解：101-= ()，
，，110-=
.
2
1
2
2
1
=
?
+
+
=
=
于是
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为?
60.
（II）证明：，
，
，
由?
?
?
?
?
=
2
1
1
2
1()，
，
，1
1
-
=()0
2
0=
?
=，可得
，
，，
.
AMD
CE
A
AD
AM
.
AD
CE
AM
CE
.0
AD
CE平面
，故
又
，
因此，⊥
=
⊥
⊥
=
?
.
CDE
AMD
CDE
CE平面
，所以平面
平面
而⊥
?
（III）
??
?
?
?
=
?
=
?
=
.0
D
)
(
CDE
u
CE
u
z
y
x
u
，
，则
，
，
的法向量为
解：设平面
.111(
1
.0
）
，
，
，可得
令
，
于是=
=
?
?
?
=
+
-
=
+
-
u
x
z
y
z
x
又由题设，平面ACD的一个法向量为).
1
0(，
，
=
v
.
3
3
1
3
1
cos=
?
+
+
=
?
=
v
u
v
u
v
u，
所以，
【点评】纯几何方法求角：求角的思路一般是将空间角的计算问题转化为平面角的计算问题，求异面直线所成的角时，需要选点平移，一般是设法在其中一条直线上选出一个恰当的点来平移另一条直线，然后计算其中的锐角或直角；线面角的计算关键是找出直线在平面上的射影，通常需要由直线上的某一点向平面作垂线，求出的应当是一个锐角或直角；面面角的计算通常找到平面角或面积射影定理来完成，找平面角的方法有定义法、三垂线定理法(利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。)、垂面法，计算出来的角是可以是锐角、直角或钝角.向量法求角给解题带来了极大的方便，其规律见后面的【温馨提示】。
4、【解】（I）如图所示，由正三棱柱
111
ABC A B C
-的性质知
1
AA⊥平面
111
A B C，又DE?平
面A
1
B
1
C1，所以DE⊥AA
1
.
而DE⊥AE。AA
1
AE=A 所以DE⊥平面AC C
1
A
1
，又DE?平面ADE，故平面ADE⊥平面AC
C
1
A
1
。
（2）
解法2 如图所示，设O 使AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A 1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)， B （3，0，0）， C 1（0，1，2）， D （2
3
，-2
1
，2）。 易知=(3，1，0)， 1AC =(0，2，2)， =(2
3
，-21，2）
设平面ABC 1的法向量为(,,)n x y z =,则有
20
n AB y n AC y ??=+=??
?==??
,解得x=-33y ， z=-y 2， 故可取n=(1，-3，6)。
所以，cos ,n AD
=3103
2?=510。
由此即知，直线AD 和平面AB C 1所成角的正弦值为
5
10
。 【点评】本题主要考查面与面之间的关系和线面关系，同时考查空间想象能力和推理运算能力。本题着眼于让学生掌握通性通法几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考
虑法向量，用公式计算sin θ
∈M 直线l ，P ∈面α，θ是l 与平面α所成的角，
n
是平面α的法向量，有22
ππθωθω=-或=-）
B
C
6、【解】(1) 建立空间直角坐标系A －BDP ，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(
3
, 0, 0)、C(
3
, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 2
1, 1)，依题设N(x , 0, z )，
则＝(－x , 2
1, 1－z )，由于NE⊥平面PAC ，
∴??
???=?=?00 即?????=+-=-????????
=?--=?--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ??
???==?163
z x ，即点N 的坐标为(6
3, 0, 1)，
从而N 到AB 、AP 的距离分别为1，
6
3.
(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ，NE 是平面PAC 的法向量，则d |
|NE
＝
1233121|
)0,2
1
,63(||
)0,21,63()1,0,63(
|=?=--?.
〖例9〗如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，
P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。
（Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B 所成角的正
切值为
（Ⅱ）、在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，
使得对任意的m ，D 1Q 在平面1APD 上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。
【分析】本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。
C1
P
9、【解】法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O,AP 与平面11BDD B 相交于点，,连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG,
故OG ∥PC ，所以，OG ＝
21PC ＝2
m
. 又AO ⊥BD,AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ，
故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角.
在Rt △AOG 中，tanAGO ＝232
22
==m GO
OA
，即m ＝31.
所以，当m ＝
3
1
时，直线AP 与平面11BDD B
所成的角的正切值为（Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为
D 1O 1⊥A 1C 1, 且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1， 又AP ?平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP .
那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直。
〖例10〗如图所示，等腰ABC △
的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥
P ACFE -的体积．
（1）求()V x 的表达式；
（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？
（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．
C
1
B
A
P
C
B
10、【解】（1）由折起的过程可知，PE ⊥平面ABC
，ABC S ?=
22
54BEF
BDC x S S ??=?=
21
()(9)12
V x x =
-
（0x <<； （2
）21
'())4
V x x =
-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x > ，V(x)
单调递增；6x <<'()0v x < ，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)
取得最大值
（3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则
,21212
BM BF BE BE
MB BE AB BC BD AB
=====，
PM=
MF BF PF ===
=
在△PFM 中， 84722cos 427PFM -∠=
=，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为2
7
； 【点评】本题采用了函数思想在立体几何中的应用。
〖例11〗 如图，四棱锥S-ABCD
P 为侧棱SD 上的点。 （Ⅰ）求证：AC SD ⊥；
（Ⅱ）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P AC D --的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC 。若存在，求SE ：EC 的值； 若不存在，试说明理由。 11、【解】法一：
（Ⅰ）连BD ，设AC 交BD 于O ，由题意SO AC ⊥。在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，所以AC SBD ⊥平面,得AC SD ⊥.
(Ⅱ)设正方形边长a
，则SD =
。
又OD =
，所以060SOD ∠=, 连OP ，由（Ⅰ）知AC SBD ⊥平面,所以AC OP ⊥, 且AC OD ⊥,所以POD ∠是二面角P AC D --的平面角。
由SD PAC ⊥平面,知SD OP ⊥,所以0
30POD ∠=, 即二面角P AC D --的大小为0
30。
（Ⅲ）在棱SC 上存在一点E ，使//BE PAC 平面
由（Ⅱ）可得PD =
，故可在SP 上取一点N ,使PN PD =,过N 作PC 的平行线与SC 的交点即为E 。连BN 。在BDN ?中知//BN PO ，又由于//NE PC ,故平面
//BEN PAC 平面，得//BE PAC 平面,由于21SN NP =：：,故21SE EC =：：.
解法二：（Ⅰ）；连BD ,设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为
x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如图。
设底面边长为a
，则高SO =
。 于是
),(,0,0)S D
,0)C
，,0)OC =
(,0,)22
SD a =-
- 0OC SD ?= 故OC SD ⊥，从而AC SD ⊥
(Ⅱ)由题设知，平面PAC
的一个法向量(
)2DS a =，平面DAC
的一个法向量)OS =， 设所求二面角为θ
，则cos OS DS OS DS
θ?=
=
,所求二面角的大小为030 （Ⅲ）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（Ⅱ）知DS 是平面PAC 的一个法向
量，且
),(0,)DS a CS =
=
设 ,CE tCS = 则(,(1)22BE BC CE BC tCS a t =+=+=-- 而1
03
BE DC t ?=?=
，即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥ 而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面。
【点评】解决存在性问题一般是两种思路，一是直接去找存在的点、线、面或是一些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或计算如果得出了一个合理的结果，就说明其存在；如果得出了一个矛盾的结果，则说明其不存在。