解析：此结论为“a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 3＋d 2＝1，则 ac ＋bd ≤ ＋ ＝
a 2＋
b 12 a 22＋b 22 a 2＋b n 2
1”的推广，类比可得 a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤ 1 2 2 2
A ．y ＝ ＋
2017 届高三数学章末综合测试题（12）不等式、推理与证明
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．下列符合三段论推理形式的为(
)
A ．如果 p ?q ，p 真，则 q 真
B ．如果 b ?c ，a ?b ，则 a ?c
C ．如果 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c
D ．如果 a ＞b ，c ＞0，则 ac ＞bc
解析：由三段论的推理规则可以得到 B 为三段论.
答案：B
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列
性质，你认为比较恰当的是(
)
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等
的三角形，同一顶点上的任意 两条棱的夹角都相等．
A ．①
B ．②
C ．①②③
D ．③
解析：由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的.
答案：C
3．用反证法证明命题“ 2＋ 3是无理数”时，假设正确的是( )
A ．假设 2是有理数
B ．假设 3是有理数
C ．假设 2或 3是有理数
D ．假设 2＋ 3是有理数
解析：假设结论的反面成立， 2＋ 3不是无理数，则 2＋ 3是有理数.
答案：D
4．已知 a i ，b i ∈R(i ＝1,2,3，…，n )，a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，b 12＋b 22＋…＋b n 2＝1，则 a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．n 2
D ．2 n
a
2＋c 2 b 2＋d 2 2 2
＋ ＋…＋ n ＝1.
答案：A
5．在下列函数中，最小值是 2 的是( )
x 2
2 x
，x ∈(0， ) 6．一元二次不等式 ax 2＋b x ＋1＞0 的解集为{x|－1＜x ＜ }，则 ab 的值为(
)
解析：∵ax 2＋b x ＋1＞0 的解集是{x|－1＜x ＜ }，
∴－1， 是方程 ax 2＋b x ＋1＝0 的两根，
∴?
?－1×13＝1a
7．已知 a ＞0，b ＞0，则 ＋ ＋2 ab 的最小值是( )
解析：因为 ＋ ＋2 ab ≥2
B ．y ＝ x ＋2
(x ＞0)
x ＋1
C ．y ＝sinx ＋ 1 π
sinx 2
D ．y ＝7x ＋7－x
解析：A 中 x 的取值未限制，故无最小值．
1
D 中，∵y ＝7x ＋7－x ＝7x ＋7x ≥2，等号成立的条件是 x ＝0.
B 、
C 选项均找不到等号成立的条件.
答案：D
1
3 A ．－6
B ．6
C ．－5
D ．5
1
3 1
3
?－1＋1＝－b
3
a
??b ＝－2，
?
∴ab ＝－3×(－2)＝6. ??a ＝－3，
答案：B
1 1
a b
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
1 1
a b
＝ ab ，即 a ＝b ＝1 时，取“＝”.
答案：C
??y ≥0，
8．在直角坐标系中，若不等式组 ?y ≤2x ， ??y ≤k(x －1)－1，
的取值范围是(
)
表示一个三角形区域，则实数 k
A ．(－∞，－1)
C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
D ．(2，＋∞)
(1) ＜ ；
(2)a 3＞b 3；
? ? 解析：当 x ≤0 时，f(x)＝x 2＋b x ＋c 且 f(－4)＝f(0)，故对称轴为 x ＝－ ＝－2，∴b ＝4.
11．若直线 2ax ＋b y －2＝0(a ＞0，b ＞0)平分圆 x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则 ＋ 的最小值
??y ≥0，
解析：先作出? 的平面区域如图：
?y ≤2x ，
若 k ＝0 时，显然不能与阴影部分构成三角形．
若 k ＞0，将阴影部分的点如(0,0)代入 y ≤k(x －1)－1，有 0≤－k －1，显然不能与阴影部
分构成三角形，所以 k ＜0；又 y ＝k(x －1)－1 是过定点(1，－1)的直线，由图知，若与阴影
部分构成三角形，则有－k －1＞0，
故 k ＜－1 时，原不等式组能构成三角形区域.
答案：A
9．如果 a ＞b ，给出下列不等式，其中成立的是( )
1 1
a b
(3)a 2＋1＞b 2＋1; (4)2a ＞2b . A ．(2)(3)
B ．(1)(3)
C ．(3)(4)
D ．(2)(4)
解析：∵a 、b 符号不定，故(1)不正确，(3)不正确．
∵y ＝x 3 是增函数，∴a ＞b 时，a 3＞b 3，故(2)正确．
∴y ＝2x 是增函数，∴a ＞b 时，2a ＞2b ，故(4)正确.
答案：D
??－3 (x ＞0)， 10．设函数 f(x)＝? ?x 2
＋b x ＋c
(x ≤0)，
f(x)≤1 的解集为(
)
A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)
C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)
若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x 的不等式
B ．[－3，－1]
D ．[－3，＋∞)
b
2
又 f(－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，
令 x 2＋4x ＋4≤1 有－3≤x ≤－1；
当 x ＞0 时，f(x)＝－2≤1 显然成立．
故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞).
答案：C
2 1
a b 是(
)
a b a b a b ≥3＋2 2··＝3＋2 2，
当且仅当 ＝ ，且 a ＋b ＝1，即 a ＝2－ 2，b ＝ 2－1 时取等号.
2 1 2 x x
x
A ．2－ 2
B. 2－1 C ．3＋2 2 D ．3－2 2
解析：由 x 2＋y 2－2x －4y －6＝0 得
(x －1) ＋(y －2) ＝11，
若 2ax ＋by －2＝0 平 分圆，
∴2a ＋2b －2＝0，∴a ＋b ＝1，
2 1 2(a ＋b) a ＋b 2b a
∴ ＋ ＝ ＋ ＝3＋ ＋
ab
2b a
a b
答案：C
12．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y 1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存 货物的运费 y 2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y 1 和 y 2 分别为 2 万元和 8 万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(
)
A ．5 km 处
C ．3 km 处
B ．4 km 处
D ．2 km 处
k y
解析：由题意可设 y 1＝ x ，y 2＝k 2x ，∴k 1＝xy 1，k 2＝ x ，
把 x ＝10，y 1＝2 与 x ＝10，y 2＝8 分别代入上式得 k 1＝20，k 2＝0.8，
20 ∴y 1＝ x
，y 2＝0.8x(x 为仓库到车站的距离)，
费用之和 y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20
≥2
20
0.8x· ＝8，
20
当且仅当 0.8x ＝ ，即 x ＝5 时等号成立，故选 A.
答案：A
第Ⅱ卷 (非选择
共 90 分)
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．如下图，对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”：
△S PA′B′P A′·PB′V P－A′B′C′
P A·P B
15．已知等比数列{a
n
}中，a
2
＞a
3
＝1，则使不等式?a1－a?＋?a2－a?＋?a3－a?＋…＋?a－1?≥0成立的最大自然数n是__________．
解析：∵a
2
＞a
3
＝1，∴0＜q＝1＜1，a
1
＝2＞1，
＝(a
1
＋a
2
＋…＋a
n
)－?a＋a＋…＋a?
1?1－
n
?
?
a
1
(1－q n)a
1
?q a
1
(1－q4)q(1－q n)
＝－＝－≥0，
1－q1－q a
1
(1－q)q n
1－
a
1
(1－q n)q(1－q n)
1－q a
1
(1－q)q n
仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是.
解析：由已知中“分裂”可得
故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.
答案：921
14．由图①有面积关系：
__________.
＝，则由图②有体积关系：＝
△S P AB V P－ABC 解析：设三棱锥C′-P A′B′的高为h′，
?1??1??1?
123
?n a
n
?
a1
a
2
q
?a－1?＋?a－1?＋?a－1?＋…＋?a－1?
?1a
1
??1a
2
??3a
1
??n a
n
?
?111?
12n
1
1
q
∴≥.
则 u ＝ － 的取值范围是__________． 斜率的取值范围是?3，2?， 即 ∈?3，2?，故令 t ＝ ， 则 u ＝t － ，根据函数 u ＝t － 在 t ∈?3，2?上单调递增，得 u ∈?－3，2?. 答案：?－3，2? (4)三角形的面积为 S ＝ (a ＋b ＋c)r(r 为三角形内切圆半径，a 、b 、c 为三边长)．
18．(12 分)已知 a ＞0，b ＞0，求证 ＋ ≥a ＋b .
?b 2
－a ?＋?a 2－b ? ＋
1
因为 0 ＜q ＜1，所以，化简得：a 12≥q n －1，即 q 4≤q n －1，
∴4≥n －1，n ≤5，所以 n 的最大值为 5.
答案：5
??x －y －2≤0，
16．设实数 x ，y 满足?x ＋2y －5≥0， ??y －2≤0，
y x
x y
解析：作出 x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点与原点连线的
?1 ?
y ?1 ? y x x
1 1 ?1 ? ? 8 3?
t t
? 8 3?
三、解答题：本大题共 6 小题，共 7 0 分．
17．(10 分)在三角形中有下面的性质：
(1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的中位线等于第三边的一半；
(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；
1
2
请类比出四面体的有关相似性质．
解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一； (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心；
1
(4)四面体的体积为 V ＝3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1、S 2、S 3、S 4 为
四面体的四个面的面积)．
b 2 a 2
a b b 2 a 2
解析： a b －(a ＋b )＝? a
? ? b ?
－ ＝ (a －b )2(a ＋b )，＝(a －b )(a ＋b )?b a ? ∵a ＞0，b ＞0，∴ ＋ ≥a ＋b .
4－＝3＋6x －t ＝3＋6
?
t －1?
－t
? 9 ＋?t ＋1??18
t ＋2t ＋1 t ＋
≥2＋?
2?
·
t ＋ ＝6，? 2? t ＋ t ＋ t ＋ ? 9 ＋?t ＋1?? t ＋ ＝(b ＋a)(b －a) (a ＋b )(a －b )＋
算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t ≥0)万元满足 x ＝4－ (k 为
1 2t ＋1
∴y ＝1.5× ×x －(6＋12x)－t
＝27－ 18 －t(t ≥0)．
y ＝27－
－t ＝27.5－?1 ?
??.
当且仅当 ＝t ＋ ，
故 y ＝27－ －t
＝27.5－
? 1 ? 2??≤27.5－6＝21.5.
2
1??
a b
?1 1?
1 ab
b 2 a 2
a b
19．(12 分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2017 年举行促销活动，经调查测
k
2t ＋1
常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1 万件．已知 2017 年生产该产品的固
定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定
为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家 2017 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数；
(2)该厂家 2017 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？
k 3
解析：(1)由题意有 1＝4－ ，得 k ＝3，故 x ＝4－ .
6＋12x
x
? 3 ?
2t ＋1
(2)由(1)知：
? ?
由基本不等式
9
9 ? 1? 1 1 2
2
9 1
1 2 2
即 t ＝2.5 时，等号成立，
18
2t ＋1
? 2 ?
当 t ＝2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2017 年的年促销费用投入 2.5 万元时，该厂家利润
于是?a 2－2?2－a 2?a 2－2?
－a 2＝0，
21．(12 分)设二次函数 f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的一个零点是－1，且满足[f(x)－x ]· ?f(x)－
解析：(1)由均值不等式得 ≥ ＝x ，
若[f(x)－x ]· ?f(x)－ 即 x ≤f(x)≤ 恒成立，
令 x ＝1 得 1≤f(1)≤ ＝1，故 f(1)＝1.
又由(1)知 a ＋b ＋c ＝1，所以解得 a ＋c ＝b ＝ .
最大．
20．(12 分)设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且方程 x 2－a n x －a n ＝0 有一根为 S n －1，n ＝ 1,2,3，….
(1)求 a 1，a 2；
(2)猜想数列{S n }的通项公式． 解析：(1)当 n ＝1 时，
x 2－a 1x －a 1＝0 有一根为 S 1－1＝a 1－1， 1
于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得 a 1＝2.
1
当 n ＝2 时，x 2－a 2x －a 2＝0 有一根为 S 2－1＝a 2－2，
? 1? ? 1?
1 解得 a 2＝6.
(2)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0.
当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n －1，代 入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0①
1 1 1
2 由(1)得 S 1＝a 1＝2，S 2＝a 1＋a 2＝2＋6＝3.
3 n
由①可得 S 3＝4，由此猜想 S n ＝n ＋1，n ＝1,2,3，….
? x 2＋1? 2 ?
≤0 恒成立．
(1)求 f(1)的值；
(2)求 f(x)的解析式；
x 2＋1 2x
2 2
? x 2＋1? 2 ?
≤0 恒成立，
x 2＋1
2
12＋1
2
(2)由函数零点为－1 得 f(－1)＝0，即 a －b ＋c ＝0，
1
2
又f(x)－x＝ax2＋x＋c－x＝ax2－x＋c，
因为f(x)－x≥0恒成立，所以Δ＝－4ac≤0，
因此ac≥①
于是a＞0，c＞0.再由a＋c＝，
得ac≤?2?＝16②
故ac＝，且a＝c＝，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2＋x2＋x＋.
11
22
1
4
1
16
1
2
?c＋a?21
11
164
1111
4224
22．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
解析：(1)∵f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，
∴f(5)=25+4×4=41.
(2)∵f(2)-f(1)=4=4×1，
f(3)-f(2)=8=4×2，
f(4)-f(3)=12=4×3，
f(5)-f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴f(n)-f(n-1)=4(n-1)，
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2)，
f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3)，
…
f(2)-f(1)=4×1，
∴f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1] =2(n-1)·n，
∴f(n)=2n2-2n+1.