8振动的测量
8.1 前言
有的时候，一些微小的、不显著的振动，会与结构，或者结构的某一部分产生共振，从而将振动放大。共振也会发生在人的身上，人体的自振频率大概为7.5Hz，因此次声（<20Hz）会对人体造成伤害。
所以说，对于结构来说，利用合适的装置或者设计来减小这样的共振是非常有必要的。那么，想要研究如何减小共振,我们首先要知道将要发生的振动的参数。想要知道这些参数，我们就需要一些仪器来测量，这些仪器就是我们这章要了解的。
首先来看一下一些概念。在结构工程中常常进行运动量（位移、速度或加速度）的测量，例如地震动时程的测量；振动台试验中结构模型的动力反应的测量；脉动作用下结构物的振动的测量；大桥、超高层结构风振的测量等。
用于测量振动量的仪器（拾振仪）主要有三种：
加速度位移计：测量加速度的时程（强震仪）。
位移计：测量位移时程（地震仪）。
速度计：测量速度。
8.2 理论
8.2.1 运动方程的建立
D’Alembert原理：在质点系的运动的任意瞬间，如果除了实际作用于每一质点的主动力和约束反力外，再加上假想的惯性力，则在该瞬间质点系将处于假想的平衡状态，称之为动力平衡状态。记、、分别为质点所受的主动力、惯性力和约束反力，则D’Alembert原理可表示为
通常主动力包括外荷载、阻尼力和弹性恢复力。
上图质量块m所受的主动力为
惯性力为
由于该体系是约束反力不做功的理想约束体系，故列运动方程时仅考虑运动方向上的受力，此时的约束反力是没有的。
将上面两式代入D’Alembert原理表达式，有
当然，建立运动方程的方法有多种，除了上面介绍的D’Alembert原理之外，还有虚位移原理、Hamilton原理和Lagrange方程，这四种方法对建立运动方程是完全等同的，可以推得完全相同的运动方程。
8.2.2 Fourier变化法（频域分析法）
最简单的测量仪器模型是一单自由度弹簧-质点-阻尼体系，被封闭在一个刚性盒子里面，如图所示
单自由度体系运动方程为：
其中：
则（1）式可以写为：
使用傅里叶变换法（之后补上介绍），正变换，把问题从时间域（自变量为t）转变到频域（自变量为），可得：
下面给出了与关于频率比的图像：
为复频反应函数，也叫传递函数。相角的含义，在动力荷载作用下，有阻尼体系的动力反应（位移、速度、加速度）一定要滞后动力荷载一段时间，即存在反应滞后现象。相角实际是反映结构体系位移相对于动力荷载的反应滞后时间，从下图可以发现，频率比越大，即外荷载作用的越快，动力反应的滞后时间越长。补充：傅立叶变换
Fourier变换的定义为
正变换
逆变换
其中，称为位移的Fourier谱。
根据Fourier变换的性质，速度和加速度的Fourier变换为
8.3 振动测量仪器
8.3.1 加速度计（强震仪）
加速度计测量的是加速度，在基底加速度作用下仪器质点的运动方程为式（1）：
实际要测量的加速度运动时程是任意变化的，包含在一定的频段分布的一系列简谐分量，我们可以先分析仪器对一个简谐分量的测量。
仪器基底加速度时程：
为简谐运动，其中为地面运动加速度的振幅。带入上式，可得仪器质点的相对位移为
下面仅讨论的振幅
作为一种测量仪器，其测量的对象的单位可以不同，但一定要成比例。
由上式可知，仪器记录值与被测量的地面加速度值之间的关系变化由动力放大系数决定，而动力放大系数是由的函数，观察不同阻尼比时动力放大系数曲线图（下图）可以发现，当时，在频段
范围内，为常数。
即在以上的频段范围内，仪器反应的振幅，或者说是对于不同的简谐运动，仪器的记录与仪器要测量的加速的振幅成线性关系。这时可以用仪器反应来度量要测量的加速的。为了保证加速的不同简谐分量的频率都满足，可以采用提高的方法来实现，因为，一般情况下，质量不变，可以采用提高加速度计中的弹簧刚度的方法来实现提高的目的。因此，加速度计或强震仪中的弹簧刚度比较大，仪器是比较刚性的。
8.3.2 位移计（地震仪）
位移计是用来测量仪器基底的位移量，设任意一个简谐位移为
其中为地面运动位移振幅，将代入运动方程式（1），解得仪器的相对位移反应为：
相对位移反应的振幅为：
与加速度计的原理相同，我们希望在所测量的振动频率范围内，对于不同的频率分量均有和之间的比例系数接近常量。下图给出了随频率变化的曲线。
由图可以看出，当阻尼比时，在频率范围时，接近于常数，因此可以用位移计来测量频率范围在频段范围内的位移量。为了保证被测位移的频率满足，可通过降低仪器自振频率的方法来实现。实际中采取降低弹簧刚度或者增大质量的方法来实现。因此，位移计一般都是比较柔的。
第十章反应谱
10.1 前言
地震动引起地面的运动，并通过地面的运动，是结构也产生振动。因此，在地震中，结构上所受的荷载是由于其支座的运动而产生的。地面的运动有三个平动分量和三个转动分量，但是由于测量水平的限制，转动分量很难测得，而平动的分量可以由加速度计测得。相对于平动分量来说，转动分量很小，因此在对结构进行抗震分析的时候，转动分量忽略不计。对一个结构来说，在弹性范围内，它的响应是由于地面的一个平动分量产生的，对于一个结构体系来说，就是这些分量的和。由于结构的自振频率是未知的，在设计的时候需要多次迭代才能求出来。所以，结构设计者就需要反应谱的帮助了。
10.2 傅立叶谱
将振动的信号（或任意变化的函数）分解为简谐振动（三角函数）的过程称为傅里叶分解。得到振幅和相位随频率变化的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱，统称为频谱，完成分解的运算称为傅立叶变化。
傅里叶谱全面描述了地震动过程的频谱特征，包括了各频率分量的相位及幅值信息。因此，从两个傅里叶谱可以反推出地震动的时程，而功率谱和反应谱则不行。
傅立叶谱是复数，由实部和虚部组成，他的模称为幅值谱，幅角为相位谱。
假设地面运动的加速度在，则上式可以变为
则强震下傅立叶振幅谱和相位谱可以用下式定义
10.3 反应谱
单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。
10.3.1 Duhamel积分
（1）单位脉冲反应函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载，实际上就是数学中的特殊函数—函数。函数的定义为
其他
和
在时刻一个单位脉冲作用在单自由度体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度，即
当时，
由于脉冲作用时间很短，当时，由单位脉冲引起质点的位移为零，即
求体系在单位脉冲下的反应，即是求解单位脉冲作用后的自由振动问题。将初始条件和代入单自由度体系自由振动（低阻尼体系）一般解式
所以有阻尼体系单位脉冲反应函数为
（2）对任意荷载的反应
我们可以把荷载分解为一系列脉冲，获得每一个脉冲下结构的反应，最后叠加得到结构的总反应。
如果已经将作用于结构体系的外荷载离散成一系列脉冲，首先计算其中任一脉冲的动力反应。则该脉冲下结构的反应为
在任意时间结构的反应，就是在之前所有脉冲作用下的反应之和为
将（21）式代入上式，可以求解阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式
其中为阻尼体系的自振频率。
10.3.2 反应谱法
前面介绍了一些结构动力反应分析的方法，可以对结构地震反应问题展开分析计算。当地震动较小时，结构处于线弹性范围，可以采用时域的Duhamel积分法，或频域的Fourier变换方法获得地震下结构的反应，并根据得到的结构最大变形最大内力进行抗震设计。当地震动较强时，结构反应可能进入塑性，需要用到时域逐步积分法进行弹塑性反应分析。我们仅讨论结构线弹性地震反应问题，采用Duhamel积分法介绍地震反应谱。
地震作用的特点是地震动过程非常复杂，随时间不规则、快速变化。设地震加速度时程为，其特点为：第一阶段，振幅快速增长；第二阶段，相对稳定；第三阶段，震荡衰减。
地震作用下结构的运动方程为
地震等效荷载为，应用Duhamel积分，结构地震的位移反应为
观察上式可以发现，对于给定的地震动，结构的地震反应仅与结构的阻尼比和自振频率有关。换句话说，对于大小尺寸不同的结构，当结构阻尼比和自振频率相同时，对同一个地震的反应完全相同。
当阻尼比较小时，，则结构地震反应式可以简化为
则最大位移反应为：
质点相对于地面的速度为：
则质点相对于地面的最大速度反应为：
在实际工程中，我们比较看重的是结构的绝对加速度，从单指点体系的在地震作用下的运动方程可以知道：
将上面求得的、代入上式：
由于低阻尼体系，，则上式可以简化为
则点相对于地面的最大加速度反应为：
以上，我们求得了、、，他们具有如下关系
当阻尼比给定时，结构对任一地震的最大相对位移反应、最大相对速度和最大绝对加速度反应仅由决定。工程中，一般习惯采用结构的自振周期代替圆频率，因而工程谱中使用的反应谱一般以自振周期为自变量。
ELC波
绝对加速度谱
相对速度反谱
位移反应谱
10.3.3 影响地震反应谱的因素
影响地震反应谱的因素有两点，一是体系阻尼比，二是地震动。
（1）体系阻尼比
体系阻尼比越大，地震反应谱加速度反应越小，地震反应谱值也越小。
（2）地震动
不同的地震动将会有不同的地震反应谱，大家都知道地震动特性的三要素：振幅、频谱、持时。
振幅越大，地震反应谱值越大，但是地震动振幅仅对地震反应谱值有影响，且呈线性比例关系。
地面运动的各种频率与加速度幅值的对应关系
场地越软，地震震中距越大，地震反应谱峰值对应的周期也越长。所以说，地震动频谱对地震反应谱的形状有影响。
持时对地震反应谱影响不大。
10.3.4 地震反应谱的特点
（1）阻尼比对反应谱影响很大，不仅能降低结构反应的幅值，而且可以削平不少峰值，使反应谱曲线变得平缓。
（2）对于加速度反应谱，当结构的周期小于某个值时，幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降，当时，加速度反应谱值下降缓慢。
（3）对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。
（4）对于位移反应谱，幅值随周期增大。
（5）土质条件对反应谱形状有很大的影响，土质越松软，地震反应谱峰值对应的周期也越长。
小结：结构的最大地震反应，对于高频结构来说，主要取决于地面运动的加速度；对于中频结构来说，主要取决于地面运动的最大速度；对于低频结构来说，只要取决于地面运动的最大位移。
10.3.5 设计反应谱
地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，所以需要有专门的可供结构抗震设计用的反应谱，我们称之为设计反应谱。
（1）地震系数，可以将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。
烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。
（2）体系最大加速度的放大系数
那么，对于给定的加速度记录，和结构的阻尼比，那么可以用上式计算出对应不同的结构自振周期的动力系数值。
对比两个公式，可以看出，地面最大加速度对于给定的地震是一个常数，所以的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，只是纵坐标的数值不同。曲线的纵坐标为，而拟加速度反应谱的纵坐标是。
回顾一下，地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱把随时程变化的地震作用转化为等效侧向力。
对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。
为水平地震影响系数。
上面讲过，的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，只是纵坐标的数值不同，由于对于给定的地震（或者设防烈度），地震系数为常数，所以呢，的曲线形式与拟加速度反应谱的曲线的形状是完全一致的，其纵坐标为。
但是，由于地震的随机性，同一地点、相同地震烈度的前后两次地震记录的地面运动加速度曲线时程也有很大不同。因此在进行工程设计时，仅用某一次的所得到的反应谱曲线或者作为设计标准计算地震作用并不恰当，为了使动力系数能用于结构抗震设计，采取了以下的措施：
①取确定的阻尼比，因为大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右，即考虑阻尼比对地震反应谱的影响。
②按场地、震中距将地震动记录分类，即考虑地震动频谱的影响因素。
③计算每一类地震动记录动力系数的平均值，即考虑类别相同的不同地震记录的地震反应谱的变异性。
综合考虑上述因素后，根据统一场地所得到的强震地面运动加速度记录分别计算出它的反应谱曲线，然后将这些谱曲线进行统计，求出最具代表性的平均反应谱曲线作为设计依据，这条曲线就被称之为“抗震设计反应谱”。
工程设计采用的动力系数谱曲线
其中：
场地特征周期，与场地条件和设计地震分组有关
结构自振周期
衰减指数，取
直线下降段斜率调整系数，取
阻尼调整系数，取
上面我们推导过，
地震影响系数谱曲线
易知。我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的值为：
括号中的数值分别用于设计基本地震加速度取0.15g和0.30g的地区。
抗震设计反应谱见下图
之前我们讲过，我们取得是确定的阻尼比（0.05）来做计算的，有
衰减指数，取
直线下降段斜率调整系数，取
阻尼调整系数，取
但是，在结构阻尼比不等于0.05时，其形状参数做如下调整
（当，取）
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义频域的相位与时域的相位有关系吗信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及
? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
时域信号 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 | 线性 2时域平移 3频域平移, 变换2的频域对应 \ 4 如果值较大，则会收缩 到原点附近，而会扩 散并变得扁平. 当| a | 趋向无 穷时，成为Delta函数。 5 傅里叶变换的二元性性质。通过 交换时域变量和频域变量 得到. 6 / 傅里叶变换的微分性质 7变换6的频域对应
8 表示和的卷积—这 就是卷积定理 - 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 10变换10的频域对应。矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。 11- tri是三角形函数 12变换12的频域对应 13高斯函数exp( ? αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 ￥14 15 16》 a>0
18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 【 19 变换23的频域对应20由变换3和24得到. 21` 由变换1和25得到，应用了欧拉公 式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 22由变换1和25得到 23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 / 24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 25变换29的推广. 17变换本身就是一个公式
26【 变换29的频域对应. 27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到. 28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0. 34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.
2－4 1.求下列卷积： 3）m t n t （,m n 为正整数）. 解：m t ()()()00 d 1C d n t t n k n m m k n k k n k t t t ττττ ττ-==?-=-∑?? ()() 1C d 1d C n n t t k k k n k m k m k k n k n n k k t t τ τττ-++-===-=-?∑∑? ? ()()()11 00 1C 1C 11m k n k n n k k k m n k n n k k t t t m k m k ++-++==?=-?=-++++∑∑ )1!!1!m n m n t m n ++=++. 注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积结果. 6)sin kt ()sin 0kt k ≠. 解 ：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2t t kt k k t kt k kt τττττ??=-=---? ??? ()()011cos cos 2d 224t t kt k t t k k ττ=-+--? ()0sin 21 1sin cos cos 2422t t k kt t kt t kt k k τ-=-+ =-+ . 7) t sinh t 解 ：t sinh sinh t t = t ()0 sinh d t t τττ=?-? ()()00 11e d e d 22t t t t ττ ττττ-= ---?? ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττ ττ---??= -+-=-++-=-???? ?? 9)()u t a - ()()0f t a ≥ . 解：()u t a - ()()()( )0 0,d d ,t t a t a f t u a f t f t t a τττττ?
2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++. 解:由[]2 132!1232132m m m t s s s s s t t +????==++=++???? 及有L L L . 2)()1e t f t t =-. 解 ：[]() () 11 11 ,e e t t t t t s s s s --????= ==- ????2 2 2+1-1L L ,L 1-. 3)()()2 1e t f t t =-. 解： ()22-1e e 2e e t t t t t t t ????=-+???? L L () () () 2 3 2 3 2 2 145 .-1-1-1s s s s s s -+= - + = -1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: [][]() 2 2 2 222 2 d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -?? =-=-= ? +?? +L L 6) ()5sin 23cos 2f t t t =- 解:已知[][]2 2 2 2 sin ,cos s t t s s ω ωωω ω= = ++L L ,则 []52 2 222103sin 23cos 25 34 4 4 s t t s s s --=-= +++L 8)()4e cos 4t f t t -=. 解: 由[]2 cos 416 t s +s = L 及位移性质有 42cos 4416 e t s t s -??=??++4（＋）L . 3．若()()f t F s ??=??L ，证明（象函数的微分性质）:
第一章 傅里叶积分变换 所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为： ()()ττF dt t f t k b a ??→ ??记为 ),( 这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 . 数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具. 1．傅里叶级数的指数形式 在《高等数学》中有下列定理： 定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ?? - ??? 上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有 ()()∑∞ =++=1 0sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1) 其中()dt t f T a T T T ?-=22 01 , ()() ,2,1cos 1 22==?-n tdt n t f T a T T T n ω, ()() .2,1sin 1 22 ==?-n tdt n t f T b T T T n ω, 在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于 ()()2 0000-++t f t f T T . 又2cos φφφi i e e -+=,i e e i i 2sin φ φφ--=,.于是
傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换最全攻略 傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系?他们的本质和区别是什么?为什么要进行这些变换。研究的都是什么?从几方面讨论下。 这三种变换都非常重要!任何理工学科都不可避免需要这些变换。 傅立叶变换，拉普拉斯变换， Z变换的意义 【傅里叶变换】在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值(或频率值)，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式;逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义?频域的相位与时域的相位有关系吗?信号前一段的相位(频域)与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波(或者余弦波)信号。也就是说，用无数的正弦波采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性(见信号流程图、动态结构图)、分析控制系统的运动过程(见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法)，以及综合控制系统的校正装置(见控制系统校正方法)提供了可能性。
第一章 复数与复变函数 本章知识点和基本要求 掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念； 熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。 一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程
为 。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________. 15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。 16 二、判断题（正确打√，错误打?） 1、复数7613i i +>+. ( ) 2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( ) 3、若 a 为实常数，则a a = （ ） 4、复数0的辐角为0. 5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在 00(,)x y 点连续。 （ ） 6、设21,z z 为复数，则2121z z z z ?=。 （ ） 7、1212z z z z +=+ （ ） 8、参数方程2 z t ti =+ （t 为实参数）所表示的曲线是抛物线2y x =. ( ) 三、单项选择题 1、下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是 （ ） A.z·z =Re(z·z ) B. z·z =Im(z·z ) C. z·z =arg (z·z ) D. z·z =|z| 2、方程3z =8 的复根的个数为 （ ） A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当11i z i +=-时，1007550z z z ++的值等于 （ ） A i B i - C 1 D 1- 4、方程23z i +-= （ ） A 中心为23i -的圆周
信号与系统的基本思想：把复杂的信号用简单的信号表示，再进行研究。 怎么样来分解信号？任何信号可以用Delta 函数的移位加权和表示。只有系统是线性时不变系统，才可以用单位冲激函数处理，主要讨论各个单位冲激函数移位加权的响应的叠加能得到总的响应。 线性系统（齐次性，叠加定理） 时不变系统 对一个系统输入单位冲激函数，得到的响应为h(t).表征线性时不变系统的非常重要的东西，只要知道了系统对单位冲击函数的响应，就知道了它对任何信号的响应，因为任何信号都可以表示为单位冲激函数的移位加权和。 例如：d(t)__h(t) 那么a*d(t-t0)__a*h(t-t0) -()= ()(t-)d f t f τδττ∝∝? 的响应为-y()=()(-)t f h t d τττ∝ ∝ ? 记为y(t)=f(t)*h(t),称为f(t)和h(t)的卷积 总结为两点：对于现行时不变系统，任何信号可以用单位冲激信号的移位加权和表示，任何信号的响应可以用输入函数和单位冲激函数响应的卷积来表示 连续时间信号和系统的频域分析 时域分析的重点是把信号分解为单位冲激函数的移位加权和，只讨论系统对单位冲激函数的响应。而频域的分析是把信号分解为各种不同频率的正弦函数的加权和，只讨论系统对sinwt 的响应。都是把信号分解为大量单一信号的组合。
周期函数可以展开为傅里叶级数，将矩形脉冲展开成傅里叶级数，得到傅里叶级数的系数 n A sin F = T x x τ 其中0=2 nw x τ。 取样函数sin ()=x S a x 。产生一种震荡，0点的值最大，然后渐渐衰减直至0 第一：对于傅里叶级数的系数，n 是离散的，所以频谱也是离散状的每条谱线都出现在基波频率的整数倍上，其包络是取样函数。 第二：谱线的间距是0w .。零点是0=2nw x τ，02w =T π是谱的基波频率。如果τ不变，T 增大，那么0w 减小，当T 非常大的时候，0w 非常小，谱线近似连续，越来越密，幅度越来越小。 傅里叶变换：非周期函数 正变换：--F jw)= ()iwt f t e dt ∝ ∝?（ 反变换：-1()=()2jnwt f t F jw e dw π ∝∝ ? 常用函数的傅里叶变换（典型非周期信号的频谱）
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大，则 会收缩到原 点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 | a | 趋向无穷 时，成为狄拉克δ 函数。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质
7 变换6的频域对应8 表示和 的卷积—这就是卷 积定理 9 变换8的频域对应。[编辑]平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 矩形脉冲和归一 化的sinc函数 11 变换10的频域对 应。矩形函数是理 想的低通滤波器， sinc函数是这类 滤波器对反因果 冲击的响应。
12 tri是三角形函数 13 变换12的频域对应 14 高斯函数exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 光学领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式
20 J0(t)是0阶第一 类贝塞尔函数。 21 上一个变换的推 广形式; T n(t)是第 一类切比雪夫多 项式。 22 U n (t)是第二类切 比雪夫多项式。[编辑]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表狄拉克δ函数 分布.这个变换展示了狄 拉克δ函数的重要性：该 函数是常函数的傅立叶 变换 24 变换23的频域对应
25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e?iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里, n是一个自然数.δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。这个变换是根据变换7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多項式。 29 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的. 30 变换29的推广. 31 变换29的频域对应. 32 此处u(t)是单位阶跃函数;此变换根据变换1和31得到.
常用傅里叶变换 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 1 线性 2 时域平移 3 频域平移，变换2 的频域对应 4 如果值较大， 则会收缩 到原点附近，而 会扩 散并变得扁平.当 |?a?|?趋向无穷 时，成为。 5 傅里叶变换的二元 性性质。通过交换 时域变量和频域 变量得到. 6 傅里叶变换的微分 性质 7 变换6的频域对应
8 表示和 的卷积—这就是9 变换8的频域对 应。 []平方可积函数 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 10 和归一化的 11 变换10的频域对 应。矩形函数是 理想的低通滤波 器，是这类滤波 器对冲击的响 应。 12 tri?是 13 变换12的频域对 应
14 exp( ? αt2)的傅里叶变换是他本身.只有当Re(α) > 0时，这是可积的。 15 领域应用较多 16 17 18 a>0 19 变换本身就是一个公式 20 J0(t)?是。 21 上一个变换的推广形式;?T n(t)?是。 22 ???? U n?(t)是。
[]分布 时域信号 角频率表示的 傅里叶变换 弧频率表示的 傅里叶变换 注释 23 δ(ω)代表分布.这个变换 展示了狄拉克δ函数的 重要性：该函数是常函 数的傅立叶变换 24 变换23的频域对应 25 由变换3和24得到. 26 由变换1和25得到，应 用了:?cos(at) = (e iat?+?e???iat) / 2. 27 由变换1和25得到 28 这里,?n是一个.δ(n)(ω)是 狄拉克δ函数分布的n 阶微分。这个变换是根 据变换7和24得到的。 将此变换与1结合使 用，我们可以变换所 有。
习题二 1. 求映射 1 w z z =+ 下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222 221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++ =++=++-++++ 因为22 4x y +=,所以 53i 44u iv x y += + 所以 54u x =,34v y =+ 53 4 4 ,u v x y == 所以( ) ()2 25344 2 u v + =即( ) ()2 2 225322 1 u v + =，表示椭圆. 2. 在映射2 w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ? ρ=或 i w u v =+. 解：设222 i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22 ,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ? ρ=，则 π 02,4r θ<<= 映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π 04,. 2ρ?<<= (2) 记e i w ? ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即 π 04,0.2ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即 222 4().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22 ,2.u x b v xb =-= 即222 4()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. 解：令 1z t = ,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z=x+yi ，则Re()i z x z x y = +有 000 Re()1 lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→== ++ 显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1)z i z i z z →-+； 解： 2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==- +-+.
常用函数傅里叶变换 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在 i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
弧频率表示的时域信号注释傅里叶变换 线性1 时域平移2 频域平移3 , 变换2的频域对应 会收缩值较大，则如果 4 会扩而到原点附近，a趋向 | | . 散并变得扁平当无穷时，成为函数。 Delta 通过傅里叶变换的二元性性质。
5 交换时域变量和频域变量 . 得到 6 傅里叶变换的微分性质 变换7 6的频域对应 表示和的卷积—这 8就卷积定 9 矩形脉冲和归一化的sinc函数 变换10的频域对应。矩形函数是理
想的低通滤波器，sinc函数是这类10 滤波器对反因果冲击的响应。 tri是三角形函数 11 12 变换12的频域对应 2t) ?α的傅里叶变 exp( 高斯函数 换是他本身. 只有当 Re(α) 13 > 0时，这是可积的。 14 15
a>0 16 17 变换本身就是一个公式 δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克18 δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换 19 变换23的频域对应 20 由变换3和24得到. 由变换1和25得到，应用了欧拉公 21 iat?iat eeat) / 2. 式: cos() = ( +
22 由变换1和25得到 n)(n(ω) . δ这里, 自然数是一个n阶微分。函数分布的是狄拉克δ 这个变换是根据变换23 7和24得到的。将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。 此处sgn(ω)为符号函数；注意此变 24 换与变换7和24是一致的. 25 变换29的推广. 26 变换29的频域对应. ut)是单位阶跃函数此处(; 此变换 27
根据变换1和31得到. uta > 0. ，且()是单位阶跃函数28 狄拉克梳状函数——有助于解释或34 理解从连续到离散时间的转变.
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /**************************************************** ***********************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************** **********************************************/
前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
11 2 7、 第二章 解析函数 习题详解 1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(- ,+) 内连续； 2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1 在定义域 -, 3 , 3 , + 内连续。 - 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。 4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ； 5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。 1 在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz 3) f 3 (z )= 2 2、w = z 2 u =x 2-y 2 v = 2 xy u =x 2 -4 ，把直线C :y =2映射成 : u =x -4 v = 4 x v x = ，代入第一个式子， 4 u = 3、 1z w = = = z zz x - iy 22 , x + y v = x 22 x + y -y 22 x + y 把直线C :x =1映射成， : v u = v = 1 1+y 2 -y 1+y 2 1-u u 2 u = (1- u ) u v 2 + u 2 2)w = z 3， 像域为0arg w 2 6、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。 f (z +z )- f (z ) z →0 z = lim z →0 (z +z )2 z y 2 = 1 -1 = u 为一个圆周。 u
《积分变换》试题2答案 一．1（2）；2（2）；3（1）；4（3）；5（4）。 二．1．);0(f '-2。1；3。F [])(t jtf -；4。 )0)(Re(,) (22 2 2 >+s k s ks ；5。 ω j 2。 三．解：L []? ∞+-+= ?? += 2 2 2 2 ) 4(42sin ) 4(42sin s s dt e t t s s t t st 令s=3,有169 122sin 0 3= ?? ∞+-dt e t t t 四．解：两边取Laplace 变换，有+)(s Y L []s s t y e t 32)(2 - = * 3 2 3 2 253) 1)(32()(32)(1 1)(s s s s s s s Y s s s Y s s Y - +-=--= ?- = ?-+ 所以：253)(t t t y -+-= 五．解：=-?-= '--= ')() 1(2)1( 11)(2 2 2 22 t tf s s s s s s s F L ?? ????--s s )1(2 21 而L t t s st s st s st e e s s e s s e s e s s ++-=++ -+ -=??????--=-==-2)1(2)1(21 2)1(21 1 22 1 所以：)cosh 1(2)2(1 )(t t e e t t f t t -= ++--=- 六．解：L []) 1(111111)(2 bs b st sb b st sb e s b s bs tde s e dt te e t f ------- += -? -= -= ? ? 七．证明：F [])()()()(2121ωωωF F j t f t f dt d ?=? ?? ?? ?* F ?=??????*)()()(121ωF t f dt d t f F )()()()()(21212ωωωωωωF F j F j F t f dt d ?=?=??? ? ?? 所以原式成立
§7.2 Fourier积分和Fourier变换 一、复数形式的Fourier级数 二、Fourier积分 1. 从Fourier级数到Fourier 积分 2. Fourier积分存在的条件 3.* Fourier余弦积分和Fourier正弦积分 三、Fourier变换及其性质 1. Fourier变换 2.*Fourier余弦变换和Fourier正弦变换(略) 3. 对称形式傅氏变换间的关系 4. Fourier变换的性质 5. 多重Fourier变换 四、例题 一、复数形式的Fourier级数 根据Euler公式，有 ＝ (7.2 - 1)
＝ (7.2 - 2) 代替，｛｝ (n＝0，1，2…)，可以采用｛｝ (n＝0，±1，…)作为基本函数族。容易验证 (7.2 - 3) 现在，可以将周期为2l的函数f(x)展开为复数形式的 Fourier 级数 （7.2 - 4) （7.2 - 5) 可以证明(7. - 4)、(7,2 - 5)式与(7.1 - 5)、(7.1 - 6)式完全等价，即从(7.2 - 4)、(7.2 - 5)式可得到(7.1 - 5)、(7.1 - 6)式。 反之，也可以从实数形式 Fourier 数级(7.1 - 5)、(7.1 - 6)式，直接导出复数形式的Fourier 级数(7.2 - 4)、(7.2 - 5)式。 二、Fourier积分
1. 从Fourier级数到Fourier 积分 定义在(－∞，∞)上的非周期函数，不能用上述 Fourier级数来表示。然而，可以设想这个函数的周期为无穷大，即→∞，这样可以从(7.2 - 4)、(7.2 - 5)式出发，作极限过渡，形式上得到非周期函数的表达式。 令得 使→∞，则Δk→dk，k为连续变数，∑→∫，形式上可得 （7.2 - 6） (7.2 - 7) (7．2 - 6)称为函数f(x)的Fourier积分表示式，(7.2 - 7)称为的 Fourier 变换式。 上述复数形式的Fourier积分可化为实数形式的 Fourier 积分 (7.2 - 8)
（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 简介 Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。 傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 傅里叶变换定义 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，
②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象。 ①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。傅里叶变换相关 * 傅里叶变换属于谐波分析。 * 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取； *卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
傅里叶级数与傅里叶积分变换整理 1 基本概念 首先理清下面的概念： 三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T ） 三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T ） 复指数形式傅里叶积分，系数1/T 变为1/(2π) 三角函数形式傅里叶积分(将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数). 复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：象函数，象原函数和核 2 基本公式和变换过程 欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁 cos()sin()i e t i t ωωω=+ 三角函数改写为复指数形式： cos 2 i i e e θθ θ-+=，sin 2i i e e i θθθ--= 2.1 三角函数形式的傅里叶级数 “级数”就是对数列求和。
01 ()(cos sin )2T n n n a f x a n x b n x ωω∞ ==++∑ 其中 /20/2 /2 /2 /2 /222()2()cos 2()sin T T T T n T T T n T T T a f x dx T a f x n xdx T b f x n xdx T πωωω---= ===??? 注意这里的系数含1/T 2.2 复指数形式的傅里叶级数 我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子： 0101011 /2 000/2 /2/2 ()() 222()2221()21()cos ()sin 2n n in x in x in x in x T n n n in x in x n n n n n i x i x n n n n T i x T T T n n n T T T T a e e e e f x a b i a a ib a ib e e c c e c e a c f x e dx T a ib c f x n dx i f x n dx T ωωωωωωωωωω--∞=∞-=∞ ∞ -==-??---+-=++-+=++=++==-==-∑∑∑∑??，其中 /2 /2/2/2 /2 /21()1()2()n T T i n x T T T i n x n n n T T i x T n f x e dx T a ib c f x e dx T f x c e ωωω-??-??--∞ -∞? ?=????+===???∑最后 其中/2 /2 1()n T i x n T T c f x e dx T ω--=?，n n ωω= 即/2/21()()n n T i x i x T T T f x f x e dx e T ωω∞ --∞-??=???? ∑?
傅里叶变换基础知识 1.傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1.1.1（1（2（31.1.2（1a.定义（0x b.。 （21.1.3式中：0a 0a 、n a 式中：0T 1.1.4（1的变化关系，即信号的结构，是n A ω-（或n A f -）和n θω-（或n f θ-）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值n A 随ω（或f ）的变化关系，用n A ω-（或n A f -）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n θ随ω（或f ）的变化关系，用n θω-（或n f θ-）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0ω或0f ，各频率成分都是0ω或0f 的整数倍； （6）基波：0ω或0f 对应的信号； （7）n 次谐波：0(n 2,3,...)n ω=或0(n 2,3,...)nf =的倍频成分0cos()n n A n t ω?+或0cos(2)n n A nf t πθ+；
1.1.5周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开 根据欧拉公式cos sin (j t e t j t j ωωω±=±，则1 cos () 21sin j() 2 j t j t j t j t t e e t e e ωωωωωω--=+=- 因此，傅里叶级数三角函数表达式()0001 ()cos sin n n n x t a a n t b n t ωω∞==++∑可改写成 令 则 或 这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。 将0 /22T ??????? 由C 则x )0 n t ?±来描1.1.6由C 综合n A 由?2傅里叶变换 出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬变性，例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号，即周期T →∞。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。 2.1傅里叶变换 设有一周期信号()x t ，则其在[]/2,/2T T -区间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为