第一章 常用逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ?，则p ?”.
6、四种命题的真假性： 四种命题的真假性之间的关系：
()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．
若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．
10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?．全称命题的否定是特称命题．
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假
第一章 1.1 命题
一、选择题
1．下列语句中命题的个数为( )
①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数( )
A．不是命题B．是真命题
C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关
3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥αD．n∥m，n⊥α?m⊥α
4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A. a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c
6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形
二、填空题
7．下面是关于四棱柱的四个命题：
①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．
其中，真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．
均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．
8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．
其中真命题的个数是________．
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．
(1)末位是0的整数能被5整除；
(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
(3)余弦函数是周期函数吗？
(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)对角线相等的四棱柱是长方体；
(2)整数的平方是非负整数；
(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．
1.2 逆否命题
一、选择题
1．命题“若p则q”的逆命题是( )
A．若q则p B．若?p则?q C．若?q则?p D．若p则?q
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为( )
A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1 C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1 4．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )
A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数 B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数
C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数 D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数
5．“a2＋b2≠0”的含义是( )
A．a、b不全为0 B．a、b全不为0
C．a、b至少有一个为0 D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
6．原命题：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
二、填空题
7．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为________．
8．给出下列命题：
(1)平行四边形的对角线互相平分；
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(3)若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的对角线不能互相平分；
(4)若一个四边形的对角线不能互相平分，则这个四边形不是平行四边形．
①若(1)为原命题，则(2)为(1)的________命题，(3)为(1)的________命题，(4)为(1)的________命题．
②若(4)为原命题，则(1)为(4)的________命题，(2)为(4)的________命题，(3)为(4)的________命题．
三、解答题
9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．
10．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
第一章 1.2 充分必要条件
一、选择题
1．“1 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 2．设集合M＝{x||x－1|<2}，N＝{x|x(x－3)<0}，那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则“m＝1”是“(a－m b)⊥a”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．已知p：|x－2|≤3，q：x＋1 x－5 ≤0，则p是q的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的( ) A．充分而不必要条件B．充要条件 C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．已知a，b是实数，则“a>0，且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件． 8．“lg x>lg y”是“x>y”的________________________条件． 三、解答题 9．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p；A>B，q：sin A>sin B； (2)p：|x＋1|>2，q：(x－2)(x－3)<0. 第一章 1.2 一、选择题 1．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 5．设命题甲为：0 A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．平面向量a、b都是非零向量，a·b<0是a与b夹角为钝角的________条件． 8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合________． 三、解答题 9．方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？ 10．已知数列{a n}的前n项和S n＝p n＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1. 第一章 1.3 且或命题 一、选择题 1．下列语句：①3是无限循环小数；②x2>x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生． 其中不是命题的是( ) A．①②③B．①②④ C．①③④D．②③④ 2．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是( ) A．p假q假B．“p或q”为真 C．“p且q”为真D．p假q真 3．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是( ) A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真 C．“p∧q”为真D．以上都不对 4．已知p：α为第二象限角，q：sinα>cosα，则p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ∴sinα>cosα，但sinα>cosα不能推出α为第二象限角． 5．以下四个命题正确的有( ) ①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p 且q ”的形式，该命题是真命题； ②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p 且q ”的形式，该命题是真命题； ③“矩形是圆的外切四边形或是圆的内接四边形”是“p 或q ”的形式，该命题是真命题； ④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p 或q ”的形式，该命题是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知命题p ，q ，则命题“p ∨q 为真”是命题“p ∧q 为真”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 7．p ：ax ＋b >0的解为x >－b a ，q ：(x －a )(x －b )<0的解为a 10．分别指出下列各组命题构成的“p ∧q ”、“p ∨q ”形式的命题的真假． (1)p ：6<6，q ：6＝6； (2)p ：梯形的对角线相等，q ：梯形的对角线互相平分； (3)p ：函数y ＝x 2＋x ＋2的图象与x 轴没有公共点，q ：不等式x 2 ＋x ＋2<0无解； (4)p ：函数y ＝cos x 是周期函数，q ：函数y ＝cos x 是奇函数． 第一章 1.3 一、选择题 1．若p 、q 是两个简单命题，“p 或q ”的否定是真命题，则必有( ) A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 2．设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(?p )∧(?q ) D ．p ∨(?q ) 3．对命题p ：A ∩?＝?，命题q ：A ∪?＝A ，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假 B ．p 或q 为假 C ．非p 为真 D ．非p 为假 4．若命题“p ∧(?q )”为真命题，则( ) A ．p ∨q 为假命题 B ．q 为假命题 C ．q 为真命题 D ．(?p )∧(?q )为真命题 5．命题“若x ≠3且x ≠2，则x 2 －5x ＋6≠0”的否命题是( ) A ．若x ＝3且x ＝2，则x 2 －5x ＋6＝0 B ．若x ≠3且x ≠2，则x 2 －5x ＋6＝0 C ．若x ＝3或x ＝2，则x 2 －5x ＋6＝0 D ．若x ＝3或x ＝2，则x 2 －5x ＋6≠0 6．已知命题p ：x 2－4x ＋3<0与q ：x 2－6x ＋8<0；若“p 且q ”是不等式2x 2 －9x ＋a <0成立的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(9，＋∞) B ．{0} C ．(－∞，9] D ．(0,9] 二、填空题 7．命题p ：2不是质数，命题q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“?p ”、“?q ”中，假命题是________，真命题是________． 8．已知p ：x 2 －x ≥6，q ：x ∈Z .若“p ∧q ”，“?q ”都是假命题，则x 的值组成的集合为________． 9．已知命题p ：函数f (x )＝|lg x |为偶函数，q ：函数g (x )＝lg|x |为奇函数，由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“?p ”形式的新命题中，真命题是________． 三、解答题 10．写出下列命题的否定： (1)若a >b >0，则1a <1 b ； (2)正方形的四条边相等； (3)a 、b ∈N ，若ab 可被5整除，则a 、b 中至少有一个能被5整除； (4)若x 2 －x －2＝0，则x ≠－1且x ≠2. 第一章 1.4 全称特称命题 一、选择题 1．下列命题中全称命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下列特称命题中真命题的个数是( ) ①?x ∈R ，x ≤0；②至少有一个角，它既不是锐角，也不是钝角；③?x ∈{x |x 是整数}，x 2 是整数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2 －2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．?x ∈R ，x 2 ＝x D ．对数函数在定义域上是单调函数 4．下列命题中，真命题是( ) A ．?x ∈R,2x >1 B ．?x ∈R ，x 2 －x ＋1≤0 C ．?x ∈R ，lg x >0 D ．?x ∈N *，(x －2)2 >0 5．下列命题中，真命题是( ) A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2 ＋mx (x ∈R )是奇函数 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π 2 C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β 二、填空题 7．已知函数f (x )＝x 2 ＋mx ＋1，若命题“?x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________． 8．四个命题：①?x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②?x ∈Q ，x 2＝2；③?x ∈R ，x 2＋1＝0；④?x ∈R,4x 2 >2x －1＋3x 2 .其中真命题的个数为________． 9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )．若对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题 10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2 α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在； (3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1 x 20－x 0＋1 ＝2. 第一章 1.4 命题的否定 一、选择题 1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．?x ∈R ，|x |>0 B ．?x 0∈R ，|x 0|>0 C ．?x ∈R ，|x |≤0 D ．?x 0∈R ，|x 0|≤0 3．命题“存在x ∈Z ，使x 2 ＋2x ＋m ≤0成立”的否定是( ) A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0 B ．不存在x ∈Z ，使x 2 ＋2x ＋m >0 C ．对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m ≤0 D ．对于任意x ∈Z ，都有x 2 ＋2x ＋m >0 4．已知命题p ：?x ∈R,2x >0，则( ) A ．?p ：?x ∈R,2x <0 B ．?p ：?x ∈R,2x <0 C ．?p ：?x ∈R,2x ≤0 D ．?p ：?x ∈R,2x ≤0 5．(2014·辽宁师大附中期中)下列命题错误的是( ) A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2 －3x ＋2≠0” B ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 C ．命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则?p ：任意x ∈R ，都有x 2 ＋x ＋1≥0 D ．“x >2”是“x 2 －3x ＋2>0”的充分不必要条件 6．已知命题“?a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．?a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．?a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．?a ，b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．?a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 二、填空题 7．命题“存在x ∈R ，使得x 2 ＋2x ＋5＝0”的否定是________． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________． 9．给出下列三个命题： ①5≥5；②存在x ∈R ，使得2x ＋1＝3；③对任意的x ∈R ，有x 2 ＋1＜0，其中为真命题的是______________________． 三、解答题 10．写出下列命题的否定并判断真假： (1)不论m 取何实数，方程x 2 ＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除． 11．已知命题p ：?x ∈R ，x 2 －x ＋14 <0，命题q ：?x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，?p ，?q 中是 真命题的有________． 12.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2 ＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________． 13．命题“?x ∈R ，使x 2 ＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________． 【课后练习】 一、选择题 1．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．?p ：?x ∈A,2x ∈B B ．?p ：?x ?A,2x ∈B C ．?p ：?x ∈A,2x ?B D ．?p ：?x ?A,2x ?B 3．命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴，q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期，下列新命题： ①p ∨q ；②p ∧q ；③?p ；④?q .其中真命题有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．p ：“直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上截距的两倍”；q ：“直线l 的斜率为－2”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．下列命题中，真命题是( ) A ．?x 0∈R ，e x 0≤0 B ．?x ∈R,2x >x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 6．与命题“若a ∈M ，则b ?M ”等价的命题是( ) A ．若a ?M ，则b ?M B ．若b ?M ，则a ∈M C ．若a ?M ，则b ∈M D ．若b ∈M ，则a ?M 7．“a >b >0”是“a 2＋b 2 >2ab ”成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分且必要条件 D ．不充分且不必要条件 8．若a ，b 均为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．有下列命题：