第六章小波变换的几个典型应用

第六章 小波变换的几个典型应用

6.1 小波变换与信号处理

小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。

6.1.1 小波变换在信号分析中的应用

[例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为

???????≤≤++-≤≤++-=1000501)()3.0sin(500

10005001)()3.0sin(500

1

)(t t b t t t t b t t t s

应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m

100

200

300

400500600

700

800

900

1000

-4-3-2-1012345

6样本序号 n

幅值 A

图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形

分析：

（1） 在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。

（2） 在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）

与正弦信号相关。

01002003004005006007008009001000

-101a 7

01002003004005006007008009001000

-202a 6

01002003004005006007008009001000

-202a 5

01002003004005006007008009001000

-202a 4

01002003004005006007008009001000

-505a 3

01002003004005006007008009001000

-505a 2

010*******

4005006007008009001000

-5

05a 1

样本序号 n

图6-2 小波分解后各层逼近信号

01002003004005006007008009001000

-101d 7

01002003004005006007008009001000

-101d 6

01002003004005006007008009001000

-101d 5

01002003004005006007008009001000

-202d 4

01002003004005006007008009001000

-202d 3

01002003004005006007008009001000

-202d 2

010*******

4005006007008009001000

-5

05d 1

样本序号 n

图6-3 小波分解后各层细节信号

6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用

一、信号降躁

1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。 2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法：

（1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp 生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp 函数进行消躁处理。

（2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh 。

（3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。

小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则：

1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。

2．相似性：降噪后的信号和原始信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小。

4．一维信号消躁的步骤：

(1) 一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次，然后进行分解计算。

(2)小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行软阈值量化处理。

(3)一维小波重构。根据小波分解的最低层系数和各层高频系数进行一维小波重构。 关键：如何选择阈值和进行阈值量化。在某种程度上，它关系到信号消躁的质量。 5．消躁阈值选取规则

硬阈值法：.,,,,0,

j k j k j k

j k ωωλωωλ

≥?=?

软阈值法：,,,,,()(),0

j k j k j k j k

j k sign ωωλωλωωλ

??-≥?=?

图(a) 硬阈值图(b) 软阈值

图6-4估计小波系数的软阈值与硬阈值方法

图6-4表明了软阈值和硬阈值法的区别，图中横坐标表示小波分解系数ω，纵坐标表示由阈值法得到的小波系数估计值ω?，λ为阈值。可以看出，硬阈值法的ω?函数在λ点处不连续，这会给重构信号带来震荡；软阈值法虽然ω?函数连续

ω≥时，由性较好，但其导数并不连续，这就限制了它的进一步应用。并且当λ

软阈值法得出的估计值ω?与小波系数ω存在着恒定的偏差。

这些分析表明，软阈值法通常会使去噪后的信号平滑一些，但是也会丢掉某些特征；而硬阈值可以保留信号的特征，但是在平滑方面有所欠缺。一般来说，去噪中软阈值的作用会更多一些，但是到底选取哪种处理方法，还应视具体情况而定。

6．应用一维小波分析进行信号消躁处理的MATLAB函数

小波函数：wden和wdencmp

[例6-2] 利用小波分析对含躁正弦波进行消躁。xiaobo0602.m

分析：

（1）消躁后的信号大体上恢复了原信号的形状，并明显去除了噪声所引起的干扰。

（2）恢复后的信号与原信号相比有明显的改变。主要原因是，在进行消躁处理的过程中所用的分析小波和细节系数阈值不恰当。

010*******

4005006007008009001000

-1

1样本序号 n

(原始信号)幅值 A

010*******

4005006007008009001000

-2

2样本序号 n

( 含躁信号)幅值 A

010*******

4005006007008009001000

-2

2样本序号 n

( 消躁信号)幅值 A

[例6-3] 在电网电压值监测过程中，由于监测设备出现了一点故障，致使所采集到的信号受到噪声的污染。现在利用小波分析对污染信号进行消躁处理以恢复原始信号。

050010001500

200400

600原始信号

幅值 A

500100015000

200400

600强制消躁后的信号

样本序号 n

幅值 A

50010001500

200400

600默认阈值消躁后的信号样本序号 n

幅值 A

50010001500

200400

600给定软阈值消躁后的信号

样本序号 n

幅值 A

分析：

（1）强制消躁处理后信号比较光滑，但可能丢失有用信息。

（2）默认阈值消躁和给定软阈值消躁这两种处理方法在实际中应用的更广泛。

阈值函数图形如下：xiaobo0604.m

50100-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8

1原始信号样本序号 n

幅值 A

50100-1

-0.8

-0.6

-0.4-0.200.20.40.60.8

1硬阈值信号样本序号 n

幅值 A

50100-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

软阈值信号样本序号 n

幅值 A

二、信号压缩 1．压缩依据： 一个比较规则的信号是由一个数据量很小的低频系数和几个高频系数所组成的。这里对低频系数的选择有一个要求，即需要在一个合适的分解层上选择低频系数。

2．压缩手段：小波分析和小波包分析两种手段。 3．压缩步骤：

（1）信号的小波（包）分解。

（2）对高频系数进行阈值量化处理。对第1层到第N 层的高频系数，均可选择不同的阈值，并且用硬阈值进行系数的量化。 （3）对量化后的系数进行小波（包）重构。 4．两种比较有效的信号压缩方法：

第一种方法：对信号进行小波尺度的扩展，并且保留绝对值最大的系数。在这种情况下，可以选择全局阈值，此时仅需输入一个参数即可。

第二种方法：根据分解后各层的效果来确定某一层的阈值，且每一层的阈值可以互不相同。

[例6-4] 利用小波分析对给定信号进行压缩处理。xiaobo0605.m

100

200

300400

500

600

100

200300400

500原始信号

样本序号 n 幅值 A

100

200

300400

500

600

100

200300400

500压缩后的信号

样本序号 n

幅值 A

6.2 小波变换在电力负载信号的应用

电力系统在线检测信号含有大量的现场背景噪声，给传统方式的数据采集与故障诊断带来很大的困难。将以处理瞬态信号、含宽带噪声信号等见长的小波分析应用于电力系统在线监测是大有前途的。

本小节的测量数据是从一个复杂的设备上采集的电力负载信号，每分钟采集一个样本，持续了5个星期，总共50400个数据样本。测量数据受到传感器误差和状态噪声两种噪声的影响。本小节将分析其中的两段数据，其中第一段是上午12：30至下午1：00间采集的样本，由于这段时间处于用电高峰，因此数据很复杂；第二段是下半夜采集的样本，数据比较简单。 一、信号分解

[例6-5] 利用小波分解分析第一段数据的信号成分。xiaobo0606.m

3600

3610

3620

3630

3640365036603670

3680

3690

3700

295300305310315320325330335340

345样本序号 n

幅值 A

图1

36003650

3700

250300

350a 5

36003650

3700

250300

350

a 4

36003650

3700

250300

350

a 3

36003650

3700

250300

350

a 2

3600

36503700

250300

350

a 1

样本序号 n

36003650

3700

-200

20d 5

36003650

3700

-200

20

d 4

36003650

3700

-100

10

d 3

36003650

3700

-50

5

d 2

3600

36503700

-50

5

d 1

样本序号 n

图2

分析：第一段电力载波信号如图1所示，利用db3小波对其进行5层小波分解，得到逼近信号和细节信号如图2所示。可以看出：

（1）细节信号d1和d2的值较小，可以认为是由传感器和状态噪声的高频分量引起的局部干扰；

（2）细节信号d4包含了3个相连的主要信号模式，它最接近于原始数据的曲线；

（3）细节信号d5含有的信息不多，因此第4层贡献最大，它提取了原始数据曲线的形状。 二、暂态信号检测

为保证电力系统的安全可靠运行，必须对电力设备进行状态监测根据电力信号来判别其运行的状态。电力系统暂态故障信号往往在故障时刻发生突变，若能捕获设备故障信息突变时刻和大小，有利于在故障初期及早采取措施使系统恢复正常，这对提高设备运行可靠性具有重要意义。

[例6-6] 利用小波分解分析检测第二段信号的突变点成分。xiaobo0607.m

1560

1580

1600

1620

164016601680

1700

1720

210220230240250260270280290300

310样本序号 n

幅值 Ａ

分析：利用db3小波对其进行5层分解，得到逼近信号和细节信号如图所示。可以看出：

由细节信号d2可以检测突变点位置t=1625，由细节信号d1也能隐约看出t=1600处的突变点。

15501600

1650

1700

1750

200250

300a 5

15501600

1650

1700

1750

200250

300

a 4

15501600

1650

1700

1750

200300

400

a 3

15501600

1650

1700

1750

200300

400

a 2

1550

160016501700

1750

200300

400

a 1

样本序号 n

15501600

1650

1700

1750

-100

10d 5

15501600

1650

1700

1750

-50

5

d 4

15501600

1650

1700

1750

-50

5

d 3

15501600

1650

1700

1750

-200

20

d 2

1550

160016501700

1750

-50

5

d 1

样本序号 n

三、传感器故障检测

[例6-7] 利用小波分析检测传感器故障。xiaobo0608.m

2200

24002600

28003000320034003600

100150200250300350400450

500样本序号 n

幅值 Ａ

22002400260028003000320034003600

-20020

40d 3

22002400260028003000320034003600

-500

50d 2

2200

24002600

28003000320034003600

-200

20

d 1

样本序号 n

利用db3小波对信号进行5层分解，得到第1～3层细节信号如图所示。可以看出每个细节信号都显示了在t ＝2400～t ＝3600之间的信号由于传感器故障而引入了传感器误差噪声。 四、奇异点定位消除

[例6-8] 利用小波分析检测信号中的奇异点并消除。xiaobo0609.m

由原始信号波形可以看出在t ＝1193和t ＝1215两处存在奇异值点。进一步利用db3小波对信号进行5层分解，得到第1、2、3层细节信号如图所示。发现奇异值点包含在细节信号d1和d2中，且与原信号中的奇异点是同步的。为了消除奇异点，重构信号时令细节信号d1、d2和d3等于零，得到的波形如图所示，比较可见奇异值点已经很不明显了。

1160

117011801190

12001210122012301240

320330340350360370380390

400样本序号 n

幅值 Ａ

图 原信号

116011701180119012001210122012301240

-20020

40d 3

116011701180119012001210122012301240

-20020

40d 2

1160

117011801190

12001210122012301240

-200

20d 1

样本序号 n

图 小波分解的细节信号

1160

1170

1180

1190

120012101220

1230

1240

320325330335340345350355360365

370样本序号 n

幅值 Ａ

图 消除奇异点后的波形

6.3 小波分析在图像消躁中的应用

图像消躁在信号处理中是一个经典问题，传统的消躁方法是采用平均或线性方法进行，常采用的是维纳滤波，但是消躁效果不好。随着小波理论日益完美，它以自身良好的时频特性在图像消躁领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法消躁的先河。具体说来，小波能够消躁主要得意于小波变换具有如下特点： （1） 低熵性：小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低。

（2） 多分辨率特性：由于采用多分辨率的方法，所以可以非常好地刻画信

号的非平稳性，如突变和断点等，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来去除噪声。

（3） 去相关性：小波变换可以对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，

所以小波域比时域更利于去躁。

（4） 基函数选择灵活：小波变换可以灵活选择基函数，也可根据信号特点

和消躁要求选择多带小波、小波包等，对不同场合，可以选择不同的小波母函数。

一、小波图像消躁的基本原理

常用的图像消躁方法是小波阈值消躁方法，它是一种实现简单而效果好的消躁方法。阈值消躁方法的思想很简单，就是对小波分解后的各层系数模大于和小于某阈值的系数分别进行处理，然后利用处理后的小波系数重构出消躁后的图像。在阈值消躁中，阈值函数体现了对小波分解系数的不同处理策略以及不同估计方法，常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值函数可以很好的保留图像的边缘等局部特征，但图像会出现伪吉布斯效应等视觉失真现象；软阈值处理相对较平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，为此人们又提出了半软阈

值函数。

小波阈值消躁方法处理阈值的选取，另一个关键因素是阈值的具体估计。如果阈值太小消躁后的图像仍然存在噪声；相反如果阈值太大，重要图像特征又将滤掉，引起偏差。直观上将，对给定的小波系数，噪声越大，阈值就越大。

图像信号的小波消躁步骤有三步，同一维信号的消躁步骤完全相同，不同的是二维小波变换代替一维小波变换。二维小波分析用于图像消躁的步骤如下：

步骤1：二维图像信号的小波分解

步骤2：对分解后的高频系数进行阈值量化。 步骤3：二维小波重构图像信号。 二、例程分析

[例6-9] 利用小波分析对给定一个二维含躁图像进行消躁处理。xiaobo0610.m

原始图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

含躁图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

第1层重构图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

第2层重构图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

[例6-10] 利用二维小波变换对给定图像进行消躁处理。xiaobo0611.m

原始图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

含躁图像

50

100150200250

50100150200

250

第一次消躁后的图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

第二次消躁后的图像

50

100150200250

50100150200

250

6.4 小波分析与图像压缩

所谓图像压缩就是去掉各种冗余，保留重要信息。虽然图像的数据是非常巨大的，但是可以采用适当的坐标变换去除相关从而达到压缩数据的目的。 [例6-11] 利用二维小波变换对给定图像进行压缩处理。xiaobo0612.m

原始图像

5010015020025050100150200

250

分解后的低频和高频信息

100

200

300

400

500

100200300400

500

第一次压缩后的图像20406080100120

20406080100

120

第二次压缩后的图像20

40

60

2040

60

第一次压缩后图像的大小：

Name Size Bytes Class

ca1 135x135 145800 double array

Grand total is 18225 elements using 145800 bytes

第二次压缩后图像的大小：

Name Size Bytes Class

ca2 75x75 45000 double array

Grand total is 5625 elements using 45000 bytes

分析：

第一次压缩，压缩比较小，约为4

1；

第二次压缩，压缩比较大，约为14

1。视觉效果也可以。

我们一般不仅在前两层压缩，理论上可以获得任意压缩比的压缩图像，但在对压缩比和图像质量要求较高的情况下，不如其他的编码方法。

小波分析还可以用于图像平滑、融和、增强以及边缘检测等。

小波变换与傅里叶变换的对比异同

小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi 标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢？b取多少才合适呢？于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不?,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件?后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件???,就是?

小波变换的基本原理

10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达

商务谈判与推销技巧 课程测试试题库

商务谈判与推销技巧课程试题库

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商务谈判与推销技巧课程试题库 商务谈判 1、商务谈判要想学习好，必须提前准备哪些课程的知识呢？ 答案：社会学、社会心理学、市场营销学、消费者心理学等等 2、举一个阵地式谈判的例子 答案：一名顾客前来购买盘子，他向老板问道：“这个铜盘子多少钱？”精明的老板回答：“你的眼光不错，75块。”顾客：“别逗了，这儿还有块压伤呢，便宜点。”老板：“出个实价吧。”顾客：“我出15块钱，行就行，不行拉倒。”老板：“15块，简直是开玩笑。”顾客做出让步：“那好，我出20块，75块钱我绝对不买。”老板说：“小姐，你真够厉害，60块钱马上拿走。”顾客又开出了25块，老板说进价也比25块高。顾客最后说，37.5块，再高他就走人了。老板让顾客看看上面的图案，说这个盘子明年可能就是古董等等。在这个谈判中，顾客出价从15块到20块、25块，到37.5块，逐渐上扬，而老板出价从75块到60块，逐渐下降，在讨价还价中双方的阵地都被“蚕食”，这就是阵地型谈判的例子。 3、商务谈判前，信息搜集工作非常关键，谈一下你如何获得石家庄学院校长的联系方式。 4、电影《初恋红豆冰》中女主角的鱼为什么总是获胜，并借此谈一下商务谈判地点选择中选择我方所在地和他方所在地的各自利弊 5、商务谈判中谈判桌的选择要讲求技巧，请谈一下选择圆桌和方桌的不同意义 6、艾克尔在《国家如何进行谈判》书中提出“完美无缺的谈判者的标准”： “根据17—18世纪的外交规范，一个完美无缺的谈判家，应该心智机敏，而且具有无限的耐心，能巧言掩饰，但不欺诈行骗；能取信于人，而不轻信他人；能谦恭节制，但又刚毅果敢；能施展魅力，而不为他人所惑；能拥巨富、藏娇妻，而不为钱财和女色所动。” 谈一下你觉得谈判者应该具备怎样的专业素质？ 7、给以下价格让步方式连线 序号第一阶段第二阶段第三阶段第四阶段让步方式 1 0 0 0 60 冒险型让步 2 15 15 15 15 刺激型让步 3 2 4 18 12 6 希望型让步 4 28 20 11 1 妥协型让步 5 40 15 0 5 危险型让步 6 6 12 18 24 诱发型让步 7 50 10 -2 +2 虚伪型让步 8 60 0 0 0 愚蠢型让步 8、美国约翰逊公司的研究开发部经理，从一家有名的A公司购买一台分析仪器，使用几个月后，一个价值2.95美元的零件坏了，约翰逊公司希望A公司免费调换一只。A公司却不同意，认为零件是因为约翰逊公司使用不当造成的，并特别召集了几名高级工程师来研究，

小波变换-完美通俗解读

小波变换和motion信号处理（一） 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA 这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一

些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 最后说明，我不是研究信号处理的专业人士，所以文中必有疏漏或者错误，如发现还请不吝赐教。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是

商务谈判与沟通技巧大全 (1)

商务谈判与沟通技巧大全谈判代表要有良好的综合素质，谈判前应整理好自己的仪容仪表，穿着要整洁正式、庄重。谈判双方接触的第一印象十分重要，言谈举止要尽可能创造出友好、轻松的良好谈判气氛。谈判之初的重要任务是摸清对方的底细，因此要认真听对方谈话，细心观察对方举止表情，并适当给予回应，这样既可了解对方意图，又可表现出尊重与礼貌。 谈判的实质性阶段，主要是报价、查询、磋商、解决矛盾、处理冷场商务谈判与推销技巧内容大全 商务谈判中，无论是基于赢得尽可能大的利益空间的考虑，还是基于尽量缩小企业损失的目的，都离不开对谈判技巧的运用。 提及谈判技巧，许多专家对此已有解读，在各种网站教程上也能搜到不少相关内容。作为一个有着多年本土实战经验和跨国公司从业经历、从事过多种工作、担任过多家知名企业管理层的职业经理人，史光起对谈判技巧有基于其个人经验的解读。如下，世界工厂网小编与您分享他谈及的商务谈判中的12个谈判技巧： 1、确定谈判态度 在商业活动中面对的谈判对象多种多样，我们不能拿出同一样的态度对待所有谈判。我们需要根据谈判对象与谈判结果的重要程度来决定谈判时所要采取的态度。 如果谈判对象对企业很重要，比如长期合作的大客户，而此次谈判的内容与结果对公司并非很重要，那么就可以抱有让步的心态进行谈判，即在企业没有太大损失与影响的情况下满足对方，这样对于以后的合作

会更加有力。 如果谈判对象对企业很重要，而谈判的结果对企业同样重要，那么就抱持一种友好合作的心态，尽可能达到双赢，将双方的矛盾转向第三方，比如市场区域的划分出现矛盾，那么可以建议双方一起或协助对方去开发新的市场，扩大区域面积，，将谈判的对立竞争转化为携手竞合。 如果谈判对象对企业不重要，谈判结果对企业也是无足轻重，可有可无，那么就可以轻松上阵，不要把太多精力消耗在这样的谈判上，甚至可以取消这样的谈判。 如果谈判对象对企业不重要，但谈判结果对企业非常重要，那么就以积极竞争的态度参与谈判，不用考虑谈判对手，完全以最佳谈判结果为导向。 2、充分了解谈判对手 正所谓，知己知彼，百战不殆，在商务谈判中这一点尤为重要，对对手的了解越多，越能把握谈判的主动权，就好像我们预先知道了招标的底价一样，自然成本最低，成功的几率最高。 了解对手时不仅要了解对方的谈判目的、心里底线等，还要了解对方公司经营情况、行业情况、谈判人员的性格、对方公司的文化、谈判对手的习惯与禁忌等。这样便可以避免很多因文化、生活习惯等方面的矛盾，对谈判产生额外的障碍。还有一个非常重要的因素需要了解并掌握，那就是其它竞争对手的情况。比如，一场采购谈判，我们作为供货商，要了解其他可能和我们谈判的采购商进行合作的供货商的情况，还有其他可能和自己合作的其它采购商的情况，这样就可以适时给出相较

小波变换 完美通俗解读2

这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。 在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。 还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样： 其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅 立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。 我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？ 在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。 首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交： 另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

详解傅里叶变换与小波变换

详解傅里叶变换与小波变化 希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代

数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵(Tv_n= av_n，a是eigenvalue)。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。

小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习

小波变换的原理及m a t l a b仿真程序

基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参

数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

共振稀疏分解

共振稀疏分解：一种新的可稀疏信号的分析 方法 0. 摘要 生命和物质过程会产生大量信号，这些信号不但是不稳定的，而且是持续震荡信号和瞬态冲击信号的混合，并且这两种信号是很难线性分解的，例如声音、医疗和地理信号。因此，本文描述了一种基于信号共振的非线性信号分析方法，而这种方法不基于傅里叶变换和小波变换产生的频谱和幅值。这种方法将信号分解成一个高共振分量和一个低共振分量——高共振分量由多个同时发生的持续震荡信号组成，低共振分量由多个没有具体现状和持续时间的瞬态冲击信号组成。本文所阐述的共振稀疏分解算法使用的方法有信号稀疏表示、形态分量分析和品质因子可调小波换。 1. 前言 频域分析法和滤波是信号处理的基础。然而，频域分析法和时频分析法并不适用于所有信号，事实上只适用于持续震荡或周期信号。那些主要由奇异点限定的分段光滑信号多数使用时域和小波变换描述、分析和处理。例如，图像扫描，眼部运动记录，潜能诱发反应，神经尖刺训练等。 然而，许多生命和物质过程产生信号不只是不稳定的，而且是持续震荡信号和瞬态冲击信号的混合，例如声音、医疗（脑电图和心电图等）和地理（海浪高度数据等）信号。这些信号既含有稳态震荡部分又含有瞬态冲击部分。脑电波包含有节奏振荡（alpha和beta波等），也包含人为测量和无节奏脑行为所产生的瞬态冲击。海浪高度数据测量的是已经流动了几百英里（100‘s）的海量的重叠高度，但是天气因素将中断这种震荡行为。当然，通过生命和物质系统测量的信号通常包含持续震荡信号和瞬态冲击信号，而这两种信号是很难线性分解的。 为了改进复杂非平稳信号的描述、分析和处理，我们阐述了一种新的基于共振的非线性信号分析方法，而这种方法不基于傅里叶变换和小波变换产生的频谱和幅值。这种方法将信号分解成一个高共振分量和一个低共振分量。其中，高共振分量由多个同时发生的持续震荡信号合成，另一方面，低共振分量由多个没有具体现状和持续时间的瞬态冲击信号合成。 这篇论文的部分内容已经出版在两个早期的会议论文中[84，85]。

小波变换基本原理

第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换

3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ

基于小波变换的边缘检测技术(完整)

第一章图像边缘的定义 引言 在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。 由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。 经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。 小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。

§1.1信号边缘特征 人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。 §1.2图像边缘的定义 边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。

小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分）

（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247

小波变换快速算法及应用小结

离散小波变换的快速算法 Mallat算法[经典算法] 在小波理论中,多分辨率分析是一个重要的组成部分。多分辨率分析是一种对信号的空间分解方法,分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近L2(R)空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。因此,对于一个能量有限信号,可以通过多分辨率分析的方法把其中的逼近信号和细节信号分离开,然后再根据需要逐一研究。多分辨率分析的概念是S.Mallat在构造正交小波基的时候提出的,并同时给出了著名的Mallat 算法。Mallat算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶变换中的地位,为小波分析的应用和发展起到了极大的推动作用。 MALLAT算法的原理 在对信号进行分解时，该算法采用二分树结构对原始输入信号x(n)进行滤波和二抽取，得到第一级的离散平滑逼近和离散细节逼近x k1和d k1，再采用同样的结构对d k1进行滤波和二抽取得到第二级的离散平滑逼近和离散细节逼近x k2和d k2，再依次进行下去从而得到各级的离散细节逼近对x k1,x k2,x k3…，即各级的小波系数。重构信号时，只要将分解算法中的步骤反过来进行即可，但要注意，此时的滤波器与分解算法中的滤波器不一定是同一滤波器，并且要将二抽取装置换成二插入装置才行。 多孔算法 [小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华] 多孔算法是由M.shen于1992年提出的一种利用Mallat算法结构计算小波变换的快速算法，因在低通滤波器h0(k)和高通滤波器h1(k)中插入适当数目的零点而得名。它适用于a=2j的二分树结构，与Mallat算法的电路实现结构相似。先将Mallat算法的电路实现的基本支路作一下变形。令h0k和h1(k)的z变换为H0（z）与H1（z），下两条支路完全等价，只不过是将插值和二抽取的顺序调换一下罢了。图中其它的上下两条支路也为等效支路，可仿照上面的方法证明。这样，我们便可由Mallat算法的二分树电路结构得出多孔算法的电路级联图，原Mallat算法中的电路支路由相应的等效支路所取代，所以整个电路形式与Mallat算法非常相似。如果舍去最后的抽取环节们实际上相当于把所有点的小波变换全部计算出来。 基干FFT的小波快速算法 [小波变换快速算法及其硬件实现的研究毛建华] Mallat算法是由法国科学家StephaneG.Mallat提出的计算小波分解与重构的快速算法，能大大降低小波分解与重构的计算量，因此在数字信号处理和数字通信领域中得到了广泛的应用。但是如果直接采用该算法计算信号的分解和重构，其运算量还是比较大。主要体现在信号长度较大时，与小波滤波器组作卷积和相关的乘加法的计算量很大，不利于信号的实时处理。

小波变换完美通俗解读

小波变换完美通俗解读 转自： 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的"图像视频压缩算法之王"上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢?说实话，我还在国内的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国内真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂；国内的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什

小波变换及应用

小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3）

小波分析-经典解读

时间序列-小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f (t)a )b ,a (W R 2 /1-f ? -=ψ （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数； )a b x ( -ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，

小波变换的理解

由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受． ２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比