立，所以只需 ? 即 ?
?
不等式恒成立、存在性问题的解题方法
一、常见不等式恒成立问题解法
1、用一次函数的性质
对于一次函数 f ( x ) = kx + b , x ∈ [m , n ] 有：
? f (m ) > 0 ? f (m ) < 0
f ( x ) > 0恒成立 ? ? , f ( x ) < 0恒成立 ? ?
? f (n ) > 0 ? f (n ) < 0
例 1：若不等式 2 x - 1 > m ( x 2 - 1) 对满足 - 2 ≤ m ≤ 2 的所有 m 都成立，求 x 的范围。
解 析 ：我 们可 以用 变换 主 元的 方法 ，将 m 看 作主 变元 ，即 将 原 不 等式 化为 ：
m ( x 2 - 1) - (2 x - 1) < 0 ，
；令 f (m ) = m ( x 2 - 1) - (2 x - 1) ，则 - 2 ≤ m ≤ 2 时， f (m ) < 0 恒成
? f (-2) < 0 ??- 2( x 2 - 1) - (2 x - 1) < 0
? f (2) < 0 ?2( x 2 - 1) - (2 x - 1) < 0
所以 x 的范围是 x ∈ ( - 1 + 7 , 1 + 3
) 。
2 2
2、利用一元二次函数判别式
对于一元二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c > 0(a ≠ 0, x ∈ R ) 有：
（1） f ( x ) > 0在x ∈ R 上恒成立 ? a > 0且? < 0 ；
1. f ( x ) > 0 解集为空集
? a < 0且? ≤ 0 ；
（2） f ( x ) < 0在x ∈ R 上恒成立 ? a < 0且? < 0
2. f ( x ) ≤ 0 解集为空集 ? a > 0且? < 0
例 2：若不等式 (m - 1) x 2 + (m - 1) x + 2 > 0 的解集是 R ，求 m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数
m ，所以要讨论 m-1 是否是 0。
（1）当 m-1=0 时，元不等式化为 2>0 恒成立，满足题意；
?m - 1 > 0
（2） m - 1 ≠ 0 时，只需 ? ，所以， m ∈ [1,9) 。
?? = (m - 1) 2 - 8(m - 1) < 0
3、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化
为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，
操作性更强。一般地有：
1）f(x) 例3已知不等式x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)时恒成立，求a的取值范围。 解：x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)时恒成立，只要a>-x2-2x在x∈[1,+∞)时恒成立。而易求得二次函数h(x)=-x2-2x在[1,+∞)上的最大值为-3，所以a>-3。 例4．已知函数f(x)=ax-4x-x2,x∈(0,4]时f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围。 解：将问题转化为a<4x-x2 对x∈(0,4]恒成立。x 令g(x)=4x-x2 ，则a x min 由g(x)=4x-x2 x= 4 x-1可知g(x)在(0,4]上为减函数，故g(x)min =g(4)=0 ∴a<0即a的取值范围为(-∞,0)。 注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。 4、变换主元法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 例5．对任意a∈[-1,1]，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x-2)a+x2-4x+4>0在a∈[-1,1]上恒成立的问题。 解：令f(a)=(x-2)a+x2-4x+4，则原问题转化为f(a)>0恒成立（a∈[-1,1]）。 当x=2时，可得f(a)=0，不合题意。 ?f(1)>0 当x≠2时，应有?解之得x<1或x>3。 ?f(-1)>0 故x的取值范围为(-∞,1)(3,+∞)。 练习：1．已知f(x)=x2+ax+3-a，若x∈[-2,2],f(x)≤0恒成立，求a的取值范围. ２．对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 (1)当|x|≤2，上式恒成立，求实数m的取值范围； (2)当|m|≤2，上式恒成立，求实数x的取值范围. ３。若不等式ax2-2x+2>0对x∈(1,4)恒成立，求实数a的取值范围。 二、存在性问题 存在x∈D,使得函数f(x)>a?f(x)>a max 存在x∈D,使得函数f(x)≤a?f(x)≤a min 例6：：已知函数f(x)=x2-ax+a,若存在x∈[-1,2]使得f(x)>0,试求实数a的取值范围。解：法一：f(1)=1>0，所以对a∈R,均存在x∈[-1,2]使得f(x)>0. 法二：原题同解于：当x∈[-1,2]时，f(x)＞０,即：f(-1)>0或f(2)>0 max 代入可得:1+2a>0或４－a>0得a>-0.5或a<4∴a∈R 练习：1。已知f(x)=2x2-2ax+3，若存在x∈(1,2],使得f(x)<0成立，求a的取值范围. 2.存在x∈R，使得不等式x2-2x>a成立,则a的取值范围是. 三、有解问题 不等式f(x)>a,x∈D有解（解集非空）?f(x)>a max 不等式f(x) min 方程f(x)=a,x∈D有解（解集非空）?a∈{f(x)|x∈D}即x∈D时f(x)的值域。例7：方程x2-２x+２－a＝０在区间（０，３）内有解，则实数a的取值范围是。 解：原题同解于：a＝x2-２x+２，x∈（０，３）的值域。 a＝（x－１）2+１∴a∈[f(1)，f(3)）即a∈[１，５） 练习：1。x2-2x≤a解集不空,则a的取值范围是. 2.不等式x2-2x≤a解集为空集,则a的取值范围是. “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 专题 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4 1 [∈x 恒成立，求实数b 的取值范围． 3、已知两函数2 )(x x f =，m x g x -?? ? ??=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实 数m 的取值范围为 高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，对任意的，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则 ; 设函数,，存在，存在，使得，则; 5.若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数（或）在R 上恒成立，则有（或）; ②.若二次函数（或）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???0< 恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(-- 一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－4 恒成立与存在性问题 基本方法： 恒成立问题： 1. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≥恒成立等价于min ()f x k ≥. 2. 对于(),x a b ?∈，()f x k ≤恒成立等价于max ()f x k ≤. 3. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥等价于min max ()()f x g x ≥. 4. 对于[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≤等价于max min ()()f x g x ≤. 5. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≥. 6. 对于[],x a b ?∈，()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≤. 7. ()f x 在区间[],a b 上单调递增，等价于[]min ()0,,f x x a b '≥∈. 8. ()f x 在区间[],a b 上单调递减，等价于[]max ()0,,f x x a b '≤∈. 存在性问题： 1. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≥成立，等价于max ()f x k ≥. 2. ()0,x a b ?∈，使得()f x k ≤成立，等价于min ()f x k ≤. 3. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≥成立，等价于max min ()()f x g x ≥. 4. []12,,x x a b ?∈，使得12()()f x g x ≤，等价于min max ()()f x g x ≤. 5. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≥，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最大值max ()0h x ≥. 6. [],x a b ?∈，使得()()f x g x ≤，等价于构造函数()()()h x f x g x =-，()h x 在区间[],a b 上的最小值min ()0h x ≤. 参变分离： 解决有关参数的恒成立问题或存在性问题时经常会用到参变分离的方法：就是在 } 11 |{1)5(1)4(} 1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>??? ≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若, D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤。 6、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在 []b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ?N 。 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 8、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数 ()y g x =图象下方； 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 【分析：】 1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决． 2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可． 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(2 3++=x x x x ?求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，3 2)1()(min = =??x ，所以a 的取值范围是32 0< 高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 存在性与恒成立问题 1.已知函数f(x)=? ??ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0) 专题一：恒成立与存在性（精简型） 一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-----在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a ”与变量“x ”左右分离开------ 模型------ αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>?∈ 三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二 间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可 例5已知322)(2 +-=ax x x f ，若存在(],2,1∈x 使得()0f 一题多解专题一：一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的两种解法 (1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题. (2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解. 例1. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足1 复合函数的单调性与不等式恒成立问题 班级 学号 姓名 1、对于（0，3）上的一切实数x ,不等式()122-<-x m x 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 2、不等式a 220x ax ++≥对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为 ． 3、不等式022 ≥-+ax ax 的解集为φ，则a 的取值范围为 ． 4、当[]1,3x ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则a 的范围为 ． 5、当[]1,3a ∈时，不等式220x ax ++>恒成立，则x 的范围为 ． 6、已知函数36,2(),63,2x x y f x x x +≥-?==?--<-? 若不等式()2f x x m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是 . 6．若二次函数()()22 42221f x x p x p p =----+在区间[－1，1]内至少存在一实数c ，使f(c)＞0，则实数p 的取值范围 （ ） A ．121<<-p B ．233<<-p C ．3-≤p D ．2 13-<<-p 8．若满足不等式08603422<+-<+-x x x x 和同时成立的x 的值，使关于x 的不等式0 922<+-a x x 也成立，则 （ ） A ．9>a B ．9=a C ．90≤+p x px x 恒成立的x 的取值范围是 ． 7、已知a ax x x f -++=3)(2 ，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 例1.若函数bx x a x f 1)1()(2++=，且3)1(=f ，2 9)2(=f ⑴求b a ,的值，写出)(x f 的表达式 ； ⑵判断)(x f 在),1[+∞上的增减性，并加以证明。 例4.已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 恒成立和存在性问题 函数中经常出现恒成立和存在性问题，它能够很好地考察函数、不等式等知识以及转化与化归等数学思想，因此备受命题者青睐，在高考中频频出现，也是高考中的一个难点问题． 例1已知函数f (x )＝ax 2－ln x (a 为常数)． (1) 当a ＝12 时，求f (x )的单调减区间； (2) 若a <0，且对任意的x ∈[1，e]，f (x )≥(a －2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． 例2已知函数f (x )＝mx －a ln x －m ，g (x )＝e x e x ，其中m ，a 均为实数． (1) 求g (x )的极值； (2) 设m ＝1，a <0，若对任意的x 1，x 2∈[3,4](x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)| 思维变式题组训练 1. 已知函数(x ＋1)ln x －ax ＋a ≥0在x ∈[1，＋∞)恒成立，求a 的取值范围． 2. 已知e 为自然对数的底数，函数f (x )＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32 ax 上方，求实数a 的取值范围． 3. 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2 ＋1. (1) 试讨论函数f (x )的单调性； (2) 设a <－1，如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|，求实数a 的取值范围． 强化训练 一、 填空题 1. 若当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 基础梳理 1?一元二次不等式的解法 ⑴将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+ bx+ c> 0(a> 0)或ax2 + bx+ c v 0(a> 0). ⑵求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 肋摩擞烁----- 一个技巧 一元二.次.不.等式…ax2+一bx+ c v 0(a壬.0)的解集.的确定愛…一 a.的符号.、…b2—4ac .的符号的影响，且与 相应的.二.次函数……一.元二次方程有密切联系,….可结合相应旳函数.…y亍.ax2.+. .bx+. c(a. 0).的图象， 数形结合求得不等式的解集，…若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为... ax2+ bx+ c > 0(或v .0).(其中..a> .0)的形式，其对应的方程…a^+bx+c三0 一有.两个丕等实根…x i,.x2,(x i v x2)(此 时.b2—4ac> 0).,则可根据.“大于取两边，小于夹中间”求解集. ..... 两个防范 ⑴二.次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零一. 的情况.；.. (2)解含参数的一元二次不等式.，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论;.若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论,.分类要不重不漏:……… 二次不等式恒成立问题 不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b = 0, c>0;当 a> 0, r a^ 0时，不等式ax2+ bx+ c v 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0时，b △v 0； a v 0, =0, c v 0；当a^0 时， △V 0. 、恒成立问题的基本类型: 类型1 :设f (x) 2 ax bx c(a 0)，(1) f (x) 0在x R上恒成立 a 0且0 ； (2) f(x) 0在x R上恒成立 a 0且0。 类型 设f(x) 2 ax bx c(a 0) 2 : (1) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 b b b 2a 或2a 或2a f( ) 0 0 f() 0 f() 0 f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0 f() 0 (2) 当a 0时，f(x) 0在x [ ,］上恒成立 f() 0 《不等式恒成立问题》 一、 教学目标： （1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划 求最值。 （2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想， 提升解决问题的能力。 （3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地 参加高考。 二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。 三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数 与方程思想的应用。 四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解 法，然后再练习习题。 五、 教具准备：多媒体课件 六、 教学过程： 高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。 ① 2 11.12 52x ax x a ∈++≥0对于一切(0,]例若不等式成立，则的最小值为 （ ）A.0 B.-2 C.- D.-3x 21ax x -≥法一:不等式可化为-， ().11 2x x a x -+∴∈≥(0,]，由()112x x + 在(0,]上是减函数,max ()152x x --∴=-2 ()1,.2 a f x x ax x =++=- 法二：令对称轴为02(0)0 a f ?-????≤≥0a ?≥x 5a 2 ∴≥- 1 ② ③ 小结：法一利用参变量分离法，化成a >f (x)(a 恒成立与存在性问题的基本解题策略
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