二阶导数的意义
二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（如物理上的加速度等）
（2）函数的凹凸性。
（3）判断极大值极小值。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。
驻点和拐点的区别
在驻点处的单调性可能改变，而在拐点处凹凸性肯定改变。 拐点：二阶导数为零。（且三阶导不为零）
驻点：一阶导数为零。
二阶导数为零时，一阶不一定为零；一阶导数为零时，二阶不一定为零。 （拐点不一定是驻点） （驻点也不一定是拐点）
一、用二阶导数判断极大值或极小值定理
设)(x f 在0x 二阶可导，且0)(,0)(00≠''='x f x f ．
(1) 若
0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值； (2) 若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值．
例 试问a 为何值时，函数
x x a x f 3sin 31sin )(+=在3
π=x 处取得极
值？它是极大值还是极小值？求此极值．
解
x x a x f 3cos cos )(+='． 由假设知0)3(='π
f ，从而有012=-a ，即2=a ． 又当2=a 时，x x x f 3sin 3sin 2)(--=''，且
03)3(<-=''πf ，所以x x x f 3sin 31sin 2)(+=在3
π=x 处取得极大值，且极大值3)3(=π
f ． 例 求函数
593)(23+--=x x x x f 的极大值与极小值． 解 )(x f 在]4,2[-上连续，可导．令
0)3)(1(3963)(2=-+=--='x x x x x f ，
得 1-=x 和3=x ，
思考： )(x f 在1-=x 取得极大还是极小值？在3=x 取得极大还是极小值？ '()66f x x '=-
-1代入二阶导数表达式为-12，)(x f 在1-=x 取得极大值
3代入二阶导数表达式12，在3=x 取得极小值
二、函数图像凹凸定理
若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则
曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凹曲线的充要条件是0)(≥''x f ，),(b a x ∈．
曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凸曲线的充要条件是0)(≤''x f ，),(b a x ∈。
几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I 上有''()0f x >恒成立，那么在区间I 上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。
１. 曲线的凸性
对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸， 图 1—1 图 1—2
定义 设)(x f y =在),(b a 内可导，若曲线)(x f y =位于其每点处切线的上方，则称它为在),(b a 内下凸(或上凹)；若曲线)(x f y =位于其每点处切线的下方，则称它在),(b a 内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(x f y =分别为),(b a 内的下凸函数和上凸函数(通常把上凸函数称为凸函数)．
根据函数图象判断：一般开口向下的二次函数是凸函数，开口向上的二次函数是凹函数。
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如y=-x^2,y=lnx 。
不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。Convex Function 在国内的数学书中指凹函数。Concave Function 指凸函数。在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致的，也就是和单纯的数学教材是反的。很头大的问题。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1．f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V 型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸，有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A 型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹，有的简称凸）
凸/凹向原点这种说法一目了然。上下凸的说法也没有歧义。
通常我们把函数f 的图象画在第1象限，站在x 坐标轴的角度,看上方的图象，f">0的函数是“凸”的；一代宗师Hardy 的Inequalities 书中就这么认为的。但是，当大官是往往站在高处,看下去就是凹的；国人文字“凹”也对应f">0的函数图象。我想：中国教育部的官员若下规定的话，必定与Hardy 相反。
从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率)(tan x f '=α(其中α为切线的倾角)随着x 的增大而增大，即)(x f '为单增函数；上凸曲线斜率)(x f '随着x 的增大而减小，也就是说，)(x f '为单减函数．但)(x f '的单调性可由二阶导数)(x f ''来判定，因此有下述定理．
定理 若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则曲线)(x f y =在),(b a 内下凸(凹函数)的充要条件是 0)(≥''x f
),(b a x ∈．
例1 讨论高斯曲线2x e y -=的凸性．
解 22x xe y --='，2)12(22x e x y --=''．所以
当0122>-x ，即当21>
x 或21-
<<-
x 时0<''y ． 因此在区间)21
,(-
-∞与),21(+∞内曲线下凸；在区间)21,21(-内曲线上凸．
有理数的意义 【学习目标】 1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 【要点梳理】 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．知识点
典型例题 类型一、正数与负数 例1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（） A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【答案】C 【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元． 故选：C． 【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 举一反三： 【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 【答案】D． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 【变式2】 （1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ 【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m 【答案】B 例2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1）这8名男生有百分之几达到标准？ （2）他们共做了多少引体向上？
当遇到好朋友时，外国人会热情的拥抱，我们中国人一般会怎么做呢？（握手）。现在谁愿意来前面和老师握握手，他就会成为老师最好的朋友。（师生共同表演握手的动作。）握手是几个人的事情呢？（两个人）。我们之间互相成为了朋友。谁能告诉大家，你是怎样理解“互相成为了朋友”这句话的？“互相成了朋友”就是说我们是老师的朋友，老师也是我们的朋友。 2，步骤名称：游戏激趣，突破重点教学时长：3分钟 老师有个坏毛病，好忘事。今天这么多老师来听看大家的表演，很辛苦，你们应不应该和他们打个招呼？（应该）。那现在听我口令，全体起立，向后转。现在和老师们打个招呼吧。停停停，现在黑板在哪？（在后面）。 在身后，你们现在看不到黑板，反了是吧。那赶紧反转过来坐下吧。刚才，老师和你们开了个小小的玩笑。其实在我们的生活中，如你们刚才位置反了的例子一样有很多，你比如我们学习的语文汉字（出示课件，猜字谜）（吴→吞，杏→呆）。在我们的数学中也有这样的数，请你们举出几组来。(通过做游戏，使学生初步感知“倒”的含义。) 3，步骤名称：揭示课题，探究新知教学时长：5分钟 （一）、倒数的意义 （1）、初步探究 板书：倒数的认识（出示课件）
教师提问：你们发现了什么？（乘积都是1）教师继续提问：谁能说说什么叫倒数？（乘积是1的两个数互为倒数）。找一找关键词，说说你对这句话的理解。（乘积是1.、两个数、互为倒数）。我们举个例子说说。比如3/8和8/3的乘积是1 ，我们就说因为3/8和8/3互为倒数。所以3/8的倒数是8/3；也可以说8/3的倒数是3/8。（示范说） （2）、深入剖析 教师提问：为什么乘积是1的两个数不直接说是倒数，而要说“互为”倒数呢？“互为”是什么意思呢？你是怎样理解这两个字？（“互为”是指两个数的关系、“互为”说明这两个数的关系是相互依存的）。 同学们说得很好。正如老师和那位同学握手一样，倒数是表示两个数之间的关系，它们是相互依存的，所以必须说清一个数是另一个数的倒数，而不能孤立地说某一个数是倒数。 （小结：刚才我们认识了倒数的意义，知道乘积是1的两个数互为倒数，而且倒数不能单独存在，是相互依存的。） （二）、倒数的求法 （1）、求分数的倒数 （出示课件例1）下面哪两个数互为倒数？请同位的同学之间在一起交流一下，把它们找出来。（学生合作交流，认真寻找。）你是怎样找出来的？（学生回答。） （2）、求整数的倒数 整数6的倒数怎么求？把6看成是分母是1的分数，再把分子分母调换位置。 （3）、交流一下1和0这两个特殊的数。 教师提问1 的倒数是几呢？0的倒数呢？（学生很快就说出来了，并说明了理由）（因为0和任何数相乘都得0，不可能得1。分子是0的分数，实际上就等于0，0可以看成是0/2、0/3……把这些分数的分子分母调换位置后分母就为0了，而分母不可以为0）。 我们求了这么多数的倒数，谁来总结一下求一个数的倒数的方法。 （求一个数的倒数，只要把分子分母调换位置、如果是求一个整数的倒数，可以把这个整数看成是分母是1的分数，然后再调换分子分母的位置）。 （4）、延伸：求带分数、小数的倒数。（课件展示） 4，步骤名称：归纳特征教学时长：5分钟 倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，而且倒数不能单独存在，是相互依存的。 求一个数的倒数的方法：只要把分子分母调换位置、如果是求一个整数的倒数，可以把这个整数看成是分母是1的分数，然后再调换分子分母的位置
导数概念及意义 1．已知函数()y f x =的图象在点()() 1,1f 处的切线方程210x y -+=，则()()121f f +'的值是（ ）． A. B. 1 C. D. 2 2．设函数在x ＝1处存在导数，则＝( ) A. B. 3f ′(1) C. ′(1) D. f ′(3) 3．设函数()2 f x x x =+，则=（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 4．设 是可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 0 5．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6．设函数()f x 可导，则 ） A. ()1f ' B. C. D. ()31f -' 7．函数()x f x xe =在点()() 0,0A f 处的切线斜率为（ ） A. 0 B. D. e 8在点()1,4P 处的切线与直线l 平行且距离为，则直线l 的方程为( ) A. 490x y -+= B. 490x y -+=或4250x y -+= C. 490x y ++=或4250x y +-= D. 以上均不对 9．设()1 f x x =，则()()lim f x f a x a x a -→-等于（ ） A. 1a - B. 2a C. 21a - D. 21a ()() 011lim 3x f x f x ?→+?-?
10．已知()y f x =的图象如图所示，则()'A f x 与()'B f x 的大小关系是( ) A. ()()''A B f x f x > B. ()()''A B f x f x = C. ()()''A B f x f x < D. ()'A f x 与()'B f x 大小不能确定 11．若曲线()y h x =在点()() ,P a h a 处的切线方程为210x y ++=，那么( ) A. ()'0h a = B. ()'0h a < C. ()'0h a > D. ()'h a 不确定 12( ) A. 30? B. 45? C. 135? D. 60? 13．如图，直线l 是曲线y =f (x )在x =4处的切线，则f ′(4)=( ) A. 1 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．已知函数()3 1f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()0,1处的切线与两坐标轴所围 成的三角形的面积为( ) A. B. C. D. 2 15．曲线 在点 处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 16．设曲线2 y x =在其上一点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________． 17．设函数()y f x =的0x x =处可导，则()0f x '等 于__________．
市第十二届小学青年教师汇报课单元备课参考模板 县区 学校: 实验小学 : 学科: 数学年级: 六年级 单元第十一册教材第三单元《分数除法》 主题研制加强方法指导，发展数学思维，提升数学素养 单元解读单元 教学 容及 分析 一、单元教学容 倒数的认识、分数除法的意义与计算以及解决相关的实际问题。 二、单元教学容的地位 本单元是在学生已经掌握了分数乘法的意义、分数乘法计算及其应用以及整数除法的意义、解方程等知识的基础上学习分数除法。通过本单元的学习，学生一方面完成了分数加、减、乘、除的学习任务，比较系统地掌握了分数的四则计算，掌握了解决相关实际问题的方法；另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解，体会知识的在联系，为解决有关分数的实际问题提供更多的支持；同时也为后面学习比和比例、百分数等知识打下坚实的基础。 三、单元教学容编排体系和在联系 本单元由两个小节组成，具体编排结构如下： 从上面的图示，不难看出教材容之间的在联系。 第一小节教学倒数的认识，为后面学习分数除法扫清障碍。由于分数除法的基本方法为“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，因此认识倒数的概念以及熟练地求出一个非0数的倒数，是学习分数除法的重要基础。 第二小节结合除法的运算意义探究并掌握分数除法的计算方法，然后学习分
一、创设情境，引发探究课本第28页 相关容 1.师：同学们 现在已经六年 级了，我们的 童年生活即将 结束，在这段 时间家不仅学 到了知识还收 获了友谊，谁 能用“xxx是我 最好的朋友” 把自己最好的 朋友介绍给大 家。 2.是的，同学 们都有自己的 好朋友，豆豆 和丁丁也是一 对好朋友，我 们一起来看 看。 3.能不能单独 说豆豆是朋友 或丁丁是朋友 呢？为什么？ 1.类似这样的 互为关系，生 生介绍好朋 友。 设计意图： 创设找朋 友的教学 情境，既能 激发学生 的学习兴 趣，同时也 为理解倒 数概念当 中的“互
1.1.3导数的几何意义 教材分析 本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配 本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标 重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法.难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解. 能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答. 自主探究点：“以直代曲”的数学思想方法. 考试点：求曲线的切线方程. 易错易混点：在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 拓展点：求曲线的切线方程. 教具准备：多媒体课件. 课堂模式：基于问题驱动的探究式教学模式. 一.创设情境 师：初中平面几何中圆的切线是怎么定义的？ 生：直线和圆有唯一公共点时，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点． 师：曲线在点处的切线能用直线与切线的公共点个数来定义吗？你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？
6.１．２导数及其几何意义 学 习目标核心素养 １．理解瞬时变化率、导数的概念．（重点、难点）２．理解导数的几何意义．（重点、难点） ３．会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．（易混点）１．借助瞬时变化率的学习，培养数学抽象的素养． ２．通过导数的几何意义，提升直观想象的素养. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为y＝f（x）＝x２—7x＋１５（0≤x≤8）．你能计算出第２h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义吗？ １．瞬时变化率与导数 （１）瞬时变化率： 一般地，设函数y＝f（x）在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率错误!＝错误!无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率．简记为：当Δx→0时，错误!→k或错误!错误!＝k. （２）导数 １f（x）在x0处的导数记作f′（x0）； ２f′（x0）＝错误!错误!. 拓展：导数定义的理解 （１）函数应在x0处的附近有定义，否则导数不存在． （２）在极限式中，Δx趋近于0且Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正、可负，但不能为0．当Δx>0（或Δx<0）时，Δx→0表示x0＋Δx从右边（或从左边）趋近于x0. （３）函数在一点处的导数就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是个常数，不是变量．
２．导数的几何意义 （１）割线的斜率 已知y＝f（x）图像上两点A（x0，f（x0）），B（x0＋Δx，f（x0＋Δx）），过A，B两点割线的斜率是错误!＝错误!，即曲线割线的斜率就是函数的平均变化率． （２）导数的几何意义 曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数f′（x0）的几何意义为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率． （３）曲线的切线方程 曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程是y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）． １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）函数y＝f（x）在某点处的导数是一个变量．（） （２）瞬时变化率是刻画某函数在区间[x１，x２]上函数值变化快慢的物理量． （）（３）直线与曲线相切，则直线与已知曲线有且只有一个公共点．（） （４）若函数y＝f（x）在某点处可导，则在该点处一定有切线，反之也成立． （）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）× ２．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（） Ａ．圆Ｂ．抛物线 Ｃ．椭圆Ｄ．直线 D[结合导数的几何意义可知，该函数的图像是平行或重合于x轴的直线，故选Ｄ．] ３．已知曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为２x—y＋２＝0，则f′（１）＝________. ２[由导数的几何意义可知f′（１）＝２．] ４．质点M的运动规律为S＝４t２，则质点M在t＝１时的瞬时速度为________． 8 [ΔS＝S（１＋Δt）—S（１）＝４（１＋Δt）２—４＝４（Δt）２＋8（Δt），
第五章《有理数》§5.1 有理数的意义 一、教学目标双向细目表 教学重点：理解正数、负数与有理数的意义；会用正数、负数表示具有相反意义的量。 教学难点：零的意义的理解，及对于整数、正（负）数、有理数之间的相互关系。 二、教学过程 1、课前练习： （1）请说一说：5oC —2oC 表示什么意 义？ （2）说一说“48米，-10米”表示什 么意思？ 请列举生活中用“-2。-10”这样的数表示的实例
你知道“0”的含义吗？ 通过本节课的学习后，我们再来回顾这个问题。 新课探索一 猿人打猎,由记数,排序,产生数1,2,3,… 由表示“没有”、“空位”产生0. 由分物、测量,产生分数 数的概念是随着生产和生活的需要而不断发展的. 新课探索二(1) 思考：若到银行里去存款5000元或提款4000元,分别记作5000元或4000元,那么你能分得清哪个是存款,哪个是提款吗? 新课探索二(2) 在一条东西向的马路上有一棵小树, 假如把树的位置当做0, 我们规定树的 东边的位置是正,那么树的西边的位置 便是负. 小明和小强从小树出发,小明向东走2千米,小强向西走1 千米,则分别记作+2千米,-1 千米.
新课探索三(1) “存款”与“提款”,“向东”与“向西”,它们都是具有相反意义的量.在现实生活中,这种类似的例子很多.请列举一些这样的生活实例. 用正数和负数可以表示具有相反意义的量. 新课探索三(2) 1.如果把收入50元记作50元(或+50元),那么下列各数分别表示什么意义? (1)20元;(2)-2.5元;(3)-80元;(4)0元. 2.如果6摄氏度记作6℃,那么零下4摄氏度应记作__℃. 3.若增长 1.3%记作+1.3%,那么减少 6.4%应记作____;-3.5%表示_______ 新课探索四(1) 像+5000,+2,+50,+1.3%等数叫做________(positive number);像-4000,-1 ,-2.5,-6.4%等数叫做_______(negative number).正数前面的“+”号可省略不写,但负数前面的“-”号千万别遗漏. 零既不是正数也不是负数. 现在你能讲讲”0”的含义了吗? 新课探索四(2) 零是______与_______的分界; 0℃是一个确定的温度;海拔0表示海平面的平均高度(因此“0”的意义还不仅是表示“没有”).
倒数的认识 1、理解倒数的意义，掌握求一个数倒数的方法，能熟练地写出一个数的倒数。 2、引导同学自主合作交流学习，结合教学实际培养同学的笼统概括能力，激发同学学习的兴趣。 教学重点：理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。 教学难点：熟练写出一个数的倒数。 教具准备：多媒体课件。 教学过程： 一、前置性作业汇报。 1：计算 2：观察上面这组题目的算式和结果，我发现了： 1）： 2）： 3）： 其他 在数学知识里，同时具备这几个条件的，叫做什么呢？让我们在数学书中找到答案把，现在请开书28页（自学）通过自学28页，我认识了并知道 （概念）我还想通过数学课知道以下知识
【设计意图：通过口算，观察，考虑，激发了同学的学习兴趣和强烈的探究欲望，使同学获得积极的情感经验。】 二、合作探索。 1、小组合作交流： （1）探讨倒数的意义 出示：乘积是1的两个数互为倒数。概念中的关键词：“乘积”、“互为”。如何理解，举例说明 【设计意图：关于倒数，局部同学已经有一定的知识准备，教学时采用小组合作交流、阅读课本的方法，让同学自主的体验学习知识的过程与获取知识的方法，提高同学的自主学习能力，同时，在合作交流的过程中，培养同学的独立考虑和合作探究意识。】 2、强化概念理解。 你认为下面这两种说法是否正确? （1）2/3 是倒数。 （2）得数是1的两个数互为倒数。 同学先独立考虑，再口答，说明理由。 【设计意图：一些同学通过自身的阅读和交流获得的知识往往是比较肤浅的，为让同学深刻的理解，需要教师的点拨，这样较好的完善同学认识，更利于同学掌握所学的知识。】 3、求一个数的倒数。 教师：假如我现在说出一个数，你能不能写出它的倒数。如何求？出示：
一、正负数与有理数的分类 1）有理数：整数与分数统称有理数 2）有理数的分类 注： ①小学学过的π不是有理数． ②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数．（不要丢掉“0”）. ③“0”既不是正数也不是负数． ④对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，3+里的“+”可以省略.字母可以代表任何数，却不含正负号. 二、数轴、相反数、倒数 1）数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线. ①数轴是条直线，可以向两方无限延伸. ②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可. a.单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量 单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实 际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. b.学会正确的画数轴，常见的错误：没有方向，没有原点，单位长度不统一等. ③有理数与数轴的关系： a.一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. b.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. c.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. d.注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.
2）相反数是成对出现的，不能单独存在.相反数和为零. ① 3的相反数是3-，0的相反数还是0. ② 字母也可以表示相反数，若0a b +=，则a 与b 互为相反数，反之也成立. ③一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，既“奇负偶正”. 3）① 倒数：若1ab =，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则1ab =. 注：a.0没有倒数；b.求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数． ② 负倒数：若a 与b 的乘积是1-，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则 1.ab =- 三、有理数的大小比较 1）数轴法：利用数轴比较有理数的大小，数轴右侧的数永远大于它左侧的数. 2）正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小. 四、绝对值的意义及其化简 1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . ①a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． ② a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离. 2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. 3）绝对值的性质：①() ()() 0000a a a a a a >??==??-??=?-≤?? 4）绝对值其他的重要性质： ① 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- 若a b =，则a b =或a b =-. ②(), 0a a a b a b b b b ?=?=≠.
第1课时 导数的概念与几何意义 1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数. 2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题. 3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法. 4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法. 如图,当点P n (x n ,f (x n ))(n=1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近点P (x 0,f (x 0))时,割线PP n 的变化趋势是什么? 问题1:根据创设的情境,割线PP n 的变化趋势是 . 问题2:导数的概念与求法: 我们将函数f (x )在x=x 0处的瞬时变化率称为f (x )在x=x 0处的导数, lim Δx→0 f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx 即有f'(x 0)==,所以求导数的步骤为:lim Δx→0Δy Δx lim Δx→0f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (1)求函数的增量:Δy=f (x 0+Δx )-f (x 0); (2)算比值:=; Δy Δx f (x 0+Δx )?f (x 0)Δx (3)求极限:y'=. | x =x 0lim Δx→0Δy Δx 问题3:函数y=f (x )在x=x 0处的导数,就是曲线y=f (x )在x=x 0处的切线的斜率k=f'(x 0)= 相应的切线方程是: . 问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直
线是曲线的切线吗? 它反映的是函数的 情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想. 不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点 . 1.下列说法正确的是( ). A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线 D.若y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在 2.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么( ). A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0 C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在 3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标 为 . 4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0). 三，课后反思：
高中数学 导数及其应用复习学案 类型一：利用导数研究函数的图像 例2、若函数()y f x =的导函数．．． 在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 练习1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ） B ． C ． 类型二：导数几何意义的应用 例3、（1）求曲线21x y x = -在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62?? ??? 的切线方程 y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y
32151,09425217257.1..76444644y x y ax x a B C D ==+ ----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或 7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________． 类型三：利用导数研究函数的单调性 例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； 例5、已知函数f(x)= ax 1x 2 ++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围. 练习：若函数y =3 1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围 类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x = 例、求函数的极值。 ()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。 练习1、已知f(x)=x 3+ax 2 +(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) （A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6 （C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6 2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。 类型五：导数与最值 例8、已知函数f(x)=(x-k)e x . (1)求f(x)的单调区间；
初一数学暑假班（教师版）教师日期 学生 课程编号课型新课课题有理数的意义数轴绝对值 教学目标 1、会用正数和负数表示具有相反意义的量； 2、知道有理数的意义，会对有理数进行分类； 3、会利用数轴说明一个数的绝对值和相反数的几何意义。 教学重点 1、会用正数和负数表示具有相反意义的量； 2、知道有理数的意义，会对有理数进行分类； 3、掌握有理数的相反数和绝对值的定义，会求任意有理数的相反数和绝对值。 教学安排 版块时长1知识梳理20 2例题解析60 3师生总结10 4当堂检测30 5课后练习30 ……
有理数的意义数轴绝对值知识梳理 知识点一、正数和负数可以表示具有相反意义的量 具有相反意义的量包含两个要素：一是意义相反；二是它们都是数量，而且是同类的量。知识点二、有理数的分类 正整数正整数整数零正有理数正分数有理数负整数或有理数零 正分数负有理数负整数分数负分数负分数 知识点三、数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2、性质：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。 知识点四、相反数 1、相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 2、零的相反数是零 知识点五、绝对值 1、绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
2、一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 【例1】在正数前面加上“–”号的数叫数。即不是正数，也不是负数。0和正数又可以称为非负数。为了强调符号，可以在正数前面加上“＋”号。 （1）某校举行“生活中的科学”知识竞赛，若将加200分记为＋200分，则扣200分记为 -200 分 （2）记运入仓库的大米吨数为正，则-3.5吨表示运出仓库的大米3.5吨 （3）如果+3表示转盘沿逆时针方向转3圈，那么-6表示转盘沿顺时针方向转6圈（4）规定海平面以上的高度为正，则海鸥在海面以上25米处，可以记为 +25 米，鱼在海面以下3米处，可以记为 -3 米，海面的高度可记为 0 米。 【例2】判断表中各数分别属于哪一类，在相应的空格内打“?” 整数正整数自然数负整数分数正分数负分数 25 ??? 0 ? 2001 ??? -7 ?? 5 12 ?? -61.3 ?? 5 9?? 例题解析
2、导数的物理意义 考试总分： 100 分考试时间： 30 分钟 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（共 7 小题，每小题 10 分，共 70 分） 1.若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（） A.2米/秒 B.3米/秒 C.4米/秒 D.5米/秒 2.已知半径是r的球的体积公式为V=4π 3 r3，则当r=2时，球的体积V对于半径r的变化率 是（） A.4π B.8π C.16π D.32π 3.物体作直线运动的方程为s=s(t)，则s′(4)=10表示的意义是（） A.经过4s后物体向前走了10m B.物体在前4s内的平均速度为10m/s C.物体在第4s内向前走了10m D.物体在第4s时的瞬时速度为10m/s 4.某炼油厂将原油精练为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度（单 位：°C）为f(x)=1 3 x3?x2+8(0≤x≤5)，那么当x=1时原油温度的瞬时变化率的是（） A.8 B.20 3 C.?1 D.?8 5.一质点做直线运动，由始点起经过t?s后的距离为s=1 4 t4?4t3+16t2，则速度为零的时刻是（） A.4s末 B.8s末 C.0s与8s末 D.0s，4s，8s末 6.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为 y=f(t)=10t，则在时刻t=40min的降雨强度为（） A.20mm/min B.400mm/min C.1 2mm/min D.1 4 mm/min
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念A了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数）B 导数公式表C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念A了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
导数几何意义的应用 1．若函数f (x )＝－3x －1，则f ′(x )等于( )A．0B．－3x C．3D．－3 2．已知曲线y ＝－12 x 2－2上一点 P 处的切线的倾斜角为( )A．30° B．45°C．135°D．165°3．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是() A．(0,0) B．(2,4) 4．已知y ＝f (x )的图象如下图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A ) 8.若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（） A．1a =，1 b =B．1a =-，1b =C．1a =，1b =-D．1a =-，1 b =-9.曲线sin y x x =在点(,0)P π处的切线方程是（） A．2y x ππ=-+B．2y x ππ=+C．2 y x ππ=--D．2y x ππ=-10.若曲线上点P 处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P 的坐标是. 11.（广东高考理科）曲线y=e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为. 12.(全国Ⅰ卷）已知1)(3++=x ax x f 的图像在点） ，（)1(1f 处的切线过点（2，7），则a=. 13.(江西高考理科·T13)若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是. 14.曲线12+=-x e y 在点（0，2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形面积为 15.（广东高考理科·Ｔ10）若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k=. 16.（江西高考文科）若曲线y x 1α=+（α∈R ）在点（1，2）处的切 线经过坐标原点，则α= 17.曲线)1ln 3(+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为 .18.曲线x e y =在点（0，1）处的切线与曲线x y 1= （0>x ）上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为x x y ln ?= 《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观 《倒数》说课 一、说课内容：北师大版小学数学第10册第3单元第1课时《倒数》 二、教材分析、学情分析： 倒数的认识属于新课标教材中数与代数部分数的认识范畴，在此之前学生已经学习整数、小数、分数，会计算分数乘法，具有一定观察、分析和思考能力，本课的教学为进一步学习分数除法作准备。 三、教学目标： 1、知识与能力：理解倒数意义，会求一个数的倒数。 2、过程与方法：让学生主动通过参与观察、猜测、交流等活动，经历探索求倒数的方法的过程，培养学生发现问题、解决问题的意识和自主学习的能力。 3、情感态度价值观：向学生渗透现象与本质的辨证思想，激发学生积极参与、团结合作、主动探究的学习精神。 四、教学重难点： 1、教学重点：快速找到一个数的倒数教学重点。 2、教学难点：理解倒数的意义。 五、教法学法： 1、指导思想：本着用教材而不是教教材的指导思想，以内容定学法，以学法定教法，以教法导学法。 2、学法：指导学生会观察、会思考、会交流。 3．教法：发现式教学法、启发式教学法和小组讨论法相结合。 六、教学流程： 1、情境引入，激趣揭题 （1）、“学生做倒立”引入：“谁来说一说，这位同学的倒立的姿势和刚才正立时有什么不同？” 设计目的：学生很容易进入学习状态，同时也增加了课堂的趣味性，倒立在暗示本课的倒数的特征，为下一步教学埋下伏笔。 （2）、口算练习。根据学生回答，引出课题：《倒数》 2、自主探究，合作交流 （1）什么是倒数？a：分子分母倒过来的数是倒数。就像刚才做倒立一样。 b：只要乘起来得数是1，就叫倒数。 设计目的：根据学生产生不的同意见，让他们进行小组讨论，必要时适当引导，得出倒数的真实意义：乘积为1的两个数互为倒数。高中数学《导数的概念及几何意义》公开课优秀教学设计
《倒数》说课稿(三篇)
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