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二元一次不等式的解法与分式不等式的解法

二元一次不等式的解法与分式不等式的解法
二元一次不等式的解法与分式不等式的解法

二元一次不等式的解法与分式不等式的解法

一、基础知识考点

对于一元二次方程)0(02>=++a c bx ax ,设△=ac b 42-,他的解按 分为三种情况,相应地,抛物线)0(2>++=a c bx ax y 与x 轴的相对位置也分为三种情况,所以也就分这三种情况讨论对应的一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 与

)0(02

>>++a c bx ax

的解集。请完成下列表格:

注:当一元二次不等式02>++c bx ax 的二次项系数

二、基础练习

例1、解下列不等式

(1)022>--x x ; (2)0322>-+-x x ; (3)02322

>-+x x ; (4)1)2()3(-+≤-x x x x ; (5)4

12

-

>-x x

题型1.关于0))((>--b x a x 、0))((<--b x a x 且(b a >)型的不等式的解法: 解法一:利用一元二次不等式的解法: 解法二:转化为一元一次不等式组:

0))((>--b x a x ??

?? 或???

0))((<--b x a x ??

?? 或???

例2、解关于x 的不等式0)7)(3(<+-x x 的解集

题型2、

0>--b

x a x 、

0<--b

x a x 型不等式的解法

解法一:转化为一元一次不等式组:

0>--b x a

x ??

?? 或???

0<--b x a

x ??

?? 或?

??

解法二:转化为一元二次不等式:

0>--b

x a x ?0))((>--b x a x ;

0<--b

x a x ?0))((<--b x a x

例4、解下列关于x 的不等式 (1)

07

3<--x x ;

(2)07

3≤--x x ;

(3)37

3≤--x x ;

(4)137

3+≤--x x x

【思考题】研究一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 两根的分布; 对于一元二次方程根的分布问题可以结合相应二次函数的图像求解。

设实系数的二次方程02=++c bx ax (0>a )的两根分别为21,x x 函数

)0()(2

≠++=a c bx ax

x f

(1)方程有两个不等的正根

方法一:(利用根与系数的关系) ??

??

?

????

>=>-=+>-=?0

00

421212a

c

x x a b x x ac b 方法二:??

???

??>=>->-=?0ac )0(af 0a 2b

0ac 4b 2 (2)方程有两个不相等的负根 方法一:??

??

?

????

>=<-=+>-=?0

00

4212

12a

c

x x a b x x ac b 方法二:?????

??>=<->-=?0)0(02042ac af a

b

ac b

(3)方程有一正根,有一负根 方法一:021<=

a c x x

方法二:0)0(<=ac af

例11、(课本P47第6、7题)

(1)ax2+2x+1=0至少有一负实根的充要条件是

(2)3x2-10x+k=0有两个同号且不相等的实根的充要条件

三、提高练习题

1.已知全集U=R,且A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(?UA)∩B等于() A.[-1,4) B.(2,3)

C.(2,3] D.(-1,4)

解析:|x-1|>2?x>3或x<-1,

即A={x|x>3,或x<-1},x2-6x+8<0?2

即B={x|2

∴(?UA)∩B={x|2

答案:C

3.若x ∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1恒成立,则实数a的取值范围是__________.

4.已知不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|α

6.函数f(x)=x2+ax+3.

(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的范围;

(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的范围.

【分析】(1)f(x)≥a可化为x2+ax+3-a≥0恒成立,即解集为R,应满足开口向上,Δ≤0.

(2)结合二次函数的有关知识,找出函数f(x)在[-2,2]的最小值即可.

解:

高考数学 高次分式不等式解法

课 题:分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等 式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集,即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或? ??>+<-040 1x x ?x ∈φ或-40; 解:①检查各因式中x 的符号均正;②求得相应方程的根为:-2,1,3; ③列表如下: ④由上表可知,原不等式的解集为:{x|-23}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是:

①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式(各项x的符号化“+”),令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,n个分界点把数轴分成n+1部分……; ②按各根把实数分成的n+1部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式的符号,下面是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习:解不等式:x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-13}. {x|-10(<0)形式,并将各因式x的系数化“+”;(为了统一方便) ②求根,并在数轴上表示出来; ③由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么?); ④若不等式(x的系数化“+”后)是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“<0”, 则找“线”在x轴下方的区间. 注意:奇过偶不过 例3解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解:①检查各因式中x的符号均正; ②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根); ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始奇过偶不过),如下图: ④∴原不等式的解集为:{x|-1

分式不等式教案

2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、 教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容 .对一 个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法 这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握 二、 教学目标设计 1、 掌握简单的分式不等式的解法 ? 2、 体会化归、等价转换的数学思想方法 . 三、 教学重点及难点 重点简单的分式不等式的解法? 难点不等式的同解变形? 四、 教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶 梯上楼(楼 梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的 2倍,他俩 同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几 倍? 设楼梯的长度为S ,甲的速度为V ,自动扶梯的运行速度为 V 0. S ,乙上楼所需时间为 V V o 整理的丄 - V 2V 0 +V 由于此处速度为正值,因此上式可化为2V 0 V 2V ,即V ? 2V 0 .所以, 甲的速度应大于自动扶梯运行速度的 2倍. 2、分式不等式的解法 X +1 例1解不等式: ?2. 3x —2 于是甲上楼所需时间为 由题意,得 V o

』:0 3x -2 (X —1 >0 = (3x —2Xx —1)vO ,可以简化上述解法? 3x 一2 :: 0 a a 另解:(利用两数的商与积同号( O= ab ?0, O= ab :::0 )化 b b 为一元二次不等式) 2 ^2 = 3x -2 X -1 ::: 0 X <1 ,所以,原不等式的解集为',1 3 13 J 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法: (1) 不要轻易去分母,可以移项通分,使得不等号的右边为零 (2) 利用两数的商与积同号,化为一元二次不等式求解 一般地,分式不等式分为两类: f (X ) (1) 0( : : 0)二 f X g X 0 ( :: 0); g X f (x )" VC j f (χ)g (χp °(兰 °) (2) 0 (匕 0) ? g X g X =0 U 2= 1-2 0 = 3x —2 3x —2 3x -2 x-1 3x -2 : : 解:(化分式不等式为 次不等式组) 丄丄2 3x —2 3X —2 一2 2 3x -2 亠。 3x -2 X -1 :: 0 3x -2 0 或 x —1 0 3x-2 :: 0 X : 1 2 或 X - 3 X 1 2 X 一 3 Ig I 或X 不 存在? 所以,原不等式的解集为 31 -, 即解集为 2,i x-10

分式不等式的解法

一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法(关键是去掉绝对值) 利用绝对值的定义:(零点分段法) 利用绝对值的几何意义:||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法:c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 分解因式; 3) 标根(令每个因式为0,求出相应的根,并将此根标在数轴上。注意:能取 的根打实心点,不能去的打空心); 4) 穿线写解集(从右到左,从上到下依次穿线。注意:偶次重根不能穿过); 一元二次不等式解法步骤: 1) 化简(将不等式化为不等号右边为0,左边x 的最高次项系数为正); 2) 首先考虑分解因式;不易分解则判断?,当0?≥时解方程(利用求根公式) 3) 画图写解集(能取的根打实心点,不能去的打空心) 3 分式不等式的解法 1)标准化:移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <);()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式, 2)转化为整式不等式(组)()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?; 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -<

分式不等式放缩、裂项、证明

放缩法的常见技巧 (1)舍掉(或加进)一些项(2)在分式中放大或缩小分子或分母。(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。(4)应用函数的单调性进行放缩(5)根据题目条件进行放缩。(6)构造等比数列进行放缩。(7)构造裂项条件进行放缩。(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 (1)放缩的方向要一致。(2)放与缩要适度。 (3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积) 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|. 推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时, 等号成立. 常用放缩思想

这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了下面就是常用思路了,主要就是裂项部分

二项平方和 f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2 由f(x)≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范,典范中的典范,放缩、裂项、去等,步步精彩 解析: 步步经典,用笔化化就能明白思想,换元或许更直观,即令 t=1/(x+2) 第一步意义--开不了方的,开方,并且可取等号 第二步意义--开不了方的,开方,裂项,并且可取等号 个人认为这俩个放缩,很犀利,没见过,看似难实则简单, 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C,连接三点,令AB=c,AC=b,BC=a,求 解析: 构造,主要就是构造,b/c就是很明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。 构造★★★★

分式不等式的解法基础测试题回顾.doc

分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 2.解下列不等式 (1)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x +5(x -1)2≥2

(三)巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>-x x .D }31|{->x x (四)归纳总结 1.解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式或不等式组. 2.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解;若不等式含有等号时,分母不为零.即: (1)f (x )g (x )>0?()()0>?x g x f (f (x )g (x ) <0?()()0

1.不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x

一元二次不等式及分式不等式的解法

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表: 判别式 Δ=b 2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的图象 一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a >0)的根 有两相异实根 x 1,x 2(x 1<x 2) 有两相等实根 x 1=x 2=-b 2a 没有实数根 ax 2+bx +c >0 (a > 0)的解集 {x |x >x 2或x <x 1} ? ?? ???x |x ≠-b 2a R ax 2+bx +c <0 (a > 0)的解集 {x |x 1<x <x 2} ? ? 2.简单分式不等式的解法: 0)()(0) ()(>??>x g x f x g x f ; () 0()f x g x ≤?________________ 1.不等式x 2-3x +2<0的解集为( ). A .(-∞,-2)∪(-1,+∞) B .(-2,-1) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .(1,2) 2.不等式2x 2-x -1>0的解集是( ). A.????-12,1 B .(1,+∞) C .(-∞,1)∪(2,+∞) D .????-∞,-12∪(1,+∞) 3.不等式9x 2+6x +1≤0的解集是( ). A.? ??? ??x |x ≠-13 B.? ??? ??-13 C.? ?? ? ??x |-13≤x ≤13 D .R 4.若不等式ax 2 +bx -2<0的解集为? ?? ???x |-2<x <14,则ab =( ). A .-28 B .-26 C .28 D .26 5.不等式ax 2+2ax +1≥0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为________. 例题选讲: 例2:求不等式12x 2-ax >a 2(a ∈R )的解集. 例3:已知不等式ax 2+4x +a >1-2x 2对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.

高中数学不等式的分类、解法(教资材料)

高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式,分式不等式,高次不等式,指数、对数不等式,三角不等式,含参不等式,函数不等式,绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; )()(0)(log )(log x g x f x g x f a a < 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式(有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)2 3440x x -++>解集为 (2 23x - << ) (一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式0)2(<-x f 的 解集为 ),2 1()23,(+∞--∞ 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得 32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 解法二:由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得 0)(+n mx 的解集为 (m, n )=(-4,-5),解集为)4 5 ,(--∞ 例2:不等式 22 32 x x x -++≥0的解集是_____. 答案:(-2,-1)∪[2,+∞) 法一:化为不等式组 法二:数轴标根法 法三:化为整式不等式(注意等价性) 变式2:不等式0332 3<+--x x x 的解集为 . 答案:)1,()3,1(--∞ 例3:解关于x 的不等式ax x ax -≥-222 分析:化为02)2(2 ≥--+x a ax ,考虑分类标准:①a 与0的关系② a 2 与-1的关系 变式3:①解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0 解:原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0 当a<0时,原不等式解集为),1()1 ,(+∞-∞ a 当a=0时,x-1>0, 原不等式解集为(1,+ ∞) 当0

专题二、分式不等式的解法

(一)分式不等式: 型如: 0)()(>x x f ?或0) () (??>x x f x x f ?? (3)0)()(0) ()(-+x x 方法一:等价转化为: 方法二:等价转化为: ???>->+02301x x 或? ??<-<+02301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一: 02 31 ≥-+x x 等价转化为:? ? ?≠-≥-+0230 )23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02 31≤-+x x 的解集。(不等式的变形,强调等价转化,分母不为零)

练一练:解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式: 23 2 ≥+-x x 解: 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即, 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x (保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正) 等价变形为:? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一:322 ++x x 恒大于0,利用不等式的基本性质 方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式:1≥x a 解:移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即,0≤-x a x 等价转化为,?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a 当a=0时,原不等式的解集为φ

分式不等式教案

2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现,所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上,甲乙两人为了赶乘地铁,分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼(楼梯和自动扶梯长度相同),如果甲的上楼速度是乙的2倍,他俩同时上楼,且甲比乙早到楼上,问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ,甲的速度为v ,自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ,乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意,得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值,因此上式可化为022v v v +<,即02v v >.所以,甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式: 1 232 x x +>-.

解:(化分式不等式为一元一次不等式组) 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>,00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --(0<)?()()0f x g x >(0<) ; (2) ()()0f x g x ≥(0≤)?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??.

不等式知识点及其解题技巧

不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质:(1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,则(若,则),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减;(2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若,则(若,则);(3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若,则或 (4)若,,则;若,,则。如(1)对于实数中,给出下列命题:①;②; ③;④;⑤; ⑥;⑦;⑧,则。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧);(2)已知,,则的取值范围是______(答:);(3)已知,且则的取值范围是______(答:) 2. 不等式大小比较的常用方法:(1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如(1)设,比较的大小(答:当时,(时取等号);当时,(时取等号));(2)设,,,试比较的大小(答:);(3)比较1+与的大小(答:当或时,1+>;当时,1+<;当时,1+=) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方针。如(1)下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是(答:C );(2)若,则的最小值是______(答:);(3)正数满足,则的最小值为______(答:); ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+

二次不等式、分式不等式的解法

二次不等式、分式不等式的解法(二) 示标——知识归纳 1、不等式的结构 ()???????????--????????????指数、对数不等式等 超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是: ???? ?????化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为???二次不等式一次不等式组 施标——应用举例 例1 解关于x 的不等式: (1)).(03222R a a ax x ∈>--(2)).0(0)1(22≠<++-a a x a ax 解(1).,30322122a x a x a ax x -===--有二根 当0=a 时,021==x x ,解集为);,0()0,(+∞-∞ 当0a 时,,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a (2)0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x = = 当0>a 时,原不等式化为,0)1)((<--a x a x 当1=a 时,解集为φ; 当10<a 时,解集为).,1(a a 当0--a x a x 当1-=a 时,解集为);,1()1,(+∞---∞ 当1-a 与0<--a a x a x , )0(0)1)((<>--a a x a x 。它们的解集迥然不同。

一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

课题: 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 目标: 1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法; 2.培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 3.激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同一事物思想。 重点:简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。 难点:正确串根。 过程: 一、复习引入 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2.一元二次不等式的解法步骤。 引言:今天我们来研究一元二次不等式的另外解法,以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。 二、新课 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一:利用前节的方法求解; 分析二:由乘法运算的符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必 须异号,∴原不等式的解集是下面两个不等式组:???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集 的并集,即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }=φ∪{x|-4-0401x x 或???>+<-0 40 1x x ?x ∈φ或-4

∴原不等式的解集是{x|-4++或的代数解法: 设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、,则00212>--?>++)x x )(x x (a c bx ax ; ①若?? ?>>???<->-???<-<->. x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得1x x <或2x x >;当21x x =时,得1x x ,R x ≠∈且. ②若???>-<-?? ?>-<-<. x x , x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时,得21x x x <<;当21x x =时,得?∈x . 分析三:由于不等式的解与相应方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解:①求根:令(x-1)(x+4)=0,解得x (从小到大排列)分别为-4,1,这两根将x 轴分为三部分:(-∞,-4)(-4,1)(1,+∞); ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 ③由上表可知,原不等式的解集是{x|-40; 解:①检查各因式中x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-2,1,3; ③列表如下:

分式不等式的解法

昌宁二中高二年级数学有效课堂教学学案 编写人:李永兴 授课时间:2014年10月14日(第九周) 课题:分式不等式的解法 一.学习目标: 1.会解简单的分式不等式。 二.学习过程 (一)基础自测 1.解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)-x 2+7x >6 (3)()()015<+-x x . (二)尝试学习 1.分式不等式的同解变形法则: (1)f (x ) g (x )>0?________;f (x ) g (x )<0?________。 (2)f (x )g (x )≤0?________;f (x ) g (x )≥0?________。 (3)f (x ) g (x )≥a ?________;f (x ) g (x )≤a ?________。 2.解下列不等式 (1)(2008年北京高考)121 >+-x x (2)2x +11-x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4)(2008年山东高考) x +5(x -1)2≥2

(三)巩固练习题 1.(2012重庆文)不等式 021<+-x x 的解集是 2.不等式01 312>+-x x 的解集是( ) .A }2131|{>-x x .D }3 1|{->x x 3. 已知集合M =??????x ??? x +3x -1<0,N ={x |x ≤-3},则集合{x |x ≥1}等于( ) A .M ∩N B .M ∪N C .?R (M ∩N ) D .?R (M ∪N ) (四)归纳总结 1.解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式不等式或不等式组. 2.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求解;若不等式含有等号时,分母不为零.即:(1)f (x )g (x )>0?()()0>?x g x f (f (x )g (x ) <0?()()0+-x x 的解集是 3.不等式1x x -≥2的解集为( ) .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1] (0,-∞-+∞ 4.解下列不等式 (1)2x +11-x <0 (2)x +12x -3 ≤1 四.作业 解不等式:(1) 0324≤+-x x (2)321≥-+x x 教学反思

如何解分式和绝对值不等式

(一)分式不等式: 型如:0)()(>x x f ?或0) ()(-+x x 方法一:等价转化为: 方法二:等价转化为: ???>->+02301x x 或???<-<+0 2301x x 0)23)(1(>-+x x 变式一: 0231≥-+x x 等价转化为:? ??≠-≥-+0230)23)(1(x x x 比较不等式0231<-+x x 及02 31≤-+x x 的解集。(不等式的变形,强调等价转化,分母不为零) (2)归纳分式不等式与整式不等式的等价转化: (1)0)()(0)()(>??>x x f x x f ?? (3)0)()(0) ()(

练一练:解关于x 的不等式 051) 1(>--x x 3532)2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式: 232≥+-x x 解:023 2≥-+-x x 03 )3(22≥++--x x x 即,03 8≥+--x x 03 8≤++x x (保证因式分解后,保证一次项前的系数都为正) 等价变形为:? ??≠+≤++030)3)(8(x x x ∴原不等式的解集为 [)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23282<+++x x x 方法一:322++x x 恒大于0,利用不等式的基本性质 方法二:移项、通分,利用两式同号、异号的充要条件,划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式: 1≥x a 解:移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即,0≤-x a x 等价转化为,???≠≤-0 0)(x a x x 当a>0时,原不等式的解集为],0(a 当a<0时,原不等式的解集为)0,[a 当a=0时,原不等式的解集为φ

分式不等式的解法

分式不等式的解法 一、新课: 例1、(1)()()303202 x x x x ->-->-与解集是否相同,为什么? (2) ()()303202x x x x -≥--≥-与解集是否相同,为什么? 解:方法1:利用符号法则转化为一元一次不等式组,进而进行比较。 方法2:在分母不为0的前提下,两边同乘以分母的平方。 通过例1,得出解分式不等式的基本思路:等价转化为整式不等式(组): (1)()() ()()00f x f x g x g x >??> (2)()()()()() 000f x g x f x g x g x ?≥??≥??≠?? 解题方法:数轴标根法。 解题步骤: (1)首项系数化为“正” (2)移项通分,不等号右侧化为“0” (3)因式分解,化为几个一次因式积的形式 (4)数轴标根。 例2、解不等式:22320712x x x x -+≤-+- 解略 点评:“≤或≥”标根时,分子实心,分母空心。 例3、解不等式:22911 721 x x x x -+≥-+

点评:1、不能随便去分母 2、移项通分,必须保证右侧为“0” 3、注意重根问题 例4、解不等式:22560(0)32x x x x +-≥≤-+ 点评:1、不能随便约去因式 2、重根空实心,以分母为准 例5、解不等式: 2121332 x x x x ++>-- 点评:不等式左右不能随便乘除因式。 例6、解不等式: 22331x x x ->++ 练习:解不等式:

1、 3 2 x x - ≥ - (首相系数化为正,空实心) 2、21 1 3 x x - > + (移项通分,右侧化为0) 3、 2 2 32 23 x x x x -+ ≤ -- (因式分解) 4、 221 2 x x x -- < - (求根公式法因式分解) 5、()() () 32 2 16 3 x x x x -++ ≤ + (恒正式,重根问题) 6、 () 2 3 9 x x x - ≤ - (不能随便约分) 7、 1 01 x x <-<(取交集) 例7、解不等式: ()1 1 2 a x x - > -

分式不等式的解法公开课教案

分式不等式的解法公开 课教案 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

分式不等式 数学科组权莘童 【教学课题】分式不等式 【授课时数】一课时 【教学设想】 《数学》作为高中的一门基础课,是为了专业技能学习和升学服务,有很强的工具功能.因此,在教学中,要保证“宽”,而不追求“深”、“厚”.要本着“以学生发展为本”的教学理念,注重学生的主动参与性,通过讨论探究,培养学生探究问题和解决问题的能力.本堂课的重点是让学生自行探究、归纳总结分式不等式的解法.在讲授新课前,创设情境,引出分式不等式的定义.在教学中,和学生一起讨论、探究分式不等式的解法,并解决情境问题.教材介绍了分式不等式的两种解法:(1)化为不等式组;(2)化为整式不等式.但是,由于学生的基础薄弱,学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不够自信,如果两种方法都讲授,学生容易混淆,比较难接受.因此,这节课我仅讲授了一种方法:通过化商为积,将分式不等式化为整式不等式(一般为一元二次不等式)来求解.因为学生在上一课时就已经学过一元二次不等式的解法,所以,学生对这种方法容量理解,达到事半功倍的效果.这节课的关键是要求学生掌握如何通过转化,将分式不等式化为整式不等式.通过学生讨论探究,让学生猜想和归纳出形如()()0?>f x x 、()()0?

【教材分析】 所用的教材《数学》(上海教育出版社),华东师范大学主持编写.本教材在总体上强调“打好基础,学会应用,激发兴趣,启迪思维”的教学理念.一元二次不等式的解法是《数学》(高中一年级第一学期)第二章第一节的内容,分式不等式的解法是《数学》(高中一年级第一学期)第二章第二节的内容,这两个内容在教材的编排上联贯,间隔时间短.本节课,通过对一元二次不等式解法的复习,使两个内容衔接起来. 【学生分析】 高一四班是美术班,学生的认知水平属中等.大部分的学生在学习上不是很自信,特别是数学这一门课.而选择美术的同学,部分对自己要求稍低,自觉性稍差,平时不乐于思考,自学和探究能力稍差,可能导致被动的学习习惯.如果仅是运用传统的教学方法,教学效果可能不理想.因此在教学中,本节课本着“以学生发展为本”的教学理念,逐步引导学生养成积极参与课堂教学的习惯,发挥学生学习的主体性,指导学生逐步学会科学的学习方法,树立自信心,培养学生的创造性思维和探索钻研精神,通过学生的主动探索过程使学生从知识的积累和能力的发展走向素质的提高. 【教学实施】

一元二次不等式和分式不等式的解法

一元二次不等式和分式不等式的解法 1.一元一次不等式 解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的基础,必须熟练掌握,灵活应用。 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0及a <0情况分 别解之,还要注意?=-b ac 24的三种情况,即?>0或?=0或?<0,最好联系二次有两相)(,x x x x <有两相等a b x x 221-==无实根 3.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,)()(x g x f ≥0????≠≥?0 )(0)()(x g x g x f 。

例1.不等式组???<-<-0 30122x x x 的解集是( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |0<x <3} C .{x |0<x <1} D .{x |-1<x <3} 答案:C 解析:原不等式等价于:?? ??<<<<-????<-<30110)3(12x x x x x 0<x <1。 点评:一元二次不等式的求解问题是高中数学的基础性知识,是解决其它问题的基础。 练习1. 解下列不等式 (1)02632>+-x x (2)023x 22>--x (3)0273x 2<+-x (4)0322>++-x x (5)0532>+-x x (6)2223x x ->-- 例2.不等式3 1--x x >0的解集为( ) A.{x |x <1} B.{x |x >3} C.{x |x <1或x >3} D.{x |1--03 1x x (x -1)(x -3)>0, ∴x <1或x >3. 故原不等式的解集为{x |x <1或x >3}。 点评:简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具,分式不等式的解题思路是:分式化整式(注意分母不为零)。 练习2.解下列不等式 (1)0)1)(4(<-+x x . (2)073<+-x x . (3)03 22322≤--+-x x x x (4)、253>+-x x

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