9.半群和群semigroup and group
§9.1 二元运算复习binary operation revisited A上二元运算
f：A×A→A
f处处有定义的函数。
Dom（f）＝A×A，
对任意a，b∈A，f(a，b)∈A，唯一确定。
二元运算常记做＋，－，×，*，?，等等
对任意a，b∈A，a?b∈A
说成A对?封闭。
A＝{a1,a2,……,a n}时，二元运算可以用运算表给出。
二元运算的性质
1可换commutative a*b=b*a
2 结合associative a*(b*c)=(a*b)*c
3 幂等idempotent a*a=a
§9.2 半群semigroup
半群定义：
(S,*) *是S上乘法，满足结合律。
半群的例
（Z，＋），（Z，×），
（N，×），（N，＋），
（Q，＋），（R，×），
（Z n，＋），（Zn，×）
（P(S),∪），（P(S), ∩），
（M n，＋），（Mn，×），
（F[x], +）, (F[x], ×)，
S上全体映射，对于复合，
（L，∧），（L，∨），L是格
（A*, ?）,
A* 是A中字符组成的字符串，
?是连接运算，
（A*,?）也叫作A生成的自由半群free semigroup。
由结合律
定理1. 半群中，n个元素的乘积与乘法的次序无关。
恒等元identity：e∈(S，*), 对任意a∈S，e*a=a*e＝a. 恒等元也叫单位元unit。
独异点monoid：有恒等元的半群叫独异点.
例
是（N，＋），（Z，＋），（Q，＋），（R，＋）的恒等元。
（Z＋，＋）中无恒等元，
是（N，×），（Z，×），（Q，×），（R，×）的恒等元。
（P(S),∪）的恒等元是，（P(S),∩）的恒等元是。
（M n，＋），（Mn，×），（F(x), +）, (F(x),×)的恒等元分别是。
S上全体映射，对于复合组成的半群的恒等元是。
自由半群（A*, ?）的恒等元是。
子半群subsemigroup 子独异点submonoid
设（S，*）是半群，T?S，T对*封闭，则（T，*）也是半群，称为（S，*）的子半群。
设（S，*）是独异点，T?S，T对*封闭，且e∈T，则（T，*）也是独异点，称为（S，*）的子独异点。
（N，＋），（Z，＋），（Q，＋），（R，＋）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。（N，×），（Z，×），（Q，×），（R，×）前一个是后一个的子半群，也是子独异点。
设（S，*）是半群，（S，*）是（S，*）的子半群。
设（S，*）是独异点，（S，*）是（S，*）的子独异点。
设（S，*）是独异点，({e},*)是（S，*）的子独异点。
一个独异点（S，*）中只有一个恒等元。
设e和e’都是S的恒等元，
e’=e*e’=e.
幂power：
设（S，*）是半群，a∈S，定义a的幂power：
a1＝a，a n=a n-1*a.
设（S，*）是独异点，令
a0＝e
幂的运算：
a m*a n=a m+n
(a m)n=a mn.
（1）设（S，*）是半群，a∈S，令
T＝{a i | i∈Z＋}
则（T，*）是（S，*）的子半群。
（2）设（S，*）是独异点，a∈S，令
T＝{a i | i∈N}
则（T，*）是（S，*）的子独异点。
同构isomorphism和同态homomorphism
同构
设（S，*）和（T，*’）是两个半群，函数f：S→T是一一对应，?a，b∈S，f(a*b)=f(a)*’f(b).
称（S，*）和（T，*’）同构，记做（S，*）?（T，*’）.
验证两个半群（S，*）和（T，*’）同构的方法：
定义一个映射f：S→T，证明
(1) f 处处有定义，即Dom(f)=S.
(2) f 单，f(a)=f(b)?a=b.
(3) f 满，Ran(f)=T.
(4)f保持运算f(a*b)=f(a)*’f(b).
例. 令T＝{2n | n∈Z}，则（T，×）是（N，＋）的子半群，
且（N，＋）?（T，×）。
证明.
令f：N→T，
对任意n∈N，f(n)= 2n.
（1）f处处有定义.
（2）f单:f(m)=f(n), 即
2m=2n?m=n。
（3）f满.
（4）f保持运算：
f(m+n)= 2m+n
=2m×2n =f(m)×f(n)
定理2. 恒等元的同构像是恒等元
设（S，*），（T，*）是独异点，恒等元分别是e和e’，同构f:（S，*）?（T，*’）, 则f(e)=e’.
证明. 我们证明f(e)是T的恒等元。对任意b∈T，要证明b*’f(e)=f(e)*’b=b.
f(e)是恒等元，恒等元唯一，f(e)=e’.
同态Homomorphisim
设（S，*）和（T，*’）是两个半群，
函数f：S→T处处有定义，?a，b∈S，
f(a*b)=f(a)*’f(b).
称f是（S，*）到（T，*’）内的同态映射，
如果f还是满射，称（S，*）和（T，*’）同态，T是S的同态像，记做
（S，*）≈（T，*’）.
例20．设A＝{0，1}，则自由半群（A*, ?）与（A，＋）同态，（A，＋）的二元运算＋由运算表给出：
＋0 1
0 0 1
1 1 0
例. (Z,+) ≈(Z n,+),
(Z,×) ≈（Z n，×）.
定理3. 恒等元的同态像是恒等元
设（S，*），（T，*）是独异点，恒等元分别是e和e’，同态f:（S，*）≈（T，*’）, 则f(e)=e’. 定理4.子半群的同态像是子半群。
设f：（S，*）≈（T，*’）是半群同态，S’是（S，*）的子半群，
则f(S’)是（T，*’）的子半群。
证明.只要证f(S’)对运算封闭。
设t1,t2∈f(S’)，要证t1*’t2∈f(S’).
存在s1，s2∈S’，
f(s1)＝t1，f(s2)＝t2，
t1*’t2= f(s1)*’f(s2)
= f(s1*s2)∈f(S’).
定理5.交换半群的同态像是交换半群。
设f：（S，*）≈（T，*’）是到上半群同态，（S，*）是交换半群，
则（T，*’）的交换半群。
证明. 任意t1,t2∈T，
要证t1*’t2＝t2*’t1.
存在s1，s2∈S，
f(s1)＝t1，f(s2)＝t2，
t1*’t2= f(s1)*’f(s2)= f(s1*s2)
＝f(s2*s1)＝f(s2)*’f(s1)＝t2*’t1.
§9.3 乘积半群和商半群
Products and Quotiens Semigroup
定理 1. 设（S，*）和（T，*’）是两个半群，则（S×T，*”）也是半群。
(s1, t1)*” (s2, t2)=( s1*s2, t1*’t2 ).
设（S，*）和（T，*’）是两个独异点，则（S×T，*”）也是独异点，恒等元是（e，e’）。同余关系congruence relation
设（S，*）是半群，R是S上等价关系。R称为S上同余关系：
aRa’, bRb’?(a*b)R(a’*b’).
例1. Z上剩余关系是(Z,＋)上同余关系：
a≡b（mod 2）? 2 | a－b。
证明. a≡b（mod 2）是等价关系。
a≡b（mod 2）, 2 | a-b, a-b=2k.
c≡d（mod 2）, 2 | c-d, c-d=2t.
(a+c)－(b+d)=(a-b)+(c-d)=2(k+t)
a+c ≡ b+d（mod 2）
a≡b（mod 2）是(Z,＋)上同余关系。
Z上剩余关系是(Z,×)上同余关系.
例2．令A＝{0,1},自由半群（A*,?）上关系R：
αRβ?α，β含有同样多个1。
则R是（A*,?）上同余关系。
例3．设f(x)=x2-x-2, 令（Z，＋）上关系R：aRb ? f(a)=f(b).
R是Z上等价关系，但不是同余关系。
－1R2，f(－1)=f(2)=0
－2R3，f(-2)=f(3)=4
-1+-2=-3, 2+3=5
f(-3)=10, f(5)=18
-1+-2 与2＋3 不满足R。
定理2. 设R是半群（S，*）上同余关系。定义商集S/R上二元运算*：
[a]*[b]=[a*b]。则（S/R,*）是半群。
证明. 设[a]=[a’], [b]=[b’],
要证[a*b]=[ a’*b’]
aRa’, b Rb’,由*是同余关系
a*bRa’*b’,因此[a*b]=[ a’*b’]，*是映射，二元运算。
还要证*满足结合律：
[a]*([b]*[c])=[a]*[b*c]
=[a*(b*c)]=[(a*b)*c]
=[a*b]*[c]=([a]*[b])*[c]
因此（S/R,*）是半群。
称S/R为商半群。
推论1. 设R是独异点（S，*）上同余关系，则（S/R,*）是独异点。
证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。任何a∈S，
[a]*[e]=[a*e]=[a]
[e]*[a]=[e*a]=[a].
例5．（Zn,+）,(Zn，×)都是半群，独异点。
Zn＝{[0],[1],[2],……,[n-1]}
[m]+[n]=[m+n]
定理3.令R是半群（S，*）上同余关系,（S/R,*）是商半群。
f：S→S/R,
f(a)=[a],
则f是满同态，称f为自然同态。
定理4.同态基本定理
设f:（S，*）→（T，*’）
是两个半群间的同态映射，令R是S上二元关系：a,b∈S，aRb?f(a)=f(b).
则
(a)R是（S，*）上同余关系。
(b)(T，*’)?(S/R,*).
§9.4 群Group
群的定义
群（G，*）是一个代数系统，
1) 二元运算*满足结合律,
2）有单位元e，a*e=e*a=a,
3) 对每个a∈G，存在a’∈G，a*a’=a’*a=e,
称a’为a的逆元。
群（G，*）是一个有单位元的独异点，对每个a∈G，存在逆元a’∈G，使a*a’=a’*a=e.
群（G，*）常简记为G，
a*b常简记为ab。
可换群叫Abel群Abelian Group
群的例
（Z，＋），
（Q，＋），（Q，×），
（R，＋），（R，×），
（Z n，＋），
（P(S),∪），（P(S), ∩），
（M n，＋），
（F(x), +）,
S上全体一一对应，对于复合，
最后一个不是Abel群。
例（R，*）：a*b=ab/2是Abel群。
*满足结合律，交换律，
2是单位元，
4/a是a的逆元。
定理1. 群的逆元唯一：
设G是群，任意a∈G，a只有一个逆元，记做a-1。
证明.
设a’，a”都是a的逆，
a’=a’aa”=a”.
定理2. 群有消去律：
设G是群，a,b,c∈G,则
（a）ab＝ac?b＝c，
（b）ba＝ca?b＝c。
定理3. 逆律
设G是群，a,b∈G, 则
(a)(a-1)-1=a,
(b)(ab)-1=b-1a-1.
（c）a-n＝(a-1)n
定理4. 方程有唯一解
设G是群，a,b∈G,则
(a) 方程ax＝b在G中有唯一解。
(b) 方程ya＝b在G中有唯一解。
定理4’. 定理4的逆：
半群（A,*）方程ax＝b，ya＝b有唯一解，则（A,*）是群。
证明.
（1）A有单位元
（1’）A有右单位元：
取a∈A，ax＝a有解为e’，
a e’=a。
证e’是右单位元。对任意b∈A，be’=b:
任意b∈A，xa＝b，有界c，
ca＝b，
be’=cae’=ca=b.
（1”）A有左单位元
同理xa＝a的解为e”，e”是左单位元，任b∈A，e”b=b。
左右单位元相等e”=e”e’=e’,记为e，任意b∈A，be＝eb＝b，e是单位元。
（2）任意a∈A，a有逆元：
（2’）任意a∈A，a有右逆元：a’, aa’=e.
（2”）任意a∈A，a有左逆元：a”, a”a=a.
a”=a’,记为a*，aa*=a*a=e.
a*是a的逆元。
a∈G，a的阶：使a k＝e的最小的k。
如无这样的k，称a为无限阶。
a无限阶，任意n∈Z，a n≠e.
|G|有限时称G为有限群。
群G的阶: |G|.
一阶群G={e},
二阶群G＝{e,a}
e a
e e a
a a e
三阶群G＝{e,a,b}
e a b
e e a b
a a
b e
b b e a
四阶群G＝{e,a,b,c}
* e a b c
e e a b c
a a
b
c e
b b
c e a
c c e a b
例Klein四元群
G={e,a,b,c}
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b
c e a
c c b a e
Klein 四元群是Abel群。
例置换群，对称群Symetric Group
A＝{1,2,3}, A的所有置换对复合运算构成群：
1123 123
f
??
= ?
??2
123
231
f
??
= ?
??3
123
312
f
??
= ?
??1
123
132
g
??= ?
??2
123
321
g
??
= ?
??2
123
213
g
??
= ?
??
S3={ f1,f2,f3,g1,g2,g3}
称(S3 ,*)为对称群，Group of symeries of a triangle。
S3的乘法表：
f1f2f3g1g2g3 f1f1f2f3g1g2g3 f2f2f3f1g3g1g2 f3f3f1f2g2g3g1 g1g1g2g3f1f2f3 g2g2g3g1f3f1f2 g3g3g1g2f2f3f1
S4四元对称群，是四个元素的置换组成的对称群，共有4！＝24个置换。不是四边形的所有对称。
S n n元对称群，是n个元素的置换组成的对称群，有n！个元素。
An是Sn中所有偶置换组成的n元交代群,有n！/2个元素。A3＝{ f1,f2,f3}.
剩余类群（Zn，＋），
Zn＝{[0],[1],……,[n-1]},
简记为{0,1,……,n-1}.
a∈Zn，a-1＝n－a.
循环群cycle group
存在a∈G ，任意x∈G，
x＝a k，k∈Z。
a的阶是n，G＝{e,a,a2,……,a n-1}
a k的逆是a n-k。
a无限阶，
G＝{……,a-2,a-1,e,a,a2,……}
Z是无限循环群，Zn是n阶循环群。
有限群G是循环群当且仅当存在a∈G，a的阶＝|G|.
Klein四元群不是循环群。
子群subgroup
H?G，H对于G的运算*构成群。
H是G的子群当且仅当
（1）e∈H
（2）a，b∈H?ab∈H
（3）a∈H?a-1∈H
H是G的子群当且仅当
a，b∈H?ab-1∈H.
子群的例
设G是群，H＝{e}是子群。
G是群，a∈G，H＝{a k | k∈Z}是子群，叫做a生成的子群。
S3中，H＝{f1,f2,f3}是f2生成的子群。
交代群An是对称群Sn的子群。
命题. 一个群的任意两个子群的交仍是子群。
群的同构与同态isomorphism and homomorphism of groups
同构f: （G1，*）?（G2，*），
f一一对应，保持运算。
|G1|=|G2|, 对应元素有相同的阶。
同态f: （G1，*）≈（G2，*），
f多一到上，保持运算。
例13
G是实数加法群,G’是正实数乘法群。
f:G?G’
S n≈B，B＝{0,1}.
Z≈Z n
例16．S3与Z6都是6阶群，不同构。
定理5. 设f:(G，*)≈(G’，*’)是同态，
则（a）f(e)=e’,
(b) f(a-1)=f(a)-1,
(c) H是G的子群?f(H)是G’的子群。
§9.5 乘积群和商群
定理1.
设G1，G2是群，则G1×G2是群，乘法定义(a1,b1)(a1,b1)=(a1a2,b1b2).
乘积群的例
Z2×Z3?Z6，
Z2×Z2?V （Klein 四元群）
Z m×Z n?Z mn iff (m, n)=1.
a≡1（mod m）
b≡1（mod n）
?ab≡1（mod mn）
B={0,1}
B n=B×B×……×B。
定理2. 设R是群（G，*）的同余关系，则（G/R,*）是群。推论1.
（a）设R是群（G，*）的同余关系，则f R：G→G/R是群同态映射。
(b)设f:（S，*）→（T，*’）
是两个群间的同态映射，令R是S上二元关系：a,b∈S，aRb?f(a)=f(b).
则
(1) R是（S，*）上同余关系。
(2)f
:(S/R,*) ? (T，*’).
子群的陪集coset
左陪集left coset
设H是G的一个子群，a∈G，
令aH＝{ah | h∈H}称为a确定的H的一个左陪集。
右陪集right coset
设H是G的一个子群，a∈G，
令Ha＝{ha | h∈H}称为a确定的H的一个右陪集。正规子群Normal subgroup
设H是G的一个子群，对任意a∈G，
aH＝Ha，就称H是G的正规子群。
注意
aH＝Ha并不是h∈H，ah＝ha
而是存在h’∈H，ah＝h’a.
命题1.
设H是G的子群，a∈G，
aH＝H?a∈H.
证明.
设a∈H，任意h∈H，
由H是G的子群
ah∈H，aH?H，
a-1∈H, a-1h∈H，
h＝aa-1h∈aH，H?aH。
因此aH＝H
?设aH＝H，由H是G的子群
e∈H，a＝ae∈aH＝H，a∈H。
例3. H={f1,g2}, 是S3的子群，
求H的所有左陪集。
解.
f1H =g2H=H,
f2H =g1H={f2,g1}
f3H=g2H={f3,g2}
例4. Hf2＝{f2,g3}≠f2H
H不是正规子群。
命题2.
设H是G的子群，a,b∈G
则aH∩bH＝?或aH＝bH.
证明.设aH∩bH≠?。
存在h’，h”∈H, ah’=bh”.
任意h∈H，
ah＝ah’ h’-1h =bh” h’-1h∈bH，
aH?bH.
同理bH?aH.因此aH＝bH.
H的所有左陪集组成G的一个划分，G＝∪a∈G aH。
命题3.
设H是G的子群，a∈G，
则f:aH→H，f(ah)=h是一一对应。
命题4.
设G是有限群，|G|=n,
H是G的任意子群，则|H| | n.
命题5.
设G是有限群，|G|=n,
a∈G，a的阶＝k，则k | n.
命题6.
设G是Abel群，H是G的任意子群，则H是G的正规子群。
证明.任取a∈G，证明aH＝Ha：
任意h∈H，ah＝ha，aH?Ha，
aH?Ha，aH＝Ha。
定理3.
令R是群G的同余关系，H＝[e],则H是正规子群，任意a∈G，aH＝Ha＝[a]。
证明
H=[e]是G的子群。
任取a，b∈[e], 有aRe, bRe,
R是同余关系，abRe，ab∈[e],
R是等价关系a-1Ra-1,eRa，
a-1eRa-1a,即a-1Re，a-1∈[e]
R是等价关系,eRe, e∈[e],
任取a∈G, aH＝[a],
任取h∈H，hRe，aRa，
ahRae，ahRa，ah∈[a].
aH? [a],
任取b∈[a], bRa, a-1Ra-1
a-1bRa-1a, a-1bRe, a-1b∈[e]=H
b=aa-1b∈aH。[a] ?aH。
aH＝[a].
同理可证Ha＝[a].
aH=[a]=Ha, H是正规子群。
定理4.
设N是G的正规子群，在G上定义一个关系，a，b∈G，aRb? a-1b∈N.
则
R是G的同余关系。
N＝[e].
证明. （a）
R是等价关系：
1)a-1a=e∈N，aRa；
2)设aRb，a-1b∈N.
b-1a＝(a-1b) -1∈N.
bRa;
3)设aRb，bRc，
a-1b∈N，b-1c∈N，
a-1c＝(a-1b)(b-1c)∈N
aRc;
R是同余关系：
设aRb，cRd，
a-1b∈N，c-1d∈N，
c-1 a-1b∈c-1N=Nc-1，
存在h∈N，c-1 a-1b＝hc-1
(ac)-1bd=c-1a-1bd＝hc-1d∈N，
acRbd。
(b)任意x∈N，x-1e＝x-1∈N，
xRe，x∈[e]. N? [e].
任意x∈[e], xRe, x-1e＝x-1∈N，
x∈N，[e] ?N.
N=[e].
定理5.
设f:G≈G’是满同态，令ker(f)={ a | a∈G，f(a)=e’ }. 则
ker(f)是G的正规子群，
G/ker(f)?G’.
aRb?f(a)=f(b) ?a-1b∈ker(f).
高并发下的接口幂等性解决方案 我们实际系统中有很多操作，是不管做多少次，都应该产生一样的效果或返回一样的结果。例如： 1.前端重复提交选中的数据，应该后台只产生对应这个数据的一个反应结果。 2.我们发起一笔付款请求，应该只扣用户账户一次钱，当遇到网络重发或系统 bug重发，也应该只扣一次钱； 3.发送消息，也应该只发一次，同样的短信发给用户，用户会哭的； 4.创建业务订单，一次业务请求只能创建一个，创建多个就会出大问题。 等等很多重要的情况，这些逻辑都需要幂等的特性来支持。 二、幂等性概念 幂等（idempotent、idempotence）是一个数学与计算机学概念，常见于抽象代数中。在编程中.一个幂等操作的特点是其任意多次执行所产生的影响均与一次执行的影响相同。幂等函数，或幂等方法，是指可以使用相同参数重复执行，并能获得相同结果的函数。这些函数不会影响系统状态，也不用担心重复执行会对系统造成改变。例如，“getUsername()和setTrue()”函数就是一个幂等函数.更复杂的操作幂等保证是利用唯一交易号(流水号)实现。我的理解：幂等就是一个操作，不论执行多少次，产生的效果和返回的结果都是一样的 三、技术方案 1. 查询操作查询一次和查询多次，在数据不变的情况下，查询结果是一样的。select是天然的幂等操作； 2. 删除操作删除操作也是幂等的，删除一次和多次删除都是把数据删除。(注意可能返回结果不一样，删除的数据不存在，返回0，删除的数据多条，返回结果多个)； 3.唯一索引，防止新增脏数据比如：支付宝的资金账户，支付宝也有用户账户，每个用户只能有一个资金账户，怎么防止给用户创建资金账户多个，那么给资金账户表中的用户ID加唯一索引，所以一个用户新增成功一个资金账户记录。 要点：唯一索引或唯一组合索引来防止新增数据存在脏数据（当表存在唯一索引，并发时新增报错时，再查询一次就可以了，数据应该已经存在了，返回结果即可） 4. token机制，防止页面重复提交 业务要求： 页面的数据只能被点击提交一次。发生原因：由于重复点击或者网络重发，或者nginx重发等情况会导致数据被重复提交 解决办法：集群环境：采用token加redis（redis单线程的，处理需要排队）单JVM环境：采用token加redis或token加jvm内存。 处理流程： 1.数据提交前要向服务的申请token，token放到redis或jvm内存，token有效时间 2.提交后后台校验token，同时删除token，生成新的token返回； 3.token特点：要申请，一次有效性，可以限流； 4.注意：redis要用删除操作来判断token，删除成功代表token校验通过，如果用select+delete 来校验token，存在并发问题，不建议使用； 5. 悲观锁获取数据的时候加锁获取select * from table_xxx where id=3939 for update;注意：id 字段一定是主键或者唯一索引，不然是锁表，会死人的悲观锁使用时一般伴随事务一起使用，数据锁定时间可能会很长，根据实际情况选用。 6. 乐观锁乐观锁只是在更新数据那一刻锁表，其他时间不锁表，所以相对于悲观锁，效率更高。乐观锁的实现方式多种多样可以通过version或者其他状态条件：
112 第九章 特殊的代数系统 习题9.1 1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群： ⑴},max{b a b a = ； ⑵b b a = ；⑶ab b a 2= ；⑷b a b a -= 。 解 ⑴是半群。显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，,,,N c b a ∈?有(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ， 而(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群； ⑵是半群。显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，N c b a ∈?,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则 ()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群； ⑶是半群。显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统， 另一方面，N c b a ∈?,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ， ()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。 ⑷不是半群。虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是 对于 5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而
113 2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。 2 在实数集R 上的二元运算*定义为： ),(R b a ab b a b a ∈++= 试判断下列论断是否正确： ⑴>< ,R 是一个代数系统； ⑵>< ,R 是一个半群； ⑶>< ,R 是一个独异点。 解 ⑴正确。因为，运算显然封闭。 ⑵正确。 abc bc ac ab c b a c ab b a c b a ++++++=++= )()(， bc ac ab c b a bc c b a c b a +++++=++=)()( ， 即是()()c b a c b a =，所以?满足结合律。故>< ,R 是半群。 ⑶N a ∈?，有a a a a =++=000 ，又有,00a a a a =++= 即存在单位元是0，故>< ,R 是独异点。 1f b a a a a a b a 2f b a b a a b b a 3f b a a b a a b a 4f b a b a b a b a 表1
JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月
幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合
The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination
第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普通的除法运算。不封闭 （3） 全体n n ?实矩阵集合 （R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭 （5）正实数集合 和运算，其中运算定义为： 不封闭 因为 +?-=--?=R 1111111ο （6）n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n 运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 7．设 * 为+Z 上的二元运算+∈?Z y x ,， X * Y = min ( x ，y ),即x 和y 之中较小的数. (1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3
第九章半群与群（Semigroups and Groups） 本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。 2－1 半群与含幺半群 定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=和，因为( ) =<(s 1*s 2 )*s 3 ,(t 1 t 2 ) t 3 >== ( )故的幺元,故
我们实际系统中有很多操作，是不管做多少次，都应该产生一样的效果或返回一样的结果。 例如： 1.前端重复提交选中的数据，应该后台只产生对应这个数据的一个反应结果。 2.我们发起一笔付款请求，应该只扣用户账户一次钱，当遇到网络重发或系统 bug重发，也应该只扣一次钱； 3.发送消息，也应该只发一次，同样的短信发给用户，用户会哭的； 4.创建业务订单，一次业务请求只能创建一个，创建多个就会出大问题。 等等很多重要的情况，这些逻辑都需要幂等的特性来支持。 二、幂等性概念 幂等（idempotent、idempotence）是一个数学与计算机学概念，常见于抽象代数中。 在编程中.一个幂等操作的特点是其任意多次执行所产生的影响均与一次执行的影响相同。幂等函数，或幂等方法，是指可以使用相同参数重复执行，并能获得相同结果的函数。 这些函数不会影响系统状态，也不用担心重复执行会对系统造成改变。 例如，“getUsername()和setTrue()”函数就是一个幂等函数. 更复杂的操作幂等保证是利用唯一交易号(流水号)实现. 我的理解：幂等就是一个操作，不论执行多少次，产生的效果和返回的结果都是一样的 三、技术方案 1. 查询操作查询一次和查询多次，在数据不变的情况下，查询结果是一 样的。select是天然的幂等操作 2. 删除操作删除操作也是幂等的，删除一次和多次删除都是把数据删除。 (注意可能返回结果不一样，删除的数据不存在，返回0，删除的数据多条，返回结果多个) 3.唯一索引，防止新增脏数据比如：支付宝的资金账户，支付宝也有用户 账户，每个用户只能有一个资金账户，怎么防止给用户创建资金账户多个，那么给资金账户表中的用户ID加唯一索引，所以一个用户新增成功一个资金账户记录 要点：唯一索引或唯一组合索引来防止新增数据存在脏数据（当表存在唯一索引，并发时新增报错时，再查询一次就可以了，数据应该已经存在了，返回结果即可） 4. token机制，防止页面重复提交 业务要求： 页面的数据只能被点击提交一次。发生原因：由于重复点击或者网络重发，或者nginx重发等情况会导致数据被重复提交 解决办法：集群环境：采用token加redis（redis单线程的，处理需要排队）单JVM环境：采用token加redis或token加jvm内存 处理流程：
离散数学课后习题答案第四章
第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭 （3） 全体n n ?实矩阵集合 （R ）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭 （5）正实数集合 和 运算，其中 运算定义为： 不封闭 因为 +?-=--?=R 1111111ο （6）n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（1>n ），零元是0；1=n 单位元是1 （7）A = {},,,21n a a a Λ n 运算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
10．令S={a ，b}，S 上有四个运算：*，分别有表10.8确定。 (a) (b) (c) (d) (1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 b b a a ==--11, (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a b a b b a b a a b b a ====οοοοοο)(,)( b b a b b a οοοο)()(≠ 没有单位元, 没有零元 (d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元 (1) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上 16．设V=〈 N ，+ ，〉，其中+ ， 分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否 构成V 的子代数，为什么？ （1）S 1= 是 （2）S 2= 不是 加法不封闭 （3）S 3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭 第十一章部分课后习题参考答案 8.设S={0，1，2，3}， 为模4乘法，即 "?x,y ∈S, x y=(xy)mod 4
运 关 运关 n 第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1）整数集合Z和普通的减法运算。封闭,不满足 交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合普通的除法运算。不封闭 （3）全体n n 实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中 n2。 封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体n n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中 n2。不封闭 （5）正实数集合和算，其中运算定义为： 不封闭因为 1 ?1 1 1 ? 1 ? 1 ?1? R （6）n于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元； 乘法无单位元（1），零元是0；1单位元是1 n （7）A = { a, a,?, a} n 算定义如下： 封闭不满足交换律，满足结合律， （8）S = 于普通的加法和乘法运算。 封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。加 法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律
（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 1
< >> >> 7．设 * 为 Z 上的二元运算 ? , x y ∈Z ， X * Y = min ( x ，y ),即 x 和 y 之中较小的数. (1)求 4 * 6，7 * 3。 4, 3 (2)* 在 Z 上是否适合交换律，结合律，和幂等律 满足交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及 Z 中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元 1, 所有元素无逆元 8． S Q Q 为有理数集，*为 S 上的二元运算， a,b>,
滨州学院 毕业设计（论文） 题目幂等矩阵的性质研究 系（院）数学系 专业数学与应用数学 班级2010级1班 学生姓名崔世玉 学号1014070124 指导教师田学刚 职称讲师 二〇一四年六月十日
独创声明 本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 二〇一四年月日 毕业设计（论文）使用授权声明 本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。 本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。 （保密论文在解密后遵守此规定） 作者签名： 二〇一四年月日
幂等矩阵的性质研究 摘要 幂等矩阵是一类非常特殊的矩阵，不仅在矩阵论中有着重要的应用，而且在其它许多领域也有广泛的应用.本文的主要内容是探讨幂等矩阵性质及其应用，首先对幂等矩阵性质进行分析整理并作简单的推广；然后利用分类讨论的思想研究幂等矩阵线性组合的幂等性，在一定条件下给出3个幂等矩阵的线性组合幂等的充要条件；最后研究幂等矩阵的线性组合的可逆性，给出其可逆的具体刻画.本文研究内容能够丰富幂等矩阵的相关结论，有利于矩阵在其它领域的应用。 关键词:幂等矩阵；线性组合；可逆矩阵；矩阵的秩
一.断言： 幂等性的数学表达：f(f(x))=f(x)。 幂等性是系统接口对外的一种承诺。 幂等性指的是，使用相同参数对同一资源重复调用某个接口的结果与调用一次的结果相同。幂等性的一个实现是，使你的接口必须返回0（成功），即使这时资源或动作已经停止并 且无工作要完成。 二.电商常见问题： 2.1.如何防范POST重复提交 HTTP POST操作既不是安全的，也不是幂等的（至少在HTTP规范里没有保证）。 当我们因为反复刷新浏览器导致多次提交表单，多次发出同样的POST请求，导致远端服 务器重复创建出了资源。 所以，对于电商应用来说，第一对应的后端WebService一定要做到幂等性，第二服务器端收到POST请求，在操作成功后必须302跳转到另外一个页面，这样即使用户刷新页面，也不会重复提交表单。 2.2.集群环境下的定时任务幂等性 分布式环境下，定时任务或异步处理如何保持幂等性？ 三.把分布式事务分解为具有幂等性的异步消息处理：电商的很多业务，考虑更多的是BASE（即Basically Available、Soft state、和Eventually consistent），而不是ACID（Atomicity、Consistency、Isolation和Durability）。即为了满足高负载的用户访问，我们可以容忍短暂的数据不一致。
那怎么做呢？ 第一，不做分布式事务，代价太大。 第二，不一定需要实时一致性，只需要保证最终的一致性即可。 第三，“通过状态机和严格的有序操作，来最大限度地降低不一致性”。 第四，最终一致性（Eventually Consistent）通过异步事件做到。 如果消息具有操作幂等性，也就是一个消息被应用多次与应用一次产生的效果是一样的话，那么把不需要同步执行的事务交给异步消息推送和订阅者集群来处理即可。假如消息处理失败，那么就消息重播，由于幂等性，应用多次也能产生正确的结果。 实际情况下，消息很难具有幂等性，解决方法是使用另一个表记录已经被成功应用的消息，即消息队列和消息应用状态表一起来解决问题。 参考资源： 1）weidagang2046，博客园，理解HTTP幂等性； 2）相关设计模式“Synchronized Token（简而言之，就是客户端的每一次Request里，必须携带一个服务器端给出的Hash Code作为Token，这个Token只能用一次，不能重复使用）”和“幂等接收器，Idempotent Receiver”； 3）针对POST，请参考HTTPLR（由Bill de hóra提出）、Mark Nottingham的POE （POST Once Exactly）和Paul Prescod的HTTP中的可靠传递。（另一个值得一提的是Yaron Goland的SOA-Rity）； 4）淘宝核心系统团队博客，2010，用消息队列和消息应用状态表来消除分布式事务?电商课题：RBAC权限控制 ?电商课题VI：分布式Session
面试题 如何保证消息不被重复消费？或者说，如何保证消息消费的幂等性？ 面试官心理分析 其实这是很常见的一个问题，这俩问题基本可以连起来问。既然是消费消息，那肯定要考虑会不会重复消费？能不能避免重复消费？或者重复消费了也别造成系统异常可以吗？这个是MQ 领域的基本问题，其实本质上还是问你使用消息队列如何保证幂等性，这个是你架构里要考虑的一个问题。 面试题剖析 回答这个问题，首先你别听到重复消息这个事儿，就一无所知吧，你先大概说一说可能会有哪些重复消费的问题。 首先，比如RabbitMQ、RocketMQ、Kafka，都有可能会出现消息重复消费的问题，正常。因为这问题通常不是MQ 自己保证的，是由我们开发来保证的。挑一个Kafka 来举个例子，说说怎么重复消费吧。 Kafka 实际上有个offset 的概念，就是每个消息写进去，都有一个offset，代表消息的序号，然后consumer 消费了数据之后，每隔一段时间（定时定期），会把自己消费过的消息的offset 提交一下，表示“我已经消费过了，下次我要是重启啥的，你就让我继续从上次消费到的offset 来继续消费吧”。 但是凡事总有意外，比如我们之前生产经常遇到的，就是你有时候重启系统，看你怎么重启了，如果碰到点着急的，直接kill 进程了，再重启。这会导致consumer 有些消息处理了，但是没来得及提交offset，尴尬了。重启之后，少数消息会再次消费一次。 举个栗子。 有这么个场景。数据1/2/3 依次进入kafka，kafka 会给这三条数据每条分配一个offset，代表这条数据的序号，我们就假设分配的offset 依次是152/153/154。消费者从kafka 去消费的时候，也是按照这个顺序去消费。假如当消费者消费了offset=153的这条数据，刚准备去提交offset 到zookeeper，此时消费者进程被重启了。那么此时消费过的数据1/2 的offset 并没有提交，kafka 也就不知道你已经消费了offset=153这条数据。那么重启之后，消费者会找kafka 说，嘿，哥儿们，你给我接着把上次我消费到的那个地方后面的数据继续给我传递过来。由于之前的offset 没有提交成功，那么数据1/2 会再次传过来，如果此时消费者没有去重的话，那么就会导致重复消费。
授课时间第十二周第 1 次课
半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态 群 群的定义与性质 子群与群的直积 循环群 置换群 二、教学内容 半群的定义与实例 定义设V=
运 关 运 关 n n 第十章部分课后习题参考答案 4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合 Z 和普通的减法运算。 封闭,不满足 交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合 普通的除法运算。不封闭 （3） 全体 n ? n 实矩阵集合 （R ）和矩阵加法及乘法运算，其中 n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵； （4）全体 n ? n 实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中 n 2。不封闭 （5）正实数集合 和 算，其中 运算定义为： 不封闭 因为 1 1 = 1? 1 1 1 = 1 + R （6） n 于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是 0，无零元； 乘法无单位元（ > 1），零元是 0； = 1单位元是 1 n （7）A = { a 1 , a 2 , , a } n 算定义如下： 封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S = 于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法 不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律 5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题 1
< >> >> 分 + > 7．设 * 为 Z + 上的二元运算 , x y Z ， X * Y = min ( x ，y ),即 x 和 y 之中较小的数. (1)求 4 * 6，7 * 3。 4, 3 (2)* 在 Z + 上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律 (3)求*运算的单位元，零元及 Z + 中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元 1, 所有元素无逆元 8． S = Q ? Q 为有理数集，*为 S 上的二元运算， a,b>,
第六章代数系统 1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。 2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。 3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“÷”是个封闭的运算。 4.填空题：代数系统的定义是：（）。 5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。 6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。 7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？ 8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？ 9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？ 10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4： 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1 请列出
第三部分：代数系统 1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。( ) 5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( ) 1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈ ( ) A. min(,)a b a b *= B. 2a b a b *=+ C. 3a b a b *=+- D. a b a b *=+ (mod3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9 4. 设