同角三角函数的基本关系
【教学目标】
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2
α＝1，sin αcos α＝tan α. 2．会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式．
【教学重难点】
同角三角函数的基本关系式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
同角三角函数基本关系式
（1）关系式
①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝__1__；
②商数关系：sin αcos α
＝tan__α. （2）文字叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
（3）变形形式
①1＝sin 2α＋cos 2α；
②sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α；
③sin α＝± 1－cos 2α；cos α＝± 1－sin 2α；
④sin α＝cos αtan α；
⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin_αcos__α.
思考：sin 230°＋cos 245°等于1吗？
sin 90°cos 90°
有意义吗？ [提示] 不等于1，sin 90°cos 90°
分母为0，无意义． 二、合作探究
1．利用同角基本关系式求值
【例1】 已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． [解] ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么
sin α＝1－cos 2α＝ 1－? ????－8172＝1517
， tan α＝sin αcos α＝15
17－817
＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－1－cos 2α＝－
1517，tan α＝158. 【规律方法】
已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系， 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换，如“1＝sin 2α＋cos 2α”.本题没有指出α是第几象限的角，则必须由cos α的值推断出α所在的象限，再分类求解.
2．利用sin α±cos α，sin α，cos α之间的关系求值
【例2】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15
，求tan α的值． [解] 由sin α＋cos α＝15
，① 得sin α·cos α＝－1225
<0， 又0<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，则sin α－cos α>0，
∴sin α－cos α＝
sin α－cos α2＝1－2sin αcos α ＝ 1－2×? ????－1225＝75
，② 由①②解得sin α＝45，cos α＝－35
，
∴tan α＝sin αcos α＝－43
. 【规律方法】
sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，利用此关系求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．
3．综合应用
[探究问题]
（1）平方关系对任意α∈R 均成立，对吗？商数关系呢？
[提示] 平方关系中对任意α∈R 均成立，而商数关系中α≠k π＋π2
(k ∈Z )． （2）证明三角恒等式常用哪些技巧？
[提示] 切弦互化，整体代换，“1”的代换．
（3）证明三角恒等式应遵循什么样的原则？
[提示] 由繁到简．
【例3】 （1）化简tan α· 1sin 2α
－1，其中α是第二象限角； （2）求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1
. [思路探究] （1）先确定sin α，cos α的符号，结合平方关系和商数关系化简．
（2）逆用平方关系结合tan α＝sin αcos α
化简． [解] （1）因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
故tan α·
1sin 2α－1＝tan α·1－sin 2αsin 2α
＝tan αcos 2αsin 2α ＝sin αcos α·??????cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α
＝－1． （2）证明：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
＝sin α＋cos α2 sin2α－cos2α
＝sin α＋cos αsin α－cos α
＝tan α＋1
tan α－1
＝右边．
所以原式成立．
【规律方法】
1．化简过程中常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的．
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
2．证明三角恒等式常用的方法有：
（1）从一边开始，证得它等于另一边；
（2）证明左右两边都等于同一个式子；
（3）变更论证，即通过化除为乘、左右相减等，转化成证明与其等价的等式．
三、课堂总结
1．“同角”有两层含义：一是“角相同”；二是“任意性”，即关系式恒成立，与角的表达形式无关．如：sin23α＋cos23α＝1等．
2．已知角α的一个三角函数值，求α的其他两个三角函数值时，要特别注意角所在的象限，以确定三角函数值的符号．
3．计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧：
（1）“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替．
（2）切化弦．利用商数关系把切函数化为弦函数．
（3）整体代换．将计算式适当变形使条件可以整体代入，或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
四、课堂检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）sin2α＋cos2β＝1．()
（2）对任意角α，sin α2cos α2
＝tan α2.( )
（3）利用平方关系求sin α或cos α时，会得到正负两个值．( )
（4）若sin α＝12，则cos α＝3
2.( )
[答案] （1）× （2）× （3）× （4）×
2．若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A ．－4
3 B ．3
4
C ．±3
4 D ．±4
3
A [α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－4
3.]
3．已知角A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A ＝2
3，则这个三角形是(
)
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
B [∵sin A ＋cos A ＝2
3，
∴1＋2sin A cos A ＝4
9，
∴sin A cos A ＝－5
18<0，
又∵A ∈(0，π)，sin A >0，
∴cos A <0，A 为钝角．故选B ．]
4．已知4sin θ－2cos θ
3sin θ＋5cos θ＝6
11，求下列各式的值．
（1）5cos 2
θ
sin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ；
（2）1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.
[解] 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611
， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611
，解得tan θ＝2． （1）原式＝
5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1． （2）原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ
＝－15.