课题：解斜三角形应用举例（1）
教学目的：
1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；
2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；
3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；
4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力
教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法
教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学方法：启发式
在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程： 一、复习引入：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=?bc
a c
b A 2cos 222-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=?ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，?ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力
中的一些应用
二、讲解范例：
例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，
设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知
车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字)
分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A
＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571
∴BC≈1．89 （ｍ）
答：油泵顶杆B C约长1．89 ｍ
评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来
例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A 为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21海里／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间
分析：设舰艇从A处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则利用余弦定理建立方程来解决较好，因为如图中的∠1，∠2可以求出，而AC已知，BC、AB均可用ｘ表示，故可看成是
一个已知两边夹角求第三边问题 解：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为ｘｈ，则AB ＝21ｘ海里，BC ＝9ｘ 海里，AC ＝10 海里，∠ACB ＝∠1＋∠2＝45°＋（180°－105°）＝120°，
根据余弦定理，可得
AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°得
(21ｘ)2＝102＋（9ｘ）2－2×10×9ｘ
cos120°，
即36ｘ2－9ｘ2×10＝0
解得ｘ1＝32，ｘ2＝－12
5 (舍去) ∴AB ＝21ｘ＝14，BC ＝9ｘ＝6
再由余弦定理可得 cos ∠BAC ＝,9286.010
1426101422
22222=??-+=??-+AC AB BC AC AB ∴∠BAC ＝21°47′，45°＋21°47′＝66°47′
所以舰艇方位角为66°47′，32
小时即40分钟
答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟
评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（0°，360°）
在利用余弦定理建立方程求出ｘ后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利余弦定理
例3用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度
分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA
解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β， 根据正弦定理，得AE ＝)
sin(sin βαβ-a 在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝
)
sin(sin sin βαβα-a ∴EF ＝EG ＋b ＝)sin(sin sin βαβα-a ＋b ，
答：气球的高度是)
sin(sin sin βαβα-a ＋b 评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG ＝ｘ，在Rt △EGA 中，利用cot α表示AG ；在Rt △EGC 中，利用cot β表示CG ，而CG －AG ＝CA ＝BD ＝a ，故可以求出EG ，又GF ＝CD ＝b ，故EF 高度可求
例4如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值
分析：要求四边形OPDC 面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P 在半圆上运动与∠POB 大小变化之间的联系，自然引入∠POB ＝θ作为自变量建立函数关系四边形OPDC 可以分成△OPC 与等边△PDC ，Ｓ△OPC 可用21·OP ·OC ·sin θ表示，而等边△PDC 的面积关键在于边长求解，而边长PC 可以在△POC 中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决 解：设∠POB ＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：
PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ
∴ｙ＝Ｓ△OPC ＋Ｓ△PCD ＝θsin 2121??＋
43(5－4cos θ) ＝2sin(θ－3π)＋
435 ∴当θ－3π
＝2π即θ＝6
5π时，ｙmax ＝2＋435 评述：本题中余弦定理为表示△PCD 的面积，从而为表
示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性
另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视
三、课堂练习：
1如图，在海岸A处发现北偏东45°
方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘
走私船在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间
解：设辑私船应沿CD方向行驶ｔ小时，才能最快截获(在D
点)走私船， 则CD ＝103ｔ海里，BD ＝10ｔ海里 ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2cos120°＝
6, ∴BC ＝6
2
26120sin 2sin sin sin sin =?=?=∴=BC A AC ABC ABC
AC
A BC
∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，
∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°
,
21
310120sin 10sin sin sin sin =?
?=?=∴=t t CD CBD BD BCD CBD
CD
BCD BD
∴∠BCD ＝30°,∴∠DCE ＝90°－30°＝60°
由∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°得∠D ＝30°
∴BD ＝BC ，即10ｔ＝6
∴ｔ＝106
(小时)≈15(分钟)
答：辑私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟
四、小结通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力
五、课后作业：
六、板书设计（略）
七、课后记：
必修五 第一章 解三角形 一、选择题 1．已知A ，B 两地的距离为10 km ，B ，C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地的距离为( )． A ．10 km B ．103km C ．105km D ．107km 2．在△ABC 中，若2 cos A a ＝ 2 cos B b ＝2 cos C c ，则△ABC 是( )． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a ，b ，c ，且满足关系式(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，则c 边的对角等于( )． A ．15° B ．45° C ．60° D ．120° 4．在△ABC 中，三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )． A ．3∶2∶1 B ．2∶3∶1 C ．1∶2∶3 D ．1∶3∶2 5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )． A ．△A 1 B 1 C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形 C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形 D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形 6．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 为( )． A ．30°或150° B ．60° C ．60°或120° D ．30°
§3 解三角形的实际应用举例 教学目标 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。 2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 3、培养和提高分析、解决问题的能力。 教学重点难点 1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。 2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。 教学过程 一、复习引入 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C === 2、余弦定理：,cos 22 2 2 A bc c b a -+=?bc a c b A 2cos 2 22-+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=，?ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、例题讲解 引例：我军有A 、B 两个小岛相距10海里，敌军在C 岛，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B 岛和C 岛间的距离，请你算算看。 解：0 60=A 0 75=B ∴0 45=C 由正弦定理知 045 sin 10 60sin =BC 6545 sin 60sin 100 ==?BC 海里 例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设 计时需要 计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为 /02060，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）． 分析：这个问题就是在ABC ?中，已知AB=1.95m ，AC=1.4m, 750 600 C B A
求BC 的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC 。 解：由余弦定理，得 答：顶杠BC 长约为1.89m. 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。 练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东0 20, 30分钟后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的北偏东0 65方向上,求灯塔S 和B 处的距离.（保留到0.1） 解：16=AB 由正弦定理知 020 sin 45sin BS AB = 7.745 sin 20 sin 100 ≈= BS 海里 答：灯塔S 和B 处的距离约为7.7海里 例2.测量高度问题 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB ，从与烟囱底部在同一水平直线上的C ，D 两处， 测得烟囱的仰角分别是0 45=α和0 60=β, Ｃ、Ｄ间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m. 求烟囱的高。 图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？ 分析：因为B A AA AB 11+=，又m AA 5.11= 所以只要求出B A 1即可 解：在11D BC ?中， 0001112060180=-=∠C BD ，00011154560=-=∠BD C D C B A 1.40m 1.95m 6020/ 600 ?S B A 1150 450 650200 A 1α β D 1C 1D C B A
解三角形应用举例练习 班级 姓名 学号 得分 一、选择题 1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α、β的关系为…………………（ ） A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为…..（ ） A. 3 400 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 3.在?ABC 中, 已知sinA = 2 sinBcosC, 则?ABC 一定是…………………………………….( ) A. 直角三角形; B. 等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰直角三角形. 4.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面 成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为……………….( ) A C D B 阳光地面 A.75° B.60° C.50° D.45° 5.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为…………………………………..( ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 6.在△ABC 中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 …………………（ ） A 、无解 B 、一解 C 、两解 D 、解的个数不能确定 二、填空题 7. 甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是 8.我舰在敌岛A 南50°西相距12nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 9.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_______方 向行驶. C D 12 A B D 6045 0 m o o 10．.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的 高为_______.
解斜三角形应用举例（一） ●教学目标 （一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. （三）德育目标 通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. ●教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法 启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. ●教具准备 投影仪、三角板、幻灯片 第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A） ［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）. ［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 第二张：例3、例4（记作§5.10.1 B） ［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.
必修五 解三角形 一、选择题 1. 在ABC ?中，若::1:2:3A B C ∠∠∠=，则::a b c 等于 （ ） A.1:2:3 B.3:2:1 C. D.2 2．在△ABC 中，222a b c bc =++ ，则A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 3．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为 60，则底边长= （ ） A ．2 B ．2 3 C ．3 D ．32 5．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 （ ） A ．135< 数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1．1．1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 第五节解斜三角形 【例1】根据下列条件，解三角形ABC （ 1）已知 30,8,4===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知2,2,30===c b B ，求A 、C 、a ； （3）已知 45,9,6===B c b ，求C 、a 、A 【例2】解答下列各题： （1）已知在△ABC 中，)15(4,4,18+===b a A ，求另一边及另两个角。 （2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c ，且10=c ，又知34 cos cos ==a b B A ，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。 【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果)(2 2 b a +· )sin(·)()sin(22B A b a B A +-=-，且B A ≠，求证：△ABC 是直角三角形。 【例4】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，证明：C B A c b a sin ) sin(222-=- 【例5】已知，钝角三角形ABC 中，4,1,52,90=+=-=>c x b x a B ，求x 的取值范围。 【例6】在△ABC ，如果b a B A =--cos 1cos 1，试判定△AB C 的形状。 【例7】如图，为了测量河对岸A ，B 两点间的距离，在河的这边测定,2 3 km CD = 30,60,45ACB DCB ADC ADB ∠=∠=∠=∠=，求A 、B 两点的距离。 【例8】如图，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东45°，航行30海里后，C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？ 双基训练 1、满足条件 45,23,4===A b a 的△ABC 的个数是（ ） A 、一个 B 、两个 C 、无数个 D 、不存在 2、在△ABC 中， 30,15,5===A b a ，则c 等于（ ） A 、52 B 、5 C 、52或5 D 、以上都不对 3、若B b A a cos cos =，则△ABC 一定是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰或直角三角形 4、在△ABC 中，其周长为7.5cm ，且A sin ：B sin ：C sin =4：5：6，则下列成立的个数是（ ） ①a ：b ：4=c ：5：6 ②a ：b ：2=c ：5：6 ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④A ：B ：C = 4：5：6 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、在△ABC 中，已知 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A 、222< 高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150° 高中数学必修五解三角形教案 高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习 解三角形 一、知识点： 1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为???C的外接圆的半径，则有abc???2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC 两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.） 2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中） ③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2R a?b?cabc???．sin??sin??sinCsin?sin?sinC 1113、三角形面积公式：S???C?bcsin??absinC?acsin? 222④ ?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自：https://www.doczj.com/doc/9018610415.html, 教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或 ?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2 ?cosC?2ab? （两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.） 2225、设a、b、c是???C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为 222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为 钝角三角形． 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sin A?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222 二、知识演练 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形 3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． 高一数学天天练20 解斜三角形 2013.3.18 班级______________姓名______________学号____________ 1、在ABC ?中，3,2,45a b B ===?，则角C=_______________ 2、在△ABC 中，030=∠B ，3=b ，3=c ，则=a ________________。 3、在△ABC 中，2=AB ，3=AC ，且3 1cos =A ，则此三角形的外接圆半径等于＝______ 4、在面积等于3的△ABC 中，060=A ，b ＝2，那么此三角形的外接圆半径等于＝______ 5、在△ABC 中，7=a ，8=b ，143cos = C ，则最小角为________________ 6、在△ABC 中，3π =A ，1=b ，3=?ABC S ，则C B A c b a sin sin sin ++++=_____________ 7、在△AB C 中，a 、b 、c 是三边长，且有22)(c b a S ABC --=?，求 tanA 8、在△ABC 中，32=a ，ο45=B ，33+=?ABC S ，求b 和cosC 9、在△ABC 中，4=c ，7=b ，BC 边上的中线AD 的长为 2 7，求边长a 10、在ABC ?中，53sin =A ，且角A 为锐角，54sin =B ，求r R 的值是多少（R 是ABC ?外接圆半径，r 是ABC ?内切圆半径） 11、在ABC ?中， tan sin tan sin A C B B B -=，求A 12、已知在ABC ?中，2=AB ，7= BC ，1=CA ， 求：①BAC ∠的大小 ②ABC S ? ③设BAC ∠的平分线交边BC 于D ，求线段AD 的长 课题: §1．1．1正弦定理 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中， 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =， C 同理可得 sin sin c b C B =， b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1．在?ABC 中，已知045A =，075B =，40a =cm ，解三角形。 例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，202b =cm ，045A =，解三角形。 人教版必修5课题：《解三角形应用举例》 教材：人教版 教学目标： （1）学会使用测角仪和皮尺等测量工具，根据实际问题设计合适的方案来测量距离；（2）能够运用直角三角形的边与角的关系以及正弦、余弦定理等解三角形的知识，解决不可到达点的距离测量问题； （3）数学建模思想的体会与运用，知识与生活联系，解决生活中的实际问题，学以致用；（4）培养学生的小组合作交流与自主研究学习的能力； （5）指导学生学会评价分析与改进优化。 教学重点、难点： 分析测量问题的实际情景，从而找到合适的测量距离的方法。 教学方法与手段： 学生小组合作探究问题——设计解决问题的方案——交流学习——评价分析，采用问题启发教学、开放式交流讨论教学与师生合作研究等教学方式，使学生在探究式、开放式的教学思想与模式下学会学习、学会探究、学会与人合作、学会评价分析与改进优化，掌握运用课堂学科知识解决生活中的实际问题，做到学以致用。 教学内容设计： 一、情境导入 位于珠江新城的双子塔（西塔与东塔，西塔已竣工，东塔正在建）与海心塔是广州的标志性建筑，它们隔着珠江相望，并与中信广场形成广州的新中轴，其效果图如下图所示： 探究活动一：假设你处于海心塔所在的海心沙岛上，如何测量海心塔与西塔的距离？（假设海心塔与西塔的底部在同一水平线上） 测量工具为：测角仪与皮尺 首先通过示图，了解测角仪的原理与作用 测角仪常用于测量： （1）仰角与俯角（如图1）；（2）方向角（如图2）；（3）方位角（如图3） 图1 图2 图3 此问题在课前作为课后研究学习的资料让学生分小组合作研究，提出测量的设计方案。 二、学生设计方案交流 从学生提交的测量设计方案中选取优秀的几个方案，让学生在课堂上作简短的介绍，让同学们交流学习。 三、分析与解决问题 学生每介绍完一个设计的方案，教师要对该方案进行评价分析，指导设计组的学生进一步改进方案，并指导同学们从中学习方法、积累经验，进而总结思想方法。 交流方案一：（以张靖同学为组长来介绍） 如图4，线段CA 表示西塔，线段DB 表示海心塔 在海心塔的底部B 可测得CA 的仰角α，西塔CA 的高 度可通过电脑查得，记为h ，则由直角CAB ?得 海心塔与西塔的距离α tan h AB = 教师指导学生评价分析方案一 图4 优点：（1）简单、明了，图简单、测量简单、计算简单； （2）采用直角三角形，熟悉、方便； （3）从主视图的角度分析问题，采用线段表示物体，符合示意图的要求； （4）懂得利用电脑查询西塔的高度，多样化解决问题。 不足与改进：（1）测角仪器本身的高度没有考虑，会产生误差。改进如图5； 则两塔间的距离为 α tan d h AB -= （2）如果在AB 间有一幢较高的楼房挡住了视线，让测量者无法看到西塔的底部A ，而也不知两塔的底部在不在同一水平线上，则仰角α无法测量。改进如图6，把测量的地点改到能看到西塔底部的地方，或是岛上的其它点，或是在海心塔的顶部测俯角； 图5 图6 αcot 1h AE =，βcot 2h EB =， C A α B D h 仰角 A B C 俯角 水平线 方向角 测量点 北 西 东 南 α C A α B D h d C D α β A B E h 2 h 1 解三角形的实际应用 知识点 仰角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方；俯角：目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示) 正余弦定理应用类型 已知条件定理选用一般解法三边（,, a b c） 两边和夹角 （如,, a b C） 两边和其中一边的对角 正弦定理 （如,, a b A） 两边和其中一边的对角 余弦定理 （如,, a b A） 一边和二角 （如,, a B C） 总结：单角用余弦，两角用正弦 题型一 测量距离的问题 【例1】. 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2．57cm ，CE=3．57cm ，BD=4．38cm ，B=45°，C=120°．为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0．01cm)． 【例2】. 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 2 3a 的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离. 【巩固练习】 1.一蜘蛛向北爬行xcm 捕捉到一只小虫，然后向右转105?，爬行10cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135?爬行回它的出发点，那么x = . 2.如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15?的方向上，且此时货轮与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔S 在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ). A ．()2062+海里/小时 Ｂ．()2062-海里/小时 Ｃ．()2063+海里/小时 Ｄ．()2063-海里/小时 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 解三角形应用举例 主标题：解三角形应用举例 副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角 难度：3 重要程度：5 考点剖析： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 命题方向： 1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度： (1)测量问题； (2)行程问题． 规律总结： 1个步骤——解三角形应用题的一般步骤 2种情形——解三角形应用题的两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2个注意点——解三角形应用题应注意的问题 (1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程． (2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量． 知识梳理 1．距离的测量 背景可测元素图形目标及解法 两点均可到达a，b，α 求AB：AB＝ a2＋b2－2ab cos α 只有一点可到达b，α，β 求AB：(1)α＋β＋B＝π； (2) AB sin β＝ b sin B 两点都不可到达a，α，β， γ，θ 求AB：(1)△ACD中，用 正弦定理求AC； (2)△BCD中，用正弦定理 求BC； (3)△ABC中，用余弦定理 求AB 2.高度的测量 背景可测元素图形目标及解法 底部可 到达 a，α求AB：AB＝a tan_α 底部不可到达a，α，β 求AB：(1)在△ACD中用正弦 定理求AD；(2)AB＝AD sin_β 3.实际问题中常见的角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)． 人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.锐角中，已知，，则的取值范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 2.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则 的形状为 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 3.在中，，，，则的值等于 A. B. C. D. 4.在中，有正弦定理：定值，这个定值就是的外接圆 的直径如图2所示，中，已知，点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合，对于M的每一个位置，记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为，那么 A. 先变小再变大 B. 仅当M为线段EF的中点时，取得最大值 C. 先变大再变小 D. 是一个定值 5.已知三角形ABC中，，边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大 时，AB的长为 A. B. C. D. 6.在中，，，分别为内角，，所对的边，，且满足若 点O是外一点，，，平面四边形OACB 面积的最大值是 A. B. C. 3 D. 7.在中，，， ，则使有两解的x的范围是 A. ， B. ， C. ， D. ， 8.的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则 的面积为 A. B. C. D. 1 9.在中，若，则是 A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10.在中，已知，，分别为， ， 的对边，则为 A. B. 1 C. 或1 D. 11.设锐角的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且，，则b 的取值范围为 A. ， B. ， C. ， D. ， 12.在中，内角，，所对边的长分别为，，，且满足 ，若，则的最大值为 A. B. 3 C. D. 9 二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 13.设的内角，，所对的边分别为，，且，则角A的大 小为______ ；若，则的周长l的取值范围为______ ． 14.在中，， ， 所对边的长分别为，，已知 ，，则______ ． 15.已知中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则 的形状是______ ． 16.在中，若，则的形状为______ ． 17.在中，角，，的对边分别为，，，若， 且，则______ ．18.如果满足，，的三角形恰有一个，那么k的取值范围 是______ ． 19.已知的三个内角，，的对边依次为，，，外接圆半径为1，且满足 ，则面积的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共11小题，共132.0分） 20.在锐角中，，，是角，，的对边，且． 求角C的大小； 若，且的面积为，求c的值． 21.在中，角，，的对边分别为，，已知． 求角A的大小； 若，，求的面积． 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <解三角形全章教案(整理)
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