（通用版）高三数学一轮（全册）精品导学
案汇总
《二倍角的三角函数》活动导学案
【学习目标】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”
【重难点】灵活运用公式求值化简
【课时安排】1课时
【活动过程】
一.自学质疑：
1.化简：
sin sin 21cos cos 2αα
αα
+=++___________ ．
2．已知tan
32
α
=，则cos α=________．
3．写出下列各式的值：
（1）2sin15cos15??=_________；
（2）22
cos 15sin 15?-?=_________；
（3）2
2sin 151?-=_____ ____； （4）2
2
sin 15cos 15?+?=______ ___． 4．求值：（1）1tan151tan15-?=+?_______； （2）5cos cos 1212
ππ
=______ ___．
5.化简：(cos sin )(cos sin )(1tan tan )22222
θ
θθθθ
θ+-+=____ ___． 探究一
1.已知)2,2(,54sin π
παα-∈-=，则=α2sin . 2.若),0(,3
1
cos sin π∈=+x x x ，则=-x x cos sin .
3.若5
3
)2sin(=+θπ，则=θ2cos .
4.设向量)22,(cos α=→
a 的模为
2
3
，则=α2cos .
探究二1.化简（1）θ
θ
θ
θθcos 22)2cos 2)(sin
cos sin 1(+-++.
（2）βαβαβα2cos 2cos 2
1
cos cos sin sin 2
2
2
2
-+
2.已知1413)cos(,71cos =-=βαα，且2
0παβ<<<. （1）求α2tan 的值；（2）求β∠的值.
3.已知函数x x x f 2cos 3)4
(
sin 2)(2
--=π
.
（1）求)(x f 的最小正周期和单调减区间； （2）若2)(+ ,0[π 上恒成立，求实数m 的取值范围. 探究三1.若4tan 1 tan =+ θ θ，则=θ2sin . 2.已知向量)4,3(),cos ,(sin -==→ → b a θθ，若→ → b a //，则=θ2tan . 3.设α为锐角，若54)6cos(= + π α，则=+)12 2sin(π α . 4.若)2,0(πα∈，且4 12cos sin 2 =+αα，则=αtan . 5. （1）若3cos()45x π +=，177124 x ππ << ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 6.已知函数2()2cos cos( )3sin cos 6 f x x x x x x π =-+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）设]2 ,3[π π-∈x ，求()f x 的值域． 探究四 1．若α∈? ????π2，π，且3cos 2α＝sin ? ?? ??π4－α，则sin 2α的值为________． 2.创新题设函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导数，若f (x )＝2f ′(x )，则sin 2 x －sin 2x cos 2 x ＝______. 3．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 4.如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半 轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，4 5 )，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2 的值． 《三角函数的概念》活动导学案 【学习目标】 1、 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算； 2、 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 3、掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值． 【重难点】任意角三角函数定义 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑 终边相同的角：所有与角α终边相同的角的集合 弧度角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度；②弧长公式： ③扇形面积公式 三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边上一点P (x ，y )（不同于原点）， 则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ． 1． 885-化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是 ． 2．已知α为第三象限角，则 2 α所在的象限是 ． 3．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2 ，则扇形的圆心角的弧度数是______________． 4．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 5．若sin cos 0θθ?>，则θ在第_____________象限． 二、互动研讨： 探究一1. 若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin 2 α ，cos 2 α ，tan 2 α 中能确定 是正值的有__ 个． 2.若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ 3 角的终边相同 的角的集合为__________． 3. tan(3)sin 5 cos8 -的符号为 ． 4.一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？ 最大面积是多少？ 探究二 1.角α的终边过点)2,1(-，则=αsin . 2.已知扇形的周长是cm 6，面积是2 2cm ，则此扇形的圆心角的弧度数是 . 3.已知角α的终边经过点)0)(12,5(<-m m m ，则=+ααcos 3sin . 4.已知角α的终边在直线x y 3=上，则=αcos . 5.已知α是第一象限角，问：（1）α2是第几象限角？（2）2 α 是第几象限角？ 6.已知5 4 2cos ,532sin -==αα ，试判断角α的终边在第几象限？ 7.若一扇形的周长是cm 16，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大值为多少？ 8.已知角α是第二象限角，且点)5,(x P 是角α终边上一点，且x 4 2 cos = α，求αsin 的值. 探究三 1.已知角θ的终边上一点)2,(-m P ，且4=OP ，则=θtan . 2.已知角α的终边经过点)2,93(+-a a ，若0sin ,0cos >≤αα，则实数a 的取值范围是 . 3.函数x y sin lg =的定义域为 . 4.若x x --=43 2cos α，且角α是第二或第三象限角，则实数x 的取值范围是 . 5.已知角α终边上一点),3(y P -，且y 4 2 sin =α，求αcos 和αtan . 6.已知0tan ,0sin ><αα. （1）求角α的取值集合； （2）求角 2 α 所在的象限； （3）是判断2 cos 2sin 2tan α αα的符号. 探究四（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值． (3)已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝2 5 ， 且cos α<0，求k 的值． (4)如图,O 为坐标原点,点,,A B C 均在O Θ上,点 A 34 (,)55 ,点B 在第二象限,点C (1,0). （Ⅰ）设COA θ∠=,求sin 2θ的值； （Ⅱ）若AOB ?为等边三角形,求点B 的坐标. 检测反馈 O x y C A B 1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________． 2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2 ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________． 4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 5．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－3 5，则x 的值为 ________． 6．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈? ?? ??π2，π，则tan α＝______. 《三角函数的图像与性质》活动导学案 【学习目标】 1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数 sin()y A x ω?=+的性质； 2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【重难点】简单三角函数的图像与性质 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑 1. 在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 2．函数y ＝tan ? ????π4－x 的定义域是________． 3．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ? ????－π 4≤x ≤3π4的值域是________． 4．函数y ＝|sin x |的单调增区间是________． 5．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ? ????2x －π4在区间??????0，π2上的最小值为________． 探究一 1. (1)、求函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域 （2）、求函数y ＝2cos 2 x ＋5sin x －4的值域 2.求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ? ????x －π4； (2)y ＝tan ? ?? ??π3－2x . 3.(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在??????－2π3 ，2π3上单调递增，则ω 的最大值为______． 4.(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2 x ＋23sin x ·cos x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期及对称中心； (2)当x ∈???? ??－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 探究二1.函数)3 2sin(π+=x y 的单调增区间为 . 1.函数)6 2tan(π-=x y 的定义域为 . 2.函数)3 2cos(π+ =x y 在区间]6 ,3[π π- 上的值域为 . 3.函数)2sin(5θ+=x y 关于y 轴对称，则=θ . 4.函数2 251cos )(x x x f -+ = 的定义域为______________ 5.求函数4 4 ,sin 2cos 2 π π ≤ ≤-+=x x a x y 的值域. 探究三 5.函数x y 2 1 sin =的图象的对称轴方程为 . 6.函数)3 2sin(π + =x y 的图象离y 轴最近的一条对称轴为 . 7.函数x y sin =与x y tan =的图象在]2,0[π上的交点个数是 . 4.函数x x y cos 2sin 2 +=在区间],3 2[θπ-上的最大值为1， 则θ的最小值为 . 5已知向量)sin ,4 1 (),cos ,1(x b x a -==→→. （1）当]4 , 0[π ∈x 时，若→ →⊥b a ，求x 的值； （2）定义函数R x b a a x f ∈-?=→ → → ),()(，求)(x f 最小正周期及最大值. 6.已知函数1cos sin 2cos 2)(2 ++-=x x x x f ，(R x ∈)． （Ⅰ）求函数 ()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 ()f x 的最大值，并求此时自变量x 的集合 7.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23, 2(),sin ,(cos π πααα∈C （1）若α求角|,|||=的值； （2）若.tan 12sin sin 2,12的值求 α α α++-=? 探究四1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π4? ????0≤x ≤π2的单调增区间是________． 2．已知函数f (x )＝2sin ? ????ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________． 3．函数y ＝cos ? ?? ? ?π4－2x 的单调减区间为________． 4．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： (1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )的最小正周期是2π；(3)点(π，0)是函数f (x ) 的图像的一个对称中心；(4)函数f (x )在区间??????0，π2上单调递增，在区间???? ??－π2，0上单调 递减． 其中是真命题的是________(填序号)． 5.已知函数()cos cos(),2 f x x x x R π =++∈ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间； （Ⅲ）若3 ()4 f α=，求sin2α的值 6. ．已知向量(1sin 2,sin cos )a x x x =+-，(1,sin cos )b x x =+，函数()f x a b =?． （Ⅰ）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （Ⅱ）若8()5f θ= ，求πcos 224θ?? - ??? 的值． 《导数的概念及其运算》活动导学案 【学习目标】 5.会用导数定义、导数公式以及导数运算法则求函数的导数； 2、会根据导数的几何意义求有关切线的问题. 【重难点】导数的几何意义 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑 1．已知物体的运动方程为s ＝t 2 ＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为 ________． 2．设y ＝x 2·e x ，则y ′＝______________. 3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1 2 x ＋2，则f (1)＋f ′(1) ＝________. 4．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32 ，则 切点的横坐标是________． 5．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π 4 )＝________. 二、互动研讨： 探究点一 求函数的导数 利用导数的定义求函数的导数： (1)f (x )＝1 x 在x ＝1处的导数； 探究点二 导数的运算 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ?? ??1＋1x ； (2)y ＝ln x x ； (3)y ＝x e x ； (3)y ＝tan x . (4)y ＝e x ·cos x ； (5)y ＝x －sin x 2cos x 2； 变式：求下列函数的导数： (1)y ＝x 2 sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ；(3)y ＝ ln x x 2＋1 . (3)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 探究点三 导数的几何意义 8.(2013·广东卷)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 9.设f (x )＝x ln x ＋1，若f ′(x 0)＝2，则f (x )在点(x 0，y 0)处的切线方程为 ____________________． 【训练2】 (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________________． (3)若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为________(锐角、直角、钝角)． 探究点四、导数运算与导数几何意义的应用 1、已知曲线y ＝13x 3＋4 3 . (1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程． 2、设l 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线． (1)求l 的方程； (2)试证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 变式：某物体在t （单位：s ）时离出发点的距离（单位：m ）是t t t t f 23 2)(2 3++=. （3）求在第s 1内的平均速度；（2）求在s 1末的瞬时速度； （3）经过多少时间物体的运动速度达到14s m /. 检测反馈 1.曲线x e y =在点),2(2 e 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 . 2.已知函数2 2 1)0()(x x f e x f x +-=，则=)1('f . 3.已知函数1 4)(+=x x e e x f ，则)(x f 的导函数)('x f 的值域为 . 4.设P 是函数)1(+= x x y 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线倾斜角为 θ，则θ的取值范围是 . 5、若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2 ＋a 都相切，则a 的值是________． 6、函数y ＝ln x (x >0)的图象与直线y ＝1 2 x ＋a 相切，则a 等于________． 《导数的应用—单调性》活动导学案 【学习目标】 5.会利用导数求函数的单调区间； 6.会根据函数的单调性,结合导数求一些参数的取值范围； 7.能够将函数的单调性问题转化为一些不等式恒成立问题. 【重难点】能够利用导数与函数单调性的关系，求参数的取值范围. 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑 （4）函数633152 3 +--=x x x y 的单调减区间为 . （5）已知函数x b x y ln 2 1 +-=在区间),1(+∞上是减函数，则实数b 的取值范围是 . （6）已知函数)(x f 的导函数x x x f 3)('2 +-=，则函数)(x f 的单调增区间为 . （7）已知函数x x x f +=3 )(，若2 0π ≤ 数m 的取值范围是 . 二、互动研讨： 1.求下列函数的单调区间 （1）x e x x f )3()(-=；（2）x x x f ln 22)(2 -=. 议一议：（1）函数61153 1)(23 +--=x x x x f 的单调减区间为 . （2）函数x e x x x f )1()(2 ++=的单调减区间为 . (2)已知函数1)(3 --=ax x x f . （1）若3=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在)1,1(-上单调递减？若存在，求出其范围；若不存在，请说明理由. 3、(2013·广东卷改编)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2 . (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围． 4、已知函数x a ax x x f ln )1(2 1)(2 -+-= ，其中1>a ，是讨论函数的单调性. 5、 已知函数f (x )＝x 3－ax 2 －3x . (1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 三、检测反馈 6.函数],0[,cos 3sin )(π∈-=x x x x f 的单调增区间为 . 7.函数)0(ln 2)(2 <+=a x a x x f 的单调减区间为 . 8.若函数a x ax x y 23 123 -+-=在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 . 9.已知函数x x ax x f ln 21 )(--=在),0(+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 5、已知函数R x kx e x f x ∈-=,)(.若e k =，试确定函数)(x f 的单调增区间； 《导数的应用—极值、最值》活动导学案 【学习目标】 10.会用导数研究函数的极值和最值； 11.会求函数的极值和最值. 【重难点】掌握求函数极值和最值的的一般方法. 【课时安排】1课时 【活动过程】 一、自学质疑 （8）函数x x y 22 -=在R 上有极 值，该值的大小为 . （9）函数1112)(3+-=x x x f 的极小值为 . （10）函数x ax x x f 2)(2 3 ++=的极值点有两个，则实数a 的取值范围是 . （11）函数]2 ,2[,cos 21π π-∈+=x x y 的最大值为 . 二、互动研讨 求函数82 3532 3+-= x x y 的极值 小组讨论一、 利用导数研究函数的极值 1、设函数231 2)(bx ax e x x f x ++=-，已知2-=x 和1=x 为)(x f 的极值点，求a 和b 的值. (2)已知函数x b ax x f ln )(2 +=在1=x 处有极值21.求a 和b 的值. 2、设f (x )＝a ln x ＋12x ＋3 2 x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于 y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值． 小组讨论二、 利用导数求函数的最值 1、 (2012·重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16. (1)求a ，b 的值； (2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 2、 设函数f (x )＝x ＋ax 2 ＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值； (2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 3.已知函数x ax x x f 3)(2 3 +-=. 8.若)(x f 在),1[+∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围； 9.若3=x 是函数)(x f 的极值点，求)(x f 在区间],1[a 上的最值. 4.已知函数c bx ax x x f +++=2 3 )(在1=x 和3 2 -=x 时都取得极值. (2)求b a ,的值； (3)若2 3 )1(=-f ，求)(x f 的极值； (4)若对于]2,1[-∈?x 都有c x f 3 )(<恒成立，求c 的取值范围.
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