离散数学期末试卷A卷及答案
《离散数学》试卷（A卷）
专业年级班姓名学号
题
一二三四五总分号
得
分
一、选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分）
1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则
?)
(为(C )。
A⊕
C
B
A、{1,2}
B、
{2,3}
C、{1,4,5}
D、{1,2,3}
2、下列语句中哪个是真命题 ( A)
A、如果1+2=3，则4+5=9；
B、1+2=3当且仅当4+5≠9。
C、如果1+2=3，则4+5≠9；
D、
1+2=3仅当4+5≠9。
- 2 -
3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。
A、)
?
?B、
x=
y
*
y
(y
x
x
y
x
?y
?
)4
*
(=
C、)
x
x=
?D、
y
(x
*
x
x
y
?y
)2
*
(=
?
4、全域关系
E不具有下列哪个性质
A
（ B ）。
A、自反性
B、反自反性
C、对称性
D、传递性
5、函数6
f
R
x
R
f是（ D ）。
→x
(
)
=
,
12
:+
-
A、单射函数
B、满射函数
C、既不单射也不满射
D、双射函数
- 3 -
二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分）
1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A?B)|=128，
则|A?B|=??2???.
2、公式)
∧的主合取范式
∨
Q?
(Q
P
为。
3、对于公式))(
x
x∨
?，其中)(x P：x=1，
P
Q
)
(
(x
Q：x=2，当论域为{0,1,2}时，其
)
(x
真值为???1???。
4、设A＝{1,2,3,4}，则A上共有???15??
??个等价关系。
5、设A＝{a，b，c }，B={1,2},则|B A|=
8 。
三、判断题（对的填T，错的填F，共10
小题，每题 1 分，共计10 分）
1、“这个语句是真的”是真命题。
（F）
2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。（F）
- 4 -
3、)
?
p∧
→
∨是矛盾式。
?
p
∧
((
)
)
(r
q
q
（T）
4、)
?
?
?
?。
?
R?
S
S
R
(T
T
R
（F）5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。（T ）6、若f、g分别是单射,则g f?是单射。（T）7、若g f?是满射，则g是满射。（F）
8、若A
B?，则)(
B
P?。
P
)
(A
9、若R具有自反性，则1-R也具有自反性。（T）
- 5 -
10、B
A?不可以同时成立。
A∈并且B
（F）
四、计算题（共 3 小题，每题10 分，共30 分）
1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问
（１）三门课程都不选的学生有多少？（２）只选修计算机课程的学生有多少？
1、解：设A ：选数学课程，B：选计算机课程，C：选商贸课程。文氏图如下
- 6 -
所示：
则(1)三门课都不会选修的人有：260-(64+94+58)+(28+26+22)-14=106。
(2)只选修计算机课程的学生有：94-12-14-8=60。
2、给定解释I如下：
(a)个体域D={3,4};
(b)f(x)为f(3)=4,f(4)=3;
(c)F(x,y)为F(3,3)=F(4,4)=0,F(3,4)=F(4,3)=1。
求公式)))
y
F
f
x
y
?在I下的真
?
x→
x
F
(
),
(
(
)
(y
f
(
,
值。
解: 由消去量词不等式得：
x
y
F
f
F
x
?
x→
y
?
(
),
(
)))
(
)
(y
f
(
,
- 7 -
?( F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧( F(4,3)→F(f(4),f(3)))
∧( F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧( F(4,4)→F(f(4),f(4)))
? (0→0) ∧(1→1) ∧(1→1) ∧(0→0)
?1
所以公式在I下的真值为1。
3、设A={1,2,3}，求A上所有的等价关系。
解： A的所有划分如下：
π1={{1}，{2,3}}；π2={{2}，{1,3}}；
π3={{3}，{1,2}}；π
4={{1,2,3}}；
π5 ={{1},{2},{3}} 。
则对应的等价关系如下:
R1={<2,3>,<3,2>}∪I A；
R2={<1,3>,<3,1>}∪I A；
R3={<1,2>,<2,1>}∪I A；R4= E A；
R5= I A 。
- 8 -
- 9 -
五、证明题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分）
1、 符号化下列命题，并证明其有效性：
三角函数都是都是周期函数；一些三角函数是连续函数。所
以一些周期函数是连续函数。
证明：设P(x)：x 是三角函数； Q(x) ：
x 是周期函数； S(x)：x 是连续函数。
上述句子符号化为：
前提：))()((x Q x P x →?、))()((x S x P x ∧? 结论： ))()((x S x Q x ∧? ①))()((x S x P x ∧? P ②)()(a S a P ∧ ES ① ③))()((x Q x P x →? P ④)()(a Q a P → US ② ⑤)(a P T ①化简 ⑥)(a S T ①化简
⑦)(a Q T ④⑤假言推理
- 10 -
⑧)()(a Q a S ∧ T ⑥⑦合取
⑨)()((x Q x S x ∧? EG ⑧
2、设R 表示Z ×Z 上的二元关系，当且
仅当xy=uv 时，便有
对任意的 对任意的 > <> uv xy =? xy uv =?><> 对称； (3)传递性： 对任意的对任意的 ∈ Z ×Z, 若> <> > <> uv xy =且 wt uv =? wt xy = ?><> - 11 - 所以R 是等价关系。 3、设>-+=<> f 是双射函数。 证明： （1）满射性：>-+< ??>∈ ,2, ,v u v u R R v u 使 得 >=<>-+ ,2( f ∴满射。 （2）单射性：R R v u y x ?>∈<> >-+>=<-+?<><=> ? v u y x v u y x -=-+=+, ?v y u x ==, ?> >=< f ∴单射 综上所述，f 双射。
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