福建省漳州市2015届高考数学适应性试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，若M∩N={4}，则复数z的共轭复数z的虚部是（）
A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．4
2．（5分）下列命题中，正确的一个是（）
A．?x0∈R，ln（x02+1）＜0
B．若q是?p成立的必要不充分条件，则?q是p成立的充分不必要条件
C．?x＞2，x2＞2x
D．若x≠kπ（k∈Z），则sin2x+≥3
3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S是127，则判断框内应该是（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
4．（5分）将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）
A．B．﹣C．D．
5．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
6．（5分）函数f（x）=sinx?ln|x|的部分图象为（）
A．B．
C．D．
7．（5分）点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）
A．B．C．D．
8．（5分）在平面直角坐标平面上，=（1，4），=（﹣3，1），且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为（）
A．﹣B．C．或﹣D．
9．（5分）对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，
p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999
10．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x
﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f p（2）]=f[f（2）] D．f p[f（3）]=f[f（3）]
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．11．（4分）已知函数f（x）=，若f（x）=2，则x=．
12．（4分）若f（x）=x2+3dx，则=．
13．（4分）某校2015届高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100]之间的概率为．
14．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=．
15．（4分）已知函数f（x）=（x2+a）的图象在点P n（n，f（n））（n∈N*）处的切线l n的斜
率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且y1=﹣1．给出以下结论：
①a=﹣1；
②记函数g（n）=x n（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1；
③当n∈N*时，y n+k n+＜ln（1+k n）；
④当n∈N*时，记数列{}的前n项和为S n，则S n＜．
其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a 的最小值．
17．（13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，
规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0（0＜P0＜1），赌中后可得
30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．
（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为，求P0的大小；
（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？
18．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．
19．（13分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其中b=a，过椭圆E内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足=λ，
=λ，其中λ为正常数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）求a与b的值；
（3）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
20．（14分）对于函数f（x）（x∈D），若x∈D时，恒有f′（x）＞f（x）成立，则称函数f（x）是D上的J函数．
（Ⅰ）当函数f（x）=me x lnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，
①试比较g（a）与e a﹣1g（1）的大小；
②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，x n，均有g（ln（x1+x2+…+x n））＞g（lnx1）+g（lnx2）+…+g（lnx n）．
四、选做题：【选修4-2：矩阵与变换】
21．（7分）已知矩阵A=．
（1）求A的逆矩阵A﹣1；
（2）求矩阵A的特征值λ1、λ2和对应的一个特征向量、．
【不等式选讲】
23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+）的解集非空，求实数a的取值范围．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（7分）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为
．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
福建省漳州市2015届高考数学适应性试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．（5分）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，若M∩N={4}，则复数z的共轭复数z的虚部是（）
A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．4
考点：交集及其运算；复数代数形式的乘除运算．
专题：集合．
分析：由M与N交集中的元素为4，得到4为M中的元素，即可得到结果．
解答：解：∵M={1，2，zi}，N={3，4}，且M∩N={4}，
∴zi=4，即z=﹣4i，
则复数z的共轭复数z的虚部是4，
故选：D．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）下列命题中，正确的一个是（）
A．?x0∈R，ln（x02+1）＜0
B．若q是?p成立的必要不充分条件，则?q是p成立的充分不必要条件
C．?x＞2，x2＞2x
D．若x≠kπ（k∈Z），则sin2x+≥3
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：利用函数的最小值判断A的正误；
通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定B的正误．
通过特例判断C的正误；
特例判断D的正误；
解答：解：对于A，?x0∈R，ln（x02+1）＜0，例如x0=0，则x02+1≥1，∴ln（x02+1）≥0成立．所以A不正确．
对于B，由q是?p成立的必要不充分条件知“若q则?p”为假，“若?q则p”为真，
根据互为逆否命题的等价性知，“若q则?p”为假，“若?p则q”为真，所以若q是?p成立的必要不充分条件，则?q是p成立的充分不必要条件是真命题，所以B正确；
对于C，?x＞2，x2＞2x，显然不正确，当x=4时，x2=2x，所以C不正确；
对于D，若x≠kπ（k∈Z），则sin2x+≥3，显然不正确，当x=﹣时，sin2x+=﹣4+
＜3，所以D不正确．
故选：B．
点评：本题考查四种命题的真假判断，充要条件的判断方法，特称命题以及基本不等式的应用，考查基本知识的掌握情况
3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S是127，则判断框内应该是（）
A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=127，n=7时，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为127，故判断框内应该是：n≤6．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
n=1，S=1
满足条件，S=3，n=2
满足条件，S=7，n=3
满足条件，S=15，n=4
满足条件，S=31，n=5
满足条件，S=63，n=6
满足条件，S=127，n=7
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为127，
故判断框内应该是：n≤6．
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）将函数y=sin（x+）cos（x+）的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（）
A．B．﹣C．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：化简函数解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，结合题意，可求得φ的值．
解答：解：∵y=sin（x+）cos（x+）=sin（2x+φ），
将函数y的图象向右平移个单位后得到f（x﹣）=sin（2x﹣+φ），
∵f（x﹣）为偶函数，
∴﹣+φ=kπ+，k∈Z，
∴φ=kπ+，k∈Z，
故选：C．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的对称性，突出考查正弦函数与余弦函数的转化，属于中档题．
5．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）
A．B．C．D．2
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．
专题：压轴题．
分析：设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．
解答：解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，
∵|AF|=3，
∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3
∴2+3cosθ=3
∴cosθ=
∵m=2+mcos（π﹣θ）
∴
∴△AOB的面积为S==
故选C．
点评：本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．
6．（5分）函数f（x）=sinx?ln|x|的部分图象为（）
A．B．
C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性和x∈（0，1）时，函数f（x）的图象的位置，利用排除法可得答案．
解答：解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）?ln|﹣x|=﹣sinx?ln|x|=﹣f（x），
故函数f（x）为奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，
故排除CD，
当x∈（0，1）时，sinx＞0，ln|x|＜0，此时函数f（x）的图象位于第四象限，
故排除B，
故选：A
点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中分析出函数图象的形状和位置是解答的关键．
7．（5分）点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）
A．B．C．D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0
应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可
解答：解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行
∵k AC=，
∴﹣=1，
∴a=﹣1，
则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，
由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，
其取得最大值，最大值是=
故选：B．
点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．
8．（5分）在平面直角坐标平面上，=（1，4），=（﹣3，1），且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为（）
A．﹣B．C．或﹣D．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：设直线l的一个方向向量为，由投影的意义可得，再利用数量积运算解出即可．
解答：解：设直线l的一个方向向量为，
由题意可得，
∴|1+4k|=|﹣3+k|，
解得k=或﹣．
故选：C．
点评：本题考查了投影的意义、数量积运算，属于基础题．
9．（5分）对于一个有限数列p=（p1，p2，…，p n），p的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为，其中S k=p1+p2+…+p k（1≤k≤n，k∈N）．若一个99项的数列（p1，
p2，…，p99）的蔡查罗和为1000，那么100项数列（9，p1，p2，…，p99）的蔡查罗和为（）A．991 B．992 C．993 D．999
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：首先利用定义求出前99项的和，进一步求出结果．
解答：解：由“蔡查罗和”定义，
{P1，P2，P99}的“蔡查罗和”为：
∴S1+S2+…+S99=99000，
则100项的数列{9，P1，P2，P99}“蔡查罗和”为：=999．
故选：D．
点评：本题考查的知识要点：利用信息求出结果，主要考查对知识的应用能力．属于基础题型．
10．（5分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数f p（x）
=，则称函数f p（x）为f（x）的“p界函数”若给定函数f（x）=x2﹣2x
﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A．f p[f（0）]=f[f p（0）]B．f p[f（1）]=f[f p（1）]C．f p[f p（2）]=f[f（2）] D．f p[f（3）]=f[f（3）]
考点：分段函数的应用．
专题：新定义；函数的性质及应用．
分析：由于函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，求出f2（x）=，再
对选项一一加以判断，即可得到答案．
解答：解：∵函数f（x）=x2﹣2x﹣1，p=2，
∴f2（x）=，
∴A．f p[f（0）]=f2（﹣1）=2，f[f p（0）]=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；
B．f p[f（1）]=f2（﹣2）=2，f[f p（1）]=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；
C．f[f（2）]=f（﹣1）=2，f p[f p（2）]=f2（﹣1）=2，故C成立；
D．f[f（3）]=f（2）=﹣1，f p[f p（3）]=f2（2）=﹣1，故D成立．
故选：B．
点评：本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置上．11．（4分）已知函数f（x）=，若f（x）=2，则x=﹣1．
考点：函数的值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意讨论|x﹣1|=2还是3x=2，从而求解．
解答：解：由题意，
若|x﹣1|=2；
则x=﹣1或x=3（舍去）；
若3x=2；
则x=log32（舍去）；
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．
12．（4分）若f（x）=x2+3dx，则=．
考点：定积分．
专题：导数的综合应用．
分析：由题意得，令=c；故f（x）=x2+3c，从而可得c=（x2+3c）
dx=x2dx+3cx|=+3c，从而解得．
解答：解：令=c；故f（x）=x2+3c；
c==（x2+3c）dx=x2dx+3cx|=+3c；
故c=﹣；
故答案为：﹣．
点评：本题考查了定积分的求法，关键是由题意建立关于c的等式，通过方程的思想求值，属于中档题．
13．（4分）某校2015届高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为0.016
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100]之间的概率为0.6．
考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；茎叶图．
专题：计算题．
分析：（1）由频率分布的直方图可得成绩落在区间[50，60）内的频率，设样本容量为n，由样本频率的定义求出n，可得成绩落在[80，90）间的频率，再除以除以组距10，可得所求．（2）由于故绩落在[80，90）间的有4个，落在[90，100]之间的有2个，根据所有的取法共有种，至少有一份分数在[90，100]之间的取法有+种，由此求得至少有一份分
数在[90，100]之间的概率．
解答：解：（1）由频率分布的直方图可得成绩落在区间[50，60）内的频率为0.008×10=0.08，而由茎叶图可得成绩落在区间[50，60）内的只有2个，设样本容量为n，
则有=0.08，解得n=25．
故成绩落在[80，90）间的有25﹣21=4，故成绩落在[80，90）间的频率为，
故矩形的高为频率除以组距10为=0.016，
故答案为0.016．
（2）由于故绩落在[80，90）间的有4个，落在[90，100]之间的有2个，
分数在[80，100]之间的试卷中任取两份，所有的取法共有=15 种，
其中，至少有一份分数在[90，100]之间的取法有+=9种，
故至少有一份分数在[90，100]之间的概率为=0.6，
故答案为0.6．
点评：本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样样本的频率分步估计总体的分步，属于基础题．
14．（4分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，
则实数a=．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．
专题：导数的概念及应用．
分析：先根据定义求出曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C1：y=x2+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．
解答：解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为，
圆心到直线y=x的距离为=2，
∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2﹣=．
则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于，
令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），
切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0，
由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为，
即解得a=或﹣．
当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去．
故答案为：．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．
15．（4分）已知函数f（x）=（x2+a）的图象在点P n（n，f（n））（n∈N*）处的切线l n的斜
率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且y1=﹣1．给出以下结论：
①a=﹣1；
②记函数g（n）=x n（n∈N*），则函数g（n）的单调性是先减后增，且最小值为1；
③当n∈N*时，y n+k n+＜ln（1+k n）；
④当n∈N*时，记数列{}的前n项和为S n，则S n＜．
其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）
考点：数列与函数的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑．
分析：首先利用函数的导数求出在某点处的斜率，进一步利用直线与x轴和y轴的交点求出y n，x n，关于n的函数关系式，由y1=﹣1求得a值判断①；
利用导数求出函数x n的单调性并求其最小值判断②；求出y n+k n+关于n的函数式，分n=1和n≥2利用函数值的符号比较y n+k n+与ln（1+k n）的大小判断③；
求出数列{}的通项，放缩后利用裂项相消法求和证明S n＜．
解答：解：①由f（x）=（x2+a），得f′（x）=x，则f′（n）=n，
即k n=n，
∴曲线在点P n（n，f（n））处的切线l n的切线方程为：ln：y﹣（n2+a）=n（x﹣n），
直线l n与y轴交于点B n（0，y n），
则：且y1=﹣1．
解得：a=﹣1，故①正确；
②直线l n与x轴交于A n（x n，0），
∴
整理得：g（n）=，
则：
令
解得：n=1（负值舍去），
当n＞1时，x n′＞0
∴函数g（n）为增函数，
当n=1时，函数取最小值，且最小值为1．
∴函数g（n）的单调性是增函数，且最小值为1，故②不正确；
③在l n中，令x=0，得y n=﹣n2+（n2﹣1）=﹣（n2+1），
∴y n+k n+=﹣n2+n，
当n=1时，y1+k1+==ln＜ln2=ln（1+1）=ln（1+k1），
当n≥2时，y n+k n+=﹣n2+n≤0，而ln（1+k n）=ln（1+n）＞ln1=0，故③正确；
④∵，
∴S n＜．
当n＞1时，，
∴S n＜
=，故
④正确．
故答案为：①③④．
点评：本题考查命题的真假判断与运用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了放缩法和裂项相消法证明数列不等式，是压轴题．
三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a 的最小值．
考点：余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos （2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求
出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c2﹣2bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a
的最小值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x
=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）
=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）
∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，
∴f（x）的最大值为2，（4分）
要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），
解得：x=kπ﹣（k∈Z），
则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）
（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣2A+）=，
化简得：cos（2A﹣）=，（8分）
∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），
则有2A﹣=，即A=，（10分）
在△ABC中，b+c=2，cosA=，
由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）
由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，
∴a2≥4﹣3=1，
则a取最小值1．（14分）
点评：此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
17．（13分）翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡
翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P0（0＜P0＜1），赌中后可得
30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．
（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为，求P0的大小；
（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？
考点：二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量的期望与方差．
专题：应用题；概率与统计．
分析：第（1）问是理解对立事件及其概率的计算，即若“2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”；
第（2）问是考查离散型随机变量的期望值，通过对期望值的计算，比较期望值的大小得到求解问题的决策．
解答：解：（1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为，收藏者李先生赌中的概率为P0，且
两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X（单位：万元）”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=50”．
因为，所以，求得．（4分）
（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为X1，都选择规则乙赌中的次数为
X2，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为E，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为E（30X1）．
由已知可得，，X2～B，所以，E（X2）=2P0，
从而，E（30X2）=30E（X2）=60P0．（8分）若E＞E（30X1），则，解得；
若E＜E（30X1），则，解得；
若E=E（30X1），则，解得．（11分）
综上所述，当时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当时，
他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相
等．（12分）
点评：本题以翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”为命题背景，考查数学期望Eξ的计算及在实际中的应用．
18．（13分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥
平面SCD；
（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；
（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．
解答：解：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
则，，．
设平面SCD的法向量是，则，即
令z=1，则x=2，y=﹣1．于是．
∵，∴．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为．设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，
则==，即．
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设N（x，2x﹣2，0），则．
∴===．
当，即时，．
点评：熟练掌握建立空间直角坐标系利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面
SCD、平面SCD与平面SAB的法向量的夹角求出二面角、线面角的夹角公式、二次函数的单调性是解题的关键．
19．（13分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E：+=1（a＞b＞0），其中b=a，过椭圆E内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且满足=λ，
=λ，其中λ为正常数．当点C恰为椭圆的右顶点时，对应的λ=．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）求a与b的值；
（3）当λ变化时，k AB是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）由，得到，由此能求出离心率．
（2）求出，代入到椭圆方程中，能求出．
（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得，
推导出3x1+4y1=3x2+4y2，由此能求出为定值．
（3）法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由点差法求出3（x1+x2）+4（y1+y2）k AB=0，3（x3+x4）+4（y3+y4）k CD=0，由此推导出为定值．
解答：（本小题满分16分）
解：（1）因为，
所以，整理得，即，
所以离心率．…（4分）
（2）因为C（a，0），，
所以由，得，…（7分）
将它代入到椭圆方程中，
得，解得a=2，
所以．…（10分）
（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由，得，…（12分）
又椭圆的方程为，
所以由，
得①，且②，
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
2015年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类） 1．（5分）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B等于（） A．{﹣1}B．{1}C．{1，﹣1}D．? 2．（5分）下列函数为奇函数的是（） A．y=B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=e x﹣e﹣x 3．（5分）若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（） A．11 B．9 C．5 D．3 4．（5分）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（） A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元 5．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于（）A．2 B．﹣2 C．D． 6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1 7．（5分）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（5分）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 10．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（） A．B．C．D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（4分）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于．（用数字作答） 12．（4分）若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．13．（4分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）=x2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．14．（4分）若函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是． 15．（4分）一个二元码是由0和1组成的数字串，其中x k （k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0） 已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组： 其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0． 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ） （A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C 【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =- ，故选C ． （2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ） （A ）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D 【解析】函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． （3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916 x y E -=的左、 右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ． （4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭， 根据上表可得回归直线方程??y bx a =+，其中??0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） （A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B 【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.8 85 y ++++==（万元） ，故 80.76100.4a =-?=，所以回归直线方程为 0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为 0.76150.411.8y =?+=（万元），故选B ． （5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件20 0220x y x y x y +≥?? -≤??-+≥? ，则2z x y =-的最 小值等于（ ） （A ）52- （B ）2- （C ）3 2 - （D ）2 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ? ?- ?? ?时，z 取到最小值，最小值为 ()15 2122 z =?--=-，故选A ． （6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 2015年福建省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类） 1．（5分）（2015?福建）若集合A={i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B={1，﹣1}，则A∩B 3．（5分）（2015?福建）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲 ： 4．（5分）（2015?福建）为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户 题意可得和，可得回归方程，把 =（ = 代入回归方程可得 =0.76x+0.4 5．（5分）（2015?福建）若变量x，y满足约束条件则z=2x﹣y的最小值等于 B 作出可行域如图， ，解得） = 6．（5分）（2015?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（） ， S=cos S=cos， S=cos+cos2 S=cos+cos2=0 8．（5分）（2015?福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值 ① 得：得：． 9．（5分）（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（） 的坐标，可化﹣ +4t （ ∵ ∴（= ∴﹣（+4t 由基本不等式可得2 ﹣（ 当且仅当t=时取等号， ∴ 10．（5分）（2015?福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）．．D 根据导数的概念得出代入可判断出（，即可判断答案． ∴ ＞ 时，（ ）1= ）＞， ）＜，一定出错， 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．（4分）（2015?福建）（x+2）5的展开式中，x2的系数等于80．（用数字作答） 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标, 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x高考数学试卷及答案-Word版
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