第8章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
[考纲传真] 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0,π)． 2．斜率公式
(1)直线l 的倾斜角为α≠90°,则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l 上,且x 1≠x 2,则l 的斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线
两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1
不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2) 截距式
x a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋By ＋C ＝0,A 2＋
B 2
≠0
平面内所有直线都适用
[常用结论]
牢记倾斜角α与斜率k 的关系
(1)当α∈??????0，π2且由0增大到π2? ??
??α≠π2时,k 的值由0增大到＋∞.
(2)当α∈? ????
π2，π时,k 也是关于α的单调函数,当α在此区间内由π2? ????α≠π2增大到π(α≠π)时,k
的值由－∞趋近于0(k ≠0)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( ) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大． ( )
(4)过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示． ( )
(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(教材改编)若过点M (－2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4 A [由题意得m －4
－2－m ＝1,解得m ＝1.]
3．直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°
C ．150°
D ．120°
B [设直线的倾斜角为α,则tan α＝3,∵0°≤α＜180°,∴α＝60°.]
4．(教材改编)经过点M (1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1
D ．x ＋y ＝2或x ＝y
D [若直线过原点,则直线为y ＝x ,符合题意,若直线不过原点,设直线为x m ＋y
m ＝1,代入点(1,1),解得m ＝2,直线方程整理得x ＋y －2＝0,故选D.]
5．如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
C [由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0,在y 轴上的截距－C
B >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限．]
直线的倾斜角和斜率
1．(2019·石家庄模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.???
???0，π4 B.??????
3π4，π C.??????0，π4∪? ??
??π2，π D.??????π4，π2∪????
??3π4，π B [由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1,又－1≤－1
a 2＋1
＜0,所以倾斜角的取值范围是????
??
3π4，π.] 2．若点A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为__________． 4 [因为k AC ＝5－36－4＝1,k AB ＝a －35－4＝a －3.
由于A ,B ,C 三点共线,所以a －3＝1,即a ＝4.]
3．直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为__________．
(－∞,－3]∪[1,＋∞) [如图,∵k AP ＝1－02－1＝1,k BP ＝3－0
0－1＝－3,∴k ∈(－∞,－3]∪[1,
＋∞)．]
[规律方法] 直线倾斜角的范围是[0,π),根据斜率求倾斜角的范围时,要分与
两种情况讨论.
易错警示：由直线的斜率k 求倾斜角α的范围时,要对应正切函数的图象来确定,要注意图象的不连续性.
直线的方程
【例1】 (1)直线过点(－4,0),倾斜角的正弦值为10
10； (2)直线过点(－3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.
[解] (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式． 设倾斜角为α,则sin α＝10
10(0≤α＜π), 从而cos α＝±31010,则k ＝tan α＝±
1
3. 故所求直线方程为y ＝±
1
3(x ＋4)． 即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.
(2)由题设知横截距与纵截距都不为0,设直线方程为x
a ＋
y
12－a
＝1, 又直线过点(－3,4),从而－3a ＋4
12－a ＝1,解得a ＝－4或a ＝9.
故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.
[规律方法] 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零；若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.
一条直线经过点A (－2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线
的方程为________．
x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 [设所求直线的方程为x a ＋y
b ＝1. ∵A (－2,2)在直线上,∴－2a ＋2
b ＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1,∴1
2|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)??? a －b ＝1，ab ＝2，或(2)???
a －
b ＝－1，ab ＝－2.
由(1)解得??? a ＝2，b ＝1，或???
a ＝－1，
b ＝－2，
方程组(2)无解．
故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y
－2＝1,即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线
的方程．]
直线方程的综合应用
【例2】 (1)当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时,求直线l 的方程．
[解] 设直线l ：x a ＋y
b ＝1(a ＞0,b ＞0), 因为直线l 经过点P (4,1),所以4a ＋1
b ＝1. (1)4a ＋1
b ＝1≥2
4a ·1b ＝4ab
, 所以ab ≥16,当且仅当a ＝8,b ＝2时等号成立, 所以当a ＝8,b ＝2时,△AOB 的面积最小, 此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1,即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1
b ＝1,a ＞0,b ＞0,
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·
? ????
4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2a b ·4b
a ＝9,当且仅当a ＝6,
b ＝3
时等号成立,
所以当|OA |＋|OB |取最小值时,直线l 的方程为x 6＋y
3＝1, 即x ＋2y －6＝0.
[规律方法] 与直线方程有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程,用y 表示x 或用x 表示y ； (2)将问题转化成关于x (或y )的函数； (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.
1212坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值．
[解] 由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2－a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2,
所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋1
2×2×(a 2＋2)
＝a 2
－a ＋4＝? ?
?
??a －122＋154,
当a ＝1
2时,四边形的面积最小, 故实数a 的值为1
2.