一、数学思想方法的含义
“数学思想方法”一词无论在数学、数学教育范围内，还是在其它科学中，也被广为使用。中学数学课程标准（教学大纲）已将数学思想方法列为数学目标之一。
数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锻炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。例如，字母代数思想、化归思想、极限思想、分类思想等。
数学方法是指在数学地提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。如，变化数学形式、笛卡尔模式、递推模式、一般化、特殊化等。
数学思想与数学方法是紧密联系的，思想指导方法，方法体现思想。“同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。”当强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想；强调操作时，称为数学方法，往往不加区别，泛称数学思想方法。
例如，化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。我在处理和解决数学问题时，总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的划归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。
二、中学数学思想
数学思想是数学教学的重要内容之一。重视与加强中学数学思想的教学，这对于抓好双基、培养能力以及提高学生的数学素质都具有十分重要的作用。为此，下面择要探讨有关中学数学思想的问题。
（一）用字母、符号、图象表示数学内容的思想
数学学科与其它学科的一个显著区别，在于数学中充满了字母、符号、图形和图象，它们按照一定的规则表达数学的内容。这些字母、符号、图象、图形就是数学语言。数学发展史表明，数学的发展与数学语言的创造和运用密切相关。前苏联A.A.斯托利亚尔在《数学教育学》里指出：数学中“符号和公式等人工语言的制订是最伟大的科学成就，它在很大程度上决定了数学的进一步发展。今天越来越明显，数学不仅是事实和方法的总和，而且是（也许甚至首先是）用来描述各门科学和实际活动领域的事实和方法的语言。”数学语言可分为两种：一种是抽象的符号语言；另一种是较直观的图象（图形）语言，通过它们表达概念、判断、推理、证明等思维活动。用数学符号（数字、字母、运算符号或关系符号）表示数学内容，比用自然语言表示要简短得多。例如，余弦定理用自然语言表述是“三角形的任一边的平方，等于其它两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”，如果用数学语言表达，则是。两者比较，数学语言可大大缩短语言表达的“长度”。
运用数学语言可以使数学的叙述、计算和推理简单明了，才能大大简化和加速思维进程，使数学成为充满活力的运行系统。数学符号的使用极大地推动了数学的发展。有人把十七
世纪叫做数学的天才时期，把十八世纪叫做数学的发展时期，这两个世纪数学之所以取得较大的成就，原因之一是大量创造并使用数学符号。数学符号简化的记法，常常是深奥理
论的源泉。
数学语言的功能可按符号和图象在数学中的作用，归纳为以下几方面：
（１）表示数的字母或几何图形的符号，具有确定的符号意义的功能。
①用字母表示数。②用字母和符号表示几何图形。
（２）数学符号具有形成数与数、数与式、式与式之间关系的功能。
（３）数学符号具有按照某种规定进行运算的功能。
（４）为了简明地表示某个特定的式子或某种特定的涵义而引入某些数学符号。
（５）随着电子计算机的发展，数学语言的直观功能越来越明显。人们在电子计算机
的终端显示屏上可看到各种数字、数学图表、图像，它们作为信息传递的一种形式具有同
符号语言相同的功能，而且比符号语言更直观。这里所讲的“图形”，不仅包括“几何图形”，而且还包括“一般图形”，如集合论中的文氏图、示意图、表格、模型图和思路分析框架图等。
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（二）
转化的思
想
数学
中充满矛
盾，对立
面无不在
一定条件
下互相转
化。已知
与未知，
异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题朝向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题朝简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。
化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性
问题或已解决过的问题，从而求得问题解决的思想。
人们在研究运用数学的过程
中，获得了大量的成果，积累了丰富的经验，许多问题的解决已形成了固定的模式、方法和步骤，人们把这种已有相对确定的解决方法和程序的问题，叫做规范问题，而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的方法，称为问题的化归。
转化或化归、变换的思想方法不
仅用之于数学，而且是一般分析问题和解决问题的十分重要的基本思想方法。但是这种转化变换的思想往往是渗透在数学的教学过程中，渗透在运用知识分析解决问题里。这就要靠教师在整个教学过程中，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。
（三）数形结合的思想
从广义上来看，数学研究的主要对象是：现实世界的空间形式与数量关
系，形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容。与此同时，数形结合又是学习与研究数学的重要思想方法。形与数是互相联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系转化为图形性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思想方法，统称为数形结合的思想方法。
数学发展的历史表明，形与数的结合不仅使几何问
题获得了有力的现代工具，而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解
释，从而开拓出新的研究方向。例如，笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范，通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组以及曲线与方程之间的对应关系，从而把几何问题转化为代数问题，把代数与几何结合起来，开创了数学发展的新纪元。又如，在现代数学人们把函数
看成一个个“点”，把一类函数的全体看作一个“空间”，由此引出无穷维空间的概念，这也是成功地运用数形结合的思想方法的结果。
从表面上看，中学数学的内容可分为形与数两大部分，代数是研究数与数量关系的主要学科。然而事实上，在中学数学各分科教学中都渗透了数形结合的内容与思想。例如，研究实数与数轴相结合，研究复数与复平面上点
的坐标结合，研究函数与其图象相结合，研究平面上的直线与二元一次方程结合，研究圆锥曲线与二元二次方程相结合，研究集合与韦恩图相结合等等。
数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。作为数形结合的具体方法，主要有解析法、复数法、三角法、图解法等等。一般
说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等；而把数量关系问题转化为图形性质问题，则常用图解法、解析法、几何法等。
（四）分解组合思想
有些数学问题较复杂，不能一下子以统一的形式解决，这时可考虑先把整个研究范围分解为若干个局部问题，分别加以研究，然后再通过组合各个局部的解答而得到整个问题的解答，这
种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。
在中数里，研究含字母的绝对值问题，一元二次方程根的讨论，解不等式，函数单调性的研究，圆周角与对同弧的圆心角关系定理，弦切角定理，正弦定理，三角函数诱导公式的推导，二次曲线的讨论，排列组合问题以及各种含参数的问题的研究等等，无不体现了分解组合的思想。对于复杂的数学题，特别是一些综合
题，运用
分解组合
的思想方
法去处
理，可以
帮助人们
进行全面
严谨的思
考和分
析，从而
获得合理
有效的解
题途径。
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（五）集合对应思想
集合与对应是现代数学最基本最原始的概念之一，我们不能用其它更基本的概念给它们下定义，所以也把它们叫做不定义概念或原始
概念。对于这些不定义概念，我们只能作描述性的说明。中数教材从
学生已有的知识出发，分别用数、点、图式、整式以及物体等实例引
入集合的概念，这样既便于学生接受，也让学生体会到集合的概念如
同其它数学概念一样，都是从现实世界中抽象出来的。
整个数学的许多分支如近世代数、实变函数、泛函分析、拓扑学、概率统计等等几乎都是建立在满足各种不同条件的集合之上，都可以
在集合论的范围内形式地加以定义。集合论的许多基本思想方法、符
号、定理已广泛地渗透到数学的各个领域，许多涉及数学基础的根本
性问题都可归结为关于集合论的问题，因此法国的布尔巴基学派把集
合论称为“数学的基础结构”。此外，集合思想还广泛地渗透到自然科
学的许多领域，集合术语在科技文章和科普读物中比比皆是，让中学
生掌握集合的初步知识，可以使学生对初等数学中的一些基本概念理
解得更深刻，表达得更明确，同时也可为以后学习一般科技知识和近
代数学准备必要的条件。
（六）方程函数思想
方程与函数是中学数学的重点内容，占了相当多的份量，其中某些内容既是重点又是难点，例如，列方程（组）解应用题，函数的定义和性质，反函数的概念，平面解几里曲线的方程，方程的曲线的概念等等。方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思想，在解决一般数学问题中具有重大的方法论意义。在中学数学里，对各类代数方程和初等超越方程都作了较为系统的研究。对一个较为复杂的问题，常常先通过分析等量关系，列出一个或几个方程或函数关系式，再解方程（组）或研究这函数的性质，就能很好地解决问题。例如算术中较为复杂的四则应用题，利用方程（组）去解就变得非常容易；在几何中求异面直线之间的距离问题，利用函数极值的方法也往往显得简便。
三、中学数学方法
中学数学的具体方法丰富多彩，例如类比法、归纳法、演绎法、观察法、实验法、分析法、综合法、比较法、分类法、抽象和概括、联想法、具体化、特殊化、系统化、变换法、构造法、 RMI方法、交集法、递推法、特征法、待定系数法、解析法、参数法、图解法、三角法、代数法、几何法、复数法、面积法、数学归纳法、数形结合法、反证法、同一法、配方法、非标准化法等等。深入地分析这些方法，我们可以发现：
①方法本身具有层次性②方法在应用上具有综合性。③方法往往具有各自不同的适用性。④方法本身也在不断完善之中，具有发展性。
（一）观察法
观察就是以人们的感知为基础，有目的有选择的认识事物的本质和规律的一种方法。数学观察则是人们对数学问题在客观情境下考察其数量关系及图形性质的方法。
观察是思维的窗口，观察与思考是紧密结合在一起的。在中学数学教学里，应引导学生掌握正确的观察方法，揭示数学的本质、特点和规律。
（二）实验法
实验，是人们根据一定的研究目的，运用一定的手段（或工具、设备等），在人为控制或模拟的条件下，排除干扰，突出主要因素，从而有利于进行观察、研究、探索客观事物的本质及其规律的一种科学研究方法。
（三）比较
比较，就是把研究对象的个别部分或个别特征分出来，以确定它们的相同点和不同点的思维方法。比较可在同类对象中进行，也可在
不同类对象中进行，或在同一对象的不同方面、不同部分之间进行。
为了进行比较，先要把研究对象的某一整体分解为部分，区别其特征，这就是分析；同时又要把它们相应的部分联系起来，确定其异
同，这就是综合。因此，比较过程中既有分析，又有综合。
“有比较才有鉴别”；“在比较中认识一切”。比较是分类、类比等方法的基础，也是数学教学和研究的一种重要方法，加强比较的教学，
有利于学生掌握概念、法则，启迪思维，发现规律，突破教学中的难
点。
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（四）抽象和概括
１. 抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维
方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取
精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无
关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、
普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或
一般原理。
２. 概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归结出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到
一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，
高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更
普遍的指导性。
抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即
不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。
（五）具体化、特殊化、系统化
１. 具体化，是与抽象化相反的一种思维方法，它是将抽象的数学事实（概念、定理等）同相应的具体材料联系起来，从而更好地理解数学事实的一种思维方法。
具体化，可以作直观的描述，抽象法则的具体验证，某一性质在具体条件下的应用等等。
２. 特殊化，是与概括相反的思维方法。它是将所论的数学事实“退”到属于它的特殊状态（数量或位置关系）下进行研究，从而达到研究一般状态目的一种思维方法。
在中数教学中，常常把变量的问题先以某些特殊值代入，或把某种任意的图形问题先以这种图形的特殊情况代入进行研究，以获取某种启示。这种“以退为进”的研究方法，实为具体化、特殊化在数学教学中的应用。
３. 系统化，就是将各种有关材料编成顺序，纳入一定体系之中进行研究的一种思维方法。它是与比较、分类、抽象、概括、具体化等思维方法紧密联系在一起的。
运用系统化方法，有助于从整体上把握事物的内在联系，系统、深刻地掌握知识；有助于抓住核心，了解来龙去脉。在中数教学里，常常通过编写提纲、绘制图表的方法将知识系统化。例如，在学习了两角和与差的三角函数的公式，倍角、半角的三角函数公式，万能公式以及三角函数的积化和差与和差化积公式之后，应及时指导学生把这许多公式的内在联系和推导的线索用绘制图表的方法进行系统的整理，这将大大有助于学生理解、记忆和掌握这些公式，这是学好此章三角函数公式的关键。又如，在学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容之后，也应指导学生把这三种圆锥曲线的几何条件（定义）、标准方程、图形、性质制成图表，进行比较，并形成系统化的知识。这样的例子在中学数学现行教材里是很多的，特别在各章小结部分，比较注意对整章的内容在归纳概括的基础上进行系统化，在教学上，应予以充分重视。
（六）想象和直觉
１. 想象，有人称之为科学的猜想，或科学的联想。它是推测事物现象的原因与规律性的创
２. 直觉，又称为顿悟（灵感），这也是一种创造性的思维活动。
在科学史上，很多卓越的发现往往与之有关。
直觉的表现，往往是不通过分析步骤而达到真实的结论，有人认
为它是非逻辑的思维活动；有人认为它是逻辑过程的压缩、简化，而
采取了“跳跃”的形式，只不过在瞬间猜测到了问题的答案，显然为
突然闯入脑际的“闪念”。
直觉是突发性、偶然性的，但不是随心所欲，凭空出现的。长期
而紧张的逻辑思维活动往往是产生直觉的前奏和准备，它只不过是变
换了思路，从不同角度去重新考虑，在某种启发下导向科学的发现。
由于直觉具有创造性，又具有随意性，因此，直觉活动难以具有
严格、精确的模式，否定直觉的作用或将直觉神秘化、显然都是不对
的。关于直觉的详细研究，已在第四章作了阐述，在此就不重复了。
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（七）RMI方法
所谓RMI方法，即关系（Relationship）——映射（Mapping）——反演（Inversion）方法。在一个数学问题里，常有一些已知元素与未知元素（都
称为原象），它们之间有一定关系，如果在原象集及关系里直接去求未知
元素比较难，则可考虑寻找一个映射，把原象及关系映射成映象及关系，
而在映象及关系里去求未知元素的映象较为容易，最后从未知元素的映
象通过反演求得求知元素原象。这种方法就叫做“关系——映射——反演”
方法，简称方法，可用框图表示如下：
应该注意的是，这里所讲的“反演”，一般指的是广义下的“反演”，即“逆着返回”的意思。在特殊情况，如映射为——映射，则反演就是的逆映射。
从“方法”的基本内容可以看出，其解决数学问题的思想由三个步骤来
完成：
①建立映射：适当地选择一个映射，通过它的作用将原象及关系映射成映象及关系；
②定映：在映象及关系中把待求元素的映象确定出来；
③反演：由通过反演确定出要求的元素。
在这三步中，第一步建立映射最重要。实际上，正是通过所选择的映射把我们所要解的不熟悉的问题转化为已经熟悉的问题，因此，只有映射选择得好，才有利于问题的解决。由此可见，方法也是转化思想的一个具体运用。
（八）交集法
有许多数学问题，它的解是由几个条件决定的，每一个条件都可以定出某种元素的一个集合，它们的交集的元素就是我们所要求的解，利用求交集的方法来解决数学问题称为交集法。
要找几个集合的交集，常用如下办法：一是先找出其中一个集合的元素，然后从中逐次剔除不在其它有关集合中的元素，剩下的就组成它们的交集。第二种办法是把各个集合都找出来后，再找它们的公共部分。几何作图中的交轨法就是用这方法。有时，要求出n个集合的交集，还可先求出其中n-1个集合的交集，再求这个交集与剩下的一个集合的交集。
（九）笛卡尔模式方法
这是一种将实际问题转化为数学问题，又将数学问题转化为代数问题，再将代数问题转化为解方程问题的方法。即“实际问题→数学问题→代数问题→解方程问题”的模式。
（十）递推法
对于某些有关自然数的数学问题，如果已知初始项，且对后面各项，可以寻找到递推关系，则可由初始项递推获得所求的结果，这种方法叫递推法。
（十一）构造法
在研究有关数学问题时，往往需构造一个合适的辅助要素，从而用它
来求得一条通向表面看来难于接近问题的途径，这种方法叫构造法。其中
有构造命题法、构造引理法、构造图形法（包括构造辅助线、辅助面、辅
助体等）、构造表达式法等。
（十二）变换法
变换的方法是转化的思想在数学中的具体运用。代数里有换元法，解析几何里有坐标变换、几何里有平移、旋转、对称等合同变换、相似变换、
射影变换、拓扑变换……。变换是数学里一种重要方法。
中学数学的方法还有很多，如参数法、待定系数法、图解法、复数法、解析几何法、三角法、代数法、配方法、数理统计与处理数据的方法等等，
限于篇幅，在此就不一一详加阐述了，留给大家去研究总结。
四、数学思想方法的教学
现行的中学数学教学大纲都明确强调把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，这是体现素质教育精神的重要方面。强调这一点对数学
教育教学有很大的指导意义，以往的数学教学往往着眼于教具体的概念、
法则、性质公式、公理、定理，而忽视其中所反映出来的数学思想和方法，
也就是没有揭示知识的精神实质，没有让学生掌握精髓和灵魂，因此不利
于提高学生的素质。而现行大纲突出了数学思想和方法这个精髓，要使学
生逐步学会观察、比较、分析、综合、抽象和概括、归纳、演绎、类比等
重要的思想方法，这些思想方法不仅对学习和研究数学有重要的指导意义，
而且对提高全体学生的文化科学素质，思想素质都有重大的意义。所以现
行大纲虽然比旧大纲砍掉了一些知识点，降低一些难度，表面看似乎降低
了要求，但实质上是提高了要求。即不仅要掌握知识、技能、培养能力，
而且要提高素质，达到领悟和掌握数学思想和方法的程度。正如日本数学
教育家米山国藏所说：“唯有这些（数学）精神、思想、方法的启发、锻炼、
体验，才是不仅在数学，而且在一切科学技术中，在人生的各方面筹划各
种事业飞跃发展所绝对必须的，这一点已为许多事例所证实，应是很清楚
的了”，加强数学思想方法的教学，必将大大提高学生的素质，这正是素质
教育所大力提倡的。
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6楼关于数学思想方法的教学，可从以下几方面入手：
3.
* （一）深入挖掘蕴含在数学教材内容中的思想方法，加以揭示，乃至予以必要的强调。
由于数学教材是按数学内容的逻辑体系与认识理论的教学体系相结合的办法来安排的，限于篇幅，许多重要的数学思想方法并没有明显地写在教材里，然而，数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在认真备课的同时，深入挖掘隐含在教材里的数学思想方法，而在具体教学过程中，加以揭示，明确地告诉学生，阐明其作用，并给以必要的强调，以引起学生的重视和加深理解。例如立几教学中许多内容都体现了一个重要思想方法——把空间里的问题转化为平面上的问题，在教学过程中，就要善于引导学生从具体问题中提炼出这一具有普遍指导作用的思想方法。并进一步上升为降维的思想方法，再总结出更一般的更高层次的思想——转化与化归。
（二）紧密结合教材，有计划、有步骤地系统开展数学思想方法的教学。
对于不同的数学教学内容，可根据其特点，选配不同的数学思想方法进行教学。例如在概念的形成阶段，可选配观察、比较、归纳、抽象、概括等思想方法，而在定理的教学阶段，可选配分析、综合、类比、归纳、演绎等推证的思想方法等等。
对同一数学思想方法，应注意其在不同阶段的反复再现，逐步提高。以解代数方程为例，学生在学过一元一次方程之后，学习二元一次方程组的解法，初步领会到消元的方法及更高一层的思想——转化或化归的思想。学生在学过一元一次和一元二次方程之后，再学习一元高次方程、分式方程和无理方程的解法，通过因式分解或换元把一元高次方程降次为一元二次或一元一次方程，通过去分母或换元把分式方程化为整式方程，通过两边乘方或换元把无理方程化为有理方程等，进一步理解了化归的思想方法。然后在学习二元二次方程组解法时，学生可再次深入掌握转化的思想方法。
（三）展现同数学思想方法相联系的思维活动过程。
前苏联数学教育家斯托利亚尔把数学教学定义为数学（思维）活动的教学。他认为，数学教学既可理解为思维活动的结果，又可理解为思维活动的过程。现代教育理论从培养人才的需要出发，愈来愈强调教学的过程（即思维的过程），愈来愈强调培养学生能力，特别是思维能力的重要性。然而由于教材编写篇幅的限制，较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想方法以及数学思维活动的过程，教材则较少提及。为了让学生较好地理解与掌握数学的思想方法，教师应精心设计课堂教学过程，展示数学思维过程，这样才助于学生了解其中数学思想方法的产生、应用和发展的过程；理解数学思想方法的特征，应用的条件，掌握数学思想方法的实质。
（四）加强数学思想方法的训练，逐步提高学生运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。
美国心理学家布鲁纳指出，掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，
领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。掌握数学思想方法有利于学生更好地理解和掌握数学知识，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，在数学教学过程中，在分析和解决数学问题的过程中，有意识地加强数学思想方法的训练，使学生在运用中加深对数学思想方法的理解，更好地掌握其精神实质。训练的具体方法可以结合数学课堂教学，针对数学思维活动过程中展示出来的数学思想方法不失时机地进行提问与讨论、启发引导学生领悟出思想方法进行总结提炼，也可以有意识地组织学生进行必要的解题训练，结合分析问题解决问题的思维过程提炼出数学思想方法等等。
中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
浅谈在不同的课型中渗透数学思想与方法 1.新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法 数学知识发生、形成、发展的过程也是其思想方法产生、应用的过程。在此过程中，向学生提供丰富的、典型的、正确的直观背景材料，采取“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，通过实际问题的研究，了解数学知识产生的背景，再现数学形成的过程，揭示知识发展的前景，渗透数学思想，发展学生的思维能力，使学生在掌握数学知识技能的同时，即学会数学概念、公式、定理、法则等的过程中，深入到数学的“灵魂深处”，真正领略数学的精髓——数学思想方法。比如在质数、合数的概念教学中让学生用小正方形拼长方形，把质数、合数的概念潜藏在图形操作（如右图），明白“质数个”小正方形只能拼成一个长方形，而“合数个”小正方形至少能拼成两个不同形状的长方形（含正方形），渗透数形结合的思想，再通过给这些数分类，引入质数、合数的概念，渗透分类思想。又如在《三角形分类》一课中，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，寻找特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类、集合的思想，丰富了分类活动的经
验，形成分类的基本策略，发展了归纳能力。 2.练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法 数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，先让学生计算，再通过交流自己的算法，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想，懂得两个式子形式虽不同，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3、4×3来计算，从而感受到转化思想的魅力。
一、数学思想方法主要包括以下几方面： 1、转化的思想 所谓“转化”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将“未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”。转化思想是解决问题的常见思想方法。面对千变万化的中考新题型，当我们在思维受阻时，运用思维转化策略，换一个角度去思考问题，常常能打破僵局，解题中不断调整，不断转化，可以使我们少一些“山穷水尽”的尴尬，多一些“柳暗花明”的喜悦。 2、分类讨论的思想 有时把问题看成一个整体无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明。分类讨论正是这样一种思想，也是一种重要是数学方法，为了解决问题，将问题所涉及的对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而达到解决整个问题的目的。 3、数形结合思想 数形结合思想是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量），利用图形直观表达出来，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题；有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决。 4、建模思想 这种解题思想就是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法。 二、教学中渗透抽象思想的案例:分式的教学设计 教学目标 1、以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式 2、能正确判断一个代数式是否为分式，会根据已知条件求分式的值。 3、理解并掌握判断一个分式有意义、无意义的方法 4、渗透类比思想，学会用类比的方法迁移知识，用运动、变化的观点分析问题 教学重点：分式的概念，掌握分式有意义的条件。 教学难点：掌握分式有无意义的条件。 教学方法：类比引导、自主探索 教学过程 一、温故而知新：： 1．单项式：数与字母的乘积，多项式：几个单项式的和。 2．请列举几个整式的例子与同学交流？ 二、活动探索： 活动一：由实际问题认识“分式” 1．想一想： （1）一块长方形玻璃板的面积为2㎡，如果宽为am，那么长是 m。 （2）小丽用n元人民币买了m袋瓜子，那么每袋瓜子的价格是元。 （3）两块面积分别为a公顷、b公顷的棉田，产棉花分别为m㎏、n㎏。这两块棉田平均每公顷产棉花 ______㎏。 2.议一议：
《小学数学与数学思想方法》读后感 读完《小学数学与数学思想方法》这本书，对数学思想方法有了更系统和更全面的认识。知道了什么是数学思想，什么是数学方法，知道了数学思想与数学方法的内在联系与区别。知道数学思想是数学方法进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而人们选择的数学方法，又要以一定的数学思想为依据。由此可见，数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学，用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学思想方法如此严重，从这本书中还知道了教师如何进行数学思想方法的教学： 重视思想方法目标的落实。 教师在备课撰写教学设计时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来。而不是可有可无或者总是进行渗透，并利用动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。 2.在知识形成过程中体现数学思想方法。 现在的数学课堂教学中，很多教师精讲多练，急于把概念、公式、法则等知识传授给学生，然后按照考试的要 求进行训练，轻视了知识的形成过程。这样，既浪费了时间，又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。我曾经在讲《除法的初步认识—平均分》时，通过让学生动手操作引导他们经历知识的形成过程。读过这本书才知道自己忽略了数学思想方法的渗透，在这个教学过程中，教师可以引导学生感受从直观操作的详尽情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种严重的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。
讲座题目高等数学的数学思想方法研究所属学科数学教育学 讲座时间2007年5月持续时间 最后学历研究生最后学位硕士 研究方向数学教育研究专长教育管理职称教授职务 学术特长及成果简介： 学术特长是数学教育学有关的课题和教育管理有关的课题。主要研究成果如下： 1、2006年9月完成了2004——2005年度中国职业技术教育学会科研规划项目《高职院校推进 学分制管理的研究与实践》，并获得结题证书。 2、论文《完善选课制是实行学分制的精髓》2005年12月发表在《长春教育学院学报》上。 3、论文《专升本院校实行学分制的几点思考》2006年10月发表在《中国育人杂志》上。 讲座内容介绍：（包括：选题意义和价值、研究现状、主要内容、观点和创新之处、主要 参考文献等。限2000字以内。） 一、选题意义和价值 为适应二十一世纪科技与社经的发展，培养大批具有高综合素质的创新型人才，我国正在进行从 应试教育向素质教育转轨的伟大改革，并提出在素质教育中着重培养学生的创新精神和实践能力的现 代教育目标。为实现这一目标，自九十年代初以来，高等数学教育也和其它学科教育一样，从教学思 想、教学内容、课程设置、教学方法和教学手段等方面进行了一系列的改革试验，并取得了初步的成 效。例如随着人们愈来愈认识到高等数学在大学人文素质教育中不可或缺的普遍和重要的作用，我国 许多重点的文史、外语和艺术等文科专业都开设了《大学数学》这一课程，又如为了加强教学建模和 运用计算机解决实际问题的能力，有些院校在高等数学中开设了《数学实验》或《数学建模》的课程，这是可喜的试验，但是高等数学的教育改革涉及面广，内容庞杂，矛盾和问题都较多，因此它的改革 是一项复杂的系统工程。当前如何把高等数学教育改革有序和有效地深入下去？当然这有许多方面的 工作要协同配合去做，我们认为其中根本的一项就是要改革在高等数学教学中相当普遍存在的形式主 义弊端——只注重纯数学知识与技能的传授而忽视对蕴涵于其中的数学思想方法的教学。为此必须认 真研究在高等数学教学全过程中，如何有效地加强数学思想方法教学的问题，提升一点来说，就是要 在所有数学教学活动中，结合具体的数学内容和活动形式，适当进行数学方法论的教育。 二、研究现状及主要内容 著名数学家和数学教育家徐利治教授认为“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学思想方法以及数学中的发现发明与创新法则的一门学问”。[1]自80年代初，徐教授倡导数学方法论以来，这一学科在国内至今已有了很大发展，取得了不少理论成果，出版了许多有关的著作，特别自90年代以来，不少数学教育工作者把它应用于指导中学数学教育改革的具体实践，取得了很大的成效[2]。至于应用数学方法论指导高校数学教育改革的研究与实践至今只看到少量个别的报导，看来这方面还 未引起高校广大数学教育工作者足够的重视，本讲座试图对高等数学加强数学思想方法教学的意义， 它包含那些基本的数学思想方法以及如何加强这方面的教学作一初步阐述。 三、观点和创新之处 1．首先，各方在思想上要真正重视，尽快把数学思想方法的教学正式纳入高等数学教学大纲。 要在大纲中明确规定数学思想方法的教学目标、基本教学内容和具体的要求。这是落实加强数学思想
谈初中数学思想方法的概念、种类及渗透策略 发表时间：2012-04-09T14:51:34.357Z 来源：《教育创新学刊》2012年第3期供稿作者：王振奇 [导读] 所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。 王振奇河北省大名县张铁集中学 【摘要】：数学问题的解决无不以数学思想为指导,以数学方法为手段,数学思想方法是数学学习的灵魂和精髓。在初中数学教学中渗透数学思想方法,引导学生在学习过程中发现问题、分析问题、解决问题,培养学生学习数学、应用数学的意识和能力。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法，渗透到初中整个教学中，是培养和提高学生素质的重要内容。 【关键词】：初中数学思想方法概念种类渗透 一、什么是数学思想方法 所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。 数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的一种结果.它是数学中处理问题的基本观点，是对数学基础知识与基本方法本质的概括，是创造性地发展数学的指导方针。数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象概括水平，后者比前者更具体更丰富，而前者比后者更本质更深刻。数学方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式。数学思想和数学方法两者既统一又有区别。例如.在初中代数中，解多元方程组，用的是“消元法”;解高次方程，用的是“降次法”;解双二次方程.用的是“替换法”。这里的“消元”、“降次”、“替换”都是具体的数学方法，但它们不是数学思想，这三种方法共同体现出“转化”这一数学思想，即把复杂问题转化为简单问题的思想。具体的数学方法，不能冠以“思想”二字。如“配方法”，就不能称为数学思想.它的实质是恒等变形，体现了“变换”的数学思想。然而，每一种数学方法.都体现了一定的数学思想;每一种数学思想在不同的场合又通过一定的手段表现出来，这里的手段就是数学方法。也就是说，数学思想是理性认识.是相关的数学方法的精神实质和理论依据。数学方法是指向实践的.是工具性的，是实施有关思想的技术手段。因此.人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念—数学思想方法。一般来说，数学思想方法具有三个层次:低层次的数学思想方法(如消元法、换元法、代人法等)，较高层次的数学思想方法(如分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等)，高层次的数学思想方法(如转化、分类、数形结合等)。较低层次的数学思想方法经抽象概括可上升为较高层次的数学思想方法，各层次间没有明确的界限。 二、为什么要研究初中数学思想方法 1.教学本身的需要初中数学教材体系包括两条主线。其一是数学知识，这是编写教材的一条明线;其二是数学思想方法，这是编写教材的指导思想，它是大都不能明确写进教材的一条暗线。前者容易理解，后者不易看明;前者是教材写什么，后者则明确为什么要这样写;只有理解后者才能真正从整体上、本质上理解教材。《九年制义务教育全日制初级中学数学教学大纲》明确指出:“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法。”这就要求我们在数学知识教学的同时，必须注意数学思想方法的有机渗透和统帅作用。只有这样.才能有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学知识结构，促进学生数学能力的发展，推动学生思维一般品质乃至整个素质的全面提高。 2.数学发展的需要翻开数学史，从算术到代数，从常量数学到变量数学，从偶然数学到必然数学，从“明晰”数学到“模糊”数学，以及从手工证明到机器证明等，历史上的这几次重大转折，首先是数学思想方法的转变，这种转变还表明了数学的发展不仅是量的发展.还有质的飞跃，随着数学的发展，数学思想方法日益丰富。如果说历史上是数学思想方法推进了数学科学，那么在数学教学中，就是数学思想方法在传导着数学的精神，在塑造着人的灵魂，在对一代人的数学素质实施着深刻、稳定而持久的影响。 3.国民素质的需要当今世界，青少年只有具备很强的适应能力，才能参与社会竞争。对数学来说，就是具备运用所学基础知识解决实际问题的能力，根据需要去自学新知识的能力。因此，数学思想方法的培养比只教会学生几个数学公式更为重要，它将使学生获得自学数学、发展数学的本领，获得把数学思想方法迁移为解决其它问题的能力.从而形成更什的智能结构.让学生终生受益。正如德闰学者冯?劳厄说的:“教育尤非是一切学过的东西都忘掉时所剩下的东西。”这种使人终身受用的东西.数学教学中指数学思想方法有资料表明.我国的中学生毕业后直接用到的数学知识并不多，更多的是受到数学思想方法的熏陶与启迪 4.教学改革的需要当前数学教学中，过于强调对定义、定理、法则、公式的灌输与记忆，不注意这些概念、知识的发生、发展、应用过程的揭示与解释，不善于将这一过程中丰富的思想方法进行抽象和概括，存在着“掐头去尾烧中段”的状况，即使有应用过程.也只是在解题过程中.强调对问题一招一式、一题-解、一法一题的个别解决，定势套路的总结，而轻视思路分析.忽视解题的思维过程，不能将具体的知识和个别的数学方法上升到数学思想的高度.揭示方法的实质和规律，长此以往，严重阻碍r学生创造力的培养和发展，而数学思想方法的教学是把传统的知识型教学转化为能力型教学的关键，是培养创造性人才的良好手段和渠道。 三、初中数学思想方法主要有哪些 根据“大纲’‘精神，初中数学的基本思想主要指转化、分类、数形结合等基本方法主要指待定系数法、消儿法、配方法、换元法、图象法等由于数学方法在教材中大都有具体陈述，而数学思想却是隐含在知识系统之中.这为强化数学思想方法带来了一定困难_为此.下面谈谈转化、分类讨论、数形结合等在初中数学中的表现1.转化思想所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略)初中数学中运用转化思想具体表现在以下三个方面:(l)把新问题转化为原来研究过的问题如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法等(助把复杂的问题转化为简单的问题(，新问题用已有的方法不能或难以解决时，建立新的研究方式如引进负数，建立数轴;变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程，等等。‘2.分类讨论思想所谓分类讨论是指对于复杂的对象，为了研究的需要.根据对象本质属性的相同点和差异性，将对象区分为不同种类，通过研究各类对象的性质，从而认识整体的性质的思想方式。在分类讨论中要注意标准的同一性.即划分始终是同一个标准、这个标准必须是科学合理的;分域的互斥性.即所分成的各类既要互不包含.义要使各类总和等于讨论的全集;分域的逐级性，有的问题分类后还可在每，类中丙继续分类。运用分
高等数学思想方法 第一章函数与极限 主要的思想方法： (1)函数的思想 高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。 （2）极限的思想 极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。 第二章导数与微分 主要的思想方法： （1）微分的思想 微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。 （2）数形结合的思想 书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。 （3）极限的思想 不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。 （4）逻辑思维方法 在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。 第三章中值定理与导数的应用 主要的思想方法： 导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。
数形结合思想： “数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。 在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。 我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 方程与函数思想：函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化 问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
电大数学思想与方法网上作业答案： 01任务_0001 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。 A. 进位制的发明 B. 四棱锥台体积公式 C. 圆面积公式 D. 球体积公式 2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。 A. 几何 B. 代数与数论 C. 数论及几何学 D. 几何与代数 3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（） 的方法。 A. 几何测量 B. 代数计算 C. 占卜 D. 天文测量 4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。 A. 爱奥尼亚学派 B. 毕达哥拉斯学派 C. 亚历山大学派 D. 柏拉图学派 5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。 A. 五千年前 B. 春秋战国时期 C. 六七千年前 D. 新石器时代 6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是 用（）表示。
A. 符号，符号 B. 文字，文字 C. 文字，符号 D. 符号，文字 7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（）， 这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。 A. 100亿年 B. 10亿年 C. 1亿年 D. 1000亿年 8. 巴比伦人是最早将数学应用于（）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程 A. 商业 B. 农业 C. 运输 D. 工程 9. 《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。 A. 西汉末年 B. 汉朝 C. 战国时期 D. 商朝 10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结 论。 A. 最终原理 B. 一般原理 C. 自然命题 D. 初始原理 02任务 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 《几何原本》就是用（）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比 较严密的理论系统和科学方法的学科。 A. 代数
浅谈小学数学教学中数学思想方法的渗透 小学数学教学内容贯穿着两条主线，数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字的形式写在教材里，反映着知识间的纵向联系。数学思想方法则是一条暗线，反映着知识间的横向联系，隐藏在基础知识的背后，需要教师加以分析、提炼才能使之显露出来。数学知识是对生活的提炼，数学思想方法是对数学知识的提炼。 美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想和方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在一个人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想和数学的意识。因此在小学数学的教学中要不失时机地对学生进行数学思想方法的渗透，掌握数学思想方法是数学学习的最高境界。 一、通过学习数学史了解数学思想方法。 小学数学思想方法主要有：化归思想、优化思想、符号化思想、集合思想、函数思想、极限思想、分类思想、概率统计思想等；归纳与演绎，分析与综合，抽象与概括，联想与猜想等方法。 数学史本身就蕴涵一些重要的数学思想和方法。例如：向学生介绍十进制计数法的由来，介绍祖冲之关于圆周率的探索史等让学生了解数学知识产生的背景和发展的过程，知道来龙去脉，也就把握了知识本源和数学思想方法。 二、通过挖掘教材体验数学思想方法。
小学教材中数学思想方法呈现隐蔽形式，教师要认真分析和研究教材，理清教材的体系和脉络，统揽教材全局，高屋建瓴，建立各类概念、知识点之间的联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法。 极限思想在教材中有许多地方渗透，如在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，初步体会“极限”思想。在循环小数这一部分内容，在教学l÷3＝0.333……是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的。在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。再如，在“圆的面积”这节中圆面积的求法：先把圆分成相等的两部分，再把两个半圆分成若干等分，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形。如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。这时长方形的面积就越接近圆的面积了。这部分内容应让学生体会到这是一种用“无限逼近”的方法来求得圆面积的，也就是验极限思想的运用。 三、通过教学过程渗透数学思想方法。 如果在学生获得知识和解决问题的过程中能有效地引导学生经历 知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中看到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识就是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。 如，在“面积与面积单位”一课教学中，当学生无法直接比较两个图形面积的大小时，引进“小方块”，并把它一个一个地铺在被比较的两个图形上，这样，不仅比较出了两个图形的大小，而且，使两个图形的面积都得到了“量化”。使形的问题转化为数的问题。在这一过程中，学生亲身体验到“小方块”所起的作用。接着又通过“小方块大小必须统一”的教学过程，使学生深刻地认识到：任何量的量化都必须有一个标准，而且标准要统一。很自然地渗透了“单位”思想。
小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求
浅谈初中数学教学中数学思想方法的渗透 内容提要 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。 关键词：数学思想新课程标准渗透 正文 《数学课程标准》在对第三学段（七—九年级）的教学建议中要求“对于重要的数学思想方法应体现螺旋上升的、不断深化的过程，不宜集中体现”。这就要求我们教师能在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透数学思想方法。 一、渗透化归思想，提高学生解决问题的能力 所谓“化归”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。这体现了研究科学的一种基本思路，即把“不熟悉”迁移到“熟悉”的路子上去。我们也常把它称之为“转化思想”。可以说化归思想在本教材的数学教学中是贯穿始终的。 例如：在教材《有理数的减法》、《有理数的除法》这两节内容中，实际上教材是通过“议一议”形式使学生在自主探究和合作交流的过程中，让学生经历把有理数的减法、除法转化为加法、乘法的过程，体验、学会并熟悉“转化一求解”的思想方法。我们可以注意到教材在出示了一组例题后，特别用卡通人语言的形式表明“减法可以转化为加法”、“除法可以转化为乘法”、“除以一个数等于乘以这个数的倒数”。这在主观上帮助了学生在探索时进行转化的过程，而在学生体会到成功后客观上就渗透了学生化归的思想。值得注意的是这个地方虽然很简单，但我们教师不能因为简单而忽视它，实践告诉我们往往是越简单浅显的例子越能引来人们的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。再如教材《走进图形世界》，它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形；通过对某些几何体的主视图、俯
【总结2】定积分与不定积分 1.有关三角函数的不定积分的凑微分法 (1)??=);(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f (2)??-=);(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f (3);)(tan )(tan sec )(tan cos ) (tan 22???==x d x f xdx x f x dx x f (4);)(cot )(cot csc )cot (sin )(cot 22???-==x d x f xdx x f x dx x f (5)??=);(sec )(sec tan sec )(sec x d x f xdx x x f (6)??-=).(csc )(csc cot csc )(csc x d x f xdx x x f 2.利用下列微分关系式凑微分，求不定积分 (1))cos (sin 2cos x x d xdx = (2)?????-=-===) (cos )(cos cos 2)(sin )(sin sin 2cos sin 22sin 22x d x xd x d x xd xdx x xdx (3))()'()1()]([)](')([x x x xe d dx xe dx x e x xu d dx x xu x u ==+=+特别地，有 (4))1(122x d dx x x ±±=± (5))ln ()ln (x e d dx x e x e x x x =+ (6))ln ()ln 1(x x d dx x =+ (7) |)tan sec |(ln sec sin x x d xdx x dx +== (8)|)cot csc |(ln csc cos x x d xdx x dx -==
数学思想与方法试题 一、填空题(每题3分，共30分) 1. 概括通常包括两种:经验概括和理论概括。而经验概括是从事实出发，以对个别事物所作的观察陈述为基础，上升为普遍的认识—的认识。 2.算法大致可以分为 3.反驳反例是用两大类。否定的一种思维形式。类比联想是人们运用类比法获得猜想的一种思想方法，它的主要步骤是 5. 归纳猜想是运用归纳法得道的猜想，它的思维步骤是 6. 传统数学教学只注重_ 的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。 7. 所谓统一性，就是协调一致。 8. 中国《九章算术》的算法体系和古希腊《几何原本》的体系在数学历史发展进程中争奇斗妍、交相辉映。 9. 所谓数学模型方法是 10. 所谓特殊化是指在研究问题时，的思想方法。 二、判断题(每题4分，共20分。在括号里填上是或否) 1.数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常的数学教学原则就可实现数学思 想方法教学目标。( ) 2数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。( ) 3新颁发的《数学课程标准》中的特点之一“再创造”体现了我国数学课程改革与发展的新的理念。( )法国的布尔巴基学派利用数学结构实现了数学的统一。由类比法推得的结论必然正确。( ) 三、简答题(每题10分，共30分) 1.常量数学应用的局限性是什么?\ 2.简述计算的意义。 3，简述培养数学猜想能力的途径。 四、证明题(20分) 在四面体ABCD中，如图，已知AB土CD,A D土BC;求证:AC土BDo 数学思想与方法试题答案及评分标准 一、填空题(每题3分.共30分} 1. 由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性 2. 多项式算法和指数型算法 3. 特殊一般 4. 联想类比猜测 5. 特例归纳猜测 6. 形式化 7. 就是部分与部分部分与整体之间的 8. 以算为主逻辑演绎 9. 利用数学模型解决问题的一般数学方法 10. 从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合 二、判断题(每题4分，共20分。填是或否) 1. 否 2.是 3.是4，是5.否 三、简答题(每题10分，共30分) 1. 答:① 在建立了太阳中心理论后，17世纪的人们面临了如何改进计算行星位置，以及如
小学数学常见数学思想方法归纳与整理 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。 2、转化思想方法： 这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。 3.符号化思想方法： 数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。 4、分类思想方法： 分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 5、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 6、类比思想方法