表6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系
?
+∞
∞
-=
ωωπ
ωd e
F t f t
j )(21)(
dt e
t f F t
j ?
+∞
∞
--=
ωω)()(
连续傅里叶变换对
相对偶的连续傅里叶变换对
重要 连续时间函数
)(t f 傅里叶变换)(ωF
连续时间函数
)(t f 傅里叶变换)(ωF
重要 √ )(t δ
1
1 )(2ωπδ √ √ )(t dt d δ
ω
j
t
)
(2ωδωπ
d d j )
(t dt
d k
k δ
k
j )
(ω k
t
)
(2ωδω
πk
k k
d d
j
√ )(t u )
(1ωπδω
+j
t
j t πδ21)(2
1-
)
(ωu
)(t tu
2
1
)(ω
ωδω
π
-
d d j
??
?<->=0
,10
,1)sgn(t t t
ω
j 2 0,1
≠t π
??
?<>-=0
,0
,)(ωωωj j F
√ )(0t t -δ
t j e
ω-
t
j e
0ω
)
(20ωωπδ-
√ t 0cos ω )]()([00ωωδωωδπ-++
)()(00t t t t -++δδ
cos 2t ω t
0sin ω )]()([00ωωδωωδπ--+j
)
()(00t t t t --+δδ
sin 2t j ω
√
????
?><=τ
τt t t f ,0,1)(
)
2
(
ωτ
τSa
)(Wt Sa W
π
????
?><=W
W
F ωωω,0,1)(
√ √
??
??
?><-=ττ
τt t t t f ,0,1)(
)
2
(
2
ωτ
τSa
)2
(
22
Wt Sa W π
??
??
?><-=W W
W F ωωωω,0,1)(
√ 0}Re{),(>-a t u e
at
ωj a +1 jt -τ1
),(2>-τωπτω
u e
}Re{,>-a e
t
a
2
2
2a
a
+ω
2
2
τ
τ
+t
,>-τπω
τe
√ 0
}Re{),(cos 0>-a t tu e
at
ω
2
2
)(ωωω+++j a j a √ 0}Re{),(sin 0>-a t tu e
at
ω
2
20
)(ωωω++j a
0}Re{),(>-a t u te
at
2
)
(1ωj a + 0
,)
(12
>-ττjt
)
(2ωπωτω
u e
-
}Re{),()!
1(1
>---a t u k e
t at
k
k
j a )
(1ω+
√ ∑+∞
-∞
=-=
l T lT t t )()(δδ
∑+∞
-∞
=-k T k
T
)
2(2πω
δπ
√
2
)
(
τ
t
e
-
2
)
2
(ωττπ-e
√ t
t u t u 0
cos )]2
()2
([ωττ-
-+
]
2
)0(2
)0
([2
τω
ωτωωτ-++Sa
Sa
连续傅里叶变换性质及其对偶关系
?+∞
∞-=
ω
ωπωd e
F t f t
j )(21)(
dt
e
t f F t
j ?
+∞
∞
--=
ωω)()( 1(0)()2f F d ωω
π
+∞-∞
=
?
(0)()F f t dt
+∞-∞
=
?
连续傅里叶变换对 相对偶的连续傅里叶变换对 重要
名称 连续时间函数
)(t f 傅里叶变换)(ωF
名称 连续时间函数)(t f 傅里叶变换
)(ωF
重要 √ 线性 )()(2
1
t f t f βα+ )()(2
1
ωβωαF F + √ 尺度
比例变换 0),(≠a at f )(1a
F a ω
对偶
性 )(t f )(ωg
)(t g
)
(2ωπ-f
√ √ 时移 )(0t t f -
)(t j e
F ωω-
频移 t
j e
t f 0)(ω
)(0ωω-F
√
时域微分性质 )(t f dt
d
)
(ωωF j 频域微分性质 )(t jtf -
)
(ωω
F d d
√
时域
积分性质 ?
∞
-t
d f τ
τ)(
)
()0()(ωδπω
ωF j F +
频域积分性质 )
()0()(t f jt
t f δπ+-
σ
σω
d F ?
∞
-)(
√ 时域
卷积性质 )(*)(t h t f
)
()(ωωH F 频域卷积性质 )()(t p t f
)
(*)(21ωωπ
P F
√
√ 对称
性 )(t f - )
(*
t f )(*
t f -
)(ω-F )(*
ω-F
)(*ωF
奇偶虚实性质
)(t f 是实函数 {})()(t f Od t f o ={})()(t f Ev t f e =
{})(Im ωF j {})(Re ωF
希尔伯特变换 )()()(t u t f t f = )()()(ωωωjI R F +=
πω
ωω1
*
)()(I R =
√ 时域
抽样
∑+∞
-∞=-n nT t t f )()(δ
∑
+∞
-∞
=-k T
k
F T
)2(1πω
频域抽样 ∑
+∞
-∞
=-n n
t f )
2(1
ωπ
ω ∑+∞
-∞
=-k k F )
()(0ωωδω
√ 帕什
瓦尔公式
ω
ωπ
d F dt t f 2
2
)(21)
(?
?∞
∞
-∞∞
-=
取反----------取反 共轭----共轭取反 共轭取反----共轭
基本的离散傅里叶级数对
?
+∞
∞-=
ω
ωπωd e
F t f t
j )(21)(
dt
e
t f F t
j ?
+∞
∞
--=
ωω)()(
1
(0)()2f F d ωωπ
+∞-∞
=
?
(0)()F f t dt
+∞-∞
=
?
离散傅里叶级数对
相对偶的离散傅里叶级数对
重要 周期N 的序列
~
][n f
傅里叶级数系数~
k
F
周期N 的序列~
][n f
傅里叶级数系
数~k
F
重要 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
√
双边拉氏变换对与双边Z 变换对的类比关系
()()st
F s f t e
dt +∞--∞
=
?
()[]n
n F z f n z
+∞
-=-∞
=
∑
双边拉氏变换对 双边Z 变换对
重要
连续时间函数
)(t f
像函数)(s F 和收敛
域
离散时间序列
][n f
像函数)(z F 和收敛域 重要 √ )(t δ 1,整个s 平面
[]n δ
1，整个Z 平面
√ )(t k ）
（δ
k
s ，有限s 平面
[]k
n δ?
1
(1)
k
z --，
z >
√ )(t u s 1，0}Re{>s
[]u n
1
1(1)z --，1z >
√ √ )(t tu
2
1s
，0}Re{>s (1)[]n u n +
2
1
1(1)
z --，1z > √
1
()(1)!
k t
u t k --
1k
s
,0}Re{>s
(1)![]
!(1)!
n k u n n k +--
1
1(1)
k
z --，
1z >
()u t --
s 1，Re{}0
s <
[1]
u n ---
1
1(1)z --，1z <
()
tu t --
2
1s
，Re{}0s < (1)[1]n u n -+--
2
1
1(1)
z --，1
z <
1
()
(1)!
k t
u t k --
--
1k
s
,Re{}0s <
(1)![1]
!(1)!
n k u n n k +--
---
1
1(1)
k
z --，
1
z <
√
()
at
e
u t -
1
s a
+,Re{}Re()s a >-
[]n
a u n
1
1(1)
az --，
z a
>
√
√
()
at
te
u t -
2
1()
s a +,
Re{}Re()s a >-
(1)[]n
n a u n +
2
1
1(1)
az --，
z a
>
1
()
(1)!
k at
t
e
u t k ---
1()
k
s a +,Re{}Re()s a >-
(1)![]
!(1)!
n
n k a u n n k +--
1
1(1)
k
az --，
z a
>
()
at
e u t --- 1s a
+,Re{}Re()s a <-
[1]
n
a u n ---
1
1(1)
az --,z a
<
1
()
(1)!
k at
t
e
u t k ---
--
1()
k
s a +,
Re{}Re()s a <-
(1)![1]
!(1)!
n
n k a u n n k +-----
1
1(1)
k
az --,
z a
<
√ 0cos ()tu t ω
2
2
s s ω+，0}Re{>s 0cos []nu n Ω 1
012
01(cos )1(2cos )z z
z
----Ω-Ω+ √ √ 0sin ()tu t ω
2
2
s ωω+，0}Re{>s 0sin []nu n Ω
101
2
0(sin )1(2cos )z z
z
---Ω-Ω+ √ √ 0cos ()
at
e
tu t ω-
2
20
()s
s a ω
++，Re{}s a >- 0cos []
n
a nu n Ω
1
01
2
01(cos )1(2cos )a z a z
z
----Ω-Ω+ √ 0sin ()at
e
tu t ω-
02
20
()s a ω
ω
++，Re{}s a >-
0sin []n
a nu n Ω
101
2
0(sin )1(2cos )a z a z
z
---Ω-Ω+
a t
e
-，Re{}0a > 2
2
2a s a
--，
Re{}Re{}Re{}a s a >>- n
a
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1
1
1
1
1
()(1)(1)
a a z
az a z --------，
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sgn()a t
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a >
2
2
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-，
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a s a >>-
sgn[]
n
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2
1
11
1(1)(1)z
az a z -------，
1a z a <<
iiiiiiiiii