欧氏空间与双线性函数
基本概念
1. 欧几里得空间
设V 是实数R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：
（1） （βα，）=（αβ，）； （2） （βα,k ）= k(βα，);
（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);
（4） （αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。
这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2. 酉空间
设V 是复数C 上的线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（βα，），它具有以下性质：
（1）（βα，）=（αβ，）；这里（αβ，）是（αβ，）的共轭复数； （2）（βα,k ）= k(βα，);
（3） (αβα，+)= (γα，)+(γβ，);
（4）（αα，）≥0，当且仅当α=0时，（αα，）=0。
这里γβα，，是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度
非负实数），（αα称为向量α的长度，记为α。 4. 向量的夹角
非零向量βα，的夹角
βα，规定为
βα，=arccos
β
αβα）
，（, 0≤
βα，≤π
5. 向量正交
如果向量βα，的内积为零，即（βα，）=0，那么βα，正交，记为βα⊥。 6. 基的度量矩阵
，，21εε.n ε，???是n 维欧氏空间的V 一组基,令()j i,εεα=ij ，n j i ，，
???=2,1,,称
()nn ij A α=为基n εεε，，，???21的度量矩阵。
7. 正交向量组
欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
9. 正交矩阵、酉矩阵
n 级实矩阵称A 为正交矩阵,如果E A A T
=。
n 级复矩阵称A 为酉矩阵,如果
E
A A T
=。
10. 欧氏空间同构
实数域R 上欧式空间V 与V'称为同构的,如果由V 到V'有一个双射σ,满足
（1）σ(）βα+=）；（）（βσασ+
（2））；（）（ασασk k =
（3 ）；
，（））（），（（βαβσασ= 这里βα，∈V ，k ∈R ，这样的映射σ称为V 到V'的同构映射。 11. 正交变换、酉变换
欧氏空间V 的线性变换σ如果满足
），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为V 的一个正交变换。
酉空间V 的线性变换σ如果满足
），（））（），（（βαβσασ= 则称σ为酉空间的一个酉变换。
12. 子空间正交、向量与子空间正交
设2,1V V 是 欧氏空间V 的两个子空间，如果对于任意的,2,1V V ∈∈βα 恒有 （βα,）= 0
则称2,1V V 为正交的，记为21V V ⊥。一个向量α，如果对于任意的1V ∈β，恒有 （βα,）= 0
则称α与子空间1V 正交，记为1V ∈α。 13. 子空间的正交补
子空间2V 称为子空间1V 的一个正交补，如果21V V ⊥，并且V V V =+21。 14. 欧氏空间V 的线性变σ换如果满足
))(())((βσαβασ，，=
则称σ为V 的一个对称变换。 15. 向量之间的距离
长度βα-称为向量α和β的距离。
16. 最小二乘解 实系数线性方程
022112222212111212111=-+???++=-+???++=-+???++n s ns n n s s s s b x x x b x x x b x x x αααααααααK
K K K K K
可能无解，即任何一组实数 s x x x ???,,21都可能使
)(2
2
1
1
2
1
i
s
is
i i n
i b x x x -?+??++∑=ααα （1）
不等于零。使等式（1）成立的最小实数组x x x s 0
20
1,,,??? 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite 矩阵 如果A A T
=
，则称矩阵A 为对称矩阵。如果A A T
=，则称矩阵A 为
Hermite
矩阵。
18. Hermite 二次型 设
A
为Hermite
矩阵，二次齐次函数
X x x a f A
x x x x T
n
i n
j j i ij n =
=
???∑∑==11
21),,,( 称为Hermite 二次型。
19. 线性函数 设
v
是数域
p 上的一个线性空间，f
是
v
到
p 的一个映射，如果f
满足
（1）
;)()()(βαβαf f f ++=
（2）
。
)()(ααkf k f = 其中 βα，是
v
中任意元素，k 是
p 中任意元素，则称是v
上的一个线性函数。
20. 对偶空间、对偶基 设
v
是数域
p
上的一个n 维线性空间，v
上全体线性函数组成的集合记作
)v (,p L 。用自然的方法在)
v (,p L 上定义加法和数量乘法，
)
v (,p L 成为
数域
p 上的线性空间，称为v
的对偶空间。
设
v
是数域
p 上的一个n 维线性空间,n
εεε，，
，???2
1
是
v
的一组基，作
v
上n
个线性函数 n f f f ,,21,???,使得
()=
j i f ε
{
1,,2,1,,,0i
j n j i i j =???=≠，
则n f f f ,,21,???为
)v (,p L 的一组基，称为n
εεε，，
，???2
1
的对偶基。
21. 双线性函数
v 是数域p 上的一个线性空间，),(βαf 是v 上一个二元函数，即对v 中任
意两个向量βα，，根据f 都唯一地对应于中
p 一个数，如果有下列性质:
(1) ),(),()(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+，; (2) ),(),()(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+，; 其中2121βββααα，，，，， 是
v
中任意向量，则称
)
,(βαf 为
v 上的一个双线性函
数。
22. 双线性函数的度量矩阵 设
),(βαf 是数域p
上n 维线性空间
v
上的一个双线性函数。n εεε，，
，???21是v
的一组基，则矩阵
叫做
),(βαf 在基n εεε，，
，???21下的度量矩阵。 23. 非退化的双线性矩阵 设
),(βαf 是线性空间v
上一个双线性函数，如果
0),(=βαf 对任意V ∈β，可推出0=α，
f
就叫做非退化的。
24. 对称双线性函数，反对称双线性函数
),(βαf 是线性空间v
上一个双线性函数，如果对
v
中任意两个向量βα，都
有
），（），（αββαf f = 则称
),(βαf 为 对称双线性函数，如果对v
中任意两个向量βα，都有
）
，（），（αββαf f -=
则称
),(βαf 为反对称双线性函数。
25. 双线性函数对应的二次齐次函数 设
v 是数域
p 上的线性空间，),(βαf 是v
上双线性函数，当βα=时，
v
上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数。 26. 双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间 设
v
是数域p 上的线性空间，在
v
上定义了一个 非退化双线性函数，则称为一个
双线性度量空间，当f
是非退化对称双线性函数时，
v
称为
p 上的正交空间；当v
是
n 维实线性空间，
f
是非退化对称双线性函数时，
v
称为准欧氏空间，当f
是非退化反
对称双线性函数时，
v
称为辛空间。
基本结论
1. 柯西-布涅柯夫斯基不等式
欧式空间中的任意向量βα，有 βαβα≤
，
当且仅当βα，线性相关时，等号才成立。
2. 度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。
3. n 维欧式空间中任何一个正交向量组都能扩充成一组正交基。
4. 对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα，，
，???21，都可以找到一组正交基 n βββ，，，???21 使
()()n i L L i i ,2,1,2121???=??????=βββααα，，，，，
， 其中n k k k k k k k k k
,,2,11,11,11,11,11???==-??
? ??--?
?? ??-???-??? ?
????
??-
=
ββββαββββαα
βαβ，。 5. ()nn ij a A =是正交矩阵A A E A
A E
A A T
T
T
=?=??
-=1
=+???++?nj ni j i j i a a a a a a 2211{1,0j
i j i =≠，当当
=+???++?jn in j i j a a a a a a 2211 {10j
i j i =≠，当，当
A ?是n 维欧氏空间V 中两组标准正交基之间的过渡矩阵。
()()A
n n εεεεεεσ，，，，，，???=????2121,其中
σ
是正交变换，
n εεε，，，???21是V 的一组标准正交基。
6.
n εεε，，，???21是n 维欧氏空间的一组标准正交基
()=?j i εε，
{
1,0j i j
i =≠，
? 基n εεε，，
，???21的度量矩阵为单位矩阵。
?
存在基准正交基n e e e ,,,21???及正交矩阵Q
。
使
Q e e e n n ),()2121，，，（，，???=???εεε
7.两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。
8.设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，以下四个命题是等价的： （1）σ保持内积不变，即对任意的α，β∈V ，都有
））
（），（（βσασ=），（βα （2）σ保持向量的长度不变，即α∈V ，αασ=）（；
（3）如果n εεε，，，???21是标准正交基，那么σ)21n εσεσε（，），（），（???也
是标准正交基。
（4）σ在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
9.如果子空间s V V V ???,,21两两正交，那么喝s V V V +???++21时直和。
10.n 维欧式空间V 的每一个子空间都有唯一的正交补。
11.A 是实对称矩阵，则A 的特性值都是实数，且属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
12.设σ是对称变换，1V 是σ一子空间，则
V
⊥1
也是σ一子空间。
13.对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵T ，使
T 'A T =T 1-AT 成对角形。
14. 任意一个实二次型
n
j i ji ij j i n i n
j ij a a
x x a ,,1,,,11
???==
==∑∑
都可以经过正交的线性变换替换成平方和
n y y y
2
12221
21
λλλ+???++
其中平方项的系数n λλλ，，，???21就是矩阵A 的特征值。 15.线性方程组b AX =的最小二乘解为满足方程组b
A AX
A T
T
=
的解X 。
16.埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的处于不同特征值的特征向量必正交。 17.若A 是埃尔米特矩阵，则酉矩阵C ,使
AC
C
AC
C T
=-1
是对角形矩阵。
18.对埃尔米特二次型
X
A X x x a T
j i n i n
j ij n x x x f =
=???∑∑==11
21),,,(
必有酉矩阵C ，当CY X =时
19.设V 数域P 上的n 维线性空间，n εεε，，
，???21是V 的一组基，n a a a ???,,21是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f ，使
n i i i a f ,,2,1,)(???==ε
20. 设 n εεε，，，???21及n ηηη，，，???21是线性空间V 的两组基,它们的对偶
基 分 别 是n f f f ，，
，???21 及 n g g g ，，，???21。如 果 由 n εεε，，，???21 到
n ηηη，，，???21的过度矩阵为A ，那么由n f f f ，，
，???21到n g g g ，，，???21的过度矩阵为
A
'1
-。
21. V 是一个线性空间，V *
*是V 的对偶空间的对偶空间，V 到V *
*的映射是一个同构映射。
22. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。
23. 双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵。
24. 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一
组基n εεε，，
，???21，使),(βαf 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 25. 设V 是复数域上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的
一组基n εεε，，
，???21，对V 中任意向量∑∑====n
i i
i n i i
i y x 1
1
,εβεα有
)0(,2211),(n r r r y x y x y x f ≤≤???++=βα
26. 设V 是实数域上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的
一组基n εεε，，
，???21，对V 中任意向量∑∑====n
i i
i n
i i
i y x 1
1
,ε
βεα有
,1111),(r r p p p p y x y x y x y x f -???--+=++βα
）（n r p ≤≤≤0
27. ),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数则存在V 的一组基
s r r ηηεεεε???--???,1,11,，，，，使
基本方法 1. 常用的欧式空间 （1） 线性空间
R
n
，对如下定义的内积构成欧式空间。
()()n n b b b a a a ,,,,,,2121???=???=βα
()n n b a b a b a ???++=2211βα，
（2） 线性空间()()()()b a C x g x f b a C ,,,,∈对如下定义的内积构成欧式空间。 ()()()dx x g x f g f b
a ?=
,
2. 将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化，会给解题
带来一些方便。
第十章 双线性函数
一 内容概述 1 线性函数
ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足
①
f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V
② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-
(2)
如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(
定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是
P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2 线性函数空间
设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V, P), 定义
ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()
p k p V f ∈∈?,,τ
则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称()
p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基
设n εεε,,,21Λ为
V 的一组基，定义 )(j i f ε=???≠=i
j i j 0
1
，则n f f f ,,,21Λ是()
P V ,τ的一
组基。称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。
定理 ()
P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()
P V ,τ 的一组基
定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与
n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为A ，那么
由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1
')(-A 4. 双线性函数
设V 是数域 P 上一个线性空间。),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量
βα,都唯一地对应P 中的一个数。记为),(βαf 。如果),(βαf 有以下性质：
①f ()2211,ββαk k +=k 1f ()1,βα+k 2f ()2,βα
②),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+ V ∈?2121,,,,,βββααα p k k ∈?21,
则称 f ()βα, 为 V 上的双线性函数。
设 f ()βα, 是数域 上 维线性空间V 上的一个双线性函数，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，则矩阵
A=()()()()()()()
()()?
????
?
?
?????n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεε,,,,,,,,,212221
212111Λ
Λ
ΛΛΛΛΛ
叫做f ()βα,在n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。 5 对称双线性函数
f ()βα,是线性空间 V 上一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量 都有
f ()βα,=f ()αβ,
则称f ()βα,为对称双线性函数。如果对V 中任意两个向量βα,都有
f ()βα,=━f ()αβ,
则称 f ()βα, 为反对称双线性函数。
定理 设V 是数域P 上维线性空间。 f ()βα,是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21Λ使f ()βα,在这组基下的度量矩阵为对角阵。
推论1 设 V 是复数域上n 维线性空间，f ()βα,是 V 上对称双线性函数，则存在
V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量α=∑=n i i i x 1
ε，β=∑=n
i i i y 1
ε，有
f ()βα,=∑=r
i i i y x 1
(0n r ≤≤)
推论 2 设 V 是实数域上 维线性空间，f ()βα, 是V 上对称双线性函数，则存
在V 的一组基n εεε,,,21Λ，对V 中任意向量 α=
∑=n
i i
i x 1
ε
，β=
∑=n
i i
i y 1
ε
，有
r r p p p p y x y x y x y x f ---++=++ΛΛ1111),(βα )0(n r p ≤≤≤
定理 设 f ()βα, 是 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基
s r r ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--,使
??
??
???=∈=≠+===--s
k V f j i f r i f k j i i i ΛΛ2,1,0),(00
),(2,11),(αηαεεεε 设V 是数域 P 上的一个线性空间，在上V 定义了一个非退化的双线性函数，则V 称为一个双线性度量空间。特别地当V 为 维实线性空间，f ()βα,是V 上非退化对称双线性函数时，
V 称为伪欧氏空间。
二 例题选讲
例 1 设V 是一个线性空间，s f f f ,,,21Λ 是*
-V 中非零向量，试证：存在∈αV 使
f
()0≠αi
,i =1,2,K S
证 对 S 用数学归纳法 当 S=1 时f
1
0≠ 所以存在∈αV 使f
()01
≠α 即 S=1 使命题成立
假定当 S=K 时命题成立。即存在∈αV 使 f ()0≠=i
i
a α i=1,2,K K
下证S=K+1时，命题成立 若f ()01
≠+αK 则命题得证。
若f
()01
=+αK 但由01≠+k f 知存在V ∈β使b f k =+)(1β设i i d f =)(β()K i Λ,2,1=
总可取数C
使a
,i =1,2,K K 令V c d ∈+=γβαγ, 且
0)(≠+=i i i cd a f γ()K i Λ,2,1=
0)(1≠=+cb f k γ
归纳法完成
例2 设s
ααα,,,21Λ是数域 P 上的线性空间V 的非零向量，证明：有*_
V f ∈使
0)(≠i f α s i ,,2,1Λ= 证 因为 V
**_
V ?, s
α
αα,,,21Λ是V 中的非零向量，所以
**,*,**,*21s αααΛ是*_
V 的对偶空间*_
_
*)(**V V =中的非零向量。由例1知，存
在*_
V f ∈ 使 **i α()0≠f s i ,,2,1Λ=即f (i α)0≠,s i ,,2,1Λ=
例3 设V 是一个n 维欧氏空间，对V 中确定的向量 定义一个函数*α ：()()βαβα,*= （1） 证明：*α是V 上的线性函数；
（2） 证明：V 到*_
V 的映射：*αα→ 是V 到*_
V 的同构映射（在同构的定义下，欧氏空间可
看成自身的对偶空间）。
证 )(*)(*),(),(),()(*)1(21212121βαβαβαβαββαββα+=+=+=+Θ )(*),(),()(*βαβαβαβαk k k k ===
),()(*βαβα=∴k 是V 上的线性函数。
（2）先证
*αα→ 是单射。事实上，设 21αα≠ 而 **21αα≠所以β?有
()()βαβα**2= ，即 ()()βαβα,,21=
得到 ()0,21=-βαα 。对于β ，从而 21αα= 矛盾。 又 *1αα→，*2αα→ 而
*
*)(*)(*),(),(),()(*)(212121212121ααβαβαβαβαβααβαααα+=+=+=+=+→+ *)(*),(),()(*)(αβαβαβαβααk k k k k k ====→ *_
_V V 与∴同构。
例4 设σ是数域P 上n 维线性空间 V 的一个线性变换
（1）证明：对V 上的线性函数f ，f σ仍为V 上的线性函数；
（2）定义 v *到自身的映射*σ为：σf f → 证明*σ是v *
上的线形变换；
（3）1ε,2ε, K n ε是V 的一组基，n f f f ,,,21Λ是其对偶基，并设σ在n εεε,,,21Λ下
的矩阵为?。证明：*σ在n f f f ,,,21Λ下的矩阵为A T
(*σ称σ的转置映射)。
证 （1）令g(α)=f (σ(α))） ?α,β∈V k ∈P
g(α+β)=f (σ(α+β))=f (σ(α)+σ(β))=f (σ(α))+f (σ(β)) =g(α)+g(β)
, g(k α)=f (σ(k α))=f (k σ(α))=k f (σ(α))=kg(α) ∴f σ是V 上的线性函数。
（2）? h 1,h 2∈V *
, k,l ∈P ?α∈V *
σ(kh 1+l h 2)(α)=kh 1σ(α)+l h 2σ(α)=(k σ
*
h 1+l *
σh 2)(α)
∴f σ是V *
的线性函数。
（3）由条件σ(n εεε,,,21Λ)=(n εεε,,,21Λ)A A=(ij a )n
n ?
*
σ(n f f f ,,,21Λ)=(n f f f ,,,21Λ)B B=n n ij b ?)(
有 n ni i i i a a a εεεσεΛ++=2211
n nj j j j b b b f εσ+++=Λ21*
*σf
j
(i ε)=f
j
σ(i ε)=f
j
(n ni i i a a a εεεΛ++2211)=a ji
(n nj j j b b b ε+++Λ21)(i ε)=ij b
故ji ij b a = 有 '
A B =
例5 设1ε,2ε,K n ε是线性空间V 的一个基，321,,f f f 是它的对偶基，今给出V 中向量
1α=1ε–2ε 2α=1ε+2ε+3ε 3α=2ε+3ε
试证1α,2α,3α是V 的一个基，并求它的对偶基。
解 因为(1α 2α 3α)=(1ε 2ε 3ε)????
??????-111110011=(1ε 2ε 3ε)A 而A ≠0所以1α,2α,3α线性无关，故它是 V 的一个基。 因此A 是1ε,2ε,3ε到1α,2α,3α的过渡矩阵。
用g
1
,g
2
,g
3
表示1α,2α,3α的对偶基。我们求出(A
'
)
1
-。那么
(g 1,g 2,g 3)=(321,,f f f )( A ')1-=(321,,f f f )????
??????----111211110 即 321f f g -= 3212f f f g +-= 32132f f f g ++-= 就是1α,2α,3α的对偶基。
例6
在F 3
中给出两个基
1ε=(1,0,0), 2ε=(0,1,0), 3ε=(0,0,1) 及
1η=(1,1,-1), 2η=(1,1,0), 3η=(1,0,0)
试求这两个基各自的对偶基。并写出它们作用在F 3
中任意向量X=（x 1,x 2,x 3）上
的表达式。
解 设321,,f f f 是1ε,2ε,3ε的对偶基，那么依定义应有 f i (j ε)=??
?≠=i
j i j 0
1
i=1, 2, 3
于是对任意X=（x 1,x 2,x 3）∈F 3
由X=x 11ε+x 22ε+x 33ε得f
1(X)=
f 1(( x 1,x 2,x 3))=x 1
2f (X)=f
2
(( x 1,x 2,x 3))=x 2
f 3(X)=f 3((x 1,x 2,x 3))=x 3
由
于
从
3
21,,εεε到
3
21,,ηηη的过渡矩阵是
(321,,ηηη)=(321,,εεε)????
??????-001011111=(321,,εεε)A
所以（321,,g g g ）= （321,,f f f ）(A ')1-=（321,,f f f ）????
??????--011110100为1η,2η,3η的对偶基。
故f (X,Y)为P 上的双线性函数。 （2）设 A=(a i
j
)n m ?
f (E ij ,E r s )=t r (E i
j
T ?E r s )=??
?=≠s
i a s
i ii
从而求出
f(X,Y)在基E
11
E
12
E
n
1E
21
E
22
E
n
2E
1
m E
2
m E
mm
下的度量矩阵为
B=?????
??????
?nn a a a O
22
11 例9 设V 是复数域上的线性空间，其维数≥2，f (α,β)是V 上的一个对称双线性函数。
（1） 证明：V 中有非零向量ξ，使),(ξξf =0；
（2）
如果f(α,β)是非退化的，则必有线性无关的向量ξ，n 满足：
f (ξ,n)=1 f (ξ,ξ)=f (n,n)=0
证（1）由于f (α,β)是V 上的一个对称双线性函数，存在V 的一组基1ε，2ε,K n ε使?ξ=
i
n
i i x ε
∑=1
η=
j
n
j j y ε
∑=1
∈V??????有
f ξn????x 1y 1x 2y 2??????x n y n f ξξ)=x 12+x 22+x r 2 (0≤r ≤n) (1)
当r=0时，对V 中任意非零向量ξ，都有f (ξ,ξ)=0 ； 当r=1时，取ξ=2ε≠0，有f (ξ,ξ)=0 ；
当r ≥2时，取ξ=i 1ε+2ε，有f (ξ,ξ)=i 2
+1=0 ；
（3）
若f (α,β)是非退化的，则（1）式为
f ξn????x 1y 1x 2y 2+ +x n y n
取ξ=
2
11ε+
2
i 2ε η=
2
11ε-
2
i 2ε 得
f (ξ,ξ)=(
21)2
+(
2i )2
=0 f (η,η)=(
2
1)2
+(
2
i )2
=0
f (ξ,η)=(
2
1)2
+(
2
i )(-
2
i )=
21+2
1=1 且易知ηξ,是线性无关的向量；
例10 试证：线性空间V 上双线性函数f (α,β)为反对称的充要条件是：对任意α∈V
有f (α,α)=0
证 必要性 由f (α,β)为反对称的，因而f (α,α)=f -(α,α) 故f (α,α)=0
充分性 由条件
0),(),(),(),(),(=+++=++ββαββαααβαβαf f f f f
故),(),(αββαf f -= 因而f (α,β)为反对称双线性函数。
例11 设f (α,β)是V 上对称的或反对称的双线性函数，α,β是V 中两个向量，如果
f (α,β)=0，则α,β正交。再证K 是V 的一个真子空间。证明；对ξ?K ，
必有η∈K+L(ξ)使f (n ,α)=0对所有α∈K 都成立。
证 先证 是对称双线性函数的情形。
这时， 也是K 上的双线性函数。假定维(K)=t, 则由已知结论存在K 的一组基
t ααα,,,21Λ，使f 在这组基下的度量矩阵为diag(t d d d ,,,21Λ)
令η=
ξαααξαααξ-+
+t t
t f f )
,()
,(11
1Λ 当i α=0时，删去相应的项，则
η∈K+L(ξ)且η≠0 K a i t
i i ∈=?∑=αα1
有 f (η,α)=f (
j t
j j i t
i i
i a f αξααξα∑∑
==-1
1
)
()
=
)()()(1
11j t
j j j i i t i t
j i
j
f a f f a ξαααξαα
∑∑∑===-
=
)()(1
1
j t
j j j t
j j
f a f a
ξαξα∑∑-=-
=0
再证f 是反对称双线性函数的情形。 1）
若对给定的ξ?K ，有β?K 使f (ξβ)≠
。可令ξε=1λβε=-1使f 1ε,1-ε)=1,然后将1ε,1-ε 扩充为K+L(ξ) 的一组基
s t t ηηεεεε,,,,,,,111ΛΛ--使
??
?
??+∈=≠+===-)
(0),(00
),(,,2,11),(ξαηαεεεεL K f j i f t i f k j i i i Λ 当s= 0时，取1ηη=即可。
当 s 0≠时，取1-=εη由 1εξ= K=L(,,1-εε ,t t -εε,) 则 ?α∈K 有f (η,α)=0 2）若β?∈K,f ξβ????则取η??ξ即可。
例12
设V 与f (αβ)同上题,K 是V 的一个子空间。令
K ⊥
??{α∈V??|??f ??(αβ)??
???????β∈K }
1） 试证： K ⊥
是V 的子空间 (K ⊥
称为 K 的正交补)。 2）
试证： 如果K I K ⊥
={0}, 则 V=K+K ⊥
。
证 1）K ∈?β有f (0,β)=0故 0⊥
∈K 所以K ⊥
非空。
?1α，2α∈ K ⊥, K ∈P ?β∈K 有f (K α,β)=K f (α,β????
??????????????
f 1α2αβ????f 1α,β)+f (2α,β)=0
故1α+2α∈ K ⊥
. K 1α∈ K ⊥
从而K ⊥
是V 的子空间。
2）
K+ K
⊥
?V 是显然的。
不妨设K 是V 的真子空间 ?ξ∈V 若ξ∈K , 则证毕。
若K ?ξ则由条件知存在非零的∈ηK+L(ξ) K ∈β K ∈P （1） 显然K ≠0 否则∈ηK ? K ⊥
={0} η=β=0 矛盾。从而由（1）知
ξ=-
K 1β+K
1
η∈ K+ K ⊥??????所以V ???K ??K ⊥ 故V????K ??K ⊥
。
例13 设V????f α,β) ,K 同上题，并设f (α,β)限制在K 上是非退化的，试证：V=
K+ K ⊥
的充要条件是f (α,β)在V 上是非退化。
证 必要性 由条件V= K+ K ⊥
令K ≠0 若f (α,β)在K 上不为非退化
设m e e e ,,,21Λ为K 的一组基。由此可知ξ∈K ? K ⊥
矛盾。
充分性 设1α∈K ?K ⊥
假若1α≠0 则将1α扩充成K 的一组基m ααα,,,21Λ由于
1α∈K ⊥故f (1α,j α)=0 m j ,,2,1Λ= 即f 关于基m ααα,,,21Λ的度量矩阵第一行
的元素全为0。因而是非退化的，这与f 在K 上非退化矛盾。 所以1α=0,K ? K ⊥
={0}, V=K ?
+K ⊥
例14
设f (α,β)是n 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数，对V 中一个元素α，
定义V
*
中一个元素α*
：
α*(β)= f (α,β) V ∈β
试证：1）V 到V
*
的映射?：α→α*
是一个同构映射；
2）对V 的每组基n εε,,1Λ，有V 的唯一的一组基'
'
1,,n εεΛ使 f (i ε,'
j ε)=ij δ??????????????ij δ????
?≠=j
i j
i 01
??????如果V 数域上n 维线性空间，则有一组基n ηη,,1Λ,使
'i i ηη= n i ,,2,1Λ=
证 1） 首先证明?为单射。事实上，设21αα≠ 若?(1α)=?(2α) 即1α*
2*
α=
因而V ∈?β有f (1α,β)=f (2α,β) 故 f (21αα-,β)=0 V ∈?β设1ε, n ε为V 的一组基。令
21αα-=),,(,21n εεεΛ????????????n x x x M 21 =β),,(,21n εεεΛ????
?
???????n y y y M 21
由f (1α–2α,β)=0 得到
),,(21n x x x ΛA ????
?
?
??????n y y y M 21=0 这里 A 为f (α,β) 在基
n εεε,,,21Λ下的度量矩阵。由于β是任意的，因而有
),,(21n x x x ΛA=0
又A 可逆，故),,(21n x x x Λ=0，进而1α=2α 矛盾。进一步易知?是双射。易验证
)()()(2121α?α?αα?l k l k +=+
因而 *
-?V V ?
2）设'
1i ε??n in i i x x x εεε+++Λ2211由????
???
??===0),(1),(0),('1'1'1εεεεεεn i n f f f M M
得到
??
????
????????????),(),()
,(),(),()
,(),(),()
,(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεΛ
Λ
Λ
Λ
ΛΛΛ
??????
??
?
?????????n x x x M 21= ??????
??
?
?????????010M M (*) 由于f (α,β)为非退化，因而(*) 有解且唯一。这样得到'
'
1,,n εεΛ满足f
i ε'
j ε????
ij δ??
''1,,n εεΛ线性无关。事实上，由k 1'1ε+ +k 'n ε=0
f (k 11ε+ +k n n ε)=k i =0 n i ,,2,1Λ=
故'
'
1,,n εεΛ为所求的基。唯一性由(*)解的唯一性得到。
3）令A=????
?
?????),(),(),(),(1111n n n n f f f f εεεεεεεεΛΛΛΛΛ 由A=A '，A 可逆，因而在复数域上存在可逆矩阵T ，使T 'AT=????
?
?????10
01
O 令T n n ),,(),,(11εεηηΛΛ= 有ij j i f δηη=),(
例15
设V 是对于非退化对称双线性函数),(βαf 的n 维伪欧氏空间。V 的一组基
n εε,,1Λ如果满足
1),(=i i f εε p i ,,2,1Λ=
1),(-=i i f εε ;,,1n p i Λ+= 0),(=j i f εε ;j i ≠
则称为V 的一组正交基。如果V 上的线形变换σ满足 ),(),(βασβσαf f = V ∈βα, 则称σ为V 的一个伪正交变换。试证：
1） 伪正交变换是可逆的，且逆变换也是伪正交变换； 2） 伪正交变换的乘积仍为伪正交变换； 3） 伪正交变换的特征值为1或-1；
4）
伪正交变换在伪正交基下的矩阵 满足
证： 1）由于f 是非退化的双线性函数，因此存在V 的一组基n εεε,,,21Λ,使f 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵),,,(21n d d d diag A Λ=其中0≠i d n i ,,2,1Λ= 设σ是V 的一个伪正交变换，则),,,()(21n L V σεσεσεσΛ= 令02211=++n n K K K σεσεσε
线性规划 教学目标： 1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念； 2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解； 3．了解线性规划问题的图解法。 教学重点：线性规划问题。 教学难点：线性规划在实际中的应用。 教学过程： 1．复习回顾： 上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略） 2．讲授新课： 例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件： ，求z的最大值和最小值. 解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面 区域，不等式组则表示这些平面区域的公共 区域．（如右图）． 作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以 zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3 说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念． 线性规划的有关概念： ①线性约束条件： 在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε3) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2 ，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε3）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ） 1 - ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0， x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题 意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z 3 过点A 时，z 取得最小值，联立????? 2x －y ＋1＝0，x －2y －1＝0，解得A (－1，－1)，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10． 答案：－10 求非线性目标函数的最值 2．已知实数x ，y 满足????? x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0， 3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行 域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由????? x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)， 所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25 ． 所以d 2的最小值为45 ，最大值为13． 所以x 2＋y 2的取值范围是??? ?45，13． 答案：??? ?45，13 线性规划中的参数问题 3．已知x ，y 满足????? x ≥2，x ＋y ≤4， 2x －y －m ≤0. 若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则z 的最小 值为________．
解析：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作 直线l ：3x ＋y ＝0，平移l ，从而可知经过C 点时z 取到最大值， 由????? 3x ＋y ＝10，x ＋y ＝4，解得????? x ＝3，y ＝1， ∴2×3－1－m ＝0，m ＝5． 由图知，平移l 经过B 点时，z 最小， ∴当x ＝2，y ＝2×2－5＝－1时，z 最小，z min ＝3×2－1＝5． 答案：5 [通法在握] 1．求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ． 求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截 距z b 取最小值时，z 取最大值． (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2． (3)斜率型：形如z ＝y －b x －a ． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．
多项式回归、非线性回归模型 关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型 一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验 1. 概念介绍 SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error ∑∑∑∑====--= --- =n i i i n i i i n i i i n i i i y y y y y y y y R 1 2 1 2 12 12 2)()?()()?(1 2. 例题1 存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。 2. 回归方程的显著性检验 ) 2/()2/()?()?(1 212 -= ---= ∑∑==n SSE SSA n y y y y F n i i i n i i i 例6（F 检验） 在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有： 表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表 这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。 3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析 二、一元多项式回归模型
模型如以下形式的称为一元多项式回归模型： 0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- 例1（多项式回归模型） 为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。试求： （1）给出y 与t 的二次回归模型。 （2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。 （3）预测16=t 时残留的细菌数。 （4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？ 表1 X 射线照射次数与残留细菌数 程序1 t=1:15; y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图 plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16; yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为： 8967.3471394.519897.121+-=t t y
线性规划问题中目标函数常见类型梳理 山东 张吉林 线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。 一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数） 例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥??-+≥??≤? ，则24z x y =+的最小值为（ ） A ．5 B ．-6 C ．10 D ．-10 分析：将目标函数变形可得124 z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12 y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。 解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示： 当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =?+?-=-，答案选B 。 点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。 二 直线的斜率型 例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ?+≤?≥? ,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22 4x y +=的右半圆(含边界)，
31 y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1) z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434 a b a b ?+=?--=?解 得65a b ?=???--?=?? 因 此min z =。综上可知函数的值域 为???? 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤??-+≥??≥-? ，则22448w x y x y =+--+的最值为___________. 解析：目标函数2222 448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足 1）)()()(βαβαf f f +=+; 2）)()(ααkf k f =, 式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=. 2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合： s s k k k αααβ+++= 2211 那么 )()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++= 例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数 n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1) 就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数. 实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε. 第i 个 n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成 n n x x x X εεε+++= 2211. 设f 是n P 上一个线性函数，则
∑∑====i i i i i i f x x f X f 1 1 )()()(εε 令 ,21,)(n i f a i i ，，， ==ε 则 n n x a x a x a X f +++= 2211)( 就是上述形式. 例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设 ?? ?? ? ? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 , 则A 的迹 nn a a a A Tr +++= 2211)( 是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ?上的一个线性函数. 例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为 ][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=, 即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数. 如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α： n n x x x εεεα+++= 2211 都有 ∑∑====n i i i n i i i f x x f f 1 1 )()()(εεα. (2) 因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数 n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：
双线性函数及其应用
本科生毕业论文(设计) 题目：双线性函数及其应用 专业：数学与应用数学 学号: 学生姓名：
目录 摘要（关键词） (1) Abstract（Key words） (1) 前 言 (2) 1 常用的欧式空间 (1) 2 双线性函数 (2) 2.1 线性函数的简单性质 (2) 2.1.1 线性函数的定义 (2) 2.1.2 线性空间的性质 (3) 2.1.3 对偶基 (3) 2.2 双线性函数的内容及性质 (3) 2.2.1 双线性函数的性质 (3) 2.2.2 双线性函数的内容 (3)
3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4) 3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4) 3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5) 4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6) 4.1双线性函数与辛空间 (7) 4.2双线性函数与对偶空间 (10) 5双线性函数的应用领域 (13) 6 结束语 (14) 参考文献 (14) 致谢 (1)
双线性函数及其应用 摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
课题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值X 围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +?? -??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题 的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下： 1.做出可行域; 2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.
8、设,2, , 2,x y x y z y x y -≥=
非线性回归分析常见曲 线及方程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及和一个时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0
9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显着性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 关于t的回归方程2 ?ct =. + bt a s+ 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/e b x，建立M文件如下： function yhat=volum(beta,x) yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x); 2．输入数据： x=2:16; y=[ 10 ];
第10章双线性函数与辛空间 10.1复习笔记 一、线性函数 1．定义 设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足 （1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β）， （2）f（kα）＝kf（α）， 式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数． 2．性质 （1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）． （2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）． 3．矩阵的迹 A是数域P上一个n级矩阵．设 则A的迹
Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn 是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数． 4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n． 二、对偶空间 1．L（V，P）的加法和数量乘法 （1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数： f＋g称为f与g的和． （2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数． 2．L（V，P）的性质 （1）对V中任意向量α，有
而对L（V，P）中任意向量f，有 （2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基． 3．对偶空间 （1）定义 L（P，V）称为V的对偶空间．由 决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质 （1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1． （2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素． （3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射． 结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．
非线性回归分析 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析 常见非线性规划曲线 1.双曲线1b a y x =+ 2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a / e b x其中a>0， 7.S型曲线(Logistic) 1 e x y a b-= + 8.对数曲线y=a+b log x,x>0 9.指数曲线y=a e bx其中参数a>0 1．回归： （1）确定回归系数的命令 [beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0） （2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha） 2．预测和预测误差估计： [Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J） 求nlinfit 或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA. 例2 观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s 2 解： 1. 对将要拟合的非线性模型y=a/ e b x，建立M文件volum.m如下：
第十章 双线性函数 一 内容概述 1 线性函数 ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ① f (α+β)=f (α)+f (β) ∈?βα，V ② f (α)=k f (α) ?∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=- (2) 如果是βs ααα ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++= 2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++= 2211)( 定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，而n a a a ,,,21 是P 中任意 n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1 = 2 线性函数空间 设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,?∈L(V , P) ?α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，() p k p V f ∈∈?,,τ 则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。并称() p V ,τ 为V 的对偶空间。 3 对偶基 设n εεε,,,21 为V 的一组基，定义 )(j i f ε=?? ?≠=i j i j 0 1 ，则n f f f ,,,21 是() P V ,τ的一组基。称 n f f f ,,,21 为n εεε,,,21 的对偶基。 定理 () P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是() P V ,τ 的一组基 定理 设 n εεε,,,21 及 1η,2η, n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与 n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 。如果由n εεε,,,21 到1η,2η, n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1')(-A
1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.
线性目标函数问题 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
课 题 线性规划 一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是 2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +??-??? ≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______． 5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥??≥??+≤? ，则2222x y x y +--的最小值为 例题巩固 线性目标函数问题 当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为 a z c y x b b -=-+，则z c b -可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解. 8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=
当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 2.距离问题 当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。 3．截距问题 例4 不等式组x+y 00x y x a ≥??-≥??≤? 表示的平面区域面积为81，则2x y +的最小值为_____ 解析 令2z x y =+，则此式变形为2y x z =-+，z 可看作是动 抛物线2y x z =-+在y 轴上的截距，当此抛物线与y x =-相切 时，z 最小，故答案为14 - 4．向量问题 已知平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ?≤≤?≤??≤?给定。若(,)M x y 为D 上的 动点，点A 的坐标为() 2,1，则z OM OA =?的最大值为 线性表示 例1 设等差数列{n a }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4，2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是 ． 教师导言：（1）如何解的（预期回答：线性规化） （2）能否由两式直接“加工”而得—— 线性表示更好：S 6 x a 5 y a 6 ，简记：③ ①×x ②×y ． （3）（类比）设实数x ，y 满足2 38xy ≤≤，2 49x y ≤≤，则34x y 的最大值是 ．
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+ ，再令ln z y =，则21ln z c x c =+， 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =-$，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为$0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数x 与增大的容积y 之间的关系.